廣州市2023級高一（下）數(shù)學(xué)期中考試含答案

廣州市第六中學(xué)2023級高一（下）數(shù)學(xué)期中考試

單選題（共8小題，每題5分，共40分）

1.若集合卜|--214。},2={x|2'<8,xeN*},則A「8的子集的個數(shù)為（）

A.1B.2C.4D.8

2.若ii為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)2滿足2（1+?）=|3++|,則z的虛部為（)

A.-iB.-C.--iD.--

2222

3冗、

cos(-—+a)2

3.已矢口一；----------------二一,則tana=()

2sin(萬一a)+3cos(-cr)5

22

A.-6B.--C.-D.6

33

4.已知向量a=（2,-1）]=（1,2）,則。+匕在b上的投影向量的坐標(biāo)為（）

A.(2,1)B.(1,1)C.(1,2)D.(-2,1)

5.已知函數(shù)/（》）=bg。"一萬‘°<”<1在（0,+oo）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

2x2-ax+1,x>l

A.（0,1）B.（1,3]C.（1,1]D.（1,4]

6.已知正四棱臺ABC。-A4G2的上、下底面邊長分別為1和2,且則該棱臺的體積為（）

A.逑B.述c.ZD.Z

2662

7.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，規(guī)定排放時污染物的殘留含量不得超過原來的1%,已知在過濾過程

中的污染物的殘留數(shù)量尸（單位：毫克/升）與過濾時間f（單位：小時）之間的函數(shù)關(guān)系為：尸=6.e"（人為

正的常數(shù)，穌為原污染物數(shù)量）.若前5個小時廢氣中的污染物被過濾掉了90%,那么要能夠按規(guī)定排放廢氣,

至少還需要過濾（）

A.工小時B.*小時C.5小時D.之小時

292

—x-I-4V,丫<4

8.設(shè)函數(shù)/（%）=〈—，若關(guān)于X的方程/（%）=，有四個實(shí)根不，%，%3，%4（玉〈%2V%3V%4），

|log2（x-4）|,x>4

1

則玉+W+2七+g%4的最小值為（）

3133

A.—B.16C.—D.17

22

二.多選題（共3小題，每題6分，共18分，部分選對得部分分，選錯不得分）

9.設(shè)a,P,7為三個平面，I,m,〃為三條直線，則下列說法不正確的是（）

A.若機(jī)ua,11Im,則///a

B.若/上有兩點(diǎn)到0的距離相等，貝i"http://a

C.a,/3,7兩兩相交于三條直線/,m,n,若I〃m,則〃/Mt

D.若機(jī)ua,nua，mlI（3,〃///7,則a///7

10.對于AABC中，有如下判斷，其中正確的判斷是（）

A.若〃=9,c=10,A=60。，則符合條件的AABC有兩個

B.若acosA=〃cosB,則AABC為等腰三角形

C.若S行c=/sinA,則cosA的最小值為:

D.點(diǎn)P在AABC所在平面且。尸=0'+℃+”———+———）,Ae[0,+oo）,則點(diǎn)P的經(jīng)過AABC

2|AB|cosB|AC\cosC

的外心

11.如圖，在直四棱柱ABCD-A耳GR中，底面ABCD為菱形，ZBAD=60°,AB=AD=AAl=2,尸為CQ

的中點(diǎn)，點(diǎn)。滿足DQ=4r>C+〃￡）A（2e[0,1],〃e[0,1]）,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.若％+〃=：,則四面體ABPQ的體積為定值

B.若△ABQ的外心為。，則為定值2

C,若4。=如，則點(diǎn)。的軌跡長度為華

D.若2=1且〃=；,則存在點(diǎn)E使得AE+EQ的最小值為49+2M

三.填空題（共3小題，每題5分，共15分）

12.若指數(shù)函數(shù)/（無）="（〃>0,。*1）過（2,4）,則“Iog25）=.（將結(jié)果化為最簡）

13.已知正三棱錐S-MC的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，棱錐的底面是邊長為的正三角形，側(cè)棱長為

2

2后，則球。的表面積為.

14.已知AABC的三個角A,B,C的對邊分別為a,b,c,滿足。，則sin24=______.

2cosA3cos86cosC

四.解答題(共4小題，共77分，其中15題13分，16、17題各15分，18、19題各17分)

15.如圖，在直三棱柱ABC—A4G中，AB^BC,AB=BC=BBl=2,M,N,P分別為人與，AC,BC

的中點(diǎn).

(1)判斷直線MN與平面BCG用的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)求三棱錐B-PMN的體積.

BiMA,

16.已知函數(shù)/(x)=Asin(0x+e)(其中A>0,G>0,|47|〈生)的圖象如圖所示.//；

(1)求函數(shù)/(%)的解析式；

(2)若將函數(shù)y=f(x)的圖象上的所有點(diǎn)向右平移土，再將橫坐標(biāo)伸長到原來的C—?圖

12

象，若函數(shù)y=g(x)-左在［0,1萬］有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)改的取值范:圍.

6

17.如圖，在邊長為4的正三角形ABC中，石為AB的中點(diǎn),。為中點(diǎn)，AF=-AD,^AB=a,AC=b.

3

(1)試用表示向量￡F;A

(2)求所-BC的值.

(3)延長線段EF交AC于P,設(shè)AP=2AC,求實(shí)數(shù)2的值./\

BD

3

18.在AABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且滿足acosC+招asinC-6-c=0.

(1)求角A；

(2)若a=6，求AABC周長的最大值;

(3)求吐絲二竺的取值范圍.

a

19.已知函數(shù)〃力和g(x)的定義域分別為2和2,若對任意飛?2,恰好存在"個不同的實(shí)數(shù)

再，％-,"3,使得g&)=/?)(其中i=則稱g(x)為〃尤)的""重覆蓋函數(shù)”.

⑴試判斷g(x)=N(-24x42)是否為〃x)=l+sinx(xeR)的"2重覆蓋函數(shù)"？請說明理由；

⑵若g(無"卜+(2：-3"+1'-2"""1為bg,2^+2的"重覆蓋函數(shù)"，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)函數(shù)[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[1.2]=1,[2]=2,[-1.2]=-2.若/?(尤)=依-[閔,xe[0,2)為

/(尤)=￡，,xe[0,+8)的"2024重覆蓋函數(shù)”，求出正實(shí)數(shù)。的取值范圍.

4

廣州市第六中學(xué)高一數(shù)學(xué)期中考試參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)

題號1234567891011

答案CDDCCBCBABDACDACD

37n

12.513.25%14

10

6.解：如圖,延長正四棱臺ABCD-A4G2的側(cè)棱交于點(diǎn)尸，設(shè)上下底面正方形的中心分別為E，F(xiàn),

BB]±DD},.?.MPD為等腰直角三角形，又上、下底面正方形的邊長分別為1和2,

:.ED=^-,

lFD=PF=y[2,且E為。F的中點(diǎn),

口口1n^2

/.EF=—F17D=——，

22

該棱臺的體積9(12+22+卜2)義￥=乎

故選：B.

7.解：由題意，前5個小時消除了90%的污染物,

P=P。*,(1-90%)^,=,:.0.1=e-5k,即一5左=歷0.1,:.k=-hnOA.

lt-InOA?,,I-InOA-InOAt

:P=P.e-^=pe5,則由—P=,即0.01=/,；.-ln0A=ln0.01,得，=10.

°°100005

要能夠按規(guī)定排放廢氣，至少還需要過濾10-5=5小時.故選：C.

-A-+4x,x4的圖象如圖所示，由圖可知，+%

8.解：作出函數(shù)y(x)=

|log2(x-4)|,x>4

Efe|log2(x-4)|=/(2)=4,

可得彳=國或x=20,故5<%<20,

16

又因?yàn)閘og?%-4)+k>g2(X-4)=0,

所以(%3—4)(*4—4)=1,

-^—+4,

故無3

%4-4

士+4)+/=4+士+如一4)+10

以為+%2+2%3+萬Z=4+2(-

=14+—^+%4-4).214+2

i=16

x4-42

5

71

當(dāng)且僅當(dāng)^^=上(％-4),即％=6時取等號，

%-42

所以石+%2+2迅+g%4的最小值為16.

故選：B.

9.解：若mua,HIm,則///a或/u&,故A錯誤；

若/上有兩點(diǎn)到。的距離相等，貝l1///a或/ua或/與a相交，故5錯誤；

a,P,/兩兩相交于三條直線/,m,n,不妨設(shè)。(力=/,尸八7=機(jī)，a,]/=n,

若11/m,則////,又lua,a1]/=n,:.lIIn,則〃///故。正確;

若也ua,及ua,mlIB,〃//〃，且相與幾相交，則a///7,當(dāng)相與〃不相交時，不一定有a///7,故。錯

'口

陜.

故選：ABD.

10.解：對于A,a=9,c=10,A=600丁csin>1=5若<9<10.,?此三角形有兩個解，故A正確;

對于5,由QCOSA=/?COS5,結(jié)合正弦定理可化為sinAcosA=sinBcos5,則有sin2A=sin25,

故2A=25或者2A=?-26,即有A=B或者A+B=生，則AABC為等腰三角形或直角三角形，故B錯誤;

2

22

對于C，SMBC=asinA=-bcsmA?則有a=—bc?

221

〃一次2bc--bc3

由余弦定理可得,cosA--------=----------勺----------=-

2bc2bc2bc4

當(dāng)且僅當(dāng)〃=c時取等號，故。正確;

對于。，設(shè)3C的中點(diǎn)為。，由OP=O8+OC+〃_"_+_”_

)

2|AB|cosB|AC|cosC

得SPDP=A(r^+^rl^b

DP-BC=M'Be+)=X(-|BC|+|2C|)=0.

|AB|cosB|AC|cosC

:.DP±BC,即點(diǎn)P在3c的垂直平分線上，則點(diǎn)P的軌跡經(jīng)過AABC的外心，故D錯誤.

故選：BCD.

11.解：對于A選項(xiàng)，取￡>口，ZX7的三等分點(diǎn)分別為M,N,如圖所示,

因?yàn)?+〃=；,所以34+3〃=1,

^-DM=-DC,DN=-DD,,則。Q=32DM+3〃￡W,所以。eMV.

33i-~

6

因?yàn)镸N"CD1,CDt//A,B,所以腦V//AB,

所以△ABQ的面積為定值，點(diǎn)P到平面A3。的距離也是定值，故A選項(xiàng)正確.

對于3選項(xiàng)，如圖，

若△AB。的外心為。，過點(diǎn)。作于點(diǎn)〃，則〃是的中點(diǎn).

因?yàn)镮AtB\=&+2=2A/2,

12

所以AB.AO=4B,（A”+HO）=A8.A”=5AB=4，故3選項(xiàng)錯誤.

對于c選項(xiàng)，如圖，

在平面A片￡2中作4K±￡2,

顯然AK_L平面CG2。，由長度和角度，可得AK=6.

在RfZ\A|KQ中，AQ=6，

所以KQ=g,則點(diǎn)。在以K為圓心，應(yīng)為半徑的圓上運(yùn)動.

設(shè)此圓與2。交于點(diǎn)&，因?yàn)楸豞3=0且K2=1，

所以則點(diǎn)。的軌跡長度是:x^=字.故C選項(xiàng)正確.

對于。選項(xiàng)，若2=1且〃=g,則點(diǎn)。與點(diǎn)尸重合.

把△AA2沿著AB進(jìn)行翻折，使得A，A,B,P四點(diǎn)共面，

此時AE+EQ有最小值A(chǔ)P（這里和后面的A均為翻折后的點(diǎn)）.

在△4尸8中，4尸=/，PB=^5,&B=2近,

所以尸=A尸:所以NP8A=g，從而/尸班=：萬，

在AAPB中，由余弦定理得：

3萬AB?+PB。-AP?（府+22-A尸

42AB-PB2XA/5X2

故選：ACD.

13.解：如下圖所示,

延長SO交球。于點(diǎn)D,設(shè)AABC的外心為點(diǎn)E,

由正弦定理得2AE=*=4,:.AE=2,

sin60°

7

易知SE_L平面ABC,由勾股定理可知，三棱錐S-ABC的高為SE=在曾-■=J（2后-2?=4,

由于點(diǎn)A是以SD為直徑的球O上一點(diǎn)，則ZSW=90。,

q.2

由射影定理可知，球O的直徑為2R=SO="-=5,

SE

因此，球O的表面積為4"2=M（2尺）2=25萬.故答案為：25%.

々刀入…八』abc.A-r.sinAsin3sinC

14.解：AABC中，----=------=------,由正弦定理知------二------=------

2cosA3cos36cosC2cosA3cos36cosC

即工tanA=』tanB二工tanC,設(shè)tanA=2左，tan5=3左，tanC=6kJ且左>0,

236

tanA+tanB

由tan(A+B)=

1-tanAtanB

得tanA+tanB=tan(A+B)?(1—tanAtanB)；

在AABC中，tan(A+B)=-tanC,

/.tanA+tanB+tanC=tanA?tanB?tanC,

可得左=巫，則tanA=巫，

63

又sin2A+cos2A=1,

1

兩邊都除以cc^A,Wtan2A+l=

cos2A

又tanA>0,A為銳角，解得cosA=雙羽，sinA=,

20720

...sin2A=2sinAcosA=

10

故答案為：叫

四.解答題（共4小題）

15.【解答】此題除作輔助線利用平行四邊形外，采用建立坐標(biāo)系依然給分

解：（I）?.?直三棱柱ABC-AqG中，M為劣耳的中點(diǎn)，

所以與1.BtM//AB.....................................................1分

因?yàn)槭琋分別BC,AC的中點(diǎn)，

PN//AB,PN=-AB

2

PN//B\M,PN=B{M.............................................................................3分（平行1分，相等1分）

.?.四邊形用MNP為平行四邊形，二皿//用尸4分

8

又?「MNU平面BXCXCB,與Pu平面BGCB,

故肱V//平面BGCB........................................................................................6分

(II)PN±BC,BP=PN=\,5ABPiV=|xlxl=l............................8分

點(diǎn)M到平面BPN的距離為d=2.............................................................10分

三棱錐3-PMN的體積為:

=^M-BPN

VB—PMH-]XS^BPNx"-g*/X2-g...........................................13分

16.【解答】解：(1)由圖可知A=1...................................................................................1分

〃x)=sin(2x+9),/^j=/(x)=sin^+^j=-l...........................................3分

[7i712兀7兀5兀廣廣.＞77r371兀八

由于一彳＜。＜彳，不＜2+。＜牙，所以丁+e=k，e=w...................................5分

22363623

所以/(x)=sin(2x+T................................................................................................7分

7T

(2)將函數(shù)了=/(尤)的圖象上的所有點(diǎn)向右平移二，得到

y=sin[2^-^+j=sin[2x+6]..................................................................8分

再將橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到函數(shù)g(x)=sin(x+gj...................................9分

.?771.71兀471,./\＜..

由工￡0,—得兀+工￡,此時tg(x)￡--丁」.....................12分

O0032

所以要使函數(shù)y=g(x)-左在0,171有零點(diǎn)，則左C-烏,1...............................15分

_oJ2

17.【解答】解：(1)EF=EA+AF=--AB+-AD=--AB-^-x-(AB+AC)

23232

=--AB+-AB+-AC=--AB+-AC

26636

11,。八

36

(2)因?yàn)?C=AC-=。........................................4分

所以砂衣=(」。+為.(6_a)=L2+j_62_j_a.6

36362

=—x42+—x42——x4x4xcos60°=4....................................................................8分

362

9

(3)設(shè)"=2AC"e(0,l),

EP=EA+AP=EA+AAC=--AB+AAC=--a+Ab........................................9分

22

由于￡F與EP共線，則=.....................................11分

即——d+—b=k(---a+Ab).........................................................................................12分

362

11,

—二—k

即32........................................................14分

—=kA,

16

解得4」.............................................................15分

4

18.【解答】解：(1)acosC+43asinC-b-c=0,由正弦定理得，

sinAcosC+y/3sinAsinC-sinB-sinC=0.........................................................1分

因?yàn)閟in5=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC

所以sinAcosC+6sinAsinC—sinAcosC—cosAsinC—sinC=0,

即百sinAsinC—cosAsinC—sinC=0,

因?yàn)??！辏?,%），所以sinCwO,故石sinA—cosA=l.............................................2分

所以sin（A一令=g............................................................................................................3分

因?yàn)锳e（0"）,所以A-ee（-生,亞），

666

故A-*=工，解得4=2..............................................................................................4分

663

（2）（此題還可采用正弦定理，也可得分）

由（1）知4=生，

3

又。=百，由余弦定理得cosA="+c?一優(yōu)=S+°)-一&c-cr,

2bc2bc

1(b+c)2-2bc-3

即Rt1——二------------------

22bc

所以(/?+c)2—3=3bc........................................................................................................6分

由基本不等式可知be<

10

所以0+C)2—3〈；3+C)2,解得6+CW2會...........................8分

當(dāng)且僅當(dāng)6=c=退時，等號成立，

故NABC的周長最大值為3百............................................10分

(3)由(1)知4=工,

3

71.?廠?4??sinBsinC------(sinB+sinC)

r-1,,be—ab-acsinBsinC—sinAsinn—sinAsinCo.,八

貝----------=------------------------------=------------4.............................................11分

/sin2A3

4

=：sin5sinC-2f(sin5+sinC)=gsin(-1-+C)sinC-~~~[sin(y+C)+sinC]

4小-1.i「2⑸6人1.”.…

=—(-^-cosC+—sinC)sinC----(-^-cosC+—sine+sinC)

1

=22f3sinQcosc+2sir1c-cosC-6sinC............................................................................12分

33

=^-sin2C+-~0°s2c-cosC-sinC

33

271171

=——cos(2C+-)+——2sin(C+-)

3336

2o7T171

=一一[1-2s歷2(C+—)]+——2sin(C+-)

3636

=-sin2(C+-)-2sin(C+-.................................................................................................13分

3663

因?yàn)榧t)，所以)

Ce(0,C+^e3,2,r=sin(C+-)e(-,l]............................................14分

366662

be—ab—ac42c14/3、213

則2-2t——=-(t——)-----,

a233412

故當(dāng)?shù)脮r，一￡取得最小值，最小值為噂

........................................................15分

當(dāng)『=］時，上”二竺取得最大值，最大值為t................................................................16分

a

故土W二竺的取值范圍是..........................................17分

a12

19.【解答】(1