27.2.4 相似三角形的應用列舉 基礎(chǔ)訓練（解析版）

27.2.4相似三角形的應用列舉基礎(chǔ)訓練一、單選題：1．如圖，放映幻燈片時，通過光源，把幻燈片上的圖形放大到屏幕上．若光源到幻燈片的距離為光源，到屏幕的距離為，且幻燈片中圖形的高度為，則屏幕上圖形的高度為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，先證明，再根據(jù)“相似三角形對應邊上的高的比等于相似比”求出的長即可．【詳解】解：如圖，由題意得，，，光源到幻燈片的距離為光源，到屏幕的距離為，點A到的垂線段的長為，點A到的垂線段的長為，，，故選：C．【點睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握并運用“相似三角形對應邊上的高的比等于相似比”是解答此題的關(guān)鍵．2．如圖，小明在A時測得某樹的影長為，B時又測得該樹的影長為，若兩次日照的光線互相垂直，則樹的高度為（）．A． B． C．6 D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，畫出示意圖，易得，進而可得，即，代入數(shù)據(jù)可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，作，樹高為，且；∵，∴，又，∴，∴，即，解得（負值舍去）．故選：B．【點睛】本題考查的是相似三角形的應用，熟知相似三角形的對應邊成比例是解答此題的關(guān)鍵．3．如圖，身高為的小明想測量一下操場邊大樹的高度，他沿著樹影由B到A走去，當走到C點時，他的影子頂端正好與樹的影子頂端重合，測得，，于是得出樹的高度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出的長度，然后根據(jù)相似三角形對應邊成比例列出比例式求解即可．【詳解】解：如圖，∵，，∴，∵小明與大樹都與地面垂直，∴，∴，即，解得，故選：B．【點睛】本題考查了相似三角形的應用，判斷出相似三角形，利用相似三角形對應邊成比例列出比例式是解題的關(guān)鍵．4．如圖，小明間學用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上，已知紙板的兩條直角邊，，測得邊DF高地面的高度，，則樹高AB長（

）A．6.6m B．36m C．20.6m D．21.6m【答案】A【分析】先判定和相似，然后根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求出的長，再加上即可得解．【詳解】解：，，即，解得：，m，m，（m），即樹高6.6m.故選：A．【點睛】本題考查了相似三角形的應用，主要利用了相似三角形對應邊成比例的性質(zhì)，比較簡單，判定出和相似是解題的關(guān)鍵．5．如圖是某數(shù)學興趣小組設(shè)計用手電筒來測量某古城墻高度的示意圖，在點P處放一水平的平面鏡，光線從點A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好射到古城墻CD的頂端C處，CD⊥BD，且測得AB＝4m，BP=6m，PD＝12m，那么該古城墻CD的高度是（）A．8m B．9m C．16m D．18m【答案】A【分析】根據(jù)反射的性質(zhì)可得∠APE=∠CPE，則有∠APB=∠CPD，從而可得△ABP∽△CDP，由相似三角形的性質(zhì)即可求得CD的長．【詳解】如圖，根據(jù)反射的性質(zhì)可得∠APE=∠CPE∵EP⊥BD∴∠APB=∠CPD∵AB⊥BD，CD⊥BD∴∠ABP=∠CDP=90°∴△ABP∽△CDP∴∴故選：A【點睛】本題考查了相似三角形在測高中的實際應用，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)、軸對稱中光的反射問題是關(guān)鍵．6．《九章算術(shù)》中記載了一種測量古井水面以上部分深度的方法．如圖所示，在井口處立一根垂直于井口的木桿，從木桿的頂端處觀察井水水岸處，視線與井口的直徑交于點，如果測得米，米，米，那么的長為（

）A．2米 B．3米 C．米 D．米【答案】B【分析】由已知可知CD與AB平行，所以可利用解決．【詳解】解：（米），∴AB∥DC．（米）．故選：B．【點睛】本題考查了相似三角形的應用的知識點，熟知相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的基礎(chǔ)；善于從實際問題中發(fā)現(xiàn)問題、解決問題是關(guān)鍵．7．我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中記載了一個問題：“今有邑方不知大小，各開中門，出北門三十步有木，出西門七百五十步見木，問：邑方幾何？”其大意是：如圖，一座正方形城池，A為北門中點從點A往正北方向走30步到B處有一樹木，C為西門中點，從點C往正西方向走750步到D處正好看到B處的樹木，則正方形城池的邊長為（）步．A．100 B．150 C．200 D．300【答案】D【分析】設(shè)正方形城池的邊長為x步，則，證明，利用相似比求出x即可．【詳解】解：設(shè)正方形城池的邊長為x步，則，∵，∴，∴，∴，即，∴或（舍去），即正方形城池的邊長為300步．故選：D．【點睛】本題主要考查了相似三角形的應用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建三角形相似，利用相似比計算對應的線段長．8．某天小明和小亮去某影視基地游玩，當小明給站在城樓上的小亮照相時，發(fā)現(xiàn)他自己的眼睛、涼亭頂端、小亮頭頂三點恰好在一條直線上（如圖）．已知小明的眼睛離地面的距離為1.6米，涼亭頂端離地面的距離為1.9米，小明到?jīng)鐾さ木嚯x為2米，涼亭離城樓底部的距離為38米，小亮身高為1.7米．那么城樓的高度為（

）A．7.6米 B．5.9米 C．6米 D．4.3米【答案】B【分析】根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，繼而利用相似三角形的判定與性質(zhì)解答．【詳解】解：過點A作于點M，交CD于點N，由題意得，AN=2，CN=1.9-1.6=0.3，MN=38，（米）故選：B．【點睛】本題考查相似三角形的應用，是重要考點，構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．二、填空題：9．如圖，鐵道口的欄桿短臂長為1米，長臂長為16米．當短臂端點下降0.5米時，長臂端點升高_______________米．【答案】8【分析】首先根據(jù)，，可得，進而可得，再代入相應數(shù)據(jù)可得長．【詳解】解：如圖，，，，∴，由題意可知，米，米，米，∴，∴米．答：長臂端點應升高了8米．故答案為：8．【點睛】此題主要考查了相似三角形的應用，關(guān)鍵是掌握相似三角形對應邊成比例．10．如圖，長梯斜靠在墻壁上，梯腳距離墻米，梯上點距離墻米，的長為米，則梯子的長為______米．【答案】####【分析】由可得到，進而利用相似三角形的對應邊成比例可得到梯子的長；【詳解】∵，，∴，∴，∴，∴，解得：；故答案是：．【點睛】本題主要考查了相似三角形的應用，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．11．《九章算術(shù)》中記載了一種測量井深的方法．如圖，在井口B處立一根垂直于井口的木桿BD，從木桿的頂端D觀察井水水岸C，視線DC與井口的直徑AB交于點E，如果測得米，米、米，那么______米．【答案】7.8【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，∴BD//AC，∴△ACE∽△BDE，∴，∴，∴AC=7.8(米)，故答案為：7.8．【點睛】本題考查了相似三角形的應用，正確的識別圖形，掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解決此類題的關(guān)鍵．12．如圖，數(shù)學興趣小組下午測得一根長為1m的竹竿影長是0.8m，同一時刻測量樹高時發(fā)現(xiàn)樹的影子有一部分落在教學樓的墻壁上，測得留在墻壁上的影高為1.2m，地面上的影長為2.6m，請你幫算一下，樹高是______m．【答案】4.45【分析】在同一時刻任何物體的高與其影子的比值是相同的，所以竹竿的高與其影子的比值和樹高與其影子的比值相同，利用這個結(jié)論可以求出樹高．【詳解】解：如圖，設(shè)BD是BC在地面的影子，樹高為x，根據(jù)竹竿的高與其影子的比值和樹高與其影子的比值相同得，則，解得：BD＝0.96，∴樹在地面的實際影子長是0.96＋2.6＝3.56（m），再竹竿的高與其影子的比值和樹高與其影子的比值相同得：，∴解得：x＝4.45，∴樹高是4.45m．故答案為：4.45．【點睛】此題主要考查了相似三角形的應用，解題的關(guān)鍵要知道竹竿的高與其影子的比值和樹高與其影子的比值相同．13．如圖，已知三角形鐵皮的邊，邊上的高，要剪出一個正方形鐵片，使、在上，、分別在、上，則正方形的邊長________．【答案】【分析】設(shè)AM交GF于H點，然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖，設(shè)高AM交GF于H點，∵四邊形DEFG為正方形，∴GF∥DE，即：GF∥BC，∴AH⊥GF，△AGF∽△ABC，∴，設(shè)正方形的邊長為，∴，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，理解相似三角形的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．14．如圖，路燈距地面，身高的小明從點處沿所在的直線行走到點時，人影長度變短______．【答案】【分析】小明在不同的位置時，均可構(gòu)成兩個相似三角形，可利用相似比求人影長度的變化．【詳解】解：設(shè)小明在A處時影長為x，AO長為a，B處時影長為y．∵AC∥OP，BD∥OP，∴△ACM∽△OPM，△BDN∽△OPN，∴，，則，∴x＝a；，∴y＝a?3.5，∴x?y＝3.5，故變短了3.5米．故答案為：．【點睛】此題考查相似三角形對應邊成比例，應注意題中三角形的變化．三、解答題：15．小明將一圓柱形器皿放置在水平桌面上，AD為該器皿底面圓的直徑，且AD＝3，CD＝4，在距離水平桌面為6處有一點光源P（垂直于水平桌面，且＝6），圓柱形器皿在點光源P下的投影如圖所示，點D的投影剛好位于器皿底與器皿壁的交界處，即點B處，點A的投影為點．已知點、B，C，在同一條直線上，求圓柱形器皿在桌面上的投影的長．【答案】圓柱形器皿在桌面上的投影的長為9【分析】由題意得，再根據(jù)對應邊之比等于對應邊高上的比進行求解得出，代入數(shù)據(jù)即可求解出結(jié)果．【詳解】解：由題意，則．由相似三角形對應邊上的高的比等于相似比，得，即．∴．答：圓柱形器皿在桌面上的投影的長為9【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題是解題的關(guān)鍵．16．周末，數(shù)學實踐小組的同學帶著測量工具測量銀川北塔湖邊北塔的高度．測量方案如下：首先，在處豎立一根高的標桿，發(fā)現(xiàn)地面上的點、標桿頂端與寶塔頂端在一條直線上，測得；然后，移開標桿，在處放置測角儀，調(diào)整測角儀的高度，當測角儀高為時，恰好測得點的仰角為，已知，，點在一條直線上，點在一條直線上，求北塔的高．【答案】北塔的高為【分析】過點作于點，根據(jù)已知條件推出，得到，即可求得．【詳解】解：過點作于點，則四邊形是矩形，∴，，∵，∴．∴，，，∴，∴，即，∴∴北塔的高為．【點睛】本題主要考查相似三角形的應用，證明是解決本題的關(guān)鍵．17．如圖所示：筆直的公路邊有甲、乙兩棟樓房，高度分別為和，兩樓之間的距離為，現(xiàn)有一人沿著公路向這兩棟樓房前進，當他走到與甲樓的水平距離為且筆直站立時（這種姿勢下眼睛到地面的距離為），他所看到的乙樓上面的部分有多高？【答案】【分析】作，交于M，如圖，把題中數(shù)據(jù)與幾何圖中的線段對應起來，,點A、E、C共線，則，，然后證明，利用相似比計算出，再計算進行計算．【詳解】解：作，交于M，如圖，，點A、E、C共線，則，，∵，∴，∴，即，∴，∴，即他所看到的乙樓上面的部分有7.8m高.【點睛】本題考查了視點、視角和盲區(qū)：把觀察者所處的位置定為一點，叫視點；人眼到視平面的距離視固定的（視距），視平面左右兩個邊緣到人眼的連線得到的角度就是視角．視線到達不了的區(qū)域為盲區(qū)．合理使用相似的知識解決問題．18．為了加快城市發(fā)展，保障市民出行方便，某市在流經(jīng)該市的河流上架起一座橋，連通南北，鋪就城市繁榮之路．小明和小穎想通過自己所學的數(shù)學知識計算該橋AF的長．如圖，該橋兩側(cè)河岸平行，他們在河的對岸選定一個目標作為點A，再在河岸的這一邊選出點B和點C，分別在AB、AC的延長線上取點D、E，使得DEBC．經(jīng)測量，BC＝120米，DE＝210米，且點E到河岸BC的距離為60米．已知AF⊥BC于點F，請你根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，幫助他們計算橋AF的長度．【答案】橋AF的長度為80米．【分析】過E作EG⊥BC于G，依據(jù)△ABC∽△ADE，即可得出，依據(jù)△ACF∽△ECG，即可得到，進而得出AF的長．【詳解】解：如圖所示，過E作EG⊥BC于G，∵DEBC，∴△ABC∽△ADE，∴＝，∴，∵AF⊥BC，EG⊥BC，∴AFEG，∴△ACF∽△ECG，∴，即，解得AF=80，∴橋AF的長度為80米．【點睛】本題主要考查了利用相似測量河的寬度（測量距離）．測量不能直接到達的兩點間的距離，常常構(gòu)造“A”型或“X”型相似圖，三點應在一條直線上．必須保證在一條直線上，為了使問題簡便，盡量構(gòu)造直角三角形．方法是通過測量易于測量的線段，利用三角形相似，對應邊成比例可求出河的寬度．19．如圖，王海同學為了測量校園內(nèi)一棵大樹的高度，他走到了校園的圍墻外（如圖所示），然后他沿著過點F與墻垂直的直線從遠處向圍