2025年中考數(shù)學專題67 反比例函數(shù)背景下的全等、相似問題（原卷版）

例題精講例題精講考點1反比例函數(shù)與全等三角形綜合問題【例1】．如圖，把一個等腰直角三角形放在平面直角坐標系中，∠ACB＝90°，點C（﹣1，0），點B在反比例函數(shù)y＝的圖象上，且y軸平分∠BAC，則k的值是________變式訓練【變1-1】．如圖，在平面直角坐標系中，Rt△ABC的斜邊AB在x軸上，點C在y軸上，∠BAC＝30°，點A的坐標為（﹣3，0），將△ABC沿直線AC翻折，點B的對應點D恰好落在反比例函數(shù)的圖象上，則k的值為（）A． B．﹣2 C．4 D．﹣4【變1-2】．如圖，點A是反比例函數(shù)y＝圖象上的一動點，連接AO并延長交圖象的另一支于點B．在點A的運動過程中，若存在點C（m，n），使得AC⊥BC，AC＝BC，則m，n滿足_______(填等量關系）考點2反比例函數(shù)與相似三角形綜合問題【例2】．如圖，在平面直角坐標系中，四邊形AOBD的邊OB與x軸的正半軸重合，AD∥OB，DB⊥x軸，對角線AB，OD交于點M．已知AD：OB＝2：3，△AMD的面積為4．若反比例函數(shù)y＝的圖象恰好經(jīng)過點M，則k的值為（）A． B． C． D．12變式訓練【變2-1】．如圖，已知第一象限內(nèi)的點A在反比例函數(shù)y＝上，第二象限的點B在反比例函數(shù)y＝上，且OA⊥OB，＝，則k的值為（）A． B．﹣ C．﹣ D．﹣3【變2-2】．如圖，Rt△ABC的直角邊BC在x軸正半軸上，斜邊AC邊上的中線BD反向延長線交y軸負半軸于E，雙曲線的圖象經(jīng)過點A，若S△BEC＝8，則k等于（）A．8 B．16 C．24 D．28【變2-3】．如圖，在等腰△AOB中，AO＝AB，頂點A為反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上一點，點B在x軸的正半軸上，過點B作BC⊥OB，交反比例函數(shù)y＝的圖象上于點C，連接OC交AB于點D，若△BCD的面積為2，則k的值為（）A．18 B．20 C．22 D．211．如圖，AB⊥x軸，B為垂足，雙曲線y＝（x＞0）與△AOB的兩條邊OA，AB分別相交于C，D兩點，OC＝CA，且△ABC的面積為3，則k等于（）A．4 B．2 C．3 D．12．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點A在反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象上，點B，C在x軸上，OC＝OB，延長AC交y軸于點D，連接BD，若△BCD的面積等于1，則k的值為（）A．3 B．2 C． D．43．如圖所示，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，頂點A，B分別在反比例函數(shù)y＝（x＞0）與y＝﹣（x＜0）的圖象上，則tan∠BAO的值為（）A． B． C． D．4．如圖，函數(shù)y＝﹣（x＜0）的圖象經(jīng)過Rt△ABO斜邊OB的中點D，與直角邊AB相交于C，連接AD．若AD＝3，則△ABO的周長為（）A．12 B．6+ C．6+2 D．6+25．如圖，長方形ABCD的頂點A、B均在y軸的正半軸上，點C在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，對角線DB的延長線交x軸于點E，連接AE，已知S△ABE＝1，則k的值是（）A．1 B． C．2 D．46．如圖，直線y＝x+2與反比例函數(shù)y＝的圖象在第一象限交于點P，若OP＝，則k的值為．7．已知一次函數(shù)y＝2x+4的圖象分別交x軸、y軸于A、B兩點，若這個一次函數(shù)的圖象與一個反比例函數(shù)的圖象在第一象限交于點C，且AB＝2BC，則這個反比例函數(shù)的表達式為．8．在平面直角坐標系xOy中，點A，B在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，且點A與點B關于直線y＝x對稱，C為AB的中點，若AB＝4，則線段OC的長為．9．如圖，△OMN是邊長為10的等邊三角形，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象與邊MN、OM分別交于點A、B（點B不與點M重合）．若AB⊥OM于點B，則k的值為．10．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，C（0，﹣3），CD＝3AD，點A在反比例函數(shù)y＝圖象上，且y軸平分∠ACB，求k＝．11．如圖，矩形OABC的兩邊落在坐標軸上，反比例函數(shù)y＝的圖象在第一象限的分支過AB的中點D交OB于點E，連接EC，若△OEC的面積為12，則k＝．12．如圖，在平面直角坐標系中，∠OAB＝60°，∠AOB＝90°，反比例函數(shù)y1＝的圖象經(jīng)過點A，反比例函數(shù)y2＝﹣的圖象經(jīng)過點B，則m的值為．13．如圖，線段OA與函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點B，且AB＝2OB，點C也在函數(shù)y＝（x＞0）圖象上，連結AC并延長AC交x軸正半軸于點D，且AC＝3CD，連結BC，若△BCD的面積為3，則k的值為．14．如圖，在平面直角坐標系中，點A、B在函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象上，過點A作x軸的垂線，與函數(shù)y＝﹣（x＞0）的圖象交于點C，連接BC交x軸于點D．若點A的橫坐標為1，BC＝3BD，則點B的橫坐標為．15．如圖，在△ABC中，邊AB在x軸上，邊AC交y軸于點E．反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象恰好經(jīng)過點C，與邊BC交于點D．若AE＝CE，CD＝2BD，S△ABC＝6，則k＝．16．如圖，A為反比例函數(shù)（其中x＞0）圖象上的一點，在x軸正半軸上有一點B，OB＝4．連接OA，AB，且OA＝AB＝2．過點B作BC⊥OB，交反比例函數(shù)（其中x＞0）的圖象于點C，連接OC交AB于點D，則的值為．17．如圖，已知菱形ABCD的對角線相交于坐標原點O，四個頂點分別在雙曲線y＝和y＝（k＜0）上，＝，平行于x軸的直線與兩雙曲線分別交于點E，F(xiàn)，連接OE，OF，則△OEF的面積為．18．如圖，已知直線l：y＝﹣x+4分別與x軸、y軸交于點A，B，雙曲線（k＞0，x＞0）與直線l不相交，E為雙曲線上一動點，過點E作EG⊥x軸于點G，EF⊥y軸于點F，分別與直線l交于點C，D，且∠COD＝45°，則k＝．19．如圖，平行四邊形ABCD的頂點C在y軸正半軸上，CD平行于x軸，直線AC交x軸于點E，BC⊥AC，連接BE，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過點D，已知S△BCE＝2，則k的值是．20．如圖，A為反比例函數(shù)y＝（其中x＞0）圖象上的一點，在x軸正半軸上有一點B，OB＝4．連接OA，AB，且OA＝AB．過點B作BC⊥OB，交反比例函數(shù)y＝（其中x＞0）的圖象于點C，連接OC交AB于點D，則的值為．21．如圖，點A在反比例函數(shù)第一象限內(nèi)圖象上，點B在反比例函數(shù)第三象限內(nèi)圖象上，AC⊥y軸于點C，BD⊥y軸于點D，交于點E，若BO＝CE，則k的值為．22．如圖，菱形ABCD的四個頂點均在坐標軸上，對角線AC、BD交于原點O，AE⊥BC于E點，交BD于M點，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過線段DC的中點N，若BD＝4，則ME的長為．23．如圖，平面坐標系中，AB交矩形ONCM于E、F，若＝（m＞1），且雙曲線y＝也過E、F兩點，記S△CEF＝S1，S△OEF＝S2，用含m的代數(shù)式表示．24．如圖，在平面直角坐標系中，點P、Q在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，PA、QB分別垂直x軸于點A、B，PC、QD分別垂直y軸于點C、D．設點P的橫坐標為m，點Q的縱坐標為n，△PCD的面積為S1，△QAB的面積為S2．（1）當m＝2，n＝3時，求S1、S2的值；（2）當△PCD與△QAB全等時，若m＝3，直接寫出n的值．25．如圖，一次函數(shù)y＝k1x+b的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象相交于A（1，2）、B（﹣2，n）兩點．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象，直接寫出滿足k1x+b＞的x的取值范圍；（3）若點P在線段AB上，且S△AOP：S△BOP＝1：4，求點P的坐標．26．如圖，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝5，分別以OA、OC所在直線為x軸、y軸，建立平面直角坐標系，D是邊CB上的一個動點（不與C、B重合），反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象經(jīng)過點D且與邊BA交于點E，連接DE．（1）連接OE，若△EOA的面積為2，則k＝；（2）連接CA、DE與CA是否平行？請說明理由；（3）是否存在點D，使得點B關于DE的對稱點在OC上？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．27．如圖，點A和點E（2，1）是反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上的兩點，點B在反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象上，分別過點A、B作y較的垂線，垂足分別為點C、D，AC＝BD，連接AB交y軸于點F．（1）求k；（2）設點A的橫坐標為a，點F的縱坐標為m，求證：am＝﹣2．（3）連接CE、DE，當∠CED＝90°時，求A的坐標．28．已知在平面直角坐標系xOy中，點A是反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上的一個動點，連結AO，AO的延長線交反比