2025年中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題06 射影定理專(zhuān)題（解析版）

模型介紹模型介紹1.射影定理定義①直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)．②每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)．2.如圖在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜邊BC上的高，有射影定理如下：①AD①AD2＝BD?DC；②AB2＝BD?BC；AC2＝CD?BC．R注意：直角三角形斜邊上有高時(shí)，才能用射影定理！例題精講例題精講【例1】．在矩形ABCD中，BE⊥AC交AD于點(diǎn)E，G為垂足．若CG＝CD＝1，則AC的長(zhǎng)是．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝1，∠ABC＝90°，∵BE⊥AC，∴∠AGB＝90°＝∠ABC，∵∠BAG＝∠CAB，∴△ABG∽△ACB，∴＝，∴AG?AC＝AB2（射影定理），即（AC﹣1）?AC＝12，解得：AC＝或AC＝（不合題意舍去），即AC的長(zhǎng)為，故答案為：．【例2】．如圖：二次函數(shù)y＝ax2+bx+2的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，若AC⊥BC，則a的值為（）A．﹣ B．﹣ C．﹣1 D．﹣2解：設(shè)A（x1，0）（x1＜0），B（x2，0）（x2＞0），C（0，t），∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+2的圖象過(guò)點(diǎn)C（0，t），∴t＝2；∵AC⊥BC，∴OC2＝OA?OB（射影定理），即4＝|x1x2|＝﹣x1x2，根據(jù)韋達(dá)定理知x1x2＝，∴a＝﹣．故選：A．【例3】．將沿弦BC折疊，交直徑AB于點(diǎn)D，若AD＝4，DB＝5，則BC的長(zhǎng)是（）A．3 B．8 C． D．2解：連接CA、CD；根據(jù)折疊的性質(zhì)，知所對(duì)的圓周角等于∠CBD，又∵所對(duì)的圓周角是∠CBA，∵∠CBD＝∠CBA，∴AC＝CD（相等的圓周角所對(duì)的弦相等）；∴△CAD是等腰三角形；過(guò)C作CE⊥AB于E．∵AD＝4，則AE＝DE＝2；∴BE＝BD+DE＝7；在Rt△ACB中，CE⊥AB，根據(jù)射影定理，得：BC2＝BE?AB＝7×9＝63；故BC＝3．故選：A．變式訓(xùn)練【變式1】．如圖，在△ABC中，若AB＝AC，BC＝2BD＝6，DE⊥AC，則AC?EC的值是9．解：如圖，∵在△ABC中，若AB＝AC，BC＝2BD＝6，∴AD⊥BC，CD＝BD＝3．又DE⊥AC，∴∠CED＝∠CDA＝90°．∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD．∴＝，即AC?EC＝CD2＝9．（射影定理）故答案是：9．【變式2】．如圖所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于點(diǎn)E，對(duì)角線AC，BD交于O，且BE：ED＝1：3，AD＝6cm，則AE＝cm．解：設(shè)BE＝x，因?yàn)锽E：ED＝1：3，故ED＝3x，根據(jù)射影定理，AD2＝3x（3x+x），即36＝12x2，x2＝3；由AE2＝BE?ED，AE2＝x?3x；即AE2＝3x2＝3×3＝9；AE＝3．【變式3】．如圖，若拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，若∠OAC＝∠OCB．則ac的值為（）A．﹣1 B．﹣2 C． D．解：設(shè)A（x1，0），B（x2，0），C（0，c），∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)C（0，c），∴OC＝c，∵∠OAC＝∠OCB，OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB，∴，∴OC2＝OA?OB（即射影定理）即|x1?x2|＝c2＝﹣x1?x2，令ax2+bx+c＝0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系知x1?x2＝，∴，故ac＝﹣1，故選：A．【變式4】．如圖，正方形ABCD中，E為AB上一點(diǎn)，AF⊥DE于點(diǎn)F，已知DF＝5EF＝5，過(guò)C、D、F的⊙O與邊AD交于點(diǎn)G，則DG＝____________.解：連接CF、GF，如圖：在正方形ABCD中，∠EAD＝∠ADC＝90°，AF⊥DE，∴△AFD∽△EAD，∴＝，又∵DF＝5EF＝5，∴AD＝＝＝＝CD，在Rt△AFD中，AF＝＝＝，∵∠CDF+∠ADF＝90°，∠DAF+∠ADF＝90°，∴∠DAF＝∠CDF，∵四邊形GFCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠FCD+∠DGF＝180°，∵∠FGA+∠DGF＝180°，∴∠FGA＝∠FCD，∴△AFG∽△DFC，∴＝，∴＝，∴AG＝，∴DG＝AD﹣AG＝﹣【變式5】．如圖，在△ABC中，以AC邊為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥AC交⊙O于點(diǎn)E、H，連AD、ED、EC．若BD＝8，DC＝6，則CE的長(zhǎng)為2．解：∵AC為⊙O的直徑，∴∠ADC＝90°，∵BG⊥AC，∴∠BGC＝∠ADC＝90°，∵∠BCG＝∠ACD，∴△ADC∽△BGC，∴＝，∴CG?AC＝DC?BC＝6×14＝84，連接AE，∵AC為⊙O的直徑，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠EGC＝90°，∵∠ACE＝∠ECG，∴△CEG∽△CAE，∴＝，∴CE2＝CG?AC＝84，∴CE＝2．故答案為2．【變式6】．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，且CF＝BE，連接DF．（1）求證：四邊形AEFD是矩形；（2）連接AC，若∠ACD＝90°，AE＝4，CF＝2，求EC和AC的長(zhǎng)．（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵CF＝BE∴BE+CE＝CF+CE，即BC＝EF，∴AD＝EF，∵AD∥EF，∴四邊形AEFD是平行四邊形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴平行四邊形AEFD是矩形；（2）解：如圖，∵CF＝BE，CF＝2，∴BE＝2，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD＝90°，∵AE⊥BC，∴AE2＝BE?EC（射影定理），∴EC＝＝＝8，∴AC＝＝＝4．實(shí)戰(zhàn)演練實(shí)戰(zhàn)演練1．如圖，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E．若sin∠ADE＝，AD＝4，則AB的長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C．3 D．4解：∵DE⊥AC，∴∠ADE+∠CAD＝90°，∵∠ACD+∠CAD＝90°，∴∠ACD＝∠ADE，∵矩形ABCD的對(duì)邊AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵sin∠ADE＝，BC＝AD＝4，∴＝，∴＝，∴AC＝5，由勾股定理得，AB＝＝3，故選：C．2．如圖，在矩形ABCD中，BD＝2．對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作AC的垂線，交AC于點(diǎn)E，AE＝3CE．則DE2的值為（）A．4 B．2 C． D．4解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，AC＝BD＝2，∵AE＝3CE，∴AE＝AC＝，CE＝AC＝，∵∠ADC＝90°，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∵DE⊥AC，∴∠AED＝∠CED＝90°，∴∠ADE+∠DAC＝90°，∴∠ADE＝∠ACD，∴△ADE∽△DCE，∴＝，∴DE2＝AE?CE＝×＝，故選：C．3．如圖，在正方形ABCD內(nèi)，以D點(diǎn)為圓心，AD長(zhǎng)為半徑的弧與以BC為直徑的半圓交于點(diǎn)P，延長(zhǎng)CP、AP交AB、BC于點(diǎn)M、N．若AB＝2，則AP等于（）A． B． C． D．解：如圖，設(shè)點(diǎn)S為BC的中點(diǎn)，連接DP，DS，DS與PC交于點(diǎn)W，作PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥AB于點(diǎn)F，∴DP＝CD＝2，PS＝CS＝1，即DS是PC的中垂線，∴△DCS≌△DPS，∴∠DPS＝∠DCB＝90°，∴DS＝＝＝，由三角形的面積公式可得PC＝，∵BC為直徑，∴∠CPB＝90°，∴PB＝＝，∴PE＝FB＝＝，∴PF＝BE＝＝，∴AF＝AB﹣FB＝，∴AP＝＝故選：B．4．如圖，點(diǎn)P是⊙O的直徑BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PC與⊙O相切于點(diǎn)C，CD⊥AB，垂足為D，連接AC、BC、OC，那么下列結(jié)論中：①PC2＝PA?PB；②PC?OC＝OP?CD；③OA2＝OD?OP；④OA（CP﹣CD）＝AP?CD，正確的結(jié)論有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4解：①∵PC與⊙O相切于點(diǎn)C，∴∠PCB＝∠A，∠P＝∠P，∴△PBC∽△PCA，∴PC2＝PA?PB；②∵OC⊥PC，∴PC?OC＝OP?CD；③∵CD⊥AB，OC⊥PC，∴OC2＝OD?OP，∵OA＝OC，∴OA2＝OD?OP；④∵AP?CD＝OC?CP﹣OA?CD，OA＝OC，∴OA（CP﹣CD）＝AP?CD，所以正確的有①，②，③，④，共4個(gè)．故選：D．

5．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝8，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在底邊BC上，且FE⊥BE，則CF長(zhǎng)．解：作EH⊥BC于H，如圖，∵∠A＝90°，AB＝AC＝8，∴BC＝AB＝16，∠C＝45°，∵點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，∴AE＝CE＝4，∵△CEH為等腰直角三角形，∴EH＝CH＝＝4，∴BH＝12在Rt△ABE中，BE＝＝4，在Rt△BEF中，∵EH⊥BF，∴BE2＝BH?BF，即BF＝＝，∴CF＝BC﹣BF＝16﹣＝．故答案為．6．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊AD上，把△ABE沿直線BE翻折，得到△GBE，BG的延長(zhǎng)線交CD于點(diǎn)F．F為CD的中點(diǎn)，連結(jié)CG，若點(diǎn)E，G，C在同一條直線上，F(xiàn)G＝1，則CD的長(zhǎng)為2+2，cos∠DEC的值為﹣1．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD∥BC，∠BCD＝∠A＝∠D＝90°，∴∠AEB＝∠EBC，∠BCG＝∠DEC，由折疊的性質(zhì)得：BG＝BA，∠EGB＝∠A＝90°，∠GEB＝∠AEB，∴CD＝BG，∴∠EBC＝∠GEB，∴BC＝EC，∵點(diǎn)E，G，C在同一條直線上，∴∠CGF＝90°，∠CGB＝180°﹣∠EGB＝90°，∵F為CD的中點(diǎn)，∴CF＝DF，設(shè)CF＝DF＝x，則BG＝CD＝2x，∵∠CFG＝∠BFC，∴△CFG∽△BFC，∴＝，∴CF2＝FG?BF，即x2＝1×（1+2x），解得：x＝1+或x＝1﹣（舍去），∴CD＝2x＝2+2，∵∠DEC+∠ECD＝90°，∠GFC+∠ECD＝90°，∴∠DEC＝∠GFC，∴cos∠DEC＝cos∠GFC＝＝＝﹣1，故答案為：2+2，﹣1．

7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝kx+1分別交x軸，y軸于點(diǎn)A，B，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AB交x軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥BC交y軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥CD交x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE交y軸于點(diǎn)F．已知點(diǎn)A恰好是線段EC的中點(diǎn)，那么線段EF的長(zhǎng)是．解：因?yàn)锳B的解析式為y＝kx+1，所以B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，0），由于圖象過(guò)一、二、三象限，故k＞0，又因?yàn)锽C⊥AB，BO⊥AC，所以在Rt△ABC中，BO2＝AO?CO，代入數(shù)值為：1＝?CO，CO＝k，同理，在Rt△BCD中，CO2＝BO?DO，代入數(shù)值為：k2＝1?DO，DO＝k2又因?yàn)锳恰好是線段EC的中點(diǎn)，所以B為FD的中點(diǎn)，OF＝1+1+k2，Rt△FED中，根據(jù)射影定理，EO2＝DO?OF，即（k++）2＝k2?（1+k2+1），整理得（k﹣）（k+）（k2+2）（k2+1）＝0，解得k＝．根據(jù)中位線定理，EF＝2GB＝2DC，DC＝＝，EF＝2．8．如圖，在菱形ABCD中，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥CD交對(duì)角線AC于點(diǎn)E，連接BE，點(diǎn)P是線段BE上一動(dòng)點(diǎn)，作P關(guān)于直線DE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P'，點(diǎn)Q是AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接P'Q，DQ．若AE＝14，CE＝18，則DQ﹣P'Q的最大值為．解：如圖，連接BD交AC于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作DK⊥BC于點(diǎn)K，延長(zhǎng)DE交AB于點(diǎn)R，連接EP′并延長(zhǎng)，延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)J，作EJ關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)線段EJ′，則點(diǎn)P′的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P″在線段EJ′上．當(dāng)點(diǎn)P是定點(diǎn)時(shí)，DQ﹣QP′＝DQ﹣QP″，當(dāng)D，P″，Q共線時(shí)，QD﹣QP′的值最大，最大值是線段DP″的長(zhǎng)，當(dāng)點(diǎn)P與B重合時(shí)，點(diǎn)P″與J′重合，此時(shí)DQ﹣QP′的值最大，最大值是線段DJ′的長(zhǎng)，也就是線段BJ的長(zhǎng)．∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝OC，∵AE＝14．EC＝18，∴AC＝32，AO＝OC＝16，∴OE＝AO﹣AE＝16﹣14＝2，∵DE⊥CD，∴∠DOE＝∠EDC＝90°，∵∠DEO＝∠DEC，∴△EDO∽△ECD，∴DE2＝EO?EC＝36，∴DE＝EB＝EJ＝6，∴CD＝＝＝12，∴OD＝＝＝4，∴BD＝8，∵S△DCB＝×OC×BD＝BC?DK，∴DK＝＝，∵∠BER＝∠DCK，∴sin∠BER＝sin∠DCK＝＝＝，∴RB＝BE×＝，∵EJ＝EB，ER⊥BJ，∴JR＝BR＝，∴JB＝DJ′＝，∴DQ﹣P'Q的最大值為．解法二：DQ﹣P'Q＝BQ﹣P'Q≤BP'，顯然P'的軌跡EJ，故最大值為BJ．勾股得CD，OD．△BDJ∽△BAD，BD2＝BJ*BA，可得BJ＝．故答案為：．9．在矩形ABCD中，點(diǎn)E為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE．（1）當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上時(shí)，將△ABE沿AE翻折，使點(diǎn)B恰好落在對(duì)角線BD上點(diǎn)F處，AE交BD于點(diǎn)G．①如圖1，若BC＝AB，求∠AFD的度數(shù)；②如圖2，當(dāng)AB＝4，且EF＝EC時(shí)，求BC的長(zhǎng)．（2）在②所得矩形ABCD中，將矩形ABCD沿AE進(jìn)行翻折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C'，當(dāng)點(diǎn)E，C'，D三點(diǎn)共線時(shí)，求BE的長(zhǎng)．解：（1）①∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠BAD＝90°，∵BC＝AB，∴AD＝AB，∴tan∠ABD＝＝，∴∠ABD＝60°，由折疊的性質(zhì)得：AF＝AB，∴△ABF是等邊三角形，∴∠AFB＝60°，∴∠AFD＝180°﹣∠AFB＝120°；②由折疊的性質(zhì)得：BF⊥AE，EF＝EB，∵EF＝EC，∴EF＝EB＝EC，∴BC＝2BE，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AD＝BC＝2BE，AD∥BC，∴△ADG∽△EBG，∴＝＝2，∴AG＝2EG，設(shè)EG＝x，則AG＝2x，∴AE＝3x，在△ABE中，BG⊥AE，∴AB2＝AG?AE（射影定理），即42＝2x?3x，解得：x＝（負(fù)值已舍去），∴AE＝3x＝2，∴BE＝＝＝2，∴BC＝2BE＝4，即BC的長(zhǎng)為4；（2）當(dāng)點(diǎn)E，C'，D三點(diǎn)共線時(shí)，如圖3，由②可知，BC＝4，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AD＝BC＝4，CD＝AB＝4，AD∥BC，∴∠DCE＝90°，∠CED＝∠B'DA，由折疊的性質(zhì)得：AB'＝AB＝4，∠B'＝∠ABC＝90°，∴∠DCE＝∠B'，DC＝AB'，∴△CDE≌△B'AD（AAS），∴DE＝AD＝4，∴CE＝＝＝4，∴BE＝BC+CE＝4+4．

10．如圖，已知⊙O的半徑為2，AB為直徑，CD為弦，AB與CD交于點(diǎn)M，將弧CD沿著CD翻折后，點(diǎn)A與圓心O重合，延長(zhǎng)OA至P，使AP＝OA，連接PC．（1）求證：PC是⊙O的切線；（2）點(diǎn)G為弧ADB的中點(diǎn)，在PC延長(zhǎng)線上有一動(dòng)點(diǎn)Q，連接QG交AB于點(diǎn)E，交弧BC于點(diǎn)F（F與B、C不重合）．問(wèn)GE?GF是否為定值？如果是，求出該定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）∵PA＝OA＝2，AM＝OM＝1，CM＝，又∵∠CMP＝∠OMC＝90°，∴PC＝＝2，∵OC＝2，PO＝4，∴PC2+OC2＝PO2，∴∠PCO＝90°，∴PC與⊙O相切；（2）GE?GF為定值，理由如下：如圖2，連接GA、AF、GB，∵點(diǎn)G為弧ADB的中點(diǎn)，∴，∴∠BAG＝∠AFG，∵∠AGE＝∠FGA，∴△AGE∽△FGA，∴，∴GE?GF＝AG2，∵AB為直徑，AB＝4，∴∠BAG＝∠ABG＝45°，∴AG＝2，∴GE?GF＝AG2＝8．11．如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A，B不重合），連接CE，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CE于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)F．（1）求證：△ABF≌△BCE；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)時(shí)，連接DG，求證：DC＝DG；（3）如圖3，在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥DG于點(diǎn)H，分別交AD，BF于點(diǎn)M，N，求的值．（1）證明：∵BF⊥CE，∴∠CGB＝90°，∴∠GCB+∠CBG＝90，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠CBE＝90°＝∠A，BC＝AB，∴∠FBA+∠CBG＝90，∴∠GCB＝∠FBA，∴△ABF≌△BCE（ASA）；（2）證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥CE于H，設(shè)AB＝CD＝BC＝2a，∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴EA＝EB＝AB＝a，∴CE＝a，在Rt△CEB中，根據(jù)面積相等，得BG?CE＝CB?EB，∴BG＝a，∴CG＝＝a，∵∠DCE+∠BCE＝90°，∠CBF+∠BCE＝90°，∴∠DCE＝∠CBF，∵CD＝BC，∠CHD＝∠CGB＝90°，∴△CHD≌△BGC（AAS），∴CH＝BG＝a，∴GH＝CG﹣CH＝a＝CH，∵DH＝DH，∠CHD＝∠GHD＝90°，∴△DGH