湖南省長(zhǎng)沙市寧鄉(xiāng)市2022-2023學(xué)年高二年級(jí)下冊(cè)期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023年上學(xué)期高二期末考試

數(shù)學(xué)試題

考試時(shí)量：120分鐘分值：150分

一、單選題（本大題共8小題，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題

目要求的

1.記復(fù)數(shù)2=］（1-0的共軌復(fù)數(shù)為則三在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】首先根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z,即可得到其共腕復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即

可；

【詳解】解：因?yàn)閆=i（l—i）=i—i2=l+i,所以］=

則5在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（1,-1）,位于第四象限；

故選：D

2.在含有3個(gè)白球，2個(gè)黑球（它們除顏色外，其余均相同）的箱子里不放回地抽取2個(gè)球，恰好一個(gè)為

黑球的概率為（）

27

A.-B.ID.—

510

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式，可以利用組合數(shù)進(jìn)行運(yùn)算求解，也可以利用列舉法運(yùn)算求解.

【詳解】根據(jù)題意：

方法一：“恰好一個(gè)為黑球”的概率為P=T^=K=—

C5105

方法二：設(shè)三個(gè)白球?yàn)閍,6,c,兩個(gè)黑球?yàn)锳,3,不放回地抽取2個(gè)球，則有：

{a,b},{a,c},{a,A},{a,B},{b,c},{b,A},{h,B},{c,A},{c,B},{A,B},共10個(gè)基本事件

“恰好一個(gè)為黑球”包含：{a,A\,{a,B}{b,A},{b,B},{c,A},{c,B},共6個(gè)基本事件，其概率為

故選：c.

3.2x—9）的展開式中『的系數(shù)為（）

A.240B.-240C.120D.-160

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求解即可

【詳解】2》—十）展開式的通項(xiàng)7；+1=C＞（2x）61￡[=（力”晨.

由6—￡=3,可得廠=2.二含V項(xiàng)的系數(shù)為（―1）2X24XC；=240.

故選：A.

4.隨機(jī)變量X的分布列如表，則E（2X+3）的值為（）

X123

P0.2A0.4

A.4.4B.7.4C.21.2D.22.2

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)期望公式求￡（X）,然后由期望性質(zhì)可得.

【詳解】由0.2+A+0.4=l得A=0.4,

所以￡（X）=lx0.2+2x0.4+3x0.4=2.2,

所以E（2X+3）=2E（X）+3=2x2.2+3=7.4.

故選：B

5.已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都為2,則該四棱錐的表面積為（）

A.473B.4君

C.473+4D.475+4

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，求出正四棱錐的底面及各側(cè)面面積計(jì)算作答.

【詳解】依題意，正四棱錐的底面正方形面積為4,四個(gè)側(cè)面是全等的正三角形，每個(gè)正三角形面積為

與22=5

4

所以四棱錐的表面積為4出+4.

故選：C

6.已知tana=4,則sinacosa=()

244,4

A.一一B.—C.-D.±—

517917

【答案】B

【解析】

【分析】利用弦化切可求得所求代數(shù)式的值.

sinacosatana44

【詳解】因?yàn)閠ana=4,則smacosa=—---------z—=—z-------—=一.

sina+cos**atana+14~+l17

故選：B.

7.山東煙臺(tái)蘋果因“果形端正、色澤艷麗、果肉甜脆、香氣濃郁”享譽(yù)國(guó)內(nèi)外.據(jù)統(tǒng)計(jì)，煙臺(tái)蘋果(把蘋

果近似看成球體)的直徑X(單位：mm)服從正態(tài)分布N(80,5?),則估計(jì)蘋果直徑在(75,90］內(nèi)的概

率為()

(附:若XN出吟,則P(〃—b<X"+b)a0.6827,

P"-2o<X<4+2CF)B0.9545.)

A.0.6827B.0.8413C.0.9545D.0.8186

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性求解可得.

【詳解】由X:N(80,52)知〃=80,cr=5,

所以尸(75<X<90)=P("一b<X<〃+2cr)

=PQi+o<X<〃+2b)+P(〃—b<X<〃+b)

=g[P(〃-2cr<X<//+2a)-P(/.i-cr<X<〃+b)]+尸(〃-cr<X<ju+a)

X1(0.9545-0.6827)+0.6827=0.8186.

故選：D

8.已知y=4'-3-2、+3的值域?yàn)閇1,7],則x的取值范圍可以為（）

A.[2,4]B.（―,0）C.（O,l）i[2,4]D.（-<x）,0]u[l,2]

【答案】D

【解析】

【分析】令2*=f，根據(jù)值域解不等式組可得，的范圍，然后解指數(shù)不等式可得.

【詳解】令2*=f，則y=/-3r+3,

?-3?+3>1

由題知，〈,,解得-1W/W1或2W/W4,

/-3r+3<7

即一142*W1或2<2V<4>解得x40或1WXW2-

故選：D

二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求,

全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分.）

9.某種產(chǎn)品的價(jià)格x（單位：元/kg）與需求量）（單位：kg）之間的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示:

X1015202530

y1110865

數(shù)據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得回歸直線方程為9=羸+14.4,則以下結(jié)論正確的是（）

A.變量>與x呈負(fù)相關(guān)

B.回歸直線經(jīng)過點(diǎn)（20,8）

C.g=-0.32

D,該產(chǎn)品價(jià)格為35元/kg時(shí)，日需求量大約為3.4kg

【答案】ABC

【解析】

【分析1根據(jù)線性回歸方程經(jīng)過樣本中心（20,8）,可解得5=一0.32,可判斷A,B,C.由回歸方程做預(yù)測(cè),

即可判斷D.

……_10+15+20+25+30?、-11+10+8+6+5

［詳解］-------------------=20,y=--------------------=8o,

.?.回歸直線經(jīng)過點(diǎn)(20,8),B正確，

將了，歹代入夕=嬴+14.4得刃=—0.32，變量曠與x呈負(fù)相關(guān)，A、C正確，

當(dāng)產(chǎn)品價(jià)格為35元/依時(shí)，代入得5=3.2,.?.日需求量大約為3.2依，D錯(cuò)誤，

故選:ABC.

10.在AABC中，下列命題正確的是()

A.若4>B，則sinA>sin8

B.若sin2A=sin23，則A48c定為等腰三角形

C.若acosB-Z?cosA=c,則AABC定為直角三角形

D.若三角形的三邊的比是3:5:7,則此三角形的最大角為鈍角

【答案】ACD

【解析】

【分析】

選項(xiàng)A,由三角形邊角關(guān)系和正弦定理，可判斷為正確；選項(xiàng)B,由三角函數(shù)確定角的關(guān)系，要結(jié)合角范

圍，所以錯(cuò)誤；選項(xiàng)C,用正弦定理邊化角，再將sinC=sin(A+3)代入展開，整理可得cosA=0,所

以正確；選項(xiàng)￡>,用余弦定理求出最大邊所對(duì)的角，判斷正確.

【詳解】在AA8C中，若/>8,則a>b,因此sinA>sin8,A正確；

若sin2A=sin2B,則2A=28或2A+2B=;r,

乃

即A=8或A+3=7，

2

所以AABC為等腰三角形或直角三角形，3錯(cuò)誤；

若acosb一力cosA=c,

則sinA-cosB-sin-BcosA=sinC=sin(A+B),

71

所以sin5cosA=(),即cosA=(),A=—

29

所以AABC定為直角三角形，C正確；

三角形的三邊的比是3:5:7,設(shè)最大邊所對(duì)的角為

a24-S2-721

則cos，=因?yàn)?<。<?，

2x3x52

所以。=--->。正確.

3

故選:ACD

【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理和余弦定理解三角形，以及判斷三角形的形狀，注意角的范圍及三角形內(nèi)角

和等于180°，屬于中檔題.

11.二次函數(shù),=依2+。無+。的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是()

A.b=-2aB.a+b+c<0C.a+c<hD.abc<0

【答案】ACD

【解析】

【分析】由二次函數(shù)性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一判斷

b

【詳解】由題意得。<0,對(duì)稱軸x=——=1,則人=—2。>0,故A正確,

2a

當(dāng)％=一1時(shí)，y^a-b+c<0,則a+c<A,故C正確,

當(dāng)x=0時(shí)，y=c>0,則曲c<0,故D正確，

當(dāng)x=l時(shí)，y=a+b+c>0,故B錯(cuò)誤，

故選：ACD

12.已知函數(shù)了=-的值域?yàn)榧螦,函數(shù)y=lg(V-4x)的定義域?yàn)?,則下列說法正確的是

()

A.Ac8={x|x<0或4<x?8}

B.AD8={X|XH0}

仁“》€(wěn)金8是“％64的充分不必要條件

D.函數(shù)y=lg(d-4x)的增區(qū)間是(4,+8)

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)指數(shù)型函數(shù)值域即可得到即可A,根據(jù)對(duì)數(shù)型函數(shù)定義即可得到8,根據(jù)交并集含義即可判

斷AB,根據(jù)充分不必要條件的判定即可判斷C,根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性即可判斷D.

【詳解】|X|-3N—3,則<1，則<8,則A=（o,8],

由題意得/一4%>0,解得x<0或％〉4,則3=（-8,0）（4,+00）,

則Ac3=（4,8],故A錯(cuò)誤；AU3={X|XH0},故B正確；

6RB=[0,4],其中一個(gè)元素0在集合A中找不到，故C錯(cuò)誤；

設(shè)，=f—4%=（》—2）2—4,則/在（4,"o）上單調(diào)遞增，且,>0,

而y=lgf在（0,+8）上單調(diào)遞增，

則根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得丁=愴（％2—4"在（4,+8）上單調(diào)遞增，則其增區(qū)間為（4,+8）,故D正確，

故選：BD.

三、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.）

八,34口，，

13.已知x>0,y>0,且尤+y=l,則一+一的最小值為________.

xy

【答案】7+46##4G+7

【解析】

【分析】妙用'T',展開使用基本不等式可得.

【詳解】因?yàn)閤+y=l,

所以3+&=（3+@）。+口=7+2+”27+2m=7+4百

xyxyxy

3y_4x

當(dāng)且僅當(dāng)，Xy,即X=2由一3,y=4-2石時(shí)，等號(hào)成立.

[x+y-1

34廣

所以一+一的最小值為7+4月.

xy

故答案為：7+4石

14.為了貫徹落實(shí)黨史學(xué)習(xí)教育成果，某校名師“學(xué)史力行”送教井岡山中學(xué).現(xiàn)有理科語文、數(shù)學(xué)、英語、

物理、化學(xué)、生物6名理科老師要安排在該中學(xué)理科1到6班上一節(jié)公開示范課，每個(gè)班級(jí)只安排一名老師

上課且每個(gè)老師只在一個(gè)班上一節(jié)課，要求數(shù)學(xué)老師不能安排在1班，化學(xué)老師不能安排在6班，則不

同的安排上課的方法數(shù)為.

【答案】504

【解析】

分析】根據(jù)排列計(jì)算公式，結(jié)合特殊元素法求解排列數(shù)即可得出答案.

【詳解】根據(jù)計(jì)數(shù)原理可以將事情分成兩類：化學(xué)老師安排在1班和化學(xué)老師不安排在1班.

①化學(xué)老師排在1班，先排1班，有1種方法，其余5個(gè)班的老師做全排列共有A；=120種方法；

②化學(xué)老師不在1班，先排1班，有4種方法，再排6班有4種方法，余下4個(gè)班有A：=24種方法，所

以共有：4x4x24=384種方法.

所以不同的安排上課的方法數(shù)為120+384=504.

故答案為：504.

“、[x3+1,x>0

15.已知函數(shù),為偶函數(shù)，則2"+0=_________.

[ax'+/7,%<0

3

【答案】-

2

【解析】

【分析】令x<0時(shí)，則—x>0,由偶函數(shù)的定義可得出/(x)7■(一x),可得出Z?的值，進(jìn)而可得出

2"+。的值.

x?+]x>0

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=<3人為偶函數(shù)，

ax+Z7,x<0

當(dāng)XV。時(shí)，一X>0,此時(shí)，/(X)=f(-X)=(-X)34-1=-X34-1=CVC3+/7,

13

所以，。二一1,b=l,故2"+。=27+1=—+1=—.

22

3

故答案為：—.

2

16.記13—(1+x)]=4+Q[,(1+x)+a2?(1+x)~+L+%,(l+x),則％+q+%++4=

【答案】129

【解析】

【分析】令f=l+x,則(3—利用二項(xiàng)展開式通項(xiàng)可求出％的值，然后

令，=1,可求得4+4+4++4的值.

【詳解】令r=l+x,貝（J（3—=%++兄產(chǎn)+L+//7,

所以，（37）7的展開式通項(xiàng)為=a?3”?（—，）"=c1）A/僅=0,1,2,,7）,

所以，%=-C；=-1,

在等式（3—/J=%+。/+42/+L+%/中，

令/=],可得%+q+a>++4+%=（4+4+氏++%）—1=27，

因此,%+q+%++“6=2，+1=129.

故答案為：129.

四、解答題（本大題共6個(gè)小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步）

310g<,5l0￡73

17.化筒與計(jì)算：-3^xlog53-（3V3）*+7.

【答案】]2

【解析】

【分析】利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)可得所求代數(shù)式的值.

2~

]（-V1/11A

【詳解】解：原式=3.27丫xbg'30一口2）+3:1不13口吐-273+3,

=-xlog,5^=-xl=-.

9929

18.在_A5C中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且52Kg±9=，.

cosC2h+c

（1）求角4

（2）若b=l,cosC=,求〃，c.

7

27r

【答案】（1）A=—：

3

（2）a-y/l，c=2.

【解析】

【分析】(1)利用三角恒等變換化筒即得解;

(2)求出sin8,再利用正弦定理得解.

【小問1詳解】

解：因e、，為co一s(-B--+--C=)，一a，所以---c-o--s-A-=---a---

cosC2h+ccosC2b+c

由正弦定理得一堊4sinA

cosC2sinB4-sinC

所以2sinBcosA+sinCeosA=-cosCsinA,

所以2sin8cosA=-(cosCsinA+sinCcosA),

即2sinSeosA=-sin(A+C)=-sinB.

因sin5w(),所以cosA=一-,

2

27r

因?yàn)锳￡(0,?),所以A=《-.

【小問2詳解】

解：若cosC=2：,C,則sinC=

I7)7

nV2i_V21

則sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=x+-X------------

2714

1_a_c

由正弦定理"一二，一==J,得后一6一后,

sin3sinAsmC—————

1427

解得a=不,c=2.

19.常言說“病從口入”，其實(shí)手才是罪魁禍?zhǔn)祝鼡?dān)任了病菌與口之間的運(yùn)輸工具.洗手是預(yù)防傳染病最簡(jiǎn)

便有效的措施之一，保持手的清潔衛(wèi)生可以有效降低感染新型冠狀病毒的風(fēng)險(xiǎn).正確的洗手應(yīng)遵循“七步洗

手法”，精簡(jiǎn)為一句話就是“內(nèi)外夾弓大立腕“，每一個(gè)字代表一個(gè)步驟.某學(xué)校在開學(xué)復(fù)課前為了解學(xué)生對(duì)

“七步洗手法”的掌握程度，隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行網(wǎng)上測(cè)試，滿分10分，具體得分情況的頻數(shù)分布表

如下:

得分45678910

女生2914131154

男生357111042

（1）現(xiàn)以7分為界限，將學(xué)生對(duì)“七步洗手法”的掌握程度分為兩類，得分低于7分的學(xué)生為“未能掌

握”，得分不低于7分的學(xué)生為“基本掌握”.完成下面2x2列聯(lián)表，并判斷可否認(rèn)為學(xué)生對(duì)“七步洗手法''的

掌握程度與性別有關(guān)，且犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05?

未能掌握基本掌握合計(jì)

女生

男生

合計(jì)

（2）從參與網(wǎng)上測(cè)試且得分不低于9分的學(xué)生中，按照性別以分層抽樣的方法抽取10名同學(xué)，在10人

中隨機(jī)抽取3人，記抽到女生的人數(shù)為X,求X的分布列與期望.

附：片=----------r，（〃=a+"c+d）.

（a+〃）、八（c+"d）消（a+°c）（8+d）

臨界值表:

P（K2>k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】（1）列聯(lián)表答案見解析，沒有足夠證據(jù)認(rèn)為學(xué)生對(duì)“七步洗手法”的掌握程度與性別有關(guān)

9

（2）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望g

【解析】

【分析】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)，結(jié)合題意，完成列聯(lián)表，再求K?，即可判斷；（2）根據(jù)分層抽樣的特點(diǎn)求得

抽取10人中，女生和男生的分布情況，再結(jié)合X的取值，結(jié)合超幾何分布的概率求解求得分布列，再求

數(shù)學(xué)期望即可.

【小問1詳解】

由得分情況的頻數(shù)分布表得2x2列聯(lián)表如下：

未能掌握基本掌握合計(jì)

女生253358

男生152742

合計(jì)4060100

故片_100x(25x27-33x15)2?0554

'40x60x42x58

因?yàn)?.554<3.841,所以沒有足夠證據(jù)認(rèn)為學(xué)生對(duì)“七步洗手法”的掌握程度與性別有關(guān).

【小問2詳解】

由得分情況的頻數(shù)分布表可知，參與網(wǎng)上測(cè)試且得分不低于9分的學(xué)生中,

女生9人，男生6人，從而分層抽樣抽取的10人中，女生6人，男生4人.

在10人中隨機(jī)抽取3人，記抽到女生的人數(shù)為X,則X的可能取值為0,1,2,3,

所以P(X=0)=*C°r3/1，p(x=l)=C巖'C2=小3p(x=2)=皆C2Cl

joDUjojo2

P(X=3)=尋=：,

Go6

所以隨機(jī)變量X的分布列為

X0123

13j_

p

3010~26

i311Q

所以E(X)=0x—+lx—+2x-+3x-=—.

\)3010265

20.如圖，四棱錐P—A8CD中，底面ABC。是梯形，ABHCD.BC±CD,245是等邊三角形,

E是棱A8的中點(diǎn)，AB=PD=2,BC=CD=l.

(1)證明：平面ABC￡>；

(2)求直線P4與平面PCD所成角正弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵旦

4

【解析】

【分析】（1）可證得四邊形BCDE為平行四邊形，由此可得。E=l，利用勾股定理證得PEJ.DE；由

等腰三角形三線合一性質(zhì)可得PE1AB；根據(jù)線面垂直的判定定理可得結(jié)論；

（2）以E為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量求法可求得結(jié)果.

【小問1詳解】

￡\PAB等邊三角形，AB=2,E為AB中點(diǎn)，.?.產(chǎn)后=百且%，4?；

BE=CD=1,B￡〃CD,???四邊形BC0E為平行四邊形，：.DE=BC=1,

又PD=2,PE2+DE2=PD2>:.PE上DE,

又=。瓦ABu平面ABC。，..PEL平面ABC。.

【小問2詳解】

BCLCD,四邊形BCOE為平行四邊形，.?.BEJ.OE，

則以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，皮）,￡比后「正方向?yàn)橛?，?軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

則尸（0,0,g）,A（0,-l,0）,C（l,l,0）,￡>（1,0,0）,

PC=（1,1,-V3）,PO=（l,0,—6）,AP=（0,l,V3）,

設(shè)平面尸CD的法向量〃=（x,y,z）,

PCn=y—V3z=0--

，令z=l，解得：x=y/3?y=0,n=

PDn=x-y/3z=0

cos<AP,n>\=

|AP|.|H|=2^2=T,

即直線PA與平面PC。所成角的正弦值為—

4

21.已知函數(shù)/(x)=V3sin2x-2sin2x.

(1)求/(x)的對(duì)稱中心；

(2)求/(X)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；

(3)若XG-pO,求/(x)的最小值及取得最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的x的取值.

【答案】⑴+(keZ)

冗兀

(2)最小正周期為兀；--+k7r,—+k7i,(%eZ)

_36

⑶九《)=-3,X=-]

【解析】

【分析】(1)利用三角恒等變換和輔助角公式化簡(jiǎn)，再求對(duì)稱中心即可求解；

(2)利用整體代換法可得周期和單調(diào)區(qū)間；

(3)根據(jù)x的范圍利用整體代換法求出最小值及取得最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的x的取值即可.

【小問|詳解】

/(x)=>/3sin2x-2sin2x=V3sin2x-1+cos2x

]Tl'

sin2x+—cos2x—l=2sin2x+—

2JI6)

._7C./r7CZr7U

由2xH—=kit得尤=-----1----9kfeZ,

6122

(兀&兀A

所以對(duì)稱中心[一石十萬,一1J(ZrGZ)；

【小問2詳解】

/(x)=2sin|2x+—,

???7=福???7=1=兀???/(x)的最小正周期為兀，

兀7L7C

由----F2kli<2xH—<—F2kli,Z￡Z,

262

兀兀

得：----hkit<x<—FkuZ￡Z,

36f

jrjr

.??單調(diào)遞增區(qū)間為一1+^7+左兀，（&￡Z）；

【小問3詳解】

/(x)=2sinf2x+—j-1,

兀八c兀5兀71

?,*X€--,02xHG

26~6,6

.(_71\1

，sin2尤+—G-1t,—

I6)2

A2sin2x+^-1G[-3,0],

即:狐(力=-3,jJtflt.A2x+—=-—X=——7T