2024新高考押題預測模擬數(shù)學試卷5（新高考九省聯(lián)考題型）（含答案解析）

2024年高考數(shù)學押題預測卷05

數(shù)學

（新高考九省聯(lián)考題型）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的

姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第II卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.某地有8個快遞收件點，在某天接收到的快遞個數(shù)分別為360,284,290,300,188,240,260,

288,則這組數(shù)據(jù)的百分位數(shù)為75的快遞個數(shù)為（）

A.290B.295C.300D.330

三Li,則曰=()

2.已知復數(shù)二滿足

z+111

1

A.iB.一C-2D.1

4

3.若(a-23”=X9182-+xab19+xb20,則x=

x。/。+xxab+X2676+-192019()

A.-20B.一20x219C.-219D.20x219

4.己知）=（U）,3=（〃51）,〃為實數(shù)，若六值一辦則向量口在3上的投影向量為（）

5.已知圓。/2+./=4,弦45過定點尸（1,1）,則弦長曰卻不可能的取值是（）

A.20B.2百C.4D.2>/5

6.若2'—4>=J5,x,yeR,則'一^的最小值為（）

135

A.TB.-C.-D.4

224

7.在AZSC中，角。所對的邊分別為，24sin/-辦sinB=3csinC,若S表示AZSC

的面積，則乒的最大值為（）

A.立B.巫

C.空D.好

4632

8.已知/(x)=3n2+2axlnx,ae{—l,l},g(x)二加e{1,23,4},使/(X)>g(x)恒成立的有

序數(shù)對(4,b)有()

A.2個B.4個C.6個D.8個

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.若匕一1|=|二+1|,則()

A.ZGRB.t-1=卜+1]C.z+z=0D.Z?Z-Z1

10.如圖，在正四棱臺4BC。-44GA中，4B=244=2/4=4,尸為棱CG上一點，則()

A.不存在點尸，使得直線AP〃平面典。1

B.當點尸與G重合時，直線CG，平面5尸。

C.當尸為CG中點時，直線5P與4D所成角的余弦值為乂叵

26

D.當尸為CG中點時，三棱錐4-44。1與三棱錐尸-38的體積之比為1:2

11.己知函數(shù)/(x),g(x)的定義域均為R,/(l-x)+g(l+x)=2,g(x)-/(.x-2)=2,

g(4-x)-/(x)=2,且當xe(0,l]時./(x)=x2+l,則()

A.g(2024)=2

2024

B.ZgG)=0

Z=1

C.函數(shù)/(x)關(guān)于直線x=3對稱

D.方程/(x+2024)=x有且只在3個實根

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.甲、乙、丙、丁、戊五名同學利用寒假參加社區(qū)服務(wù)，分別從為老年人服務(wù)、社會保障服務(wù)、優(yōu)

撫對象服務(wù)、為殘病人服務(wù)、安全防范服務(wù)等五個服務(wù)項目中選擇一個報名，記事件A為“五名同學

所選項目各不相同”，事件3為“只有甲同學選安全防范服務(wù)”,則尸(』8)=.

,「八713#.(37r\

13.己知XE0,—,sinx+cosx=———,則tanx---=________.

L4」5I4J

14.拋物線x2=20v(p〉O)與橢圓上+工=1("?>0)有相同的焦點，耳,鳥分別是橢圓的上、下焦

m4

點，/是橢圓上的任一點，/是△期外的內(nèi)心，尸1交刑于",且兩=2而，點(%.%乂〃eN*)是

拋物線上在第一象限的點，且在該點處的切線與梅的交點為(xn+i，0),若吃=8,則

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.如圖，在直四棱柱48cz>—44Goi中，BCLCD,AB//DC,

DC=2BC=2CCj=4AB=4.

AB

A

(1)證明：AC,B{D1,

(2)求二面角。-耳。-，的平面角的余弦值.

16.某學校計劃舉辦趣味投籃比賽，比賽分若干局進行.每一局比賽規(guī)則如下：兩人組成一個小組，每

人各投籃3次；若某選手投中次數(shù)多于未投中次數(shù)，則稱該選手為“好投手”；若兩人均為“好投

手”，則稱該小組為本局比賽的“神投手組合”.假定每位參賽選手均參加每一局的比賽，每人每次投

籃結(jié)果互不影響.若甲、乙兩位同學組成一個小組參賽，且甲、乙同學的投籃命中率分別為g,；.

(1)求在一局比賽中甲被稱為“好投手”的概率；

(2)若以“甲、乙同學組成的小組獲得“神投手組合”的局數(shù)為3的概率最大”作為決策依據(jù)，試推斷

本次投籃比賽設(shè)置的總局數(shù)”(〃>4)為多少時，對該小組更有利？

17.設(shè)函數(shù)/(x)=lnx+a(x-l)(x-2),其中8為實數(shù).

(1)當。=1時，求/(x)的單調(diào)區(qū)間：

50

(2)當/(x)在定義域內(nèi)有兩個不同的極值點演,工2時，證明：/(x1)+/(x2)>-+ln—.

916

18.設(shè)動點與定點與(、歷,0)的距離和它到定直線/：x=*的距離之比等于垃，記點桶勺

軌跡為曲線C.

(1)求曲線由]方程：

(2)設(shè)片(-J5,0)過點月的直線與曲J右支相交于4月兩點，I是AF[A￡內(nèi)一點、,且滿足

|耳切忌+|3川?國+|陽卜歷=6,試判斷點/是否在直線,上，并說明理由.

19.若無窮數(shù)列｛4｝的各項均為整數(shù).且對于ViJeN*,?</,都存在后〉),使得

ak=也一4一%,則稱數(shù)列｛4｝滿足性質(zhì)戶.

(1)判斷下列數(shù)列是否滿足性質(zhì)R并說明理由.

①%=〃，〃=1,2,3,…；

@bn=n+2,n=192,3,….

(2)若數(shù)列｛%｝滿足性質(zhì)R且％=1,求證：集合=3｝為無限集；

(3)若周期數(shù)列｛%｝滿足性質(zhì)尸，求數(shù)列｛%｝的通項公式.

2024年高考數(shù)學押題預測卷05

數(shù)學

（新高考九省聯(lián)考題型）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的

姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第n卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.某地有8個快遞收件點,在某天接收到的快遞個數(shù)分別為360,284,290,300,188,240,260,

288,則這組數(shù)據(jù)的百分位數(shù)為75的快遞個數(shù)為（）

A.290B.295C.300D.330

【答案】B

【解析】將數(shù)據(jù)從小到大排序為：188,240,260,284,288,290,300,360,

8x75%=6,所以75%分位數(shù)為=295

2

故選：B

2.已知復數(shù)z滿足^―-=i,則同=()

z+1

1

A.iB.-C.yD.1

4

【答案】D

N—11+i

【解析】——=inz—l=zi+inz(l—i)=l+i>z=---，

z+11-i

w1+i(1+i)2l+2i+i22i.

1-i(l-i)(l+i)1-i22

故彳=-i,故同=L

故選：D

20s2i9

3.若(a-26)2°=xoa++x2a'b+',,+xl9ab+x20b"°,則xl9=()

A.-20B.-20x219C.-219D.20x219

【答案】B

【解析】因為(a-26)2°的展開通項公式為

Tr=4產(chǎn)(―26)'=(-2丫(0<r<20,rGN),

則/=(—2)19=-20X219,故B正確.

故選：B.

4.已知G=(l,l),S=(ZM,-1),〃為實數(shù)，若打倒一孫則向量3在3上的投影向量為(

2_3J_331_3I

5?55?55555，-5

【答案】D

【解析】根據(jù)題意可知5—3=(1—初,2),

由萬_L僅一丹可得無R—B)=lx(lr〃)+lx2=0,解得〃,=3,所以1=(3,—1)；

a-bb3-1171rf3

所以向量萬在5上的投影向量為下「同=而、而°=[?-?；-

故選：D

5.己知圓O:X2+”2=4,弦4g過定點尸(LI),則弦長卜卻不可能的取值是()

A.2&B.2百C.4D.26

【答案】D

【解析】圓O:x2+y2=4的半徑7二2,

因為儼+儼=2<4，

所以點尸(1,1)在圓。內(nèi)，

當弦45過圓心時，|/用皿=2r=4,

當OP148時，弦45最短，

河皿=2歷研=2g=272，

所以|48|e[2&,4],

所以弦長|4同不可能的取值是D選項.

故選：D.

6.若2'—x,yeR,則X—P的最小值為()

135

A.-B.—C.—D.4

224

【答案】C

【解析】因為2、=4'+>/5，

儼+碼42〉+2"4y+2

所以=2—4y+—+2>/2,

■4〉4y

因為2，>0,所以4>+±±2.

所以4、之4jI=/'即

21x=3時等號成立,

當且僅當4丁=丁，2*=4)+>/，，即曠=一,

2

所以x—y的最小值為*.

4

故選：C.

7.在AZSC中，角4瓦。所對的邊分別為。，上c,2asin^4-Z>sin5=3csinC,若S表示“BC

S

的面積，則”的最大值為()

A.且B.巫C.巫D.在

4632

【答案】D

【解析】因為2〃sinN-辦sin5=3csinC,

由正弦定理得2/—〃=3C2,所以/=±/+1C2,

22

,,,b2+c2-a2b1-c2

由余弦ZEflfjCOSA=----------=-------，

2bc4bc

所以‘S2_G'csM')2c2s11124c2(l—COs2N)_1C418c2

N=-W—一而—二V/丁f

2SI5

令r二=f,則(3)2=——(—?+I8f—l)v—,當且僅當，=9,即c=36時取等號，

bb644

所以±<好，

b12

故選：D.

8.已知f(x)=3a2+2axIn.r,aG{-1,1},g(x)=bx-x2,be{1,2,3,4},使/(x)〉g(x)恒成立的有

序數(shù)對(a])有()

A.2個B.4個C.6個D.8個

【答案】B

【解析】由題得函數(shù)定義域為(0,f8),

要想/(X)>g(x)恒成立，即3/+2G?Inx>bx-x2恒成立，

口拿3。2后3-1-

只需---F2。Inx>Z>-x恒成乂_,

X

22

只需x++2aIn*〉6恒成立，

x

.兀，，、3a2?.八、，“、(x+3a)(x-a)

設(shè)h(x)=x+——+2aInx(x>0),h(x)-----=------,

xx

所以當a=-l時，則力(x)1nm=/3)=4-21113,使t/(x)>g(x)恒成立的阿取1：

所以當a=l,則力(x)1nhi=萬。)=4,使/(x)>g(x)恒成立的6可取1,2,3,

所以9㈤一共有(1,1),(-U),(1,2),(1,3)共4種.

故選：B.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.若卜—1|=|二+1|,則()

A.zGRB.卜-l|=|z+l|C.z+z=0D.z?z=z2

【答案】BC

【解析】利用復數(shù)的幾何意義知在復平面內(nèi)，工對應(yīng)的點在對應(yīng)線段的中垂線即y軸上，

所以二不一定是實數(shù)，所以A錯誤；

因為二與亍關(guān)于實軸對稱，且在掰上，所以B,（:正確；

取2=「則工匚=1,二2=一1，所以D錯誤.

故選：BC.

10.如圖，在正四棱臺4BC?！?4GA中，4B=2481=2/4=4,尸為棱CG上一點，則（）

A.不存在點尸，使得直線AP〃平面陽4

B.當點尸與G重合時，直線CGJ■平面5尸。

C.當尸為CG中點時，直線5尸與4。所成角的余弦值為2叵

26

D.當尸為CG中點時，三棱錐4—4與A與三棱錐P—3CD的體積之比為1:2

【答案】BCD

【解析】連接ZC交助于O,因為正四棱臺4BC￡>—44G4，

所以以。4為X軸，0?為y軸，垂直于'「面4BCD為二軸建立如圖所示坐標系,

設(shè)點4在底面投影為E，則4E=O/—OE=J5，AiE=yjAA：-AE2=近,

即正四棱臺ABCD-44GA的高為J5,

則/（2五,0,0）,5（0,272,0）,C（-2V2,0,0）,片（0,后,&）,Q（-72,0,72）,

所以函=卜2血,血,&）,巫=1-2立「日也）,出=（0,0,a）,

5C=（-2A/2,-2A/2,0）,

因為「為棱上一點，所以而=2西=

所以第=旅+而=（—2亞+&4—2五,?。?，

設(shè)平面ABA的法向量〃=（X],必，二1）,

g萬二一2&菁+&%+北7=0-/、

LLL，令士=1可得平面4B1A的一個法向量為〃=。,0,2）,

a=-2y/2xx-42y1+y/2zi=0

2

令"?第二一2五+J5；l+2j5；l=0解得X=5，故存在點尸，使得直線AP〃平面陽。1，A說法

錯誤；

當點尸與G重合時即產(chǎn)卜后Z）（0,-272,0）,

麗=（-后,-2收詞，而=（0,-4亞,0）,

設(shè)平面刀產(chǎn)。的法向量〃2=（》2，N2,22），

BP-ffi-->/2X9-2>/2v9+>/2z?=0一,、

則｛—.L9令=1可得平面班>2）的一個法向量為加=（1,0,1）,

BD?ffi——4。2y2—0

因為西=J5蔡，所以當點尸與G重合時，直線CG，平面即也》，B說法正確：

當尸為CG中點時，即5P=卜2板,-20,0),

崩而_6+8_7>/13

所以cos

同同「而、4一26

乂叵，C說法正確;

所以直線5P與40所成角的余弦值為

26

設(shè)正四棱臺ABCD-4耳。A的高為人當尸為CG中點時，

三棱錐/—44￡>1的體積匕=J_s,An7?=」xLx2x2x&=RZ,

三棱錐P—58的體積匕=，SBCD2=LX，X4X4XYI=逑，

23A?3223

所以三棱錐4-4片4與三棱錐尸—38的體積之比為1:2,D說法正確；

故選：BCD

11.己知函數(shù)/(x),g(x)的定義域均為R,/(l-x)+g(l+x)=2,g(x)-/(x-2)=2,

g(4-x)-/(x)=2,且當xe(O,l］時./(x)=x2+l,則()

A.g(2024)=2

2024

B.￡g(i)=0

7=1

C.函數(shù)/(x)關(guān)于直線x=3對稱

D.方程/(x+2024)=x有且只在3個實根

【答案】ACD

/(l-x)+g(l+x)=27(x)+g(2—x)=2

【解析】對于A：由＜

g(4-x)-/(x)=2，g(4-x)-/(x)=2'

g(2-x)+g(4-x)=4

所以g[2—(2-x)]+g[4-(2-x)]=4,即g(x)+g(x+2)=4

所以g(x+2)+g(x+4)=4,得g(x)=g(x+4),故g(x)為周期函數(shù)，且周期為4,

/(1)+g(l+x)=2/(x)+g(2-x)=2

又〈,可得《，故g(2—x)+g(x+2)=4,

g(x)-/(x-2)=2g(x+2)-/(x)=2

令x=0可得g(2)=2,

令8(%)+8(%+2)=4中的％=0可得8曲=2

所以g(2024)=g(0)=2,A正確;

對于B：因為當xe(O,l]時，/(x)=x2+l,所以/(1)=2,

由/(l_x)+g(l+x)=2得/(l)+g(l)=2,所以g(l)=0

由g(4—x)-/(x)=2得g(3)—"1)=2,所以g(3)=4,又g(4)=g⑼=2,

2024

所以2^(0=506[g(l)+g(2)+g(3)+g(4)]=506x(0+2+4+2)=4048,B錯誤;

1=1

/(I-x)+g(l+x)=2/(2-x)+g(x)=2

對于C：由

g(4-x)-/(x)=2'討g(^)-/(4-^)=2'

故/(2—x)+/(4—*)=0,即〃x+2)=-〃x),/(x+4)=/(x),

/(1)+g(l+x)=2/(l_x)+g(l+x)=2

由＜,可得《)

g(x)-/(x-2)=2g(l+xj_/(xT=2'

故/(l—x)+/(x—l)=0,即/(x)=—/(—x),所以/(x+2)=—/(x)=〃—x)

故/(x)為奇函數(shù)，關(guān)于x=l對稱，且周期為4,又當xe(O,l］時./(》)=必+1,作出〃x)的圖象

如下：

2

1I

-2-10123456X

由圖可知函數(shù)/(X)關(guān)于直線X=3對稱，C正確；

對于D：方程/(x+2024)=x,即/(x)=x,

由圖可知，函數(shù)/(x)的圖象和y=x的圖象有3個交點，即方程/(x+2024)=x有3個實根，D正

故選：ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.甲、乙、丙、丁、戊五名同學利用寒假參加社區(qū)服務(wù)，分別從為老年人服務(wù)、社會保障服務(wù)、優(yōu)

撫對象服務(wù)、為殘病人服務(wù)、安全防范服務(wù)等五個服務(wù)項目中選擇一個報名，記事件A為“五名同學

所選項目各不相同”，事件3為“只有甲同學選安全防范服務(wù)”，則P（4|3）=^..

【答案】總

【解析】事件43：甲同學選安全防范服務(wù)且五名同學所選項目各不相同，所以其它4名同學排列在其

它4個項目，且互不相同，為A：,事件8：甲同學選安全防范服務(wù)，所以其它4名同學排列在其它4個

z.、P（AB）TT3

項目，可以安排在相同項目，為4狐尸（幽=1為=予-=至

至

故答案為：—.

32

13.已知xe0，—，sinx+COST=,則=.

L4j5I4J

【答案】3

【解析】方法一：因為(sinx+cosx)2=l+2sinxcosx=1，所以sinxcosx=1，

(COST-sinx)2=1-2sinxcosx=-,因為xe0,—,所以cosx-sinx=且.

5L4j5

smx+]

tanA3嗎_tanx+l_siar+cosr

V4)1-tan.v]smxCOST-sinx

cosx

方法二：由，sinx+cosx=----sin^x+cos2xul及xe0,一,解得，smx=

545

所以tanx=L

2

(37、tailx+1

tailx-------=-------------

I4)1-tailx

2

故答案為：3

14.拋物線/=2勿（2>0）與橢圓工+匕=1（如>0）有相同的焦點，片,片分別是橢圓的上、下焦

m4

點，夕是橢圓上的任一點，/是△尸與心的內(nèi)心，尸/交諭于弘且百=2而，點（乙,以乂〃eN*）是

拋物線上在第一象限的點，且在該點處的切線與君由的交點為（當+1，0）,若％=8,則%024=

門、2019

【答案】修

【解析】/=2加（p>0）焦點在歹軸上，故橢圓三十2=1（加>0）的焦點在丁軸上，

m4

故4>m，

/是△尸大乙的內(nèi)心，連接入/,則8/平分/48尸，

\PI\

在△形/中，由正弦定理得廣」\PFA①,

sm^-PF2Ism/PIF）

\MI\\MF?\

在小MFJ,由正弦定理得②,

smNMF?IsmAMIF2

其中尸@=兀，故sin4嚕=sin/尸坦，

又sinZPT^/=sinNMF?I,

:.\PF\+\PF^=2\FXM\^2\F2M\,

由橢圓定義可知|尸片|+|尸閭=2Q=4,|用圖+優(yōu)=2c,

2〃=4c,/.c=l,即焦點坐標為（0,±l）,

所以拋物線方程為-=4y,

y'=-x,故必=4）在處的切線方程為

即）一以—又必=；X：,故少=；X“X-外,

所以X?=4y在點）的切線為：X?x=2y+2yn,

2xx

令_O__4_三,乂/=U=8,即再二16,

P-u,x〃+1----2

七勺2

所以卜｝是首項16,公比！的等比數(shù)列，

V0232019

?*,X2024~16x[]J

(1?019

故答案為：

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.如圖，在直四棱柱—431GA中，BCLCD,AB//DC,

DC=IBC=2CC[=4AB=4.

（2）求二面角?！?。一￡>1的平面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）2叵.

3

【解析】（1）法一：連接4G，交”2于點石，

AByByCy1

在梯形4片G2中，44=1,石。1=2,CR=4,所以寡=薪二3，

又乙鳴4=NBGDi=90°,所以A451G?△用GA，

則N44G=NG42，因為N314G+441GBi=90°,所以NC/Qi+N4G為=90。，

則NC[HB[=90°,即Bn14G.

直四棱柱ABCD-431GA中，44]_L平面A.B.C.D.,

因為用3u平面451Goi，所以BQ】±Z4.

因為幺4、/Gu平面N4G，44c4G=4，所以為o1J_平面44G.

因為/Gu平面/4G，所以NGABQi.

法二：以｛而，在，西｝為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系。-盯二，

則C（0,0,0）,￡>（4,0,0）,5（0,2,0）,4（1,2,0）,Q（0,0,2）,。1（4,0,2）,4（0,2,2）,

4（122）.

因為/G=(T，-2,2),42=(4,-2,0),

所以布?麗=(_1,_2,2>(4,_2,0)=—4+4+0=0,

所以為J_的，即/GABR.

（2）設(shè)平面與。。與平面耳皿的一個法向量分別為麗=（工1，M/1）與5=（工2，%,二2），

因為西=（0,2,2）,函=（4,0,2）,CD=（4,0,0）,

ni±CB.m-CB.=2%+24=0

由《二得｛二，則七=0,令必=1得二1=一1,

mLCD7?-CD=4X1=0

所以方=（0,1,-1）.

nVCByri?CB[=2V9+2Z9=0

由，，得___..'，令=1,則z=—2,%=2,

nVCDx77?CD1=4再+2-2=0

所以)=(1,2,—2).

ih-ri0xl+lx2+(-l)x(-2)_2y[2

所以cos所,方=

同向7O2+12+(-1)2-712+22+(-2)23

由圖可知二面角。一4C-A的平面角為銳角，

所以二面角。-用C—A的平面角的余弦值為逑.

3

16.某學校計劃舉辦趣味投籃比賽，比賽分若干局進行.每一局比賽規(guī)則如下：兩人組成一個小組，每

人各投籃3次；若某選手投中次數(shù)多于未投中次數(shù)，則稱該選手為“好投手”；若兩人均為''好投

手”，則稱該小組為本局比賽的“神投手組合”.假定每位參賽選手均參加每一局的比賽，每人每次投

21

籃結(jié)果互不影響.若甲、乙兩位同學組成一個小組參賽，且甲、乙同學的投籃命中率分別為一,一.

32

（1）求在一局比賽中甲被稱為“好投手”的概率；

（2）若以“甲、乙同學組成的小組獲得“神投手組合”的局數(shù)為3的概率最大”作為決策依據(jù)，試推斷

本次投籃比賽設(shè)置的總局數(shù)”（〃>4）為多少時，對該小組更有利？

【答案】（1）—（2）詳見解析

27

【解析】（1）設(shè)一局比賽中甲被稱為好投手的事件為4

則p(，)=C20

27

(2)設(shè)一局比賽中乙被稱為好投手的事件為8

號｛T+Cm=3?—]_

則尸(B)=C；

2

甲、乙同學都獲得好投手的概率為：尸=也、j=3,

27227

比賽設(shè)置〃局，甲、乙同學組成的小組獲得“神投手組合”的局數(shù)為工

則X~B，且尸)

27J(X=3=C

〃〃

設(shè)/(〃)=q'10T貝"/()”(+1)

.27./(?)>/(?-1)

"如-卻：

.12、苧〃+1)

27Jn-2

則V工W：

17

RE*——n>n-3

27J<27

72>7.1

即<又〃￡N*，貝1〃=8,

7?<8.1

所以本次投籃比賽設(shè)置的總局數(shù)8時，對該小組更有利.

17.設(shè)函數(shù)/0)=111彳+。0-1)0-2),其中a為實數(shù).

(1)當a=l時,求/(x)的單調(diào)區(qū)間;

59

(2)當/(x)在定義域內(nèi)有兩個不同的極值點占時，證明：/(%；)+/(x)>-ln—.

29+16

【答案】(1)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為［o,g),(l,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為U(2)證明見解析

17Y2—Y-I-1

【解析】(1)的定義域為(0,+8),/(x)=-+(2x-3)-——衛(wèi)士

XX

令/'3=(21)(1)=0,得x=；或x=l,

彳“0,；卜(1,+力)時，f'(x)>0,時，f'(x)<0,

所以/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為[0,；),(1,+e),單調(diào)遞減區(qū)間為11,1I；

2ax之-3ax+1

(2)八幻=

x

由fM在(0,+8)上有兩個不同的極值點玉,馬，

2"0

3

%+工2=5〉°g

故2ax2—3ox+l=0有兩個不同的正根，則有<1，解得4>一,

_1、A9

X1X2~〉°

A=9a2-8a>0

因為/（演）+）=皿中2）+。（片+X；）-3。（演+*2）+4。

[（X[+x）2-2%^]-3a（xj+x）+4a=-ln（2<7）+^a-l,

111（丫1工2）+4222

78

設(shè)8（4）=一山（24）+^〃_1，a>g9

717。一4

則g'（。）=>o.故g（。）住上單調(diào)遞增,

4a4a

?1655?9

又g（“）〉g-In-+—二一-Fin一,

399916

59

故/（再）+/（、2）〉§+111記.

18.設(shè)動點M（x,y）與定點巴（后,0）的距離和它到定直線/：x=亭的距離之比等于J7,記點桶勺

軌跡為曲線C.

（1）求曲線儆方程：

（2）設(shè)片（-J5,0）過點馬的直線與原右支相交于4,3兩點，/是△耳48內(nèi)一點，且滿足

\F1B\-L4+\BA\-I^+\AFl\JB=0,試判斷點/是否在直線,上，并說明理由.

【答案】（1）x2-v2=l（2）點/在直線/上，理由見解析

【解析】（1）由動點M（xj）與定點月（0,0）的距離和它到定直線/：x=*的距離之比等于

g亞）|2+/

五,化簡得》2—J?

可得1,

X---------

2

故所求曲線儆方程為x2—y2=i.

（2）點/在直線/上.

因為片（―J，,0）,設(shè)點/,45的坐標分別是（x,y）,（xi，yj,（x2，y2），

由題設(shè)得陽川（占一x,,Vj-y）+阿卜0-x,-y）+1皿|-x,y2-.v）=（0,0）,

\FXBXI+|居/居一J》

解得X=

片司+|48|+|四

當軸時,$=馬=近，陽夕|=|/H=3,|4ff|=2,

代入有X=迪二冬旦=也，所以點/在直線/上，

82

當初不與X軸垂直時，設(shè)直線總的方程是y=才[一JI）,

因為曲線亦漸近線的斜率為±1,且直線班與曲線煙右支相交于兩點，所以問〉1,

聯(lián)立方程組吟,整理得（1—產(chǎn)）x：+2限2丫一（2*+1）=0,

[x2-V2=1

tnAAT爾—2.yf2,k^—242—1

此時A>°，可得再+X2=]_42，演.丫2=]_42.

則閨/|="X[+五）+.y；=,卜]+&）+x；-l=1+&X[,

同理閨⑷=1+岳2,1留=（-1+Vlx1）+（-1+>/2X2）=-2+>/2（X1+X2）.

于是陽媼=2&（玉+》2）=2&.若￡=署，

閨Xj+陽.丫2—|/同=（1+^2%2j-'Q+（1+）'2—[—2+,^2（X]+/）]

=（X]+X2）+2^2XjX2+2^2—2（演+/）=2^2%1.%2—（芭+x2）+2.^2,

19.若無窮數(shù)列｛%｝的各項均為整數(shù).且對于ViJeN*,i<j,都存在上〉）,使得

%=ataj-ai-aj,則稱數(shù)列｛4｝滿足性質(zhì)戶.

（1）判斷下列數(shù)列是否滿足性質(zhì)只并說明理由.

①q,-n,〃=1,2,3,???；

②6"="+2,〃=1,2,3,—.

（2）若數(shù)列㈤｝滿足性質(zhì)產(chǎn)，且[=1,求證：集合｛"小*瓦=3｝為無限集：

（3）若周期數(shù)列｛/｝滿足性質(zhì)只求數(shù)列｛與｝的通項公式.

【答案】⑴數(shù)列｛4"｝不滿足性質(zhì)尸；數(shù)列也｝滿足