江蘇省南京市、鹽城市2024屆高三數(shù)學(xué)一模試題(含解析)蘇教版

2024年江蘇省南京市、鹽城市高考數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，計(jì)70分.不需寫出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案寫在

答題紙的指定位置上.

1.（5分）（2024?鹽城一模）已知集合U={-1,0,1,2},A={-1,1},則（屈={0,2}.

考補(bǔ)集及其運(yùn)算.

點(diǎn)：

專計(jì)算題.

題：

分干脆利用補(bǔ)集的概念進(jìn)行運(yùn)算.

析：

解解：由［＞{-1,0,1,2},A={-1,1},

答：所以CuA={0,2}.

故答案為{0,2}.

點(diǎn)本題考查了補(bǔ)集的概念及運(yùn)算，是基礎(chǔ)的會(huì)考題型.

評(píng)：

2.（5分）（2024?鹽城一模）復(fù)數(shù)（1-2i）2的共輾復(fù)數(shù)是-3+4i.

考復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算；復(fù)數(shù)的基本概念.

點(diǎn):

專計(jì)算題.

題：

分先利用兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法法則求得Z,再依據(jù)共軌復(fù)數(shù)的定義求得它的共朝復(fù)

析：數(shù).

解解：：復(fù)數(shù)（1-21）2=1-41+41=-3-41,故復(fù)數(shù)（1-21）2的共輾復(fù)數(shù)是-3+41,

答：故答案為-3+4i.

點(diǎn)本題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念，兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法，虛數(shù)單位i的幕運(yùn)算性

評(píng)：質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

3.（5分）（2024?鹽城一模）已知某人連續(xù)5次投擲飛鏢的環(huán)數(shù)分別是8,9,10,10,8,

則該組數(shù)據(jù)的方差s2=0.8.

考極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差.

點(diǎn)：

專計(jì)算題.

題：

分先計(jì)算數(shù)據(jù)的平均數(shù)，然后利用方差公式干脆計(jì)算即可.

析：

解解：8,9,10,10,8的平均分為9

o：.?.該組數(shù)據(jù)的方差s2=l[(8-9)2+(9-9)2+(10-9)2+(10-9)2+(8-9)1=生0.8

55

故答案為：0.8

點(diǎn)本題主要考查了方差公式，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用方差公式，同時(shí)考查了計(jì)算實(shí)

評(píng)：力，屬于基礎(chǔ)題.

4.(5分)(2024?鹽城一模)袋中裝有2個(gè)紅球，2個(gè)白球，除顏色外其余均相同，現(xiàn)從中

隨意摸出2個(gè)小球，則摸出的兩球顏色不同的概率為2.

一3一

考排列、組合及簡(jiǎn)潔計(jì)數(shù)問(wèn)題；古典概型及其概率計(jì)算公式.

點(diǎn):

專概率與統(tǒng)計(jì).

題:

分依據(jù)組合數(shù)得出全部狀況數(shù)及兩個(gè)球顏色不相同的狀況數(shù)，讓兩個(gè)球顏色不相同的

析:狀況數(shù)除以總狀況數(shù)即為所求的概率.

解解：從袋中隨意地同時(shí)摸出兩個(gè)球共種狀況，其中有c戈尹狀況是兩個(gè)球顏

答:

色不相同；

r1「1

故其概率是一^，一=織=2

463

故答案為：2

3

點(diǎn)此題考查概率的求法：假如一個(gè)事務(wù)有n種可能，而且這些事務(wù)的可能性相同，其中

評(píng):事務(wù)A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事務(wù)A的概率P(A)=工.

n

5.(5分)(2024?鹽城一模)在等差數(shù)列｛aj中，若a3+a5+a7=9,則其前9項(xiàng)和Sg的值為27.

考等差數(shù)列的性質(zhì)；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.

點(diǎn):

專等差數(shù)列與等比數(shù)列.

題：

分9(a+)

析：由條件可得3a5=9,由此可得as的值，再依據(jù)前9項(xiàng)和S,一：&9.=9a5求得結(jié)

2

果.

解解：在等差數(shù)列｛aj中，若@3+期+@7=9,故有3a5=9,a5=3.

口.9(a+a)

貝U其前9項(xiàng)和S9=------1--q-=9a5=27,

2

故答案為27.

點(diǎn)本題主要考查等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬于中檔

評(píng)：題.

"3x-y-6<0

6.(5分)(2024?鹽城一模)設(shè)x,y滿意約束條件,x-yf2>0,則目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y

x>0,y>0

的最大值為26

考簡(jiǎn)潔線性規(guī)劃.

點(diǎn)：

專計(jì)算題；不等式的解法及應(yīng)用.

題：

分作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的AABC及其內(nèi)部，再將目標(biāo)函數(shù)

析：z=2x+3y對(duì)應(yīng)的直線進(jìn)行平移，可得當(dāng)x=4,y=6時(shí)，z=2x+3y取得最大值26.

解f3x-y-6<0

受

口：解：作出不等式組x-y+2>0表示的平面區(qū)域，

x>0,y>0

得到如圖的4ABC及其內(nèi)部，

其中A(2,0),B(4,6),C(0,2),0為坐標(biāo)原點(diǎn)

設(shè)z=F(x,y)=2x+3y,將直線1：z=2x+3y進(jìn)行平移，

當(dāng)1經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最大值

，z最大值=F(4,6)=26

故答案為：26

點(diǎn)本題給出二元一次不等式組，求目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y的最大值，著重考查了二元一次不

評(píng)：等式組表示的平面區(qū)域和簡(jiǎn)潔的線性規(guī)劃等學(xué)問(wèn)，屬于基礎(chǔ)題.

7.(5分)(2024?鹽城一模)如圖所示是一算法的偽代碼,執(zhí)行此算法時(shí),輸出的結(jié)果是3

r-—-—--|

jnq-6I

：s-0

;Whiles<15\

；

!s+力

：

!

；EndWhile\

；：

?Pnrintn?

考偽代碼.

點(diǎn)：

專計(jì)算題；概率與統(tǒng)計(jì).

題：

分由程序中的變量、各語(yǔ)句的作用，結(jié)合流程圖所給的依次，可知當(dāng)s<15時(shí)，用s+n

析：的值代替s得到新的s值，并且用n-1代替n值得到新的n值，直到條件不能滿意

時(shí)結(jié)束循環(huán)體并輸出最終的值，由此即可得到本題答案.

解解：依據(jù)題中的程序框圖，可得

答：該程序經(jīng)過(guò)第一次循環(huán)，因?yàn)閟=0<15,所以得到新的S=0+6=6,n=5；

然后經(jīng)過(guò)其次次循環(huán)，因?yàn)閟=6<15,所以得到新的S=6+5=H,n=4；

然后經(jīng)過(guò)第三次循環(huán)，因?yàn)閟=H<15,所以得到新的S=ll+4=15,n=3；

接下來(lái)推斷：因?yàn)閟=15,不滿意s<15,所以結(jié)束循環(huán)體并輸出最終的n,

綜上所述，可得最終輸出的結(jié)果是3

故答案為：3

點(diǎn)本題給出程序框圖，求最終輸出的n值，屬于基礎(chǔ)題.解題的關(guān)鍵是先依據(jù)已知條件

評(píng)：推斷程序的功能，構(gòu)造出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型再求解，從而使問(wèn)題得以解決.

8.（5分）（2024?鹽城一模）將函數(shù)y=sin（2x-21）的圖象向左平移巾（滬0）個(gè)單位后，

3

所得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，則巾的最小值為一三

考函數(shù)y=Asin（ax+巾）的圖象變換；正弦函數(shù)的奇偶性.

點(diǎn):

專三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).

題：

分依據(jù)函數(shù)丫=八$1.11（3x+<i>）的圖象變換規(guī)律，變換后所得函數(shù)的解析式為y=sin（2x+2c|

析：-[￡],再由它是奇函數(shù)，可得

3

2（|）--=kn,kFz,由此求得巾的最小值.

3

解解：將函數(shù)y=sin（2X-2L）的圖象向左平移巾（80）個(gè)單位后，

答：3

所得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=sin[2（x+巾）-2L]=sin（2x+2巾-H],

33

再由y=sin（2x+2c|）-工]為奇函數(shù)，可得2c|）-2￡=kn,kGz,則力的最小值為工，

336

故答案為2E.

6

點(diǎn)本題主要考查函數(shù)丫=八5m（3*+。）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的奇偶性，屬于中檔

評(píng)：題.

9.（5分）（2024?鹽城一模）現(xiàn)有如下命題:

①過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與該平面垂直；

②過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與該平面平行；

③假如兩個(gè)平行平面和第三個(gè)平面相交，那么所得的兩條交線平行；

④假如兩個(gè)平面相互垂直，那么經(jīng)過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)且垂直于其次個(gè)平面的直線必在第一

個(gè)平面內(nèi).

則全部真命題的序號(hào)是①③④.

考命題的真假推斷與應(yīng)用.

點(diǎn)：

專證明題.

題：

分①過(guò)平面外一點(diǎn)可作唯一一條直線與該平面垂直；②過(guò)平面外一點(diǎn)有多數(shù)條直線與

析：該平面平行；③由平面與平面平行的性質(zhì)定理可得；④由平面與平面垂直的性質(zhì)定

理可得.

解解：①過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與該平面垂直，正確；

答：②過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與該平面平行，錯(cuò)誤，應(yīng)當(dāng)是有多數(shù)條直線與該

平面平行；

③假如兩個(gè)平行平面和第三個(gè)平面相交，那么所得的兩條交線平行，正確，由平面

與平面平行的性質(zhì)定理可得；

④假如兩個(gè)平面相互垂直，那么經(jīng)過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)且垂直于其次個(gè)平面的直線

必在第一個(gè)平面內(nèi)，正確，

由平面與平面垂直的性質(zhì)定理可得.

故答案為：①③④

點(diǎn)本題考查命題真假的推斷，涉及空間中的線面的位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.

評(píng)：

10.(5分)(2024?鹽城一模)在△ABC中，若9cos2A-4cos2B=5,則理的值為1.

AC一

考余弦定理.

點(diǎn):

專解三角形.

題：

由條件9cos2A-4cos2B=5利用二倍角公式求得叁他=2,再由正弦定理可得

析：sinB3

竺=皿，從而得到答案.

ACsinB

解解：在AABC中，,.?9cos2A-4cos2B=5,A9(1-2sin2A)-4(1-2sin2B)=5,

a,化簡(jiǎn)可得9sin2A=4sin2B,故有置必=2.

sinB3

由正弦定理可得區(qū)=也他=2,

ACsinB3

故答案為Z

3

點(diǎn)本題主要考查二倍角公式、正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

評(píng)：

11.(5分)(2024?鹽城一模)如圖，在等腰三角形ABC中，底邊BC=2,AD=DC＞標(biāo)=之而，

若麗?菽=工，則度?凝=0

2-

A

考平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算.

點(diǎn):

專平面對(duì)量及應(yīng)用.

題：

分在等腰三角形ABC中，底邊BC=2,因此可取BC的中點(diǎn)0作為坐標(biāo)原點(diǎn)距離平面直角

析：坐標(biāo)系.利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決共線與數(shù)量積即可得出答案.

解解：???在等腰三角形ABC中，底邊BC=2,.?.可取BC的中點(diǎn)0作為坐標(biāo)原點(diǎn)距離平面

答：直角坐標(biāo)系.

則B(-1,0),C(1,0),

設(shè)A（0,a）（a>0）.VAD=DC>，D（1,3）.

22

???BD=（心，總），/（1，-a）.

22

?.?而?菽=1，.?.W-且_=1,解得

2222

/.A（0,近）.

?AE君EB，??AEWAB，

0E=0A+-^AB=（0，6）目（-L-6）=（

JJJ3

?-*/42，^、

??CE=（Y，g）.

??CE'AB=（4'￥）?（-】，-V2）4-f°,

O<JKJ<J

故答案為o.

點(diǎn)嫻熟駕馭通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決共線和數(shù)量積是解題

評(píng)：的關(guān)鍵.

22

12.（5分）（2024?鹽城一模）已知件、F?分別是橢圓工+<=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓

84

IppI—IPF

上的隨意一點(diǎn)，則L\——I21I的取值范圍是[0,272+2].

|PFiI——

考橢圓的簡(jiǎn)潔性質(zhì).

點(diǎn)：

專圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

題：

分利用橢圓的性質(zhì)：當(dāng)|PF2|=a+c=2j]+2,|pFi|=a-c=2芯-2時(shí)，即

析：1

翳1=疆*3+26取得最大值，即可得出?

解22

答：解：：橢圓工+工=1，，a=2y，b=2=c.

84

設(shè)k=-IIPFJ-IPF2II,IPP2I-111

|PFiI二I|PF1I

則當(dāng)|PF/=|PFz|時(shí),k取得最小值0；

當(dāng)|PF/=a+c=26+2，融1卜-。=2加-2時(shí)，即黑小翁與3+2后

時(shí)，k=|3+26-11=2&+2取得最大值.

，k的取值范圍是[0,272+2].

故答案為[0，2&+2].

點(diǎn)嫻熟駕馭橢圓的性質(zhì)：當(dāng)|PF2|=a+c=2j]+2,|PF1|=a-c=2j2-2時(shí)，貝1J

評(píng):

卷"=翁:；=3+2近取得最大值是解題的關(guān)鍵?

13.(5分)(2024?鹽城一模)已知向量2=(V3Sincox,coscox),b=(cosox,-coscox),

(3>0),函數(shù)f(x)=a?b+,的圖象的兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為奇.

(1)求3值；

(2)若x€(―H,至兀)時(shí)，f(x)=一旦求cos4x的值；

24125

(3)若cosx》LxG(0,m),且f(x)=m有且僅有一個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的值?

JUOAJr￡

考三角函數(shù)的周期性及其求法；平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算；兩角和與差的余弦函數(shù)；兩角

點(diǎn)和與差的正弦函數(shù).

專計(jì)算題.

題

分(1)先利用二倍角公式和兩角和公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)整理，然后利用兩相鄰對(duì)稱軸

析間的距離求得函數(shù)的周期，進(jìn)而依據(jù)周期公式求得3.

(2)依據(jù)(1)中整理函數(shù)解析式，依據(jù)f(x)=-2和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得

5

cos(4x-2￡)的值，進(jìn)而依據(jù)cos4x=cos(4x-工d)利用兩角和公式求得答

666

案.

(3)依據(jù)cos*〉,和余弦函數(shù)的單調(diào)性求得x的范圍，令g(x)=m,則可作出，f(x)

和g(x)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求得m的值.

解

解：由題思，f(x)=J^sin3X?CQS3

答

亞

l+cos2^x1

2

亞

=

2-^cos2C0xsin(23x

(1)?.?兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為三,

4

.2兀兀

,?T=23=2'

O-2.(2)由(1)得,f(x)=sin(4x---)——

65

X(冊(cè)/

???4x-二E(兀，力冗)，

0，

,/ATT、4

??cos--)-~—9

65

???人cos4x=cos一-兀--兀Hr-、J—-

66

cos(4x--^)cos?-sin(4x-sin?

6666

二(-1)x近-(一心)X工一漢1好旦.(3)Vcosx>X且余弦函數(shù)在

5252540cosx^2

(0,JI)上是減函數(shù),

???xe(0,與，

令f(X)在同始終角坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函

數(shù)的圖象,

可知m=l或m=-1.

2

點(diǎn)本題主要考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，兩角和公式的化簡(jiǎn)求值，正弦函數(shù)和余

評(píng)弦函數(shù)的單調(diào)性.考查了三角函數(shù)基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)的綜合運(yùn)用.

14.(5分)(2024?鹽城-模)已知函數(shù)f(x)=卜1-(x-1)2,0<x<2，若關(guān)

f(x-2),x》2

于X的方程f(x)=kx(k>0)有且僅有四個(gè)根，其最大根為t,則函數(shù)g(t)=2^t2-6t+7

24

的值域?yàn)椋?電，7).

25

考根的存在性及根的個(gè)數(shù)推斷；函數(shù)的值域.

點(diǎn):

專函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

題：

分同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=f(x)的圖象和直線y=kx,因?yàn)閮蓤D象有且僅有四個(gè)公共

析：點(diǎn)，得出最大根t的取值范圍.再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到函數(shù)g(t)=^t2

24

-6t+7的值域.

答：解：作出函數(shù)f(x)=［山一(x-1)2,0<x<2,當(dāng)owx<4時(shí)的圖象，如

f(x-2),x》2

右圖中紅色的三個(gè)半圓.

將直線y=kx圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，可得當(dāng)直線介于與其次個(gè)半圓相切和與第三個(gè)

半圓相切之間時(shí)，兩圖象有且僅有四個(gè)不同的公共點(diǎn)，

此時(shí)，其最大根te(.§,豆)，

33

則函數(shù)g(t)=更十2_6t+7,te(―,—)的值域?yàn)椋?曳，-1).

243325

故答案為：［-91,-1).

點(diǎn)本題以分段函數(shù)為例，求方程的最大根，并且用這個(gè)根來(lái)求值域，著重考查了函數(shù)

評(píng)：與方程的關(guān)系，以及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

二、解答題：本大題共6小題，計(jì)90分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步

驟，請(qǐng)把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi).

15.(14分)(2024?鹽城一模)在直三棱柱ABC-AB3中，AB±BC,D為棱CQ上任一點(diǎn).

(1)求證：直線A3〃平面ABD；

(2)求證：平面ABD_L平面BCCB.

考平面與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定.

點(diǎn)：

專空間位置關(guān)系與距離.

題：

分(1)依據(jù)直棱柱的性質(zhì)判定線線平行，再由線線平行證線面平行即可;

析：(2)先由線線垂直證線面垂直，再由線面垂直證明面面垂直即可.

解證明：(1)由直三棱柱ABC-ABC,得AR〃AB,

答：又EFC平面ABD,ABu平面ABD,

；.EF〃平面ABD.

(2):三棱柱ABC-ABC為直三棱柱，；.AB_LBBi,AB±BC,

，AB_L平面BCCiBi,

又：ABu平面ABD,

平面ABD_L平面BCCiBi.

Bx

點(diǎn)本題考查面面垂直及線面平行的判定.

評(píng)：

16.（14分）（2024?鹽城一模）在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.

（1）若cos（A+—）=sinA,求A的值；

6

（2）若cosA=1,4b=c,求sinB的值.

4

考余弦定理;三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用.

點(diǎn):

專解三角形.

題:

分（1）在△ABC中，由cos（A+—）=sinA,求得tanA=登，從而得到A的值.

析:63

（2）若cosA=1，4b=c,由余弦定理可得a=V15b，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求

4

得sinA的值，再由正弦定理求得sinB的值.

解解：（1）在△ABC中，若cos（A+匯）=sinA,貝i|有cosAcos--sinAsin-2￡=sinA,

答:666

化簡(jiǎn)可得Y3cosA=asinA,明顯，COSATTO,故tanA=Y^,所以A=2￡.

2236

（2）若cosA=°,4b=c,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bc*cosA,解得a=>/元b.

4

由于sinA]}_^c2慶=返，再由正弦定理可得'逵=—解得sinB=°.

c°sA4sinAsinB4

點(diǎn)本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、正弦定

評(píng):理和余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

17.（14分）（2024?鹽城一模）近年來(lái)，某企業(yè)每年消耗電費(fèi)約24萬(wàn)元，為了節(jié)能減排，

確定安裝一個(gè)可運(yùn)用15年的太陽(yáng)能供電設(shè)備接入本企業(yè)電網(wǎng)，安裝這種供電設(shè)備的工本費(fèi)

（單位：萬(wàn)元）與太陽(yáng)能電池板的面積（單位：平方米）成正比，比例系數(shù)約為0.5.為了

保證正常用電，安裝后采納太陽(yáng)能和電能互補(bǔ)供電的模式.假設(shè)在此模式下，安裝后該企業(yè)

每年消耗的電費(fèi)C（單位：萬(wàn)元）與安裝的這種太陽(yáng)能電池板的面積x（單位：平方米）之

間的函數(shù)關(guān)系是C(x)=_k_(xN0,k為常數(shù)).記F為該村安裝這種太陽(yáng)能供電設(shè)

20x+100

備的費(fèi)用與該村15年共將消耗的電費(fèi)之和.

(1)試說(shuō)明C(0)的實(shí)際意義，并建立F關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)x為多少平方米時(shí)，F(xiàn)取得最小值？最小值是多少萬(wàn)元？

考函數(shù)最值的應(yīng)用.

點(diǎn)：

專應(yīng)用題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

題：

分(DC(0)的實(shí)際意義是安裝這種太陽(yáng)能電池板的面積為0時(shí)的用電費(fèi)用，依題意，

析：C(0)=JL=24,可求得k,從而得到F關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

100

(2)利用基本不等式即可求得F取得的最小值及F取得最小值時(shí)x的值.

解解：(1)C(0)的實(shí)際意義是安裝這種太陽(yáng)能電池板的面積為0時(shí)的用電費(fèi)用，

答：即未安裝電陽(yáng)能供電設(shè)備時(shí)全村每年消耗的電費(fèi)…(2分)

由C(0)=上=24,得k=2400…(3分)

100

所以F=15義2400+0.5x=i^+0.5x,x20…(7分)

20x+100x+5

(2)因?yàn)轼Q2+0.5(x+5)-2.5^2-71800X0.5-2.5=57.5,…(10分)

x+5

當(dāng)且僅當(dāng)【'°U=0.5(x+5),即x=55時(shí)取等號(hào)…(13分)

x+5

所以當(dāng)X為55平方米時(shí)，F(xiàn)取得最小值為57.5萬(wàn)元…(14分)

點(diǎn)本題考查函數(shù)最值的應(yīng)用，著重考查分析與理解實(shí)力，考查基本不等式的應(yīng)用，屬

評(píng)：于難題.

22

18.(16分)(2024?鹽城一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，己知橢圓C：工?+工=1

2,2

ab

(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(3后，V2),橢圓的離心率叵，&、F?分別是橢圓的左、右焦

3

點(diǎn).

(1)求橢圓c的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)M作兩直線與橢圓C分別交于相異兩點(diǎn)A、B.

①若直線MA過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)0,試求△MAFz外接圓的方程；

②若/AMB的平分線與y軸平行，摸索究直線AB的斜率是否為定值？若是，請(qǐng)賜予證明；

若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

考直線與圓錐曲線的關(guān)系；直線的斜率；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

點(diǎn)：

專圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

題：__

分（1）利用橢圓的離心率化簡(jiǎn)方程，依據(jù)橢圓過(guò)點(diǎn)M（3后，加），即可求橢圓C的

析：方程；

（2）①求得MA的中垂線方程、MF2的中垂線方程，從而可得圓心與半徑，即可求

△MAF2外接圓的方程；

②直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合斜率公式，即可得到結(jié)論.

解I-22

答：解：⑴由橢圓的離心率可得心而，故橢圓方程為…（3分）

39b2b2

又橢圓過(guò)點(diǎn)M（3后，V2）>則烏+"與=1，解得b?=4,

9b2b2

22

所以橢圓的方程為工+工=1…（5分）

364

（2）①記△MAF?的外接圓的圓心為T.

因?yàn)樗苑闹写咕€方程為y=-3x，

n0M3

又由M（372-近），*（5內(nèi)，0）,得MR的中點(diǎn)為（工坐，堂），

而kMF2~l'

所以肌的中垂線方程為y=x-3后，

由［y=-3x，得T（越，…位分）

y=x-37244

所以圓T的半徑為卜研-斗）2+（。+平）哼

故△MAF2的外接圓的方程為（x-邑2）2+（y+謔）2=摯.“Q0分）

444

（3）設(shè)直線MA的斜率為k,A（xi,yi）,B（x2,y2）.（x2>xi）

由題直線MA與MB的斜率互為相反數(shù)，

直線MB的斜率為-k.

聯(lián)立直線MA與橢圓方程，可得（9昌1）x”lW^k（1-3k）x+162k2-108k-18=0

-18修（-k）x-36^2k...（13分）

9k2+1219k2+1

又方-廳-k(x/x2)+6每二黑

12V2k

點(diǎn)本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查三角形的外接圓，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考

評(píng)：查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題.

19.(16分)(2024?鹽城一模)對(duì)于定義在區(qū)間D上的函數(shù)f(x),若任給x°GD,均有f(x。)

ED,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上封閉.

(1)試推斷f(x)=x-1在區(qū)間［-2.1］上是否封閉，并說(shuō)明理由；

(1)若函數(shù)g(x)=包將在區(qū)間［3,10］上封閉，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

x+1

(1)若函數(shù)h(x)=x'-3x在區(qū)間［a,b［(a,b￡Z)上封閉，求a,b的值.

考函數(shù)恒成立問(wèn)題.

點(diǎn)：

專新定義.

題：

分(1)由函數(shù)f(x)=x-1在區(qū)間［-2,1］上是增函數(shù)求出在［-2,1］上的值域，不

析：滿意在區(qū)間上封閉的概念；

(2)把給出的函數(shù)g(x)=①應(yīng)變形為3+W二，分a=3,a>3,a<3三種狀況進(jìn)

x+1x+1

行探討，利用函數(shù)在區(qū)間［3,10］上封閉列式求出a的取值范圍；

(3)求出函數(shù)h(x)=x3-3x的導(dǎo)函數(shù)，得到三個(gè)不同的單調(diào)區(qū)間，然后對(duì)a,b的

取值分類進(jìn)行求解.

解解：(1)f(x)=x-1在區(qū)間［-2,1］上單調(diào)遞增，所以f(x)的值域?yàn)椋?3,0］

答：而［-3,0胤-2,1］,所以f(x)在區(qū)間［-2,1］上不是封閉的；

(2)因?yàn)間(x)=3x+a=3+且-3,

x+1x+1

①當(dāng)a=3時(shí)，函數(shù)g(x)的值域?yàn)棰荱［3,10］,適合題意.

②當(dāng)a>3時(shí)，函數(shù)g(x)=3+工匚在區(qū)間［3,10］上單調(diào)遞減，故它的值域?yàn)?/p>

x+1

「30+a9+a-i

F'7'

30+a\

11>3

由「30+a_9±a-ic[3,10],得<，解得3WaW31,故3<aW31.

LJ

114誓41。

③當(dāng)a<3時(shí)，在區(qū)間［3,10］上有g(shù)(x)=組旦=3盧?<3，明顯不合題意.

x+1x+1

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是3WaW31；

3

(3)因?yàn)閔(x)=x-3x,所以h'(x)=3x?-3=3(x+1)(x_D,

當(dāng)*￡(-8,-i)時(shí)，h(x)>0,當(dāng)x￡(-1,1)時(shí)，h(x)0.

所以h(x)在(-8,-1)上單調(diào)遞增，在(-1,1)上遞減，在(1,+8)上遞

增.

h(a)>a

①當(dāng)a<bW-1時(shí)，h(x)在區(qū)間［a,b］上遞增，所以<

h(b)《b'

3_

即，,解得-2WaW0或a22,bW-2或0WbW2,又a<bW-1,此時(shí)

b3-3b《b

無(wú)解.

②當(dāng)aW-1且-ICbWl時(shí)，因h(x)3=11(-1)=2>b,沖突，不合題意

③當(dāng)aW-1且b>l時(shí)，因?yàn)閔(-l)=2,h(1)=-2都在函數(shù)的值域內(nèi)，故a<-

2,b22,

‘a(chǎn)<h(a)3_Q

又<、，、,得4a%a,解得-2WaW0或a22,bW-2或0WbW2,

b〉h(b)b>b3-3b

從而a=-2,b=2.

h(b)》ab3-3b》a

④當(dāng)-IWaCbWl時(shí)，h(x)在區(qū)間［a,b］上遞減,即4

h(a)<ba3-3a4b

(*)

而a,bez,經(jīng)檢驗(yàn)，滿意-IWaVbWl的整數(shù)組a,b均不合(*)式.

⑤當(dāng)-l<a<l且b》l時(shí)，因h(x)欣,(1)=-2<a,沖突，不合題意.

fh(a)》a

⑥當(dāng)b>a,l時(shí)，h(x)在區(qū)間［a,b］上遞增，所以

h(b)<b

/-3a》&

即，,解得-2WaW0或a22,bW-2或0WbW2,又b>a21,此時(shí)無(wú)

b3-3b<b

解.

綜上所述，所求整數(shù)a,b的值為a=-2,b=2.

點(diǎn)本題是新定義題，考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的最值，考查了分類探討得數(shù)學(xué)思想

評(píng)：方法，解答此題的關(guān)鍵是正確分類，因該題須要較細(xì)致的分類，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是有肯

定難度的題目.

20.（16分）（2024?鹽城一模）若數(shù)列｛a0｝是首項(xiàng)為6-12t,公差為6的等差數(shù)列；數(shù)列｛&｝

的前n項(xiàng)和為SF3"t.

（1）求數(shù)列｛4｝和｛bj的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列｛bj是等比數(shù)列，試證明：對(duì)于隨意的n（n￡N,n>l）,均存在正整數(shù)Q,使

得b*a,并求數(shù)列?｝的前n項(xiàng)和L；

%

（3）設(shè)數(shù)列｛4｝滿意d否ajbn,且｛&｝中不存在這樣的項(xiàng)&,使得“dk<d…與diXcU”同

時(shí)成立（其中k22,kGN*）,試求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

考等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合.

點(diǎn)：

專計(jì)算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列.

題：

分（1）依據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得a,=6n-12t；再由數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)

析：系，即可算出｛bj的通項(xiàng)公式；

（2）由｛bj是等比數(shù)列，結(jié)合（1）的通項(xiàng)公式可得b0=2?3i,算出出t=l從而得到

a?=6n-12t.通過(guò)變形整理，得到%1=6（3尸+2）-12,從而得到存在禺=3—+2?N*,

使a?=ba成立，由等比數(shù)列求和公式即可算出｛cj的前n項(xiàng)和L；

n

6（3-t）（1-2t）,n=l

（3）依據(jù)（1）的結(jié)論，得4=，由此進(jìn)行作

n14（n-2t）-3n,n>2

差，得cU-d“=8[n-(2t-2)].3n(n22).因此，分t<1、2<2t-心<3和

242

m<2t-/出1（mGN且m23）三種狀況加以探討，分別依據(jù)數(shù)列｛4｝的單調(diào)性解

關(guān)于t的不等式，最終綜合即可得到實(shí)數(shù)t的取值范圍.

解解：（1）???｛aj是首項(xiàng)為6-12t,公差為6的等差數(shù)列，

答：.*.a?=（6-12t）+（n-1）X6=6n-12t-（2分）

而數(shù)列缶J的前n項(xiàng)和為SW-t,所以

當(dāng)n22時(shí)，b?=（3n-1）-（3"-1-1）=2?3"-1,

又〈bi=Si=3-t,

'3-tn=l

Ab…（4分）

n1

23nn》2

(2),?,數(shù)列｛bj是等比數(shù)列，???bk3-t=2?3—=2,解之得81,

因此，bn=2?3且an=6nT2…(5分)

對(duì)隨意的n(neN,n21),由于壯+產(chǎn)2?3三6?3亡匚6(3n-1+2)-12,

=6

令以二3「1+2￡心貝！J（3…+2）-12=bn+i,所以命題成立…（7分）

數(shù)列數(shù)列｛cj的前n項(xiàng)和為：T?=2n+————=A?3n+2n-—…(9分)

1-322

6(3-t)(1-2t),n=l

(3)依據(jù)(1)的結(jié)論，得d=，

n14(n-2t)-3n,n>2

n+1

由于當(dāng)n22時(shí)，dn+i-d?=4(n+1-2t),3-4(n-2t),3"=8[n-(2t--)],3",

2

因此，可得

①若2t-J<2,即1時(shí),則d?+1-d?>0,可得d?+i>d?,

24

...當(dāng)n22時(shí)，｛&｝是遞增數(shù)列，結(jié)合題意得&<dz,

即6(3-t)(1-2t)(36(2-2t)，解之得--,一逝WtW二二河,...(13

44

分)

②若242t-^<3,即」則當(dāng)n23時(shí)，｛4｝是遞增數(shù)列，

244

，結(jié)合題意得dz=d3,4(2t-2)X32=4(2t-3)X33,解之得t=2(14分)

4

③若m<2t-(mGN且m23),即E+乜WtWE+工(mGN且m23),

22424

則當(dāng)2WnWm時(shí)，｛4｝是遞減數(shù)列，當(dāng)n2m+l時(shí)，｛&｝是遞增數(shù)列，

結(jié)合題意，得d產(chǎn)出+1,BP4(2t-m)X3M(2t-m-1)X3"+1,解之得t=如地…(15

4

分)

綜上所述，t的取值范圍是一5一國(guó)WtW15+叵或土=紅乜(mGN且m22)…

444

(16分)

點(diǎn)本題給出成等差數(shù)列和成等比數(shù)列的兩個(gè)數(shù)列，求它們的通項(xiàng)公式并找出由它們的

評(píng)：公共項(xiàng)構(gòu)成的新數(shù)列規(guī)律，并依此求新數(shù)列的前n項(xiàng)和.著重考查了等差數(shù)列、等比

數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了分類探討的數(shù)學(xué)思想

和數(shù)列中的猜想、類比與遞推的思想，對(duì)數(shù)學(xué)的綜合實(shí)力要求較高，屬于難題.

三、[選做題]在21、22、23、24四小題中只能選做2題,每小題10分，計(jì)20分.請(qǐng)把答案

寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi).

21.(10分)(2024?鹽城一模)[A.(選修4-1：幾何證明選講)

如圖，圓0的直徑AB=8,C為圓周上一點(diǎn)，BC=4,過(guò)C作圓的切線1,過(guò)A作直線1的垂線

AD,D為垂足，AD與圓0交于點(diǎn)E,求線段AE的長(zhǎng).

AB

考與圓有關(guān)的比例線段.

點(diǎn)：

專直線與圓.

題：

分連接oc,BE,AC,由圓的直徑所對(duì)圓周角為直角的性質(zhì)可得BELAE.由

析：BC=4=0B=0C,可得△OBC為正三角形，因此/ABC=60°,可得/C0B=60°.又直線1

切。。于C,利用切線的性質(zhì)可得OCLL于是OC〃AD,可得NEAB=/C0B=60°.在

RtZiBAE中，由/EBA=30°,即可得出AE.

解解：連接OC,BE,AC,則BE_LAE.

答：VBC=4,.\0B=0C=BC=4,即△OBC為正三角形，

AZCB0=ZC0B=60°.

又直線1切。。與C,；.OCJ_1,

VAD±1,；.AD〃OC.

/.ZEAB=ZC0B=60°.

在RtZ\BAE中，ZEBA=30°,

.1

,?AE^AB=4-

點(diǎn)嫻熟駕馭圓的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、等邊三角形的判定、含30°角的直角三角形的性

評(píng)：質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

22.（10分）（2024?鹽城一模）B.（選修4-2：矩陣與變換）

已知矩陣M12的一個(gè)特征值為3,求M的另一個(gè)特征值及其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量.

2x

考特征值與特征向量的計(jì)算；二階矩陣；矩陣特征值的定義；特征向量的定義.

點(diǎn):

專計(jì)算題.

題：

分依據(jù)特征多項(xiàng)式的一個(gè)零點(diǎn)為3,可得x=l,再回代到方程f（入）=0即可解出另一

析：個(gè)特征值為入2=-L最終利用求特征向量的一般步驟，可求出其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向

量.

解解：矩陣M的特征多項(xiàng)式為

,/入i=3方程f（A）=0的一根,

（3-1）（3-x）-4=0,可得x=l,M=.

21

，方程f（入）=0即（入-1）（人-1）-4=0,入2-2人-3=0

可得另一個(gè)特征值為：入2=-1,

設(shè)