江蘇省南京市鹽城市2024屆高三年級(jí)第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題

江蘇省南京市、鹽城市2024屆高三年級(jí)第一次模擬考試

數(shù)學(xué)試題

一、填空題

1.已知集合人=僅區(qū)8-4)<0},B={0,1,5},則AfW=.

2.設(shè)復(fù)數(shù)2=2+心€1為虛數(shù)單位)，若(l+i”z為純虛數(shù)，貝！Ja的值為—.

3.為調(diào)查某縣小學(xué)六年級(jí)學(xué)生每天用于課外閱讀的時(shí)間，現(xiàn)從該縣小學(xué)六年級(jí)

4000名學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間[50,100]

上，其頻率分布直方圖如圖所示，則估計(jì)該縣小學(xué)六年級(jí)學(xué)生中每天用于閱讀的

時(shí)間在170,勤(單位：分鐘)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為.

4.執(zhí)行如圖所示的偽代碼，若x=。，則輸出的y的值為.

5.口袋中有形態(tài)和大小完全相同的4個(gè)球，球的編號(hào)分別為1,2,3,4,若從

袋中一次隨機(jī)摸出2個(gè)球，則摸出的2個(gè)球的編號(hào)之和大于4的概率為.

22

6.若拋物線y2=2px的焦點(diǎn)及雙曲線的右焦點(diǎn)重合，則實(shí)數(shù)P的值為.

7.設(shè)函數(shù)y=eX+：a的值域?yàn)锳,若AU[0,+8),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

8.已知銳角”滿意(tanaT)(tan[3T)=2,貝1Ja+0的值為.

9.若函數(shù)y=s】nmx在區(qū)間[0,2%]上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)3的取值范圍是.

10.設(shè)Sn為等差數(shù)列聞}的前n項(xiàng)和，若同}的前2024項(xiàng)中的奇數(shù)項(xiàng)和為2024,

則，2017的值為.

/X(3—x)0<xv3

11.設(shè)函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，f(x)=[_3+1'，若函數(shù)y=f(x)-m有四個(gè)

X

不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)力的取值范圍是.

12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線y=k(x-3我上存在一點(diǎn)P,圓x2+(yT)2=l上存在

一點(diǎn)Q,滿意加=3氏，則實(shí)數(shù)k的最小值為.

13.如圖是蜂巢結(jié)構(gòu)圖的一部分，正六邊形的邊長(zhǎng)均為1,正六邊形的頂點(diǎn)稱(chēng)為

“晶格點(diǎn)”.若A,BCD四點(diǎn)均位于圖中的“晶格點(diǎn)”處，且A.B的位置所圖所示，

則AB-Cb的最大值為.

14.若不等式ksin2B+sinAsinC>19smBsmC對(duì)隨意AABC都成立，則實(shí)數(shù)k的最小值為

二、解答題

15.如圖所示，在直三棱柱ABC-AIB￡中，CA=CB,點(diǎn)M,N分別是AB,A31的中點(diǎn).

(1)求證：BN〃平面A]MC；

(2)若\MlABi,求證：ABilAg.

16.在AABC中，角AB,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知c=gb.

(1)若C=2B,求cosB的值；

(2)若屆?=cb,求COS(B+3的值.

4

17.有一矩形硬紙板材料(厚度忽視不計(jì))，一邊AB長(zhǎng)為6分米，另一邊足夠長(zhǎng).現(xiàn)

從中截取矩形ABCD(如圖甲所示)，再剪去圖中陰影部分，用剩下的部分愴好能

折卷成一個(gè)底面是弓形的柱體包裝盒(如圖乙所示，重疊部分忽視不計(jì))，其中

OEMF是以0為圓心、4EOF=120。的扇形，且弧EF,但1分別及邊BC,AD相切于點(diǎn)M,N.

(1)當(dāng)BE長(zhǎng)為1分米時(shí)，求折卷成的包裝盒的容積；

(2)當(dāng)BE的長(zhǎng)是多少分米時(shí)，折卷成的包裝盒的容積最大？

22

18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C:三+==l(a>b>0)的下頂點(diǎn)為B,點(diǎn)M,N是

a2b2

橢圓上異于點(diǎn)B的動(dòng)點(diǎn)，直線BMBN分別及x軸交于點(diǎn)P,Q,且點(diǎn)Q是線段OP的中點(diǎn).當(dāng)

點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)出,不處時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,0).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線MN交y軸于點(diǎn)D,當(dāng)點(diǎn)M,N均在y軸右側(cè)，且血=2疝4時(shí)，求直線BM的方

程.

19.設(shè)數(shù)歹!)聞｝滿意3n2=%+為_(kāi)1+雁2飛1)2,其中n>2,且nCN,入為常數(shù).

(1)若同｝是等差數(shù)列，且公差用。，求泊勺值；

(2)若電=1巧=2闞=4,且存在r613,7],使得m?a^n-r對(duì)隨意的neN*都成立，求m的

最小值；

(3)若討。，且數(shù)列同｝不是常數(shù)列，假如存在正整數(shù)T,使得an+T=a”對(duì)隨意的n￡N*

均成立.求全部滿意條件的數(shù)列E｝中T的最小值.

b

20.設(shè)函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=axH--c(a,b,cGR).

x

(1)當(dāng)c=O時(shí)，若函數(shù)f(x)及g(x)的圖象在x=l處有相同的切線，求a,b的值；

(2)當(dāng)b=3-a時(shí),若對(duì)隨意x°C(l,+8)和隨意ae(O,3),總存在不相等的正實(shí)數(shù)列內(nèi)，使

得g(x)=g(x2)=f(xj,求C的最小值；

(3)當(dāng)a=l時(shí),設(shè)函數(shù)y=f(x)及y=g(x)的圖象交于A(Xi，y)8&心區(qū)<xj兩點(diǎn).求證:

x1x2-x2<b<x1x2-x1.

南京市、鹽城市2024屆高三年級(jí)第一次模擬考試

數(shù)學(xué)附加題部分

21.(選修4-1：幾何證明選講)

如圖，已知AB為。。的直徑，直線DE及。。相切于點(diǎn)E,AD垂直DE于點(diǎn)D.若DE=4,

求切點(diǎn)E到直徑AB的距離EF.

22.(選修4-2：矩陣及變換)

已知矩陣MF。］。］,求圓x2+y2=l在矩陣M的變換下所得的曲線方程.

23.(選修4-4：坐標(biāo)系及參數(shù)方程)

在極坐標(biāo)系中，直線pcos(0+$=1及曲線p=r(r>0)相切，求r的值.

24.(選修4-5：不等式選講)

已知實(shí)數(shù)x,y滿意x?+3y2=1,求當(dāng)x+y取最大值時(shí)x的值.

25.如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形，AC及BD交于點(diǎn)O,0P1底面ABCD,點(diǎn)

M為PC中點(diǎn)，AC=4,BD=2,OP=4.

(1)求直線AP及BM所成角的余弦值；

(2)求平面ABM及平面PAC所成銳二面角的余弦值.

26.已知n6N*,nf(n)=C：C；+2C；C：+???+0［乜：+—?+nCn『C：.

(1)求f⑴，f⑵，f(3)的值;

(2)試猜想f(n)的表達(dá)式(用一個(gè)組合數(shù)表示)，并證明你的猜想.

南京市、鹽城市2024屆高三年級(jí)第一次模擬考試答案

一、填空題

1.已知集合人={小8-4)<0},B={0,1,5),則ACB=.

【答案】{1}

【解析】A={x|x(x-4)<0}=(0,4),所以ACB={1}

2.設(shè)復(fù)數(shù)2=2+心6曰為虛數(shù)單位)，若(l+i)-z為純虛數(shù)，則a的值為—.

【答案】1

【解析】因?yàn)?l+i)，z=(1+i)(a+1)=(a-1)+(a+l)i為純虛數(shù)，所以"a=1

3.為調(diào)查某縣小學(xué)六年級(jí)學(xué)生每天用于課外閱讀的時(shí)間，現(xiàn)從該縣小學(xué)六年級(jí)

4000名學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間［50,100］

上，其頻率分布直方圖如圖所示，則估計(jì)該縣小學(xué)六年級(jí)學(xué)生中每天用于閱讀的

時(shí)間在「70,80)(單位：分鐘)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為.

【答案】1200

【解析】4000[1-10(0.035+0.02+0.01+0,005)]=4000x0,3=1200

4.執(zhí)行如圖所示的偽代碼，若x=o,則輸出的y的值為.

【答案】1

【解析】因?yàn)?所以x=0時(shí)/=1

Ie,x<0

5.口袋中有形態(tài)和大小完全相同的4個(gè)球，球的編號(hào)分別為1,2,3,4,若從

袋中一次隨機(jī)摸出2個(gè)球,則摸出的2個(gè)球的編號(hào)之和大于4的概率為.

【答案】：

【解析】從袋中一次隨機(jī)摸出2個(gè)球，共有(L2).(L3),(L4).(2.3),(2,4),(3.4)6種基本

領(lǐng)件，其中摸出的2個(gè)球的編號(hào)之和大于4的事務(wù)為(1,4).(2,3),(2.4).(3.4),四種基

本領(lǐng)件數(shù)，因此概率為:=|學(xué)+科+網(wǎng)???學(xué)+科+網(wǎng)?.?學(xué)+科+網(wǎng)?.?學(xué)+科+網(wǎng).??

學(xué)+科+網(wǎng)...學(xué)+科+網(wǎng)...學(xué)+科+網(wǎng)...學(xué)+科+網(wǎng)...學(xué)+科+網(wǎng)...學(xué)+科+網(wǎng)...

22

6.若拋物線y2=2px的焦點(diǎn)及雙曲線的右焦點(diǎn)重合，則實(shí)數(shù)P的值為.

【答案】6

22

【解析】因?yàn)殡p曲線工一匕=1的右焦點(diǎn)為3。)，所以§=3,p=6

452

7.設(shè)函數(shù)y=ex+=a的值域?yàn)锳,若AU0+8),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

e

【答案】S2]

【解析】因?yàn)檠??>+^-讓2-@,所以A=[2-a,+oo)u。+oo).??2-a>0,a<2

e

8.已知銳角城滿意(tanaTXtanB-l)=2,則a+0的值為.

【答案】y

4

【解析】因?yàn)?tana-l)(tanP-1)=2,所以tana+tanB=tanatanp-1

errtana+tanB

因止匕tan(a+P)=-------------=T

1-tanatanP

II37r

因?yàn)閍+p6(O,7c)---a+P=—

9.若函數(shù)y=smsx在區(qū)間。2無(wú)]上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)°的取值范圍是.

【答案】(小

4

【解析】由題意得3>0,①X€[0,2①兀]U[―方],所以0V2①兀05=0〈①0]

10.設(shè)Sn為等差數(shù)列⑸｝的前n項(xiàng)和，若同｝的前2024項(xiàng)中的奇數(shù)項(xiàng)和為2024,

則S2017的值為.

【答案】4034

【解析】因?yàn)橥那?024項(xiàng)中的奇數(shù)項(xiàng)和為2024,所以

1009

a20i7)=

2(a1+2018%+a2017=4

mu2017

因止匕S2017=--―(ai+@2017)=4034

點(diǎn)睛：在解決等差、等比數(shù)列的運(yùn)算問(wèn)題時(shí)，有兩個(gè)處理思路，一是利用基本量,

將多元問(wèn)題簡(jiǎn)化為一元問(wèn)題,雖有肯定量的運(yùn)算,但思路簡(jiǎn)潔，目標(biāo)明確；二是利

用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、

等比數(shù)列問(wèn)題既快捷又便利的工具，應(yīng)有意識(shí)地去應(yīng)用.但在應(yīng)用性質(zhì)時(shí)要留意

性質(zhì)的前提條件，有時(shí)須要進(jìn)行適當(dāng)變形.在解決等差、等比數(shù)列的運(yùn)算問(wèn)題時(shí),

常常采納“巧用性質(zhì)、整體考慮、削減運(yùn)算量”的方法.

,x(3-x),0<x<3,

11.設(shè)函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，當(dāng)X20時(shí)，f(x)=J+1x>3，若函數(shù)y=f(x)-m有四個(gè)

不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)力的取值范圍是.

【答案】吟

【解析】作圖，由圖可得實(shí)數(shù)力的取值范圍是［1$

點(diǎn)睛：

對(duì)于方程解的個(gè)數(shù)(或函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù))問(wèn)題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)

的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍.從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、

極值；從圖象的對(duì)稱(chēng)性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢(shì)，分析函數(shù)的單

調(diào)性、周期性等.

12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線y=k(x-3我上存在一點(diǎn)P,圓x?+(yT)2=l上存在

一點(diǎn)Q,滿意加=3氏，則實(shí)數(shù)k的最小值為.

【答案】Y

【角率析1設(shè)P(x,y),二二(，+。1)2=1父+(y-3)2=9,

因此［譬W3.一gwkw。，即實(shí)數(shù)k的最小值為一g

Vl+k2

點(diǎn)睛：推斷直線及圓的位置關(guān)系的常見(jiàn)方法

⑴幾何法：利用"及T的關(guān)系.

⑵代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用/推斷.

⑶點(diǎn)及圓的位置關(guān)系法：若直線恒過(guò)定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可推斷直線及圓相交.

13.如圖是蜂巢結(jié)構(gòu)圖的一部分，正六邊形的邊長(zhǎng)均為1,正六邊形的頂點(diǎn)稱(chēng)為

“晶格點(diǎn)”.若A,BCD四點(diǎn)均位于圖中的“晶格點(diǎn)”處，且A,B的位置所圖所示，

則AB-Cb的最大值為.

【答案】24

【解析】先建立直角坐標(biāo)系，由向量投影知AB?CD取最大值時(shí)

C(0,5),D(-&0),A(f,即AB.Cb=(-y-(-后-5)=：+；=24

c

L卜『A

/II

_________一

一甘.

點(diǎn)睛：平面對(duì)量數(shù)量積的類(lèi)型及求法

（1）求平面對(duì)量數(shù)量積有三種方法：一是夾角公式a?6=|a||引cos。；二是坐

標(biāo)公式a-b=x^+y^；三是利用數(shù)量積的幾何意義.

（2）求較困難的平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算時(shí)，可先利用平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算律或

相關(guān)公式進(jìn)行化簡(jiǎn).

14.若不等式ksidB+smAsinO19sinBsinC對(duì)隨意△陽(yáng)（：都成立，則實(shí)數(shù)k的最小值為

【答案】100

Igbc—t\c

［解析】由正弦定理得點(diǎn)+ac>19bck>（^^）

b2max

因此k100,即k的最小值為100

點(diǎn)睛：三角形中最值問(wèn)題，一般轉(zhuǎn)化為條件最值問(wèn)題:先依據(jù)正、余弦定理及三

角形面積公式結(jié)合已知條件敏捷轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，利用基本不等式或函數(shù)

方法求最值.在利用基本不等式求最值時(shí)，要特殊留意“拆、拼、湊”等技巧，

使其滿意基本不等式中“正”（即條件要求中字母為正數(shù)）、“定”（不等式的另

一邊必需為定值）、“等”（等號(hào)取得的條件）的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.

二、解答題

15.如圖所示，在直三棱柱ABC-AiBgi中，CA=CB,點(diǎn)M,N分別是回小品的中點(diǎn).

(1)求證:BN〃平面上MC；

(2)若A]M_LABi，求證：ABjlAjC

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析

【解析】試題分析：(1)先依據(jù)平面幾何學(xué)問(wèn)證明四邊形A3BM是平行四邊形，

得'M//BN.再依據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論(2)先依據(jù)直三棱柱性質(zhì)得AA—CM,

再依據(jù)等腰三角形性質(zhì)得CM_LAB,由線面垂直判定定理得CM1側(cè)面ABB]AI.即得

ABJCM.再由已知AN±ABi,證得AB】_L平面％MC,即得結(jié)論

試題解析：證明：(1)因?yàn)锳BC-AFG是直三棱柱，所以AB//A]Bi，且AB=A[B],

又點(diǎn)M,N分別是AB,A3I的中點(diǎn)，所以MB=AN且MB//A3.

所以四邊形AINBM是平行四邊形，從而A1M//BN.

又BNC平面A]MC,'Mu平面A]MC,所以BN〃面A]MC.

(2)因?yàn)锳BC-AFC是直三棱柱，所以AA11底面ABC,而AAiu側(cè)面陽(yáng)13自，

所以側(cè)面ABB1A11底面ABC.

又CA=CB,且M是AB的中點(diǎn)，所以CM1AB.

則由側(cè)面ABBIA1底面ABC,側(cè)面ABB/i0底面ABC=AB,

CM1AB,且CMu底面ABC,得CMJ■側(cè)面ABB]A].

又ABL側(cè)面ABB]%,所以ABICM.

又AB】IAJM,AjM,MCu平面ApMC,且A]MAMC=M,

所以ABJ平面'MC.

又Agu平面'MC,所以ABJAg.

16.在AABC中，角ABC的對(duì)邊分別為a,b,c,已知c=?b.

（1）若C=2B,求cosB的值；

（2）若Ah-R=ck-&，求cos（B+3的值.

4

【答案】（1）cosB=V（2）H

410

【解析】試題分析：（1）由正弦定理得smC-fsmB.利用二倍角公式化簡(jiǎn)得

cosB^.（2）化簡(jiǎn)向量得a=c.再依據(jù)余弦定理得c°sB=g最終依據(jù)同角三角函數(shù)

關(guān)系以及兩角和余弦公式得cos（B+J）的值.

4

試題解析：解：（1）因?yàn)閏=，b,則由正弦定理，得smC=￡mB.

22

又C=2B,所以sm2B=；smB,即4sinBcosB=^sinB.

又B是AABC的內(nèi)角，所以sinB>0,^cosB=-.

4

（2）因?yàn)榈?為=dk.由,所以cbcosA=bacosC,則由余弦定理,

Wb2+c2-a2=b2+a2-c2>Wa=c-

從而Ra2+c2］八"3,

cosB=---=------------=-

2ac2c25

又0vB〈7t,所以smB=J1-3七='.

>>-r-7C7C兀3企4打也

從ITIJcos（B+一）=cosBcos--sinBsin-=-x---x一=-一.

444525210

17.有一矩形硬紙板材料（厚度忽視不計(jì)），一邊AB長(zhǎng)為6分米，另一邊足夠長(zhǎng).現(xiàn)

從中截取矩形ABCD（如圖甲所示），再剪去圖中陰影部分，用剩下的部分恰好能

折卷成一個(gè)底面是弓形的柱體包裝盒（如圖乙所示，重疊部分忽視不計(jì)），其中

OEMF是以。為圓心、ZEOF=120。的扇形，且弧政,初分別及邊BC,AD相切于點(diǎn)M,N.

（1）當(dāng)BE長(zhǎng)為1分米時(shí)，求折卷成的包裝盒的容積；

（2）當(dāng)BE的長(zhǎng)是多少分米時(shí)，折卷成的包裝盒的容積最大？

【答案】（1）當(dāng)BE長(zhǎng)為1分米時(shí)，折卷成的包裝盒的容積為巧-43立方分米.（2）

當(dāng)BE的長(zhǎng)為2分米時(shí)，折卷成的包裝盒的容積最大

【解析】試題分析：(1)先依據(jù)扇形面積減去三角形面積得弓形面積，即為柱體

底面積，再依據(jù)柱體體積公式求體積(2)同(1)先計(jì)算底面積，再表示高，代

入柱體體積公式得容積函數(shù)關(guān)系式，最終利用導(dǎo)數(shù)求最值

試題解析：解：(1)在圖甲中，連接交EF于點(diǎn)T.設(shè)OE=OF=OM=R,

在RtAOET中，因?yàn)?EOT=JEQF=60。，所以01=萬(wàn)，貝(JMT=0M-0T=萬(wàn).

_R

從而B(niǎo)E=MT=5，即R=2BE=2.

故所得柱體的底面積s=S扇形OEF-SAOEF

又所得柱體的高EG=4,

所以V=SxEG=*-4后

答：當(dāng)BE長(zhǎng)為1分米時(shí)，折卷成的包裝盒的容積為子-4g立方分米.

(2)設(shè)BE=x,則R=2x,所以所得柱體的底面積

又所得柱體的高EG=6-2x,

所以V=SXEG=(^--2^X-X+3X),其中0<X<3.

令f(x)=?x3+3X2,X6(0,3)>貝!J由f'(x)=-3x2+6x=-3x(x-2)=0,

解得x=2.

列表如下：

X(0,2)2(2,3)

f'(x)+0—

f(x)增極大值減

所以當(dāng)x=2時(shí)，f(x)取得最大值.

答：當(dāng)BE的長(zhǎng)為2分米時(shí)，折卷成的包裝盒的容積最大.

22

18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓吟+]=l(a>b>0)的下頂點(diǎn)為B,點(diǎn)M,N是

a2b2

橢圓上異于點(diǎn)B的動(dòng)點(diǎn)，直線BMBN分別及x軸交于點(diǎn)PQ且點(diǎn)Q是線段OP的中點(diǎn).當(dāng)

點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)市J)處時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(fo).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線MN交y軸于點(diǎn)D,當(dāng)點(diǎn)M,N均在y軸右側(cè)，且向=2點(diǎn)1時(shí)，求直線BM的方

程.

【答案】(1)￡+匕1(2)y*x-g

432

【解析】試題分析：(1)先求直線NQ的方程，即得B坐標(biāo)，有b?=3；再將N坐標(biāo)

代入橢圓方程解得a(2)設(shè)直線BM的斜率為k,解得P點(diǎn)坐標(biāo)，依據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公

式得Q,利用直線方程及橢圓方程聯(lián)立方程組解得M,N,依據(jù)橫坐標(biāo)之間比例關(guān)

系求k,即得直線BM的方程.

試題解析：解：⑴由N(由$,Q(汨))，得直線NQ的方程為y—x一技

令x=0,得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,-我.

22

所以橢圓的方程為三+>1.

3

將點(diǎn)N的坐標(biāo)(后F)代入，得(我2解得a2=4.

7-----1-------1

2Q

aJ

22

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為工+匕=I.

43

(2)方法一：設(shè)直線BM的斜率為k(k>0),則直線BM的方程為丫=入一由.

在丫=依-由中，令y=0,得Xp=￡,而點(diǎn)Q是線段OP的中點(diǎn)，所以XQ=2

ky2k

所以直線BN的斜率kBN=kBQ=飛一=2k.

--0

2k

(y=kx-小康

聯(lián)立一/消去y,得(3+41?)x2-8由kx=0,解得XM=——

(—4+—3=]3+4kK'

用2k代k,得XN=」^.

3+16k

又血=2瓜I,所以XN=2(XM-XN),得2XM=3XN.

故2、手=3“上已，又k>0,解得k*.

3+4k~3+16k2

所以直線BM的方程為y=?一書(shū).

方法二：設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為區(qū)必）,儀2?2）.

v,+J3

由BQ-我，得直線BN的方程為丫=---x-8令y=o,得Xp=

xiYI+A/3

同理，得XQ=

Y2+

,,技12技2

而點(diǎn)Q是線段OP的中點(diǎn)，所以XP=2XQ,故

4

-42

又瘋=2而血所以X2=2（X「X2）,得X2=/>0,從而13

YI+A/3y2+小

4+0.

解得丫2=/

3

2

x2=2(4y「回

將代入到橢圓C的方程中,得。----------=1?

4+自927

3

2

2Yi

又x「=4(l-f，所以K-7(4y1+W，即由y「+2yi-g=0,

--------+----------=1

927

解得廠-小（舍）或外二?又所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（三31）.

故直線BM的方程為y=，x-技

19.設(shè)數(shù)歹Ua｝滿意3n2=%+1%_]+32飛1)2,其中n》2,且n6N,入為常數(shù).

(1)若同｝是等差數(shù)列，且公差叼。，求入的值；

(2)若電=1亞=2聲3=4,且存在r€[3,7],使得m?aRn-r對(duì)隨意的nCN*都成立，求m的

最小值；

(3)若H0,且數(shù)列聞｝不是常數(shù)列,假如存在正整數(shù)T,使得%+T=%對(duì)隨意的neN.

均成立.求全部滿意條件的數(shù)列E｝中T的最小值.

【答案】⑴X=1(2)點(diǎn)(3)3

12o

【解析】試題分析：(1)利用等差數(shù)列定義將條件轉(zhuǎn)化為公差關(guān)系，解方程可得

珀勺值；(2)先求犯勺值；即得數(shù)列為等比數(shù)列，分別變量將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)

n_7

化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問(wèn)題：皿然而飛”…，即最大值，再依據(jù)數(shù)列

2

n-7

單調(diào)性確定b「二最大值，即得m的最小值；(3)本題由于求周期最小值，可以從

2

小逐個(gè)驗(yàn)證即可：T=1為常數(shù)列，舍去；T=2時(shí)，可推得a2=a]，舍去；T=3時(shí)，可

取一個(gè)數(shù)列滿意條件.

試題解析：解：(1)由題意,可得/2=&+(1)(8n-8+入dz,

化簡(jiǎn)得(入-1月2=0,又d#0,所以入=1.

(2)將電=1%=2聲3=4代入條件，可得4=1)<4+入，解得九=0,

所以％2=%+退…，所以數(shù)列同｝是首項(xiàng)為1,公比q=2的等比數(shù)列，所以V2Z

欲存在r6[3,7],使得m?2n-i>n-r,即r》n-m?2“”對(duì)隨意n6N*都成立，

_n-7

則7》n-m-2n-1j所以對(duì)隨意nWN*都成立.

2

An-7in-6n-78-n

令b「迎，貝啊-「味=交彳，

所以當(dāng)n>8時(shí)，bn+1<bn；當(dāng)n=8時(shí),b9=b8；當(dāng)n<8時(shí),bn+1>bn.

所以說(shuō)的最大值為bg=bg=上，所以m的最小值為上.

(3)因?yàn)閿?shù)列｛%｝不是常數(shù)列，所以T》2.

①若T=2,則%+2=%恒成立,從而為=電,a4=a2,所以生工十華之2,

阿=a2+A(a2-a,

所以Ma?一町2=0,又將。，所以a?：”,可得同｝是常數(shù)列.沖突.

所以T=2不合題意.

/1,n=3k-2_、

②若T=3,取a「2,n=3k-l(k￡N*)(*),滿意%+3=%恒成立.

｛-3,n=3k

2

由a2=+X(a2-a1)？，得九=7.

則條件式變?yōu)??2=&?+國(guó)1.1+7.

由2?=1x(-3)+7,知a3k.i2=&3k_2a3k+Ka2-ai)25

由(-3)2=2x1+7,知a3k=a3k-e3k+1+入⑸-ai)?

由儼=(-3)乂2+7,知@3k+J=a3ka3k+2+九⑶-a1)?.

所以，數(shù)列(*)適合題意.

所以T的最小值為3.

b

20.設(shè)函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=axHc(a,b,cGR).

x

(1)當(dāng)c=O時(shí)，若函數(shù)f(x)及g(x)的圖象在x=l處有相同的切線，求a,b的值；

(2)當(dāng)b=3-a時(shí),若對(duì)隨意同6(1，+8)和隨意a6Q3),總存在不相等的正實(shí)數(shù)口2,使

得g(x)=g(x2)=f(xj,求c的最小值；

(3)當(dāng)a=l時(shí)，設(shè)函數(shù)y=f(x)及y=g(x)的圖象交于A(X],y)8幽2必網(wǎng)<X》兩點(diǎn).求證:

x1x2-x2<b<x1x2-x1.

_1

【答案】(1)a：(2)3(3)見(jiàn)解析

b=-2

【解析】試題分析：(1)由導(dǎo)數(shù)幾何意義可得g(l)=f'(i)=l,又f(D=g(D,解方程組

可得a,b的值；(2)先轉(zhuǎn)化條件為對(duì)應(yīng)方程有兩個(gè)不等實(shí)根，再依據(jù)實(shí)根分布充要

條件列不等式組，解得c的最小值；(3)先依據(jù)零點(diǎn)表示b,代入要證不等式化簡(jiǎn)

XiX9Xo1

得1一一<1￡<二一1.再構(gòu)造函數(shù)澳)=1理+!一1,以及m(t)=lnt-t+l,結(jié)合導(dǎo)數(shù)探討其單調(diào)

X2XiX]t

性，即證得結(jié)論

試題解析：解：(1)由f(x)=lnx,得f(l)=O,又f'(x)='所以f'⑴=1,.

X

b?b

當(dāng)c=0時(shí)，g(x)=ax+-,所以g'(x)=a-；,所以g、l)=a-b.

xX

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)及g(x)的圖象在X=1處有相同的切線，

1

a=-

所以混嘲,即｛2

筮I,解得1,

b=--

2

(2)當(dāng)X0>1時(shí)，則f(Xo)>O,又b=3-a,設(shè)t=f(XQ),

則題意可轉(zhuǎn)化為方程ax+--c=t(t>0)在(0,+8)上有相異兩實(shí)根XZ2.

X

即關(guān)于X的方程ax?-(c+t)x+(3-a)=0(t>0)在(。,+⑹上有相異兩實(shí)根向名.

0<a<3

A=(c+1)2-4a(3-a)>0

c+1/0<a<3

所以，X]+X2=-------->0，得|(c+1)2>4a(3-a)，

a(c+t>0

3-a

xix2=-------->0

a

所以c>2ja(3-a)-1對(duì)te(0,+s),aG(0,3)恒成立.

因?yàn)?〈a<3,所以2.(心-”2.六；一%;3(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))，

又-t<0,所以2「心的取值范圍是(-匕3),所以c》3.

故c的最小值為3.

(3)當(dāng)a=l時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)及g(x)的圖象交于AB兩點(diǎn)，

b

nxX1+C

11ix-lnx2-Inx1

所以下，兩式相減，得b=X|X2(l-1—').

xx

|lnx2=x2+--c2~i

\X2

lnx2-InX]

XXX<b<XX

要證明12-212_Xi,BP證X/2-X2<X1X2(1-----------)<X/2-,

X2-X1~

1lnx0-lux11x,x0x0

即證L」―-<1,即證i-vln-

X2X2-X1X1x2X1X1

?X).1

令一=t,則t>l,此時(shí)即證1--〈Intvt-1.

X1t

令(p(t)=lnt+Li,所以(p'(t)=：-：==>0,所以當(dāng)t>l時(shí)，函數(shù)甲(t)單調(diào)遞增.

t1tf

又隼(1)=0,所以甲(t)=lnt+--1>0,即1」vlnt成立；

再令m(t)=lnt-t+l,所以m(t)=：l=?<0,所以當(dāng)t>l時(shí)，函數(shù)m(t)單調(diào)遞減，

又m⑴=0,所以m(t)=Int-1+1<0,即也成立.

綜上所述，實(shí)數(shù)X/2滿意XiX2-X2〈b<XiX2-Xi.

點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略(1)構(gòu)造差函數(shù)Mx)=f(x)-g(x).依據(jù)

差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進(jìn)而證明不

等式.(2)依據(jù)條件，找尋目標(biāo)函數(shù).一般思路為利用條件將求和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)

應(yīng)項(xiàng)之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).

南京市、鹽城市2024屆高三年級(jí)第一次模擬考試

數(shù)學(xué)附加題部分

21.(選修4T：幾何證明選講)

如圖，已知AB為的直徑，直線DE及。。相切于點(diǎn)E,AD垂直DE于點(diǎn)D.若DE=4,

求切點(diǎn)E到直徑AB的距離EF.

【答案】4

【解析】試題分析：依據(jù)條件證明三角形全等：AADEWAAFE,即得切點(diǎn)E到直徑AB

的距離EF

試題解析：解：如圖，連接AE,0E,

因?yàn)橹本€DE及。。相切于點(diǎn)E,所以DE_LOE,

又因?yàn)锳D垂直DE于D,所以AD//OE,所以NDAE=ZOEA,①

在。0中OE=OA,所以ZOEA=NOAE,②

由①②得NDAE=ZOAE,即NDAE=ZFAE,

又NADE=ZAFE,AE=AE,

所以AADEmAAFE,所以DE=FE,又DE=4,所以FE=4,

即E到直徑AB的距離為4.

22.（選修4-2：矩陣及變換）

已知矩陣M=[20]0],求圓x2+y2=i在矩陣M的變換下所得的曲線方程.

2

【答案】土+y2=l

4

【解析】試題分析：依據(jù)矩陣運(yùn)算得對(duì)于點(diǎn)之間關(guān)系，再代入已知?jiǎng)狱c(diǎn)軌跡，

化簡(jiǎn)可得在矩陣M的變換下所得的曲線方程

試題解析：解：設(shè)P（x°,y。）是圓x2+y2=l上隨意一點(diǎn),則《+浸1，

設(shè)點(diǎn)P（x°，y。）在矩陣M對(duì)應(yīng)的變換下所得的點(diǎn)為Q（x,y）,則中劇必

即匕二￥，解得卜°二3，

"y。|y°=y

2

代入<+y：=l,得上+y2=l,即為所求的曲線方程.

4

23.（選修4-4：坐標(biāo)系及參數(shù)方程）

在極坐標(biāo)系中，直線pcos（9+1）=1及曲線p=r（r>0）相切，求r的值.

【答案】r=l

【解析】試題分析：先依據(jù)Pcos0=x,psme=y將直線及曲線極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)

方程，再依據(jù)直線及圓相切得d=l,解得r的值.

試題解析：解：以極點(diǎn)。為原點(diǎn)，極軸。x為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，

[兀/兀兀

田pcos(0+-)=1,^jp(cos0cos--sinOsin-)=1,

得直線的直角坐標(biāo)方程為X-揚(yáng)-2=0.

曲線P=r,即圓x2+y2=J,

所以圓心到直線的距離為dJo-gfLi.

J1+3

因?yàn)橹本€pcos(0+；)=1及曲線p=r(r>0)相切，所以r=d,即r=l.

點(diǎn)睛：(1)直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程，只要運(yùn)用公式x=pcosO&y=psin9干脆代入

并化簡(jiǎn)即可；(2)極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程時(shí)常通過(guò)變形，構(gòu)造形如

pc°s0,psme,p2的形式，進(jìn)行整體代換.其中方程的兩邊同乘以(或同除以)P及方程兩邊

平方是常用的變形方法.但對(duì)方程進(jìn)行變形時(shí)，方程必需同解，因此應(yīng)留意對(duì)變

形過(guò)程的檢驗(yàn).

24.(選修4-5：不等式選講)

已知實(shí)數(shù)x,y滿意x?+3y2=1,求當(dāng)x+y取最大值時(shí)x的值.

【答案】x=g

2

【解析】試題分析：依據(jù)柯西不等式，得穴+(揚(yáng)溝12+個(gè))/,乂1+亞*：)2,化簡(jiǎn)

可得x+y取最大值時(shí)x的值

試題解析：解：由柯西不等式，得m+(四向F+(f)2]“xxl+祇yx$2,

即g(x2+3y2)‘(x+y)2.

而x?+3y2=l,所以(x+y)*,,所以-，而Wx+yW,由，

'—X=揚(yáng)Eu

由，T，得;所以當(dāng)且僅當(dāng)X=fy=:時(shí)，（x+y）max=Q.

x+y=QI6

所以當(dāng)x+y取最大值時(shí)x的值為x=f.

點(diǎn)睛:柯西不等式的一般形式:設(shè)電外…招出尾…可為實(shí)數(shù)，則

（a；+a介…+aj面+b介…+b；）之⑶瓦+a2b2+-+當(dāng)且僅當(dāng)4=?；虼嬖谝粋€(gè)數(shù)k,使

牛=岫（1=1,2,…,n）時(shí)，等號(hào)成立.

25.如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形，AC及BD交于點(diǎn)O,0P1底面ABCD,點(diǎn)

M為PC中點(diǎn)，AC=4,BD=2,OP=4.

（1）求直線AP及BM所成角的余弦值；

（2）求平面ABM及平面PAC所成銳二面角的余弦值.

【答案】（1）霆（2）薪

【解析】試題分析：（1）先依據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，表示

直線方向向量，依據(jù)向量數(shù)量積求向量夾角，最終依據(jù)線線角及向量夾角關(guān)系得

結(jié)果（2）先依據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，依據(jù)方程組解出各

面法向量，依據(jù)向量數(shù)量積求法向量夾角，最終依據(jù)二面角及向量夾角關(guān)系得結(jié)

果

試題解析：解：(1)因?yàn)锳BCD是菱形，所以AC1BD.又OPJ■底面ABCD,以。為原點(diǎn),

直線OAQBQP分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

則A(2,0,0),B(0,l,0),P(0,0,4),C(-2,0.0),M(-1,0,2).

所以庭=(-2,0,4),BM=(-1,-1,2),AP-BM=10,

--AP-BM10回

貝(Jcos<AP,BM>=———=i—=——.

|AP||BM|2j5x46F6

故直線AP及BM所成角的余弦值為

6

(2)AB=(-2,l,0),BM=(-1,-1,2).

設(shè)平面ABM的一個(gè)法向量為n=(xyz),

言，得令x=2,得尸4,z=3.

得平面ABM的一個(gè)法向量為n=(2,4,3).

又平面PAC的一個(gè)法向量為Oh=(0,1,0),所以n?加=4,而=插，|而=1.

rrt.r44