2025年中考數(shù)學(xué)專題19 費(fèi)馬點(diǎn)最值專題（解析版）

模型探究模型探究費(fèi)馬點(diǎn)問題思考：如何找一點(diǎn)P使它到△ABC三個頂點(diǎn)的距離之和PA+PB+PC最?。浚?dāng)B、P、Q、E四點(diǎn)共線時取得最小值.費(fèi)馬點(diǎn)的定義：數(shù)學(xué)上稱，到三角形3個頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)。它是這樣確定的：1.如果三角形有一個內(nèi)角大于或等于120°，這個內(nèi)角的頂點(diǎn)就是費(fèi)馬點(diǎn)；2.如果3個內(nèi)角均小于120°，則在三角形內(nèi)部對3邊張角均為120°的點(diǎn)，是三角形的費(fèi)馬點(diǎn)。費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)：1．費(fèi)馬點(diǎn)到三角形三個頂點(diǎn)距離之和最小.2．費(fèi)馬點(diǎn)連接三頂點(diǎn)所成的三夾角皆為120°.費(fèi)馬點(diǎn)最小值快速求解：費(fèi)爾馬問題告訴我們，存在這么一個點(diǎn)到三個定點(diǎn)的距離的和最小，解決問題的方法是運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換．R秘訣：以△ABC任意一邊為邊向外作等邊三角形，這條邊所對兩頂點(diǎn)的距離即為最小值例題精講例題精講【例1】．已知，在△ABC中，∠ACB＝30°（1）如圖1，當(dāng)AB＝AC＝2，求BC的值；（2）如圖2，當(dāng)AB＝AC，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA＝2，PB＝，PC＝3，求∠APC的度數(shù)；（3）如圖3，當(dāng)AC＝4，AB＝（CB＞CA），點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一動點(diǎn)，則PA+PB+PC的最小值為．解：（1）如圖1中，作AP⊥BC于P．∵AB＝AC，AP⊥BC，∴BP＝PC，在Rt△ACP中，∵AC＝2，∠C＝30°，∴PC＝AC?cos30°＝，∴BC＝2PC＝2．（2）如圖2中，將△APB繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到△QAC．∵AB＝AC，∠C＝30°，∴∠BAC＝120°，∴PA＝AQ＝2，PB＝QC＝，∵∠PAQ＝120°，∴PQ＝2，∴PQ2+PC2＝QC2，∴∠QPC＝90°，∵∠APQ＝30°，∴∠APC＝30°+90°＝120°．（3）如圖3中，將△BCP繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△CB′P′，連接PP′，AB′，則∠ACB′＝90°．∵PA+PB+PC＝PA+PP′+P′B′，∴當(dāng)A，P，P′，B′共線時，PA+PB+PC的值最小，最小值＝AB′的長，由AB＝，AC＝4，∠C＝30°，可得BC＝CB′＝3，∴AB′＝＝．故答案為．變式訓(xùn)練【變式1-1】如圖，是邊長為1的等邊內(nèi)的任意一點(diǎn)，求的取值范圍.解：將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)60°得到，易知為等邊三角形.從而（兩點(diǎn)之間線段最短），從而.過作的平行線分別交于點(diǎn)，易知.因?yàn)樵诤椭?，①，②。又，所以?①+②+③可得，即.綜上，的取值范圍為.【變式1-2】．已知點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且它到三角形的三個頂點(diǎn)距離之和最小，則P點(diǎn)叫△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)（Fermatpoint）．已經(jīng)證明：在三個內(nèi)角均小于120°的△ABC中，當(dāng)∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°時，P就是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．若點(diǎn)P是腰長為的等腰直角三角形DEF的費(fèi)馬點(diǎn)，則PD+PE+PF＝+1．解：如圖：等腰Rt△DEF中，DE＝DF＝，過點(diǎn)D作DM⊥EF于點(diǎn)M，過E、F分別作∠MEP＝∠MFP＝30°，則EM＝DM＝1，故cos30°＝，解得：PE＝PF＝＝，則PM＝，故DP＝1﹣，則PD+PE+PF＝2×+1﹣＝+1．故答案為：+1．【變式1-3】．如圖，P為正方形ABCD對角線BD上一動點(diǎn)，若AB＝2，則AP+BP+CP的最小值為______.解：如圖將△ABP繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AEF，當(dāng)E、F、P、C共線時，PA+PB+PC最?。碛桑骸逜P＝AF，∠PAF＝60°，∴△PAF是等邊三角形，∴PA＝PF＝AF，EF＝PB，∴PA+PB+PC＝EF+PF+PC，∴當(dāng)E、F、P、C共線時，PA+PB+PC最小，作EM⊥DA交DA的延長線于M，ME的延長線交CB的延長線于N，則四邊形ABNM是矩形，在RT△AME中，∵∠M＝90°，∠MAE＝30°，AE＝2，∴ME＝1，AM＝BN＝，MN＝AB＝2，EN＝1，∴EC＝＝＝＝＝＝+．∴PA+PB+PC的最小值為+．【例2】.如圖，P是邊長為2的正方形ABCD內(nèi)一動點(diǎn)，Q為邊BC上一動點(diǎn)，連接PA、PD、PQ，則PA+PD+PQ的最小值為________解：如圖，將△APD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AFE，∴AP＝AF，∠PAF＝60°＝∠EAD，AE＝AD，∴△AFP是等邊三角形，△AED是等邊三角形，∴AP＝PF＝AF，作EH⊥BC于H，交AD于G．∴∠AEG＝30°，∴AG＝1，EG＝∵PA+PD+PQ＝EF+FP+PQ，∴當(dāng)點(diǎn)Q，點(diǎn)F，點(diǎn)E，點(diǎn)Q四點(diǎn)共線且垂直BC時，PA+PD+PQ有最小值為EH，∵GH＝AB＝2，∴EH＝2+，∴PA+PD+PQ的最小值+2變式訓(xùn)練【變式2-1】．如圖，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)M為矩形內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E為BC邊上任意一點(diǎn)，則MA+MD+ME的最小值為（）A．3+2 B．4+3 C．2+2 D．10解：將△AMD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AM’D’，MD＝M’D’，易得到△ADD’和△AMM’均為等邊三角形，∴AM＝MM’，∴MA+MD+ME＝D’M+MM’+ME，∴D′M、MM′、ME共線時最短，由于點(diǎn)E也為動點(diǎn)，∴當(dāng)D’E⊥BC時最短，此時易求得D’E＝DG+GE＝4+3，∴MA+MD+ME的最小值為4+3．【變式2-2】．如圖，已知正方形ABCD內(nèi)一動點(diǎn)E到A、B、C三點(diǎn)的距離之和的最小值為1+，則這個正方形的邊長為．解：以A為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABE順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AMN，連NE，MB，過M作MP⊥BC交BC的延長線于P點(diǎn)，如圖，∴MN＝BE，AN＝AE，∠NAE＝60°，∴△ANE為等邊三角形，∴AE＝NE，∴AE+EB+EC＝MN+NE+EC，當(dāng)AE+EB+EC取最小值時，折線MNEC成為線段，則MC＝1+，∵AB＝AM，∠BAM＝60°，∴△ABM為等邊三角形，∴∠MBC＝150°，則∠PBM＝30°，在Rt△PMC中，設(shè)BC＝x，PM＝x，∴（1+）2＝（x）2+（x+x）2所以x＝，∴BC＝，即正方形的邊長為，故答案為：．【變式2-3】．兩張寬為3cm的紙條交叉重疊成四邊形ABCD，如圖所示，若∠α＝30°，則對角線BD上的動點(diǎn)P到A，B，C三點(diǎn)距離之和的最小值是6cm．解：如圖，過D作DE⊥BC于E，DF⊥BA于F，把△ABP繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'BP′，則DE＝DF＝3cm，∵∠α＝30°，∴CD＝2DE＝6cm，∵AD∥BC，AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC?DE＝AB?DF，∵DE＝DF，∴BC＝AB，∴平行四邊形ABCD是菱形，∴BC＝AD＝CD＝6cm，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：A′B＝AB＝CD＝6cm，BP′＝BP，A'P′＝AP，∠P′BP＝60°，∠A'BA＝60°，∴△P′BP是等邊三角形，∴BP＝PP'，∴PA+PB+PC＝A'P′+PP'+PC，根據(jù)兩點(diǎn)間線段距離最短可知，當(dāng)PA+PB+PC＝A'C時最短，連接A'C，與BD的交點(diǎn)即為到A，B，C三點(diǎn)距離之和的最小的P點(diǎn)，則點(diǎn)P到A，B，C三點(diǎn)距離之和的最小值是A′C．∵∠ABC＝∠DCE＝∠α＝30°，∠A′BA＝60°，∴∠A′BC＝90°，∴A′C＝＝＝6（cm），因此點(diǎn)P到A，B，C三點(diǎn)距離之和的最小值是6cm，故答案為：6cm．1．如圖，正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)E，E到A、B、C三點(diǎn)的距離之和的最小值為，正方形的邊長為_______．解：以A為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABE順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AMN，連NE，MB，過M作MP⊥BC交BC的延長線于P點(diǎn)，如圖，∴MN＝BE，AN＝AE，∠NAE＝60°，∴△ANE為等邊三角形，∴AE＝NE，∴AE+EB+EC＝MN+NE+EC，當(dāng)AE+EB+EC取最小值時，折線MNEC成為線段，則MC＝，∵AB＝AM，∠BAM＝60°，∴△ABM為等邊三角形，∴∠MBC＝150°，則∠PBM＝30°，在Rt△PMC中，設(shè)BC＝x，PM＝所以所以x＝2，∴BC＝2，即正方形的邊長為2．

2．如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，點(diǎn)M，N分別為AB、BC上的動點(diǎn)，且始終保持BM＝CN．連接MN，以MN為斜邊在矩形內(nèi)作等腰Rt△MNQ，若在正方形內(nèi)還存在一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)D、點(diǎn)Q的距離之和的最小值為3+3．解：設(shè)BM＝x，則BN＝6﹣x，∵M(jìn)N2＝BM2+BN2，∴MN2＝x2+（6﹣x）2＝2（x﹣3）2+18，∴當(dāng)x＝3時，MN最小，此時Q點(diǎn)離AD最近，∵BM＝BN＝3，∴Q點(diǎn)是AC和BD的交點(diǎn)，∴AQ＝DQ＝AD＝3，過點(diǎn)Q作QM′⊥AD于點(diǎn)M′，在△ADQ內(nèi)部過A、D分別作∠M′DP＝∠M′AP＝30°，則∠APD＝∠APQ＝∠DPQ＝120°，點(diǎn)P就是費(fèi)馬點(diǎn)，此時PA+PD+PQ最小，在等腰Rt△AQD中，AQ＝DQ＝3，QM′⊥AD，∴AM＝QM′＝AQ＝3，故cos30°＝，解得：PA＝2，則PM′＝，故QP＝3﹣，同法可得PD＝2，則PA+PD+PQ＝2×+3﹣＝3+3，∴點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)D、點(diǎn)Q的距離之和的最小值為3+3，故答案為3+3．3．如圖，四個村莊坐落在矩形ABCD的四個頂點(diǎn)上，AB＝10公里，BC＝15公里，現(xiàn)在要設(shè)立兩個車站E，F(xiàn)，則EA+EB+EF+FC+FD的最小值為公里．解：如圖1，將△AEB繞A順時針旋轉(zhuǎn)60°得△AGH，連接BH、EG，將△DFC繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△DF'M，連接CM、FF'，由旋轉(zhuǎn)得：AB＝AH，AE＝AG，∠EAG＝∠BAH＝60°，BE＝GH，∴△AEG和△ABH是等邊三角形，∴AE＝EG，同理得：△DFF'和△DCM是等邊三角形，DF＝FF'，F(xiàn)C＝F'M，∴當(dāng)H、G、E、F、F'、M在同一條直線上時，EA+EB+EF+FC+FD有最小值，如圖2，∵AH＝BH，DM＝CM，∴HM是AB和CD的垂直平分線，∴HM⊥AB，HM⊥CD，∵AB＝10，∴△ABH的高為5，∴EA+EB+EF+FC+FD＝EG+GH+EF+FF'+F'M＝HM＝15+5+5＝15+10，則EA+EB+EF+FC+FD的最小值是（15+10）公理．故答案為：（15+10）．4．如圖，P為等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BPC等于150°，PC＝5，PB＝12，求PA的長．解：如圖1，連接PP′，將△BPC繞C點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)60°到△AP′C的位置，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得CP＝CP′，∴△PP′C為等邊三角形，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠AP′C＝∠BPC＝150°，∴∠AP′P＝150°﹣60°＝90°，又∵PP′＝PC＝5，AP′＝BP＝12，∴在Rt△APP′中，由勾股定理，得PA＝＝13．故PA＝13．5．將△ABC放在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)B、C落在格點(diǎn)上，點(diǎn)A在BC的垂直平分線上，∠ABC＝30°，點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn)．（1）∠ACB＝度；（2）如圖，將△APC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形（尺規(guī)作圖，保留痕跡）；（3）AP+BP+CP的最小值為．解（1）∵點(diǎn)A在BC的垂直平分線上．∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ABC＝30°，∴∠ACB＝30°．故答案為30°．（2）如圖△CA′P′就是所求的三角形．（3）如圖當(dāng)B、P、P′、A′共線時，PA+PB+PC＝PB+PP′+P′A的值最小，此時BC＝5，AC＝CA′＝，BA′＝＝．故答案為．6．如圖1，P是銳角△ABC所在平面上一點(diǎn)．如果∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點(diǎn)P就叫做△ABC費(fèi)馬點(diǎn)．（1）當(dāng)△ABC是邊長為4的等邊三角形時，費(fèi)馬點(diǎn)P到BC邊的距離為．（2）若點(diǎn)P是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，∠ABC＝60°，PA＝2，PC＝3，則PB的值為．（3）如圖2，在銳角△ABC外側(cè)作等邊△ACB′，連接BB′．求證：BB′過△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P．（1）解：延長AP，交BC于D，∵AB＝AC＝BC，∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，∴P為三角形的內(nèi)心，∴AD⊥BC，BD＝CD＝2，∠PBD＝30°，∴BP＝＝，∴AP＝BP＝，∵AD＝＝2，∴PD＝AD﹣AP＝2﹣＝，故答案為：．（2）解：（1）∵∠PAB+∠PBA＝180°﹣∠APB＝60°，∠PBC+∠PBA＝∠ABC＝60°，∴∠PAB＝∠PBC，又∵∠APB＝∠BPC＝120°，∴△ABP∽△BCP，∴＝，∴PB2＝PA?PC，即PB＝＝，故答案為：．（3）證明：在BB′上取點(diǎn)P，使∠BPC＝120°連接AP，再在PB′上截取PE＝PC，連接CE．∵∠BPC＝120°，∴∠EPC＝60°，∴△PCE為正三角形．∴PC＝CE，∠PCE＝60°，∠CEB′＝120°∵△ACB′為正三角形，∴AC＝B′C，∠ACB′＝60°∴∠PCA+∠ACE＝∠ACE+∠ECB′＝60°，∠PCA＝∠ECB′，∴△ACP≌△B′CE，∴∠APC＝∠B′EC＝120°，PA＝EB′，∴∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°，∴P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．∴BB′過△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P．

7．如圖（1），P為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．（1）若點(diǎn)P是等邊三角形三條中線的交點(diǎn)，點(diǎn)P是（填是或不是）該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)．（2）如果點(diǎn)P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且∠ABC＝60°．求證：△ABP∽△BCP；（3）已知銳角△ABC，分別以AB、AC為邊向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P點(diǎn)．如圖（2）①求∠CPD的度數(shù)；②求證：P點(diǎn)為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．解：（1）如圖1所示：∵AB＝BC，BM是AC的中線，∴MB平分∠ABC．同理：AN平分∠BAC，PC平分∠BCA．∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABP＝30°，∠BAP＝30°．∴∠APB＝120°．同理：∠APC＝120°，∠BPC＝120°．∴P是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．故答案為：是．（2）∵∠PAB+∠PBA＝180°﹣∠APB＝60°，∠PBC+∠PBA＝∠ABC＝60°，∴∠PAB＝∠PBC，又∵∠APB＝∠BPC＝120°，∴△ABP∽△BCP．（3）如圖2所示：①∵△ABE與△ACD都為等邊三角形，∴∠BAE＝∠CAD＝60°，AE＝AB，AC＝AD，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，在△ACE和△ABD中，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴∠1＝∠2，∵∠3＝∠4，∴∠CPD＝∠6＝∠5＝60°；②證明：∵△ADF∽△CFP，∴AF?CF＝DF?PF，∵∠AFP＝∠CFD，∴△AFP∽△CDF．∴∠APF＝∠ACD＝60°，∴∠APC＝∠CPD+∠APF＝120°，∴∠BPC＝120°，∴∠APB＝360°﹣∠BPC﹣∠APC＝120°，∴P點(diǎn)為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．8．定義：在一個等腰三角形底邊的高線上所有點(diǎn)中，到三角形三個頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)叫做這個等腰三角形的“近點(diǎn)”，“近點(diǎn)”到三個頂點(diǎn)距離之和叫做這個等腰三角形的“最近值”．【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD為BC邊上的高，已知AD上一點(diǎn)E滿足∠DEC＝60°，AC＝，求AE+BE+CE＝12+；【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，等邊三角形ABC邊長為，E為高線AD上的點(diǎn)，將三角形AEC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到三角形AFG，連接EF，請你在此基礎(chǔ)上繼續(xù)探究求出等邊三角形ABC的“最近值”；【拓展提高】（3）如圖3，在菱形ABCD中，過AB的中點(diǎn)E作AB垂線交CD的延長線于點(diǎn)F，連接AC、DB，已知∠BDA＝75°，AB＝6，求三角形AFB“最近值”的平方．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AC＝，∴BD＝CD＝AD＝，∵∠DEC＝60°，∴DE＝＝4，∴AE＝AD﹣DE＝，CE＝BE＝2DE＝8，∴AE+BE+CE＝+8×2＝12+；故答案為：12+；（2）由題意可得：AE＝AF，∠EAF＝60°，∴△EAF為等邊三角形，∴AE＝EF＝AF，∴AE+BE+CE＝EF+BE+GF，∵B、G兩點(diǎn)均為定點(diǎn)，∴當(dāng)B、E、F、G四點(diǎn)共線時，EF+BE+GF最小，∴∠AEB＝120°，∠AEC＝∠AFG＝120°，∴∠BEC＝120°，∴此時E點(diǎn)為等邊△ABC的中心，∴AE+BE+CE＝3AE＝＝12，故等邊三角形ABC的“最近值”為12；（3）如圖，過點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M，∵∠BDA＝75°，AB＝AD，∴∠DAB＝30°，∴2DM＝AD＝AB，∵AB∥CD，∴EF＝DM，∴2EF＝AB，∴AE＝BE＝EF＝3，∴△AEF與△BEF均為等腰直角三角形，∴△ABF為等腰直角三角形，設(shè)P為EF上一點(diǎn)，由（2）得：∠APF＝∠BPF＝∠APB＝120°時，PA+PB+PF最小，此時：EP＝＝，∴AP＝BP＝2EP＝，F(xiàn)P＝EF﹣EP＝3﹣，∴AP+BP+FP＝＝3+，∴（AP+BP+FP）2＝＝，∴三角形AFB“最近值”的平方為．9．如圖①，點(diǎn)M為銳角三角形ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AM、BM、CM．以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE，將BM繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN．（1）求證：△AMB≌△ENB；（2）若AM+BM+CM的值最小，則稱點(diǎn)M為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．若點(diǎn)M為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，試求此時∠AMB、∠BMC、∠CMA的度數(shù)；（3）小翔受以上啟發(fā)，得到一個作銳角三角形費(fèi)馬點(diǎn)的簡便方法：如圖②，分別以△ABC的AB、AC為一邊向外作等邊△ABE和等邊△ACF，連接CE、BF，設(shè)交點(diǎn)為M，則點(diǎn)M即為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．試說明這種作法的依據(jù)．解：（1）證明：∵△ABE為等邊三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN．在△AMB與△ENB中，∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）．（2）連接MN．由（1）知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN為等邊三角形．∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴當(dāng)E、N、M、C四點(diǎn)共線時，AM+BM+CM的值最?。藭r，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．（3）由（2）知，△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)在線段EC上，同理也在線段BF上．因此線段EC與BF的交點(diǎn)即為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．10．問題提出（1）如圖①，已知△OAB中，OB＝3，將△OAB繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△OA′B′，連接BB′．則BB′＝3；問題探究（2）如圖②，已知△ABC是邊長為4的等邊三角形，以BC為邊向外作等邊△BCD，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段CP繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)60°，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q．①求證：△DCQ≌△BCP；②求PA+PB+PC的最小值；問題解決（3）如圖③，某貨運(yùn)場為一個矩形場地ABCD，其中AB＝500米，AD＝800米，頂點(diǎn)A，D為兩個出口，現(xiàn)在想在貨運(yùn)廣場內(nèi)建一個貨物堆放平臺P，在BC邊上（含B，C兩點(diǎn)）開一個貨物入口M，并修建三條專用車道PA，PD，PM．若修建每米專用車道的費(fèi)用為10000元，當(dāng)M，P建在何處時，修建專用車道的費(fèi)用最少？最少費(fèi)用為多少？（結(jié)果保留整數(shù)）解：問題提出：（1）由旋轉(zhuǎn)有，∠∠BOB′＝90°，OB＝3，根據(jù)勾股定理得，BB′＝3，故答案為：3；問題探究：（2）①∵△BDC是等邊三角形，∴CD＝CB，∠DCB＝60°，由旋轉(zhuǎn)得，∠PCQ＝60°，PC＝QC，∴∠DCQ＝∠BCP，在△DCQ和△BCP中∴△DCQ≌△BCP；②如圖1，連接PQ，∵PC＝CQ，∠PCQ＝60°∴△CPQ是等邊三角形，∴PQ＝PC，由①有，DQ＝PB，∴PA+PB+PC＝AP+PQ+QD，由兩點(diǎn)之間線段最短得，AP+PQ+QD≥AD，∴PA+PB+PC≥AD，∴當(dāng)點(diǎn)A，P，Q，D在同一條直線上時，PA+PB+PC取最小值為AD的長，作DE⊥AB，∵△ABC為邊長是4的等邊三角形，∴CB＝AC＝4，∠BCA＝60°，∴CD＝CB＝4，∠DCE＝60°，∴DE＝6，∠DAE＝∠ADC＝30°，∴AD＝12，即：PA+PB+PC取最小值為12；實(shí)際應(yīng)用：（3）如圖2，連接AM，DM，將△ADP繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得△AP′D′，由（2）知，當(dāng)M，P，P′，D′在同一條直線上時，AP+PM+DP最小，最小值為D′N，∵M(jìn)在BC上，∴當(dāng)D′M⊥BC時，D′M取最小值，設(shè)D′M交AD于E，∵△ADD′是等邊三角形，∴EM＝AB＝500，∴BM＝400，PM＝EM﹣PE＝500﹣，∴D′E＝AD＝400，∴D′M＝400+500，∴最少費(fèi)用為10000×（400+500）＝1000000（4+5）萬元；∴M建在BC中點(diǎn)（BM＝400米）處，點(diǎn)P在過M且垂直于BC的直線上，且在M上方（500﹣）米處，最少費(fèi)用為1000000（4+5）萬元．11．【問題情境】如圖1，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，BC＝5，則△ABC的外接圓的半徑值為5．【問題解決】如圖2，點(diǎn)P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且∠BPC＝90°，若AB＝4，求AP的最小值．【問題解決】如圖3，正方形ABCD是一個邊長為3cm的隔離區(qū)域設(shè)計(jì)圖，CE為大門，點(diǎn)E在邊BC上，CE＝cm，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)設(shè)立的一個活動崗哨，到B、E的張角為120°，即∠BPE＝120°，點(diǎn)A、D為另兩個固定崗哨．現(xiàn)需在隔離區(qū)域內(nèi)部設(shè)置一個補(bǔ)水供給點(diǎn)Q，使得Q到A、D、P三個崗哨的距離和最小，試求QA+QD+QP的最小值．（保留根號或結(jié)果精確到1cm，參考數(shù)據(jù)≈1.7，10.52＝110.25）．解：（1）如圖1，作△ABC的外接圓O，作直徑AD，連接OB，∵AB＝AC，∴AO⊥BC，∠BAO＝60°，∵OA＝OB，∴△OBA是等邊三角形，∴AB＝OA＝OB，設(shè)AD與BC交于點(diǎn)E，BE＝BC＝，在直角三角形ABE中，∵sin∠BAO＝，∴sin60°＝＝，∴AB＝5，∴OA＝5，故答案為：5；（2）如圖2，∵∠BPC＝90°，∴點(diǎn)在以BC為直徑的圓上，設(shè)圓心為點(diǎn)O，則OP＝BC＝2，∴O，P，A三點(diǎn)線時AP最小，在直角三角形ABO中，AO＝＝2，∵PO＝2，∴AP的最小值為：AO﹣PO＝2﹣2；（3）如圖3，設(shè)∠BPE所在圓的圓心為點(diǎn)O，根據(jù)（1）可得∠BPE所在圓的半徑為＝2，以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心，將△DQA順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△DFN，當(dāng)N，F(xiàn)，Q，P，O共線時，QA+QD+QP最小，過點(diǎn)N作NG⊥AB交BA的延長線于點(diǎn)G，連接AN，則△AND是等邊三角形，過點(diǎn)O作OM⊥GN于M交BC于點(diǎn)H，連接OB，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BC∥GN，∴OH⊥BC，∵BE＝2，∴BH＝，∴OH＝＝1，∵AD＝DN，∠ADN＝60°，∴△AND是等邊三形，且AN＝3，∠NAD＝60°，∴∠GAN＝30°，∴GN＝ANsin30°＝，AG＝ANcos30°＝，∴OM＝OH+AB+AG＝+1+3＝+3，MN＝GN﹣BH＝﹣＝，∴ON＝＝≈11，∴QA+QD+QP最小值為：11﹣2＝9（cm）．12．已知拋物線y＝﹣x2+bx+4的對稱軸為x＝1，與y交于點(diǎn)A，與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，作平行四邊形ABOC并將此平行四邊形繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到平行四邊形A′B′O′C′．（1）求拋物線的解析式和點(diǎn)A、C的坐標(biāo)；（2）求平行四邊形ABOC和平行四邊形A′B′O′C′重疊部分△OC′D的周長；（3）若點(diǎn)P為△AOC內(nèi)一點(diǎn)，直接寫出PA+PC+PO的最小值（結(jié)果可以不化簡）以及直線CP的解析式．解：（1）由已知得，x＝﹣＝1，則b＝1，拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+4，∴A（0，4），令