2024年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：數(shù)列大題基礎(chǔ)練（解析版）

2024年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)突破數(shù)列大題基礎(chǔ)練（解析版）

數(shù)列大題基礎(chǔ)練-新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

分層訓(xùn)練（新高考通用）

1.（2022?浙江?模擬預(yù)測(cè)）己知數(shù)列｛?！埃凉M足，a?+1=??+2.（-1）".

（1）若4=1,數(shù)列｛%,｝的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列｛?！埃秊榈缺葦?shù)列，求為.

2.（2022?海南省直轄縣級(jí)單位?校聯(lián)考一模）等差數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)4=1,且滿足a2+%=12,數(shù)列抄/滿足

a=2?！?

（1）求數(shù)列｛?！埃耐?xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列｛"｝的前〃項(xiàng)和是北，求人

3.（2023?黑龍江大慶?統(tǒng)考一模）設(shè)｛%｝是公差不為0的等差數(shù)列，％=2,%是為，%的等比中項(xiàng).

⑴求｛%｝的通項(xiàng)公式；

3

⑵設(shè)〃=——，求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和

anan+\

4.（2023?廣東惠州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列｛%｝中，％=2,a?+1=2a?-l.

⑴求證：數(shù)列｛%-1｝是等比數(shù)列；

⑵若bn=a?+n,求數(shù)列也｝的前n項(xiàng)和T?.

5.（2023?廣東江門?統(tǒng)考一模）已知數(shù)列｛%｝（"N+）滿足為=1,%包=也土且"=".

n"

⑴求數(shù)列｛"｝是通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和S”.

6.（2023?江蘇?統(tǒng)考一模）己知等比數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且出+%+%=39,%=2%+3%.

⑴求｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵數(shù)列也｝滿足。=一,求也｝的前力項(xiàng)和Tn.

7.（2023?重慶?統(tǒng)考二模）已知數(shù)列｛?！埃那啊?xiàng)和為S”,且滿足+1）?！?5,且％R-5.

⑴求證:數(shù)列為常數(shù)列，并求｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵若使不等式5“>20成立的最小整數(shù)為7,且為eZ,求生和S”的最小值.

,、an+\

8.（2023?海南?？?校考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S.，為=4,.

2n

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵記g=*-l,數(shù)列｛g｝的前"項(xiàng)和為7；,求;+/+…+J的值.

9.（2023?山東青島?統(tǒng)考一模）已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為*,公差4*0,邑，/，工+4成等差數(shù)

列，a2,%，%成等比數(shù)列.

⑴求S“；

（2）記數(shù)列他,｝的前〃項(xiàng)和為7；,2-”=吟,證明數(shù)列1

為等比數(shù)列，并求抄,｝的通項(xiàng)公式.

10.（2023?山東濟(jì)南?一模）已知數(shù)列｛%｝滿足%=l,f+1-（〃+1）%=1.

⑴若數(shù)列｛"｝滿足"=4，證明：｛4｝是常數(shù)數(shù)列；

n

（2）若數(shù)列仁｝滿足c“=sin（支1+2"“，求｛%｝的前2〃項(xiàng)和邑“.

11.（2022?遼寧鞍山?統(tǒng)考一模）已知等差數(shù)列｛。,｝滿足首項(xiàng)為1。8315-1。8310+；1。834的值，且%+%=18.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)“二一1—,求數(shù)列也｝的前“項(xiàng)和人

anan+\

12.（2023?廣東?統(tǒng)考一模）已知各項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列｛叫，前〃項(xiàng)和與滿足a；=2S"—"（〃eN*）.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.

⑵記只是數(shù)歹的前〃項(xiàng)和，2是數(shù)歹的前〃項(xiàng)和.當(dāng)〃22時(shí)，試比較只與?！钡拇笮?

〔S"

13.（2022?吉林長(zhǎng)春?東北師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）從①E,=〃，+言］；②邑=4，%=%2；③/=2,%

是的,4的等比中項(xiàng)這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面橫線上，并解答.

已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為s“，公差d不等于零，.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵若b?=邑,“-%,數(shù)列也｝的前n項(xiàng)和為匕，求wn.

14.(2022?廣東珠海?珠海市第三中學(xué)統(tǒng)考二模)已知數(shù)列｛0｝,｛2｝的前〃項(xiàng)和分別為S“，T”,

nx2

an+bn=2-+2n-\,Tn-Sn^2"-n-1.

(1)求4,4及數(shù)列｛%｝,也｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)C“=/peN,求數(shù)列C"的前2"項(xiàng)和號(hào).

[bn,n=2k'/

15.(2022?云南大理?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且滿足q=1,二%=。向-1.

n

(1)求數(shù)列｛。“｝的通項(xiàng)公式；

⑵若數(shù)列￡,=[：'〃?嚼將，求數(shù)列｛Q｝的前2〃項(xiàng)和心.

[2〃+3/為偶數(shù)，

16.(2022?湖南永州?統(tǒng)考一模)已知數(shù)列｛%｝,｛4｝滿足：%=々=1,且%+2%-%4=0.

⑴若數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，公比為見求也｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，an+l-an=\,求也｝的前"項(xiàng)和配

17.(2022?廣東韶關(guān)?統(tǒng)考一模)已知數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)%=?,且滿足。用=%，設(shè)-1.

(1)求證：數(shù)列也｝為等比數(shù)列；

⑵若140,求滿足條件的最小正整數(shù)〃.

a2a3an

18.(2022?河北?模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為%%=3,且S.+S角=2%-3.

⑴求數(shù)列｛0“｝的通項(xiàng)公式；

(2)①bn=anlog3an；②“=------------------；③2=a“-log3an.

j34〃+2

iog3alog

從上面三個(gè)條件中任選一個(gè)，求數(shù)列也,｝的前〃項(xiàng)和.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

19.（2022?廣東廣州?統(tǒng)考一模）已知公差不為0的等差數(shù)列｛%｝中，6=1,%是%和4的等比中項(xiàng).

（1）求數(shù)列缶“｝的通項(xiàng)公式：

（2）保持?jǐn)?shù)列｛%｝中各項(xiàng)先后順序不變，在％與at+l（k=1,2,…）之間插入2J使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新

的數(shù)列也J,記也,｝的前〃項(xiàng)和為北，求心的值.

20.（2023?湖北?荊州中學(xué)校聯(lián)考二模）已知數(shù)列｛a,J,若.

（1）求數(shù)列｛%,｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列的前〃項(xiàng)和北.

I%%J

從下列三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面的橫線上，然后對(duì)題目進(jìn)行求解.

（T）Q]++%---;

②。]=1,。4=7,2a?=an_1+an+1（weN,,w^2）；

③4=1,點(diǎn)/（〃,6）,+在斜率是2的直線上.

21.（2023?江蘇南通?二模）已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為，且%=1,S；…S；=8",?6N,.

⑴求S“；

（2）在數(shù)列｛《,｝的每相鄰兩項(xiàng)%.，%+i之間依次插入%，％…，時(shí),得到數(shù)列

｛6j：%,%,a2,%,a2,a3,%,a2,a3,a4......求｛"｝的前100項(xiàng)和.

22.（2023?江蘇南通?海安高級(jí)中學(xué)?？家荒＃┮阎獢?shù)列｛%｝滿足24=4-+°用（〃22）,且

ax=2,4+%+%=18

（1）求｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)6“=（亞廣-1000,求數(shù)列也｝的前15項(xiàng)和幾（用具體數(shù)值作答）.

23.（2023?安徽?模擬預(yù)測(cè)）已知｛%｝為等差數(shù)列，也｝是公比為2的等比數(shù)列，且電--

（1）證明：4=4；

⑵求集合｛左心=。?,+知1<m<500）中元素個(gè)數(shù).

，、a5n—4

24.（2023?河北衡水?河北衡水中學(xué)?？既＃┮阎?。,｝為等差數(shù)列，工=丁二9=1.

（1）求｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）若b“=4++14）'為抄“｝的前"項(xiàng)和,求心

25.（2023?廣東廣州?統(tǒng)考二模）設(shè)數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S"，且S”=2%-2（"eN*）.

（1）求｛。,｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)-----；-------,記也｝的前〃項(xiàng)和為《，證明：Tn<\.

log2a?-log2a?+1

26.（2023?江蘇泰州?統(tǒng)考一模）在①幾邑“4成等比數(shù)列，②&=2%+2,③5=S4+品-2這三個(gè)條件中

任選兩個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并完成解答.

己知數(shù)列｛%｝是公差不為0的等差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S,,且滿足，.

⑴求｛4｝的通項(xiàng)公式；

1111

（2）求---+----+----+…+------.

。2。3。3。4anan+\

注：如果選擇多個(gè)方案分別解答，按第一個(gè)方案計(jì)分.

27.（2023?黑龍江?黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考一模）已知數(shù)列｛%｝,前“項(xiàng)和為國(guó)，且滿足練+i=2a“-a.T，n>2,

〃eN*,%+%=14,跖=70,等比數(shù)列也,｝中，bl+b2=12,且々也+6,4成等差數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛%｝和也｝的通項(xiàng)公式；

⑵記q,為區(qū)間伍也］（〃eN*）中的整數(shù)個(gè)數(shù)，求數(shù)列匕｝的前〃項(xiàng)和匕.

28.（2023?吉林?統(tǒng)考二模）已知數(shù)列的前〃項(xiàng)和為斗，％=3,數(shù)列是以2為公差的等差數(shù)列.

（1）求｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)b?=㈠）（…）,求數(shù)列出｝的前2〃項(xiàng)和耳.

44+1

29.（2023?山西?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛叫滿足。“>0,a^=anan+l+2a；,且3%,%+3,%成等差

數(shù)列.

⑴求｛%｝的通項(xiàng)公式；

a?,幾為奇數(shù)

⑵若bn=<logia“，及為偶數(shù)，求數(shù)列也｝的前2n項(xiàng)和T2?.

、2

30.(2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中?？级?已知數(shù)列｛g｝滿足：%=5,%+[=3%-4,設(shè)6“=%-2,

HGN*.

⑴求數(shù)列抄,｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè).一一^一+一仇+…+二一'("eN),求證：Tn<-.

數(shù)列大題基礎(chǔ)練-新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

分層訓(xùn)練(新高考通用)

1.(2022?浙江?模擬預(yù)測(cè))己知數(shù)列｛?！埃凉M足，a?+1=??+2.(-1)".

(1)若4=1,數(shù)列｛%,｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列｛?！埃秊榈缺葦?shù)列，求為.

【答案】(1)%=T；

⑵為=1.

【分析】(1)利用累加法求知即可；

(2)根據(jù)%+1=?！?2-(-1)"得到。2=?！?,?3=a2+2,聯(lián)立得到9=-1,然后代入求％即可.

【詳解】(1)由題意得%

所以a2n=(42"一。2"-1)+一。2片2)+…+(。2-%)+4

=2.(-1)2，，-1+2.(-1)2"2+…+2x[])+]

=-2+1=-1

(2)設(shè)數(shù)列｛%｝的公比為,

因?yàn)??！?i=。0+21),所以出=%—2,%=%+2,兩式相加得?！?%，家=%，所以q=±i,

當(dāng)4=1時(shí)，%=%=%-2不成立，所以g=-l,&=-%=%-2,解得%=1.

2.(2022?海南省直轄縣級(jí)單位?校聯(lián)考一模)等差數(shù)列㈤｝的首項(xiàng)為=1,且滿足。2+%=12,數(shù)列也,｝滿足

或=2“”.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和是看,求騫.

【答案】⑴?！?2〃-1；

,2〃+lQ

⑵小丁-1

【分析】（1）由已知可得2%+5d=12,代入4=1,求出1=2,即可得到通項(xiàng)公式；

（2）由（1）知，“=gx4",得到｛"｝是。=2為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列.進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列前〃項(xiàng)

和公式，即可求出答案.

【詳解】（1）解：設(shè)｛%｝公差為d.

由。2+。5=12可得，2%+5d=12.

又4=1,所以d=2.

所以%=l+2（?-l）=2n-l.

21

（2）解：由（1）知，bn=T-=2"-=-X4\

則恭=4,故抄/是4=2為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列.

所以/=4+%+??也=2X（4"）=2X4"2=Q_Z.

1-4333

3.（2023?黑龍江大慶?統(tǒng)考一模）設(shè)｛。,｝是公差不為0的等差數(shù)列，為=2,%是%,?！钡牡缺戎许?xiàng).

（1）求｛。,｝的通項(xiàng)公式；

3

⑵設(shè)。=——，求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和

anan+\

【答案】⑴。"=3"T

【分析】（1）設(shè)｛%｝的公差為d，由題意可得（2+24）2=2（2+101）,求出〃=3,即可求出｛%｝的通項(xiàng)公式;

（2）由裂項(xiàng)相消法求和即可得出答案.

【詳解】（1）設(shè)｛%｝的公差為d,因?yàn)椋?2,%是%,%］的等比中項(xiàng)，

所以（2+2d）=2（2+10d）,所以d2-3d=0.

因?yàn)閐/0,所以d=3,故?！?2+3（〃-1）=3〃一1.

33__1_____1

（2）因?yàn)椤?-

a/〃+i（3?-1）（3?+2）3W-13〃+2'

%

所以S〃

&i+4

4.(2023?廣東惠州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))數(shù)列｛%｝中，%=2,an+l=2an-l.

(1)求證：數(shù)列｛。0-1｝是等比數(shù)列;

⑵若bn=an+n,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和7；.

【答案】(1)證明見解析

幾23〃

(2)(=2〃+———-1

【分析】(1)由已知等式變形得出&呷=2,結(jié)合等比數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立；

(2)求出數(shù)列也,｝的通項(xiàng)公式，利用分組求和法可求得4.

【詳解】(1)解：因?yàn)?。，?2%-1,所以a“+「l=2(a“-l),

因?yàn)閝=2,貝lj%=2%—1=3,a3=2a2—1=5,L,

a—1

以此類推可知，對(duì)任意的〃GN*,anN2,所以，口r二2,

anT

又%-1=1,所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.

(2)解：由(1)可知%-1=2-〃eN*,所以a=a“+〃=2"T+〃+l,

2

又由題知Tn=4+%+4+—卜b〃=(2。+2-優(yōu)+3卜(2+4)…+g〃，+〃+1)

12M1H24W+1

=(2°+2+2+---+2-)+[2+3+4+---+(/7+l)]=yy+^2^

2

=2?+M+3H_L

2

5.(2023?廣東江門?統(tǒng)考一模)已知數(shù)列｛%｝("eN+)滿足％=1,0用=即±2%,且

nn

(1)求數(shù)列｛4｝是通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛?！埃那啊?xiàng)和S“.

【答案】⑴6”=3"

(2〃-1)3"1

⑵S〃=

44

【分析】(1)將％換為血代入%+1=如口。"中化簡(jiǎn)，根據(jù)定義即可判斷也｝為等比數(shù)列，由首項(xiàng)公比寫出

n

通項(xiàng)公式即可；

(2)由(1)中的通項(xiàng)公式求得?！保倮贸斯儒e(cuò)位相減得出前〃項(xiàng)和即可.

【詳解】(1)解：因?yàn)?。?生E%,所以削=3%，

又所以％=耳，所以臥=3,又A=q=l,

所以數(shù)列｛2｝是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以6“=3”，

(2)由(1)知，2=%=3"一，所以,

n

所以S“=1-3°+2-31+3-32+4-33+???+(?-l)-3"-2+w3n-1,

3S?=1-3'+2-32+3-33+4-34+???+(?-l)-3n-1+?-3",

兩式相減可得：-2S?=3°+31+32+33+34+---+3,,-1-?-3",

所以一2'="一"3,故S”(2〃T)3"+L

2"44

6.(2023?江蘇?統(tǒng)考一模)已知等比數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且%+%+%=39,%=2%+3%.

(1)求｛。,｝的通項(xiàng)公式；

⑵數(shù)列也,｝滿足4=一，求也｝的前〃項(xiàng)和&

an

【答案】⑴為=3"、

2_汩

⑷"44x3",

【分析】(1)根據(jù)等比數(shù)列基本量的運(yùn)算可得為,q,即可得數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)由題可得“，然后利用錯(cuò)位相減法求解即可；或利用裂項(xiàng)相消法求和即得.

【詳解】⑴設(shè)數(shù)列叫的公比為qq>0,貝1J丫，，，《>0,解得，

=2a]/+3%g2[g=3

所以4=3內(nèi)，即｛??｝的通項(xiàng)公式為an=3"T；

(2)方法一：由題可知”=言，

皿T123n-\n

貝K=l+-r1+-r2+---+—r+-r，

333“23"T

所以》=1+:+:+:+…

,T_96〃+9

一“一14x3〃.

方法二：b=n/'[("I)

"a3"3"T

XO+

所以[=〃+偽+.??+”1

3°r1

39

92〃+496〃+9

43"--4-4x3w

7.(2023?重慶?統(tǒng)考二模)已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S〃，且滿足照+「(〃+1”“=5,且4產(chǎn)-5.

(1)求證:數(shù)列｛產(chǎn)｝為常數(shù)列，并求｛%｝的通項(xiàng)公式;

(2)若使不等式5“>20成立的最小整數(shù)為7,且為eZ,求生和S”的最小值.

【答案】(1)證明見解析，an=(5+(21)?-5

(2)%=-3；S”的最小值為:-4

【分析】⑴中兩邊同除再結(jié)合裂項(xiàng)即可同構(gòu)出所需數(shù)列;(2)中由不等式5“>20成立的最小整數(shù)為7

可以確定A為二次函數(shù)且開口向上，結(jié)合qeZ,即可求出%，從而S.就確定了.

【詳解】(1)因?yàn)椤ǎビ?("+1)。"=5,兩邊同除+得，

aa

?+l?,5=5__5_

n+1n77(77+1)nn+V

所以嘰+上=&+』

n+1n+\nn

所以數(shù)列為常數(shù)列；

所以氏+5=%；5=%=（5+%）〃-5.

（2）由（1）知，數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，

所以$="%+%）=〃[%+（5+%）"-5]=（5+"a—』

"-22?2

因?yàn)?。＞20,化簡(jiǎn)得（5+%）/+（0-5]）〃一40＞0；

令/⑺=（5+/川+（a_5]）〃-40,

則/（"）＞0成立的〃最小值為7,

/(6)<0

/(7)>08555

所以

/(1)<028121

%>—5

因?yàn)閝eZ,所以q=-3；

所以5“=/_4〃,故Sn的最小值為S2=-4.

,、an+\

8.（2023?海南?？?校考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，％=4,方=丁.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵記C“=*-1,數(shù)列｛c,J的前”項(xiàng)和為7；,求：+/+…+J的值.

2，21n

【答案】⑴見=5+1）2"

⑵T

【分析】（1）根據(jù)為=[:'”:1、.得到[⑦]是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式;

[S"-S"T，"221?+1J

（2）由（1）得4=駕-1=〃，由等差數(shù)列求和公式得到!=2（1一一二），利用裂項(xiàng)相消法求和.

2Tn\nn+\）

【詳解】（1）由于=方-得到S〃=*,

Sn2nn+1

當(dāng)心2時(shí)，S“T=2（〃T/T,

n

兩式相減，有%=也-2（〃-1）的,

n+1nn77+1

由于“22,又匚=2?生，

n+\n

因?yàn)?=2,由上述遞推關(guān)系知4/0,

所以｛含｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

所以4=2x2"—,所以%=（〃+1）2".

〃+1

（2）由（1）矢口：cn=^-l=n,則cw+i-c“=〃+1-〃=1,

所以數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列,

m,1114

所以書+/+?“+彳=21-

9.（2023?山東青島?統(tǒng)考一模）已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為*,公差dwO,S2,S4,工+4成等差數(shù)

列，a2,%，%成等比數(shù)列.

⑴求S“；

〃+2

（2）記數(shù)列仍,｝的前n項(xiàng)和為1,2b”-T=為等比數(shù)列，并求抄,｝的通項(xiàng)公式.

n飛一，證明數(shù)列ai

【答案】（l）S"="2+〃

(2坨="+2-

【分析】（1）根據(jù)等比中項(xiàng)以及等差中項(xiàng)，結(jié)合等差數(shù)列基本量的計(jì)算即可求解公差和首項(xiàng)，

〃+2

（2）根據(jù)2，-北=一結(jié)合前〃項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的關(guān)系即可證明等比數(shù)列，由等比數(shù)列的定義即可求解通

項(xiàng).

【詳解】（1）由邑，邑，Ss+4成等差數(shù)列，a2,%,網(wǎng)成等比數(shù)列可得

5%+10d+4+2%+d=2(4q+6d)

S5+4+S2=2S4

=><2=>Q]=2,d=2,

。4=(q+3d)=(%+d)(%+7d)

n\n

S=2n+^1-x2=n2+n

n2

(2)由2"一1得26]-7；=4=5,2方n+2E21

乙+r*

〃(加+1)

21

故24M=(討+—-——兩式相減可得

n+1n+2

2b〃+i-2b〃=be+-^—一―H■―nb-11

n+ib?-

n+1n+2nn+1〃+1〃+2n

,所以n31

而竹_不+-L為公比為2的等比數(shù)列,且首項(xiàng)為二一，

In+1

故或--+=2,7-1,進(jìn)而=-----1+

nn+\nn+\

10.（2023?山東濟(jì)南?一模）已知數(shù)列｛氏｝滿足=1/?！?1-（〃+1）4=1.

⑴若數(shù)列｛4｝滿足”=必，證明：｛4｝是常數(shù)數(shù)歹

n

⑵若數(shù)列｛%｝滿足c?=sin+求｛c」的前2〃項(xiàng)和SIn,

【答案】（1）證明見解析

24,,+1-2

⑵$2“=

3

計(jì)算出b-b=葉4手-4=o,得到也“｝是常數(shù)數(shù)列;

【分析】(1)n+in

n+\n

71

(2)在(1)的基礎(chǔ)上，得到a=2n-l,c?=sinrm---+-22--1,利用分組求和得到答案.

n2

1+4+i1+%/0+,+J—(-+D(1+%)」+—(〃+1)—(「+1)〃

【詳解】(1)因?yàn)閍+i—%

n+\n

“+1-("+1)「0

(〃+1)〃

所以%=",

所以也｝是常數(shù)數(shù)列.

(2)因?yàn)?=1,所以〃=4=(=2,

所以4=2,

n

所以a”=2n-1.

IT2"T=sin%7t--\+纖,

因?yàn)閏〃=sin—(2?-1)+2

(2；

所以82〃=sin—+sin—+sin—+???+sin\2nTtr--j+(2工23+25+??-+24M4

222I2jI

2(1—42〃)24?+1_2

(1-1+1-1+-?-1)+--------二-----

1-43

24H+1-2

所以邑“=

3

11.（2022?遼寧鞍山?統(tǒng)考一模）已知等差數(shù)列｛4｝滿足首項(xiàng)為Iog315-log310+；log34的值，且%+%=18.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和卻

anan+\

【答案】⑴?！?2〃T

n

⑵2n+l

【分析】（1）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則求得｛%｝的首項(xiàng)的，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式代入%+%=18即可求解;

（2）將（1）中?！?2〃-1代入“=」一，利用裂項(xiàng)求和法即可求得北.

aa

nn+l

x

【詳解】⑴根據(jù)題意得，ax=log315-log310+^-log34=log3+log3V4=log3^+log32=log3|2]=：,

因?yàn)閿?shù)列｛%｝是等差數(shù)列，設(shè)公差為d,則由%+%=18,得/+2d+%+6d=18,解得d=2,所以

%=1+(〃一l)x2=2〃-l.

1

（2）由（1）可得〃=

(21)(2〃+1)

111-1n

所以北二+…H---

2323522n+l

12.（2023?廣東?統(tǒng)考一模）已知各項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列｛%｝,前〃項(xiàng)和S”滿足晨=2S“-。

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式.

⑵記只是數(shù)列!的前〃項(xiàng)和，Q?是數(shù)列，的前”項(xiàng)和.當(dāng)〃上2時(shí)，試比較p?與a的大小.

〔SJ1%/

【答案】UM=〃

(2)4＜。.

【分析】（1）根據(jù)S”與%的關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可;

（2）根據(jù)裂項(xiàng)相消法，結(jié)合等比數(shù)列前〃項(xiàng)和、二項(xiàng)式定理進(jìn)行求解即可.

【詳解】（1）當(dāng)〃=1時(shí)，=2豆-4,所以4=1或4=0（舍去），

、匕、右冊(cè)=2S-冊(cè)，

當(dāng)〃22時(shí)，有J2n

an-\~23〃_i—Q〃T，

兩式相減得端=2an-an+an_x=an+an_x,

整理得(%+%)(%-%)=%+%，

因?yàn)椋?｝的各項(xiàng)都是正數(shù)，所以%=

所以｛%｝是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列，

所以%=l+b（H-l）=M;

n(n+l]

(2)由(1)得——』

〃2

111(.11111=2(1--'

所以A-----1----H---H-----=2\1----—----I-------

E$2S,223nn\-1I冰1)

11

由（1）得斯二2"T

「一一

所以2,

a

%。2%2n-x222〃T]_j_

一一2

n(n+l)/、

因?yàn)?〃=(1+1)〃=1+〃+12―~~1—〉1+〃〉0(〃之2),

所以^1-->i-——

2"1+H

所以當(dāng)〃上2時(shí)，Pn<Q?.

13.（2022?吉林長(zhǎng)春?東北師大附中校考模擬預(yù)測(cè)）從①S0=71"+5j;②邑=%，%=%&；③％=2,%

是外,4的等比中項(xiàng)這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面橫線上，并解答.

已知等差數(shù)列｛6｝的前〃項(xiàng)和為S“，公差d不等于零，.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵若b?=S2H+i-S2?,數(shù)列也｝的前n項(xiàng)和為匕，求Wn.

【答案】(1)條件選擇見解析，?！?2〃

⑵匕=4向+2"1-6

【分析】(1)選①：先計(jì)算出％=2,得到前〃項(xiàng)和公式，進(jìn)而計(jì)算出方差和通項(xiàng)公式；

選②：得到關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組，求出首項(xiàng)和公差，求出通項(xiàng)公式；

選③：根據(jù)等比中項(xiàng)，列出方程，求出公差，通項(xiàng)公式；

(2)在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上，計(jì)算得到數(shù)列｛，｝的通項(xiàng)公式，進(jìn)而利用分組求和計(jì)算出前〃項(xiàng)和.

【詳解】(1)選①.

易得%=H=1+],解得：％=2,即S“=/+”,

所以邑=4]+4=6,即4=4,故d=4-4=2,

所以4=2+2(/-1)=2〃.

選②.

2%+d=q+2d

易得所以q=d=2,

q+3d=%(q+d)，

所以4=2+2(”1)=2〃.

選③.

易得即(2+3dp=(2+d)(2+7d),解得：d=2(d=。舍去),

所以4=2+2(〃-1)=2〃.

(2)由(1)知S,="+〃，

所以2=S*-S?，=(2"+1)2+2向-(2")2-2"=3-4"+2”,

所以%=3(4+42+43+…+4")+(2+2?+23+…+2")

4(1-4")2(1-2,")

=3--------2-------=4"i一4+2-1-2=4n+1+2n+1-6?

1-41-2

14.(2022?廣東珠海?珠海市第三中學(xué)統(tǒng)考二模)已知數(shù)列｛。"｝,｛4｝的前〃項(xiàng)和分別為S“，Tn,

nln2

an+bn=2-+2n-l,Tn-Sn^2-n-1.

(1)求4,4及數(shù)列｛叫，也｝的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)c,=107化eN,求數(shù)列c”的前2〃項(xiàng)和心.

【答案】⑴q=1也=1,?！?2〃-1也=2〃T；

r\1n-v\0

(2)2?2-?+-----------.

33

2

【分析】(1)先根據(jù)Tn-Sn=l--n-\得到bn-an=2"_-2〃+1,再結(jié)合%+6“=2“+2〃-1,求出數(shù)歹|包｝,

揚(yáng),｝的通項(xiàng)公式：

(2)在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上利用分組求和進(jìn)行求解.

【詳解】(1)在7；-S“=2"-『7中，

當(dāng)n—\時(shí)，bi-ai—0,

當(dāng)心2時(shí)，Z>?-??=7；,-S?-S?_J=2--n2-l-2"-1+(n-l)2+l=2"-1-2?+1,

顯然bi-a；=0適合上式，

所以60—=2"'—2〃+1,N*,

又a"+4=2i+2〃-l,

所以兩式相減得%=2"-l,兩式相加得a=2片

且a/=l,bi=I；

\a?,n-2k-\,

⑵因?yàn)?左?N),

[bn,n=2k')

(2〃一1,n=2k—1/*、

結(jié)合⑴中所求，C"=|(〃eN),

2,n=2k'7

故8〃=9+°2+°3+…+=%+Z+%+”…+a2n-\+b2n

〃(1+4〃-3)20-4〃)

=(q+。3+…+4為―1)+(%+d+…怎)~\

15.(2022?云南大理?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛0,｝的前〃項(xiàng)和為S“，且滿足4=1,二，=。向-1.

n

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵若數(shù)列￡,=；'〃?奇言將，求數(shù)列｛6｝的前2〃項(xiàng)和匕.

[2〃+3/為偶數(shù)，

【答案】(1)4=21

⑵氏=：(4"-1)+2〃2+5〃

a.a111

【分析】(1)根據(jù)s“與%的關(guān)系可得"。用-("+1)。“=1，進(jìn)而得==------7,由累加法即

可求解；

(2)根據(jù)分組求和，由等差等比數(shù)列的求和公式即可求解.

(1)

2s

因?yàn)?-=a?+i-1,所以250="%+]-〃，①

當(dāng)"22時(shí)，2s“_[=(〃-1)?！?(〃-1),②

①-②得：2an=nan+l-(n-l)a?-1,即+1)%,

所以餐-組=—

n+1nn(n+l)nn+l

所以一^—T~=，由。2=3,可得a〃=2〃—1,

n22n

當(dāng)〃=1時(shí)，％=1,符合上式,

所以?！?2〃—1.

2〃力為奇數(shù),

由題意得，c=

n2〃+3/為偶數(shù),

則%〃=C+03+…+°2〃T)+(G+04+…+G〃)

_2(1-4〃)〃(7+4〃+3)

=|(4"-l)+2ra2+5n>

1-42

所以Q=g(4"T)+2"2+5〃.

16.（2022?湖南永州?統(tǒng)考一模）已知數(shù)列｛0.｝,｛4｝滿足：%=々=1,且%+24+1也=0.

⑴若數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，公比為求｛2｝的通項(xiàng)公式;

⑵若數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，an+l-an=\,求低｝的前〃項(xiàng)和配

4n-l

【答案】（1）"=4"T或

⑵n+1

【分析】（1）先求出的=；或|，從而求出公比，根據(jù)題干條件得到T=）（"?*），即｛"｝是等比數(shù)歹U,

從而求出通項(xiàng)公式;

（2）先求出｛%｝的通項(xiàng)公式，再用累乘法求出抄“｝的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法求和.

【詳解】⑴因?yàn)閿?shù)列｛叫為等比數(shù)列，公比為q，且%

1、3

所以=萬(wàn)或。2=~

所以^=a=；或］,

622

又ajn+i-ah=0

所以?"（〃eN*),

即數(shù)列也,｝是以4=1為首項(xiàng)，）為公比的等比數(shù)歹U,

4n-l

故A=4〃T或

(2)依題意得公差d=l,即〃“=l+(〃-l)d=〃，

由于%+24+1-%”=()

ba1

所以亡二*nN2,nsN)

從而“工.工A.%.仇=。吐

%4an+la?

=芻"===2化一L](心2)

冊(cè)。計(jì)1n(n+1)(〃n+\J

又4=1滿足上式,

T“=4+4+&+~+4=2

17.(2022?廣東韶關(guān)?統(tǒng)考一模)已知數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)%=?,且滿足。用==二，設(shè)-1.

⑴求證：數(shù)列也｝為等比數(shù)列；

⑵若L+L+J-+...+J->140,求滿足條件的最小正整數(shù)〃.

a2a3an

【答案】(1)證明見解析

(2)140

【分析】(1)利用等比數(shù)列的定義證明即可;

(2)禾煙分組求和的方法得到‘+1+L+…+'="+1/3,然后利用"+1/3丫的增減性解不等式

axa2a3anJ

工+上+上+…+L>]4。即可

a

ax%〃3n

【詳解】⑴.

1(1-%)=3

—4(~“)-4，

4=71T1="所以數(shù)列｛"｝為首項(xiàng)為4=；，公比為:等比數(shù)列.

(2)由⑴可得

(%)(%)1%)”)

4

3

而〃+1—隨著〃的增大而增大

1111…(3丫

要使一+—+—+…+—〉140,即〃+1_2>140,則〃2140,

axa2a3an(4J

/.n的最小值為140.

18.(2022?河北?模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛與｝的前〃項(xiàng)和為"，%=3,且S,+S用=2°向-3.

(1)求數(shù)列S"｝的通項(xiàng)公式；

⑵①b?=a?log3an；②b"=:?；③6,=logsa?.

l°g3,l°g3an+2

從上面三個(gè)條件中任選一個(gè)，求數(shù)列｛b?｝的前〃項(xiàng)和Z,.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】(1)?！?3”

(2)答案見解析

【分析】(1)由已知可得當(dāng)“22時(shí)，S“M-Si=2a”+「2%,進(jìn)而得與旦=3(〃22),可求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)

an

公式；

(2)若選①：6,=anlog3an=n-3".錯(cuò)位相減法可求北.若選②：bn=^-(----二)，可求北.若選③：bn=3"-n,

2nn+2

分組求和可求1.

【詳解】(1)當(dāng)"22時(shí),?.4+5,+產(chǎn)2%+1-3,.?.洋_+邑=2%-3,

S〃+1-S“T=2%+1-2an,an+i+an=2an+l-2an,=3(〃>2),

當(dāng)〃=1日寸，S]+*S*2=2a2—3.4+%+a2=2。2—3.「.4=9,

二￡=3,.?.數(shù)列｛%｝是以q=3,3為公比的等比數(shù)歹U,

Q〃=3X3〃T=3〃.

(2)若選①：bn=anlog3an=n-3",

.-.7；,=1X3+2X32+3X33+---+W3",

37；,=1X32+2x33+■??+(?-1)-3"+??-3"+1,

.-.-27；=3+32+33+---+3"-W3"+1

止力_〃.叫1a

3—x

1-322

3

=(-n-+-.

4

111(LJ,

若選②：b=

nlogs%?嚏3%+2〃(幾+2)2nn+2

------)=—(1+--------------------)

n+22277+1n+2

_32〃+3

-72(〃+l)5+2)

若選③：bn=an-log3an=3"-n,

=(3-l)+(32-2)+(33-3)+---+(3"-?)

=3+3?+33+…+3"-(1+2+3+…+〃)

_3(1-3")_〃(〃+l)_3,,+1-M2-H-3

1-32--2

【點(diǎn)睛】數(shù)列求和的常見方法：

①錯(cuò)位相減法

②裂項(xiàng)相消法

③分組求和

④公式法

⑤倒序相加法

19.(2022?廣東廣州?統(tǒng)考一模)已知公差不為0的等差數(shù)列｛%｝中，％=1,%是電和％的等比中項(xiàng).

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式：

（2）保持?jǐn)?shù)列｛%｝中各項(xiàng)先后順序不變，在《與ak+l（k=1,2,…）之間插入2J使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新

的數(shù)列色｝,記也J的前〃項(xiàng)和為騫，求數(shù)的值.

【答案】（1）?！?〃

（2）2101

【分析】（1）公式法解決即可；（2）與與右.（左=1,2,...）之間插入2J說(shuō)明在數(shù)列｛a