2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-函數(shù)及其表示（學(xué)生版）

專題06函數(shù)及其表示

一、【知識(shí)梳理】

【考綱要求】

1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域.

2.在實(shí)際情景中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).

3.了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.

【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】

1.函數(shù)的概念

一般地，設(shè)46是非空的實(shí)數(shù)集,如果對(duì)于集合4中的任意一個(gè)數(shù)x,

概念按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,在集合6中都有唯二確定的數(shù)y和它對(duì)

應(yīng)，那么就稱人/一8為從集合/到集合8的一個(gè)函數(shù)

三對(duì)應(yīng)關(guān)系y=f{x),A

要定義域工的取值范圍

素值域與x對(duì)應(yīng)的p的值的集合"(x)|x￡2}

2.同一個(gè)函數(shù)

(1)前提條件：①定義域相同;②對(duì)應(yīng)關(guān)系相同.

(2)結(jié)論：這兩個(gè)函數(shù)為同一個(gè)函數(shù).

3.函數(shù)的表示法

表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法.

4.分段函數(shù)

(1)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來(lái)表示，這

種函數(shù)稱為分段函數(shù).分段函數(shù)表示的是一個(gè)函數(shù).

(2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的丑集.

【常用結(jié)論】

1.直線x=a(a是常數(shù))與函數(shù)y=f(x)的圖象至多有1個(gè)交點(diǎn).

2.注意以下幾個(gè)特殊函數(shù)的定義域：

(1)分式型函數(shù)，分母不為零的實(shí)數(shù)集合.

(2)偶次方根型函數(shù)，被開(kāi)方式非負(fù)的實(shí)數(shù)集合.

(3)f(x)為對(duì)數(shù)式時(shí)，函數(shù)的定義域是真數(shù)為正數(shù)、底數(shù)為正且不為1的實(shí)數(shù)集合.

(4)若f(x)=f,則定義域?yàn)閧x|xW0}.

(5)正切函數(shù)了=土211x的定義域?yàn)?萬(wàn)，Aez].

【方法技巧】

1.函數(shù)的定義要求非空數(shù)集A中的任何一個(gè)元素在非空數(shù)集B中有且只有一個(gè)元素與之對(duì)

應(yīng)，即可以“多對(duì)一”，不能“一對(duì)多”，而6中有可能存在與/中元素不對(duì)應(yīng)的元素.

2.構(gòu)成函數(shù)的三要素中，定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，則值域一定相同

3.求給定解析式的函數(shù)定義域的方法

求給定解析式的函數(shù)的定義域，其實(shí)質(zhì)就是以函數(shù)解析式中所含式子(運(yùn)算)有意義為準(zhǔn)則，

列出不等式或不等式組求解；對(duì)于實(shí)際問(wèn)題，定義域應(yīng)使實(shí)際問(wèn)題有意義.

4.求抽象函數(shù)定義域的方法

(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a"]，則復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域可由不等式aWg(x)W6

求出.

⑵若已知函數(shù)的定義域?yàn)閇a,b\,則/■⑸的定義域?yàn)槭絰)在xd[a,6]上的值域.

5.函數(shù)解析式的求法

(1)配湊法：由已知條件f(g(x))=6(x),可將尸(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替

代g(x),便得f(x)的表達(dá)式.

(2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法.

(3)換元法：已知復(fù)合函數(shù)/<g(x))的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍.

(4)方程思想：已知關(guān)于f(x)與/丹或f(—x)等的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外

一個(gè)等式組成方程組，通過(guò)解方程組求出/1(x).

6.根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值，首先確定自變量的值屬于哪個(gè)區(qū)間，其次選定相應(yīng)的解析

式代入求解.

7.已知函數(shù)值或函數(shù)的取值范圍求自變量的值或范圍時(shí)，應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解，

但要注意檢驗(yàn)所求自變量的值或范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍.

二、【題型歸類】

【題型一】判斷兩個(gè)函數(shù)是否相等

【典例1】已知函數(shù)/'(x)=|x—1],則下列函數(shù)中與f(x)相等的函數(shù)是()

A.g(x)一下可

111

B.g(x)=<入力

2,x=-1

[x—1,x>0,

C.g{x)=\

[1-x,xWO

D.g(x)=x—1

【典例2】下列各組函數(shù)中，是同一函數(shù)的是()

A.廣(x)=yp,g(x)=yp

I119x20,

B?Ax)=丁，

C.F(x)=2，+32〃+1,g(x)=(2'S)2〃-i,刀RM

D.D(x)=y[x?yjx+1,g{x)=?x(、+l)

【典例3】(多選)下列各組函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是()

A.f{x)=x—2x—l,g(s)=s?—2s—1

/-I

B.F(x)=x-1,g(x)=1

x+1

C[x,x20,

C.f{x)=y[x,g(x)=j

[-xfx<0

D.F(x)=yj~x,g(x)=x\[^x

【題型二】求具體函數(shù)定義域

【典例1】函數(shù)F(x)=川LII+,4—f的定義域?yàn)?)

A.[~2,0)U(0,2]B.(-1,0)U(0,2]

C.[-2,2]D.(-1,2]

【典例2】函數(shù)y=lg(x2—4)+dx?+6x的定義域是()

A.(—8,—2)U[0,+°°)

B.(—8,—6]U(2,+°°)

C.(—8,-2]U[0,+8)

D.(一8,—6)U[2,+°0)

1

【典例3］函數(shù)f(x)卜ln(3x—1)的定義域?yàn)?)

4、

1111-

-4----

C.夕D.22

_

【題型三】求抽象函數(shù)定義域

【典例1］若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,2］,則函數(shù)f(x—1)的定義域?yàn)?

【典例2】已知函數(shù)『5)的定義域?yàn)椋邸?,2］,則函數(shù)g(x)=『(2x)+MT=亍的定義域?yàn)?/p>

【典例3】已知函數(shù)/<2x—1)的定義域?yàn)椋?,4］,求函數(shù)f⑵)的定義域?yàn)?/p>

【題型四】求函數(shù)的解析式

【典例1】若《?=士，則當(dāng)xWO,且xWl時(shí)，f(x)等于()

1111

A.—B.-------C---------D-.一一1

xx-1-----*l-xx

【典例2】已知F(x)是二次函數(shù)且F(0)=2,f(^x+1)—=x—l,則F(x)

【典例3］定義在(-1,1)內(nèi)的函數(shù)f(x)滿足2f(x)—f(—x)=lg(x+l),則Ax)=

【題型五】求常見(jiàn)函數(shù)的值域

【典例1】函數(shù)/=出Y—的3值域?yàn)?/p>

X.IL

【典例2】函數(shù)7=矛+升入-1的值域?yàn)?/p>

【典例3】求下列函數(shù)的值域：

1_X

(1)y=T+7;

⑵尸2x+\l—x；

⑶y=2x+yjl—x；

/、x~2x+5

⑷尸--------；

x~\

(5)若x,p滿足3丁+2/=6筋求函數(shù)z=V+y2的值域;

(6)f(x)=|2x+l|一|l|.

【題型六】求分段函數(shù)的函數(shù)值

log3%x>0,

【典例1】已知/■(*)=且/1(0)=2,人-1)=3,則f(f(一3))等于()

a~\~b,xWO,

A.—2B.2C.3D.-3

’("3

“幻

【典例2】已知函數(shù)f(X)+1,X<3,則/'(2+log32)的值為

?cosnx,xW1

fM=m(4、

【典例3】已知(/(x-1)^1,x>1,則『l-l+r(—的值為()

11

A."B.——C.—1D.1

【題型七】分段函數(shù)與方程、不等式問(wèn)題

口*,后0,1

【典例1】設(shè)函數(shù)/(x)=r1則使/(X)=5的X的集合為_(kāi)_________.

ulogzxl,x>0,乙

log；x,x>0,

【典例2】已知函數(shù)f(x)=|3若/"(a)>，，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是—

21尤W0,

［2x-\~a,x<.l,

【典例3］已知實(shí)數(shù)aWO,函數(shù)/U)=°若f(l—a)=f(l+a),則a的

［一x-2a,

值為.

三、【培優(yōu)訓(xùn)練】

【訓(xùn)練一】(多選)若函數(shù)f(x)滿足：對(duì)定義域內(nèi)任意的荀，X2(Xl=X2),有/'(荀)+

f(xA2f［工產(chǎn))，則稱函數(shù)F(x)具有〃性質(zhì).則下列函數(shù)中具有〃性質(zhì)的是()

A.f(x)=。

B.f{x}=lnx

C.f{x)=x(^r^O)

D.f{x)=tan

l\2x~\~a,—K^r<0,

【訓(xùn)練二】設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，且/U+2)=:f(x),f(x)=,“/

［be，0W1,

其中a,6為正實(shí)數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若f［|)=f則］的取值范圍為

【訓(xùn)練三】已知函數(shù)f(x)滿足對(duì)任意的xWR都有f(l+x)+f(l-x)=4成立，則4-1+

flog2(l—x),xWO,

【訓(xùn)練四】定義在R上的函數(shù)/<x)=則/(2015)的值為

[fz(^-1)~f(x-2),x>0,

【訓(xùn)練五】已知函數(shù)f(x)=log2X,g(x)=2x+a,若存在Xx,xfp2，使得f(xj=虱苞),

則a的取值范圍是.

【訓(xùn)練六】高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào),

用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)xGR,用［切表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則尸［舊稱為

高斯函數(shù).例如：［—2.1］=-3,［3.1］=3,已知函數(shù)f(x)=W1,求函數(shù)尸"(x)］的值

域.

四、【強(qiáng)化測(cè)試】

【單選題】

2.已知函數(shù)f(x)=F，xW°'

則f(F(8))等于(

[1—log2X,￡〉0,

A.-1B.--C.1D.2

3-設(shè)函數(shù)『百口=x,則/U)的表達(dá)式為()

.1+x1+x

)B.(xW—1)

X-l

1一萬(wàn)

c.1+^(xW—1)D.中（矛力―1）

4.函數(shù)/（x）=30g,（x—1）+1的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.(-8,3]B.(1,+°°)

C.(1,3]D.[3,+°°)

5.下列函數(shù)中，定義域與值域相同的是（)

A.尸1B.y=lnx

1x+1

C./-3-1D.y~x~l

6.函數(shù)y=1+八一\/1—2太的值域?yàn)椋ǎ?/p>

(3)(3]

A.—8,B.—oo-

12j【2J

<3+,co\「3,\

C.0JD.[2‘十)

aXb,aX620,

7.定義3十6=<a,設(shè)函數(shù)f{x)=lnx十x,則/(2)+)

aXZKO,

A.41n2B.-41n2

C.2D.0

8.設(shè)Mx）,g（x）都是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，定義函數(shù)（/1?Q（x）：Vx￡R,(/,g)(x)

x,x>0,e,xWO,

F(g(x)).若f{x}=KO,g3=則（）

Inx,x>0,

A.(F?/(x)=F(=B.(/?g)(A)=f(x)

C.(g?力(x)=g(x)D.(g?g)(x)=g(x)

【多選題】

9.下列四組函數(shù)中，Hx）與g（x）是相等函數(shù)的是（)

A.f{x}=Ing{x)=21nx

B.f{x)=x,

g(x)=汩

C.f{x)=x,

D.f{x)=x,g(x)=logaa、(a>0且aWl)

V

10.函數(shù)（數(shù)=]+/,x￡（—8,0）U（0,+°°）,則下列等式成立的是（）

B.—f{x}=

x,

C.-77~=/[■■]D.f{-x)=-f{x)

fkx)\xj

[x,xWO,

11.已知函數(shù)Hx)=2、則下列結(jié)論中正確的是()

[-/,￡>O,

A./(—2)=4B.若f(而=9,則/=±3

C.F(x)是偶函數(shù)D.Hx)在R上單調(diào)遞減

log2(X—1)，x>\,

12.已知f(a=\則下列結(jié)論正確的是()

3,E,

A.f(f(l))=乎B.AA-1))=1

c.r(Ao))=1D.(/尚)=19

【填空題】

13.若函數(shù)/(x)在閉區(qū)間[—1,2]上的圖象如圖所示，則此函數(shù)的解析式為—

{2\x>0,

14.已知函數(shù)/<x)=,_若f(a)+f(l)=O,則實(shí)數(shù)a的值等于.

[x+1,xWO,

15.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椤ㄈ魧?duì)任意的都存在使得/?(力=-f(x)成立,

則稱函數(shù)/<x)為“美麗函數(shù)”，下列所給出的幾個(gè)函數(shù)：

①f(x)=/②/U)=占;

③f(x)=ln(2x+3)；④f(x)=2sinx~\.

其中是“美麗函數(shù)”的為.(填序號(hào))

16.已知具有性質(zhì)：4"=一F(x)的函數(shù)，我們稱F(x)為滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)，下列

函數(shù):

①_f(x)=x-：；②F(x)=x+｝；

C,、0,x=l,

③廣(x)=《

1

--,￡>1.

IX

其中滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)是(填序號(hào))

【解答題】

fl

—1

17.設(shè)函數(shù)r(x)=Tx''求：(l)f(f(2))的值;