2025年中考數(shù)學(xué)專題27 托勒密定理（原卷版）

模型介紹模型介紹1.托勒密定理：圓的內(nèi)接四邊形中，兩對(duì)角線所包矩形的面積等于一組對(duì)邊所包矩形的面積與另一組對(duì)邊所包矩形的面積之和．翻譯：在四邊形ABCD中，若A、B、C、D四點(diǎn)共圓，則．證明：在線段BD上取點(diǎn)E，使得∠BAE=∠CAD，易證△AEB∽△ADC，∴，即，當(dāng)∠BAE=∠CAD時(shí)，可得：∠BAC=∠EAD，易證△ABC∽△AED，∴，即，∴，∴．2.（托勒密不等式）：對(duì)于任意凸四邊形ABCD，有證明：如圖1，在平面中取點(diǎn)E使得∠BAE=∠CAD，∠ABE=∠ACD，易證△ABE∽△ACD，∴，即①，連接DE，如圖2，∵，∴，又∠BAC=∠BAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE=∠DAE，∴△ABC∽△AED，∴，即②，將①+②得：，∴即，當(dāng)且僅當(dāng)A、B、C、D共圓時(shí)取到等號(hào)．3.托勒密定理在中考題中的應(yīng)用（1）當(dāng)△ABC是等邊三角形時(shí)，如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在弧AC上時(shí)，根據(jù)托勒密定理有：，又等邊△ABC有AB=AC=BC，故有結(jié)論：．證明：在BD上取點(diǎn)E使得DE=DA，易證△AEB∽△ADC，△AED∽△ABC，利用對(duì)應(yīng)邊成比例，可得：．如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在弧BC上時(shí)，結(jié)論：DA=DB+DC．【小結(jié)】雖然看似不同，但根據(jù)等邊的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，圖1和圖2并無(wú)區(qū)別．（2）當(dāng)△ABC是等腰直角三角形，如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在弧BC上時(shí)，根據(jù)托勒密定理：，又，代入可得結(jié)論：．如圖4，當(dāng)點(diǎn)D在弧AC上時(shí)，根據(jù)托勒密定理：，又，代入可得結(jié)論：．（3）當(dāng)△ABC是一般三角形時(shí)，若記BC：AC：AB=a：b：c，根據(jù)托勒密定理可得：例題精講例題精講【例1】．如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，AB＝2，則對(duì)角線BD的長(zhǎng)為．變式訓(xùn)練【變式1-1】．先閱讀理解：托勒密（Ptolemy古希臘天文學(xué)家）定理指出：圓內(nèi)接凸四邊形兩組對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積．即：如果四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，則有AB?CD+AD?BC＝AC?BD．再請(qǐng)完成：（1）如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BC是⊙O的直徑，如果AB＝AC＝，CD＝1，求AD的長(zhǎng)．（2）在（1）的條件下，如圖2，設(shè)對(duì)邊BA、CD的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)為P，求PA、PD的長(zhǎng)．【變式1-2】．如圖1，已知⊙O內(nèi)接四邊形ABCD，求證：AC?BD＝AB?CD+AD?BC．證明：如圖1，在BD上取一點(diǎn)P，連接CP，使∠PCB＝∠DCA，即使∠1＝∠2．∵在⊙O中，∠3與∠4所對(duì)的弧都是，∴∠3＝∠4．∴△ACD∽△BCP．∴＝．∴AC?BP＝AD?BC．①又∵∠2＝∠1，∴∠2+∠7＝∠1+∠7．即∠ACB＝∠DCP．∵在⊙O中，∠5與∠6所對(duì)的弧都是，∴∠5＝∠6．∴△ACB∽△DCP．…（1）任務(wù)一：請(qǐng)你將“托勒密定理”的證明過(guò)程補(bǔ)充完整；（2）任務(wù)二：如圖2，已知Rt△ABC內(nèi)接于⊙O，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD平分∠ACB交⊙O于點(diǎn)D，求CD的長(zhǎng)．【例2】．托勒密定理：圓的內(nèi)接四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積．已知：如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O．求證：AB?DC+AD?BC＝AC?BD．證明：如圖2，作∠BAE＝∠CAD，交BD于點(diǎn)E，……∴△ABE∽△ACD，∴AB?DC＝AC?BE，……∴△ABC∽△AED，∴AD?BC＝AC?ED，∴AB?DC+AD?BC＝AC?BE+AC?ED＝AC（BE+ED）＝AC?BD．（1）請(qǐng)幫這位同學(xué)寫(xiě)出已知和求證，并完成證明過(guò)程；（2）如圖3，已知正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，AB＝1，求對(duì)角線BD的長(zhǎng)．變式訓(xùn)練【變式2-1】．已知：如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O．求證：AB?CD+BC?AD＝AC?BD下面是該結(jié)論的證明過(guò)程：證明：如圖2，作∠BAE＝∠CAD，交BD于點(diǎn)E．∵＝，∠ABE＝∠ACD，∴△ABE∽△ACD，∴，∴AB?CD＝AC?BE；∵＝，∴∠ACB＝∠ADE（依據(jù)1），∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAC＝∠EAD，∴△ABC∽△AED（依據(jù)2），∴，∴AD?BC＝AC?ED；∴AB?CD+AD?BC＝AC?（BE+ED），即AB?CD+BC?AD＝AC?BD．（1）上述證明過(guò)程中的“依據(jù)1”是指；“依據(jù)2”是指．（2）當(dāng)圓內(nèi)接四邊形ABCD是矩形時(shí)，托勒密定理就是我們熟知的定理．（3）如圖3，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，求AC的長(zhǎng)．【變式2-2】．圓的內(nèi)接四邊形的兩條對(duì)角線的乘積等于兩組對(duì)邊乘積的和．即：如圖1，若四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，則有________．任務(wù)：（1）材料中劃?rùn)M線部分應(yīng)填寫(xiě)的內(nèi)容為．（2）已知，如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BD平分∠ABC，∠COD＝120°，求證：BD＝AB+BC．1．如圖，以Rt△ABC的斜邊BC為一邊在△ABC的同側(cè)作正方形BCEF，對(duì)角線交于點(diǎn)O，連接AO，如果AB＝4，AO＝4，那么AC的長(zhǎng)等于（）A．12 B．16 C．4 D．82．如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，點(diǎn)C為弧BD的中點(diǎn)，則AC的長(zhǎng)是．3．如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，點(diǎn)D在底邊BC上，且∠DAC＝∠ACD，將△ACD沿著AD所在直線翻折，使得點(diǎn)C落到點(diǎn)E處，聯(lián)結(jié)BE，那么BE的長(zhǎng)為．4．如圖，P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，CP＝CD，AP⊥BP，則的值為．5．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是6，對(duì)角線的交點(diǎn)為O，點(diǎn)E在邊CD上且CE＝2，CF⊥BE，連接OF，則：（1）∠OFB°；（2）OF＝．6．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D為BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥DF，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．若CF＝，AC＝4，AB＝2．則AE＝．7．設(shè)△ABC是正三角形，點(diǎn)P在△ABC外，且與點(diǎn)A在直線BC異側(cè)，∠BPC＝120°，求證：PA＝PB+PC．8．⊙O半徑為2，AB，DE為兩條直線．作DC⊥AB于C，且C為AO中點(diǎn)，P為圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．求2PC+PE的最小值．9．如圖，點(diǎn)P為等邊△ABC外接圓，劣弧為BC上的一點(diǎn)．（1）求∠BPC的度數(shù)；（2）求證：PA＝PB+PC．10．如圖，⊙O的直徑AB的長(zhǎng)為10，弦BD的長(zhǎng)為6，點(diǎn)C為上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B的切線EF，連接AD，CD，CB；（1）求證：∠CDB＝∠CBF；（2）若點(diǎn)D為的中點(diǎn)，求CD的長(zhǎng)．11．閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．托勒密定理：托勒密（Ptolemy）（公元90年～公元168年），希臘著名的天文學(xué)家，他的要著作《天文學(xué)大成》被后人稱為“偉大的數(shù)學(xué)書(shū)”，托勒密有時(shí)把它叫作《數(shù)學(xué)文集》，托勒密從書(shū)中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptolemy）定理．托勒密定理：圓內(nèi)接四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積等于兩組對(duì)邊乘積之和．已知：如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，求證：AB?CD+BC?AD＝AC?BD下面是該結(jié)論的證明過(guò)程：證明：如圖2，作∠BAE＝∠CAD，交BD于點(diǎn)E．∵∴∠ABE＝∠ACD∴△ABE∽△ACD∴∴AB?CD＝AC?BE∵∴∠ACB＝∠ADE（依據(jù)1）∵∠BAE＝∠CAD∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC即∠BAC＝∠EAD∴△ABC∽△AED（依據(jù)2）∴AD?BC＝AC?ED∴AB?CD+AD?BC＝AC?（BE+ED）∴AB?CD+AD?BC＝AC?BD任務(wù)：（1）上述證明過(guò)程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？（2）當(dāng)圓內(nèi)接四邊形ABCD是矩形時(shí)，托勒密定理就是我們非常熟知的一個(gè)定理：．（請(qǐng)寫(xiě)出）（3）如圖3，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，求AC的長(zhǎng)．12．在學(xué)習(xí)了《圓》和《相似》的知識(shí)后，小明自學(xué)了一個(gè)著名定理“托勒密定理：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角線的乘積等于兩組對(duì)邊乘積之和．”（1）下面是小明對(duì)托勒密定理的證明和應(yīng)用過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整．已知：四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O．求證：AC?BD＝AB?CD+AD?BC．證明：作∠CDE＝∠BDA，交AC于點(diǎn)E，∵⊙O中，∠1＝∠2，∴△ABD∽△ECD（）．∴．∴AB?CD＝BD?EC①，．又∵∠BDA+∠3＝∠CDE+∠3，即∠ADE＝∠BDC，∴△DAE∽△DBC（）．∴．∴AD?BC＝BD?AE②．，∴AB?CD+AD?BC＝AC?BD．（2）利用托勒密定理解決問(wèn)題：是否存在一個(gè)圓內(nèi)接四邊形，它的兩條對(duì)角線長(zhǎng)為5和，一組對(duì)邊長(zhǎng)為1和3，另一組對(duì)邊的和為4．若存在，求出未知的兩邊；若不存在，說(shuō)明理由．13．閱讀下列相關(guān)材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．布拉美古塔定理婆羅摩笈多是古印度著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他編著了《婆羅摩修正體系》，他曾經(jīng)提出了“婆羅摩笈多定理”，也稱“布拉美古塔定理”．定理的內(nèi)容是：若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線互相垂直，則垂直于一邊且過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)的直線平分對(duì)邊．某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)寫(xiě)出了這個(gè)定理的已知和求證．已知：如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，對(duì)角線AC⊥BD，垂足為P，過(guò)點(diǎn)P作AB的垂線分別交AB，DC于點(diǎn)H，M．求證：M是CD的中點(diǎn)任務(wù)：（1）請(qǐng)你完成這個(gè)定理的證明過(guò)程．（2）該數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在該定理的基礎(chǔ)上寫(xiě)出了另外一個(gè)命題：若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線互相垂直，則一邊中點(diǎn)與對(duì)角線交點(diǎn)的連線垂直于對(duì)邊請(qǐng)判斷此命題是命題．（填“真”或“假”）（3）若PD＝2，HP＝，BP＝3，求MH的長(zhǎng)．14．已知△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，連接DB，DC．（1）如圖①，當(dāng)∠BAC＝120°時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AB，AC，AD之間滿足的等量關(guān)系式：；（2）如圖②，當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，試探究線段AB，AC，AD之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）如圖③，若BC＝5，BD＝4，求的值．15．問(wèn)題探究：（1）已知：如圖①，△ABC中請(qǐng)你用尺規(guī)在BC邊上找一點(diǎn)D，使得點(diǎn)A到點(diǎn)BC的距離最短．（2）托勒密（Ptolemy）定理指出，圓的內(nèi)接四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積．如圖②，P是正△ABC外接圓的劣弧BC上任一點(diǎn)（不與B、C重合），請(qǐng)你根據(jù)托勒密（Ptolemy）定理證明：PA＝PB+PC．問(wèn)題解決：（3）如圖③，某學(xué)校有一塊兩直角邊長(zhǎng)分別為30m、60m的直角三角形的草坪，現(xiàn)準(zhǔn)備在草坪內(nèi)放置一對(duì)石凳及垃圾箱在點(diǎn)P處，使P到A、B、C三點(diǎn)的距離之和最小，那么是否存在符合條件的點(diǎn)P？若存在，請(qǐng)作出點(diǎn)P的位置，并求出這個(gè)最短距離（結(jié)果保留根號(hào)）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．16．（1）方法選擇如圖①，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，連接AC，BD，AB＝BC＝AC．求證：BD＝AD+CD．小穎認(rèn)為可用截長(zhǎng)法證明：在DB上截取DM＝AD，連接AM…小軍認(rèn)為可用補(bǔ)短法證明：延長(zhǎng)CD至點(diǎn)N，使得DN＝AD…請(qǐng)你選擇一種方法證明．（2）類比探究【探究1】如圖②，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，連接AC，BD，BC是⊙O的直徑，AB＝AC．試用等式表示線段AD，BD，CD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【探究2】如圖③，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，連接AC，BD．若BC是⊙O的直徑，∠ABC＝30°，則線段AD，BD，CD之間的等量關(guān)系式是．（3）拓展猜想如圖④，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，連接AC，BD．若BC是⊙O的直徑，BC：AC：AB＝a：b：c，則線段AD，BD，CD之間的等量關(guān)系式是．17．?dāng)?shù)學(xué)課上，張老師出示了問(wèn)題：如圖1，AC，BD是四邊形ABCD的對(duì)角線，若∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝60°，則線段BC，CD，AC三者之間有何等量關(guān)系？經(jīng)過(guò)思考，小明展示了一種正確的思路：如圖2，延長(zhǎng)CB到E，使BE＝CD，連接AE，證得△ABE≌△ADC，從而容易證明△ACE是等邊三角形，故AC＝CE，所以AC＝BC+CD．小亮展示了另一種正確的思路：如圖3，將△ABC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使AB與AD重合，從而容易證明△ACF是等邊三角形，故AC＝CF，所以AC＝BC+CD．在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：（1）小穎提出：如圖4，如果把“∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝60°”改為“∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝45°”，其它條件不變，那么線段BC，CD，AC三者之間有何等量關(guān)系？針對(duì)小穎提出的問(wèn)題，請(qǐng)你寫(xiě)出結(jié)論，并給出證明．（2）小華提出：如圖5，如果把“∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝60°”改為“∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝α”，其它條件不變，那么線段BC，CD，AC三者之間有何等量關(guān)系？針對(duì)小華提出的問(wèn)題，請(qǐng)你寫(xiě)出結(jié)論，不用證明．18．問(wèn)題背景：如圖①，在四邊形ADBC中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，探究線段AC，BC，CD之間的數(shù)量關(guān)系．小吳同學(xué)探究此問(wèn)題的思路是：將△BCD繞點(diǎn)D，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△AED處，點(diǎn)B，C分別落在點(diǎn)A，E處（如圖②），易證點(diǎn)C，A，E在同一條直線上，并且△CDE