2024屆廣東省莞市中考三模數(shù)學(xué)試題含解析

2024屆廣東省莞市東華中學(xué)中考三模數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處”o

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1.對于兩組數(shù)據(jù)A,B,如果SA2>SB2,且尤A=/，則（）

A.這兩組數(shù)據(jù)的波動相同B.數(shù)據(jù)B的波動小一些

C.它們的平均水平不相同D.數(shù)據(jù)A的波動小一些

2.已知a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡|a+cHa-2bHe+2b|的結(jié)果是（）

A.4b+2cB.0C.2cD.2a+2c

3.已知某新型感冒病毒的直徑約為0.000000823米，將0.000000823用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.8.23x106B.8.23x107C.8.23xl06D.8.23xl07

4.如圖，四邊形ABCD是。。的內(nèi)接四邊形，。。的半徑為6,NADC=60。，則劣弧AC的長為（）

A.2nB.47tC.57rD.67r

5.下列運(yùn)算中，計(jì)算結(jié)果正確的是（）

A.a2?a3=a6B.a2+a3=asC.（a2）3=a6D.a12-ra6=a2

6.有下列四個命題：①相等的角是對頂角；②兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；③同一種正五邊形一定能進(jìn)

行平面鑲嵌；④垂直于同一條直線的兩條直線互相垂直.其中假命題的個數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

7.左下圖是一些完全相同的小正方體搭成的幾何體的三視圖.這個幾何體只能是（）

主視圖左視圖

A.D?件

8.如圖，30為。。的直徑，點(diǎn)A為弧8OC的中點(diǎn)，NA5O=35。，則NO3C=（）

A.20°B.35°C.15°D.45°

9.某射擊選手10次射擊成績統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表，這10次成績的眾數(shù)、中位數(shù)分別是（）

成績（環(huán)）78910

次數(shù)1432

A.8、8B.8、8.5C.8、9D.8、10

10.如圖，四邊形ABCD是菱形，AC=8,DB=6,DH_LAB于H,則DH=()

2412

A.—B.—C.12D.24

55

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）

11.分解因式：也-超=_.

12.分解因式：a3-12a2+36a=.

13.某一時刻，測得一根高1.5m的竹竿在陽光下的影長為2.5m.同時測得旗桿在陽光下的影長為30m,則旗桿的高

為m.

14.如圖，AABCg/XAOE,NEAC=40。，則N5=°.

B

15.現(xiàn)在網(wǎng)購越來越多地成為人們的一種消費(fèi)方式，天貓和淘寶的支付交易額突破67000000000元，將67000000000

元用科學(xué)記數(shù)法表示為.

16.如圖，AABC內(nèi)接于。O,AB是。O的直徑，點(diǎn)D在圓O上，BD=CD,AB=10,AC=6,連接OD交BC于

點(diǎn)E,DE=.

三、解答題（共8題，共72分）

2

17.（8分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC±,DE〃BC,且DE=—BC.如果AC=6,求AE的長;

3

設(shè)=AC=b＞求向量DE（用向量人表示）.

18.（8分）計(jì)算：陋-l|-2sin45°+V8-（-）-2

19.（8分）為了增強(qiáng)居民節(jié)水意識，某市自來水公司對居民用水采用以戶為單位分段計(jì)費(fèi)辦法收費(fèi).若用戶的月用水

量不超過15噸，每噸收水費(fèi)4元；用戶的月用水量超過15噸，超過15噸的部分，按每噸6元收費(fèi).

（I）根據(jù)題意，填寫下表：

月用水量（噸/戶）41016...

應(yīng)收水費(fèi)（元/戶）-----;—40?-------...

（II）設(shè)一戶居民的月用水量為x噸，應(yīng)收水費(fèi)」y元，寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（III）已知用戶甲上個月比用戶乙多用水6噸，兩戶共收水費(fèi)126元，求他們上個月分別用水多少噸？

20.（8分）如圖，關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（1,0）和點(diǎn)B與y軸交于點(diǎn)C（0,3）,拋

物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)D.

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)在y軸上是否存在一點(diǎn)P,使APBC為等腰三角形？若存在.請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)有一個點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個單位的速度在AB上向點(diǎn)B運(yùn)動，另一個點(diǎn)N從點(diǎn)D與點(diǎn)M同時出發(fā)，

以每秒2個單位的速度在拋物線的對稱軸上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)B時，點(diǎn)M、N同時停止運(yùn)動，問點(diǎn)M、N運(yùn)動到

何處時，AMNB面積最大，試求出最大面積.

21.(8分)如圖所示：△ABC是等腰三角形，ZABC=90°.

(1)尺規(guī)作圖：作線段AB的垂直平分線1,垂足為H.(保留作圖痕跡，不寫作法)；

(2)垂直平分線1交AC于點(diǎn)D,求證：AB=2DH.

22.(10分)已知點(diǎn)E是矩形A3C。的邊上一點(diǎn)，5F_LAE于點(diǎn)歹，求證ZkAB歹

23.(12分)如圖，。。的半徑為4,B為。。外一點(diǎn)，連結(jié)OB,且OB=6.過點(diǎn)B作。O的切線BD,切點(diǎn)為點(diǎn)D,

延長BO交。。于點(diǎn)A,過點(diǎn)A作切線BD的垂線，垂足為點(diǎn)C.

(1)求證：AD平分NBAC；

⑵求AC的長.

24.如圖，在△ABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，AC=DC,E為AB邊的中點(diǎn),

(1)尺規(guī)作圖：作NC的平分線CF,交AD于點(diǎn)F(保留作圖痕跡，不寫作法);

(2)連接EF,若BD=4,求EF的長.

參考答案

一、選擇題(共10小題，每小題3分，共30分)

1、B

【解析】

試題解析：方差越小，波動越小.

22

'SA>，

數(shù)據(jù)B的波動小一些.

故選B.

點(diǎn)睛：本題考查方差的意義.方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量，方差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即

波動越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動越小，數(shù)

據(jù)越穩(wěn)定.

2、A

【解析】

由數(shù)軸上點(diǎn)的位置得：b<a<0<c,且|b|>|c|>|a|,

/.a+c>0,a-2b>0,c+2b<0,

則原式=a+c-a+2b+c+2b=4b+2c.

故選:B.

點(diǎn)睛：本題考查了整式的加減以及數(shù)軸，涉及的知識有：去括號法則以及合并同類項(xiàng)法則，熟練掌握運(yùn)算法則是解本

題的關(guān)鍵.

3、B

【解析】

分析：絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為axio,與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使

用的是負(fù)指數(shù)塞，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定.

詳解：0.000000823=8.23x10-1.

故選B.

點(diǎn)睛：本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為axlO?其中iga|V10,n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的

數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定.

4、B

【解析】

連接OA、OC,然后根據(jù)圓周角定理求得NAOC的度數(shù)，最后根據(jù)弧長公式求解.

【詳解】

連接。4、OC,

,/ZADC=6Q°,

:.ZAOC=2ZADC=120°,

則劣弧AC的長為：I,。：/6=4幾

180

故選B.

【點(diǎn)睛】

riirr

本題考查了弧長的計(jì)算以及圓周角定理，解答本題的關(guān)鍵是掌握弧長公式/=——.

180

5、C

【解析】

根據(jù)同底數(shù)毒相乘，底數(shù)不變指數(shù)相加；塞的乘方，底數(shù)不變指數(shù)相減；同底數(shù)塞相除，底數(shù)不變指數(shù)相減對各選項(xiàng)

分析判斷即可得解.

【詳解】

A、a2?a3=a2+3=a5,故本選項(xiàng)錯誤；

B、a?+a3不能進(jìn)行運(yùn)算，故本選項(xiàng)錯誤；

C、(a2)3=a2x3=a6,故本選項(xiàng)正確；

D、a124-a6=a12-6=a6,故本選項(xiàng)錯誤.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了同底數(shù)塞的乘法、幕的乘方、同底數(shù)塞的除法，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

6、D

【解析】

根據(jù)對頂角的定義，平行線的性質(zhì)以及正五邊形的內(nèi)角及鑲嵌的知識，逐一判斷.

【詳解】

解：①對頂角有位置及大小關(guān)系的要求，相等的角不一定是對頂角，故為假命題；

②只有當(dāng)兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等，故為假命題；

③正五邊形的內(nèi)角和為540。，則其內(nèi)角為108。，而360。并不是108。的整數(shù)倍，不能進(jìn)行平面鑲嵌，故為假命題；

④在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行，故為假命題.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了命題與證明.對頂角，垂線，同位角，鑲嵌的相關(guān)概念.關(guān)鍵是熟悉這些概念，正確判斷.

7、A

【解析】

試題分析：根據(jù)幾何體的主視圖可判斷C不合題意；根據(jù)左視圖可得B、D不合題意，因此選項(xiàng)A正確，故選A.

考點(diǎn)：幾何體的三視圖

8、A

【解析】

根據(jù)/43。=35。就可以求出初的度數(shù)，再根據(jù)3。=180°，可以求出，因此就可以求得NABC的度數(shù)，從而求

得NOBC

【詳解】

解：\"ZABD=35°,

???面的度數(shù)都是70。，

；RD為直徑，

二篇的度數(shù)是180°-70°=110°,

???點(diǎn)A為弧屈DC的中點(diǎn)，

血的度數(shù)也是110°,

,而的度數(shù)是110°+110°-180。=40。，

/.ZDBC=^X400=20。，

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等腰三角形性質(zhì)、圓周角定理，主要考查學(xué)生的推理能力.

9,B

【解析】

根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的概念求解.

【詳解】

由表可知，8環(huán)出現(xiàn)次數(shù)最多，有4次，所以眾數(shù)為8環(huán)；

這10個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為第5、6個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即中位數(shù)為9=8.5（環(huán)），

2

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了眾數(shù)和中位數(shù)的知識，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)；將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。?/p>

的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則

中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

10、A

【解析】

解：如圖，設(shè)對角線相交于點(diǎn)O,

1111

,/AC=8,DB=6,.,.AO=-AC=-x8=4,BO=-BD=-x6=3,

2222

由勾股定理的，AB=yjAO2+BO2=A/42+32=5）

?/DH±AB,；.S菱形ABCD=AB?DH=LAOBD,

2

124

即5DH=-x8x6,解得DH=——.

25

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查菱形的性質(zhì).

二、填空題(本大題共6個小題，每小題3分，共18分)

11、a(a+Z?)(a-Z?)

【解析】

先提取公因式。，再利用平方差公式分解因式即可.

【詳解】

?3—ab1=a[cT-Z?2)=a(o+Z?)(a-Z?)

故答案為：a(a+b)(a-b).

【點(diǎn)睛】

本題考查了分解因式，熟練掌握因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法的區(qū)別，根據(jù)題目選擇合適的方法是解題

的關(guān)鍵.

12、a(a-6)2

【解析】

原式提取a,再利用完全平方公式分解即可.

【詳解】

JM^=a(a2-12a+36)=a(a-6)2,

故答案為a(a-6)2

【點(diǎn)睛】

本題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵.

13、1.

【解析】

分析：根據(jù)同一時刻物高與影長成比例，列出比例式再代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可.

注解..竹竿的高度旗桿的高度?L5旗桿的高度解俎誨桿的，底L5

詳解：.竹竿的影長=旗桿的影H.lT3。'解得：旗桿的回度=石'3°=1.

故答案為1.

點(diǎn)睛：本題考查了相似三角形在測量高度時的應(yīng)用，解題時關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例列出方

程，建立數(shù)學(xué)模型來解決問題.

14、1°

【解析】

根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等得到NBAC=NDAE,AB=AD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定

理計(jì)算即可.

【詳解】

VAABC^AADE,

/.ZBAC=ZDAE,AB=AD,

/.ZBAD=ZEAC=40°,

AZB=(180°-40°)4-2=1°,

故答案為1.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是全等三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵.

15、6.7xlO10

【解析】

科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axion的形式，其中iw|a卜10,n為整數(shù).確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點(diǎn)移動

了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對值>1時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值<1時，n是負(fù)數(shù).

【詳解】

67000000000的小數(shù)點(diǎn)向左移動10位得到6.7,

所以67000000000用科學(xué)記數(shù)法表示為6.7x101°,

故答案為：6.7xlO10.

【點(diǎn)睛】

本題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axlO"的形式，其中l(wèi)<|a|<10,n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正

確確定a的值以及n的值.

16、1

【解析】

先利用垂徑定理得到ODLBC,貝！JBE=CE,再證明OE為△ABC的中位線得到OE=工AC=6=3,入境計(jì)算

22

OD-OE即可.

【詳解】

解：VBD=CD,

：?BD=CD，

.\OD±BC,

；.BE=CE,

而OA=OB,

，OE為AABC的中位線，

：.OE=-AC=-x6=3,

22

.,.DE=OD-OE=5-3=1.

故答案為I.

【點(diǎn)睛】

此題考查垂徑定理，中位線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于利用中位線的性質(zhì)求解.

三、解答題(共8題，共72分)

uuu2rr

17、(1)1；(2)DE=—(Z?—tz).

【解析】

(1)由平行線截線段成比例求得AE的長度;

(2)利用平面向量的三角形法則解答.

【詳解】

(1)如圖，

又AC=6,

,\AE=1.

⑵VAB=a^AC=b>

numuuiuuuuii

：?BC^AC-AB=b-a-

2

又DE〃BC,DE=-BC,

3

uum21012rr

：.DE=-BC=-(b-d)

【點(diǎn)睛】

考查了平面向量，需要掌握平面向量的三角形法則和平行向量的定義.

18、-1

【解析】

直接利用負(fù)指數(shù)塞的性質(zhì)以及絕對值的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值分別化簡得出答案.

【詳解】

原式=(五-1)-2x叵+2-4

2

=yf2-1-V2+2-4

=-1.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵.

19、(I)16；66；(II)當(dāng)爛15時，y=4x；當(dāng)x>15時，y=6x-30；(III)居民甲上月用水量為18噸，居民乙用水

12噸

【解析】

(I)根據(jù)題意計(jì)算即可；

(II)根據(jù)分段函數(shù)解答即可；

(III)根據(jù)題意，可以分段利用方程或方程組解決用水量問題.

【詳解】

解：(I)當(dāng)月用水量為4噸時，應(yīng)收水費(fèi)=4x4=16元；

當(dāng)月用水量為16噸時，應(yīng)收水費(fèi)=15x4+1x6=66元；

故答案為16；66；

(II)當(dāng)正15時，y=4x；

當(dāng)x>15時，y=15x4+(x-15)x6=6x-30；

(III)設(shè)居民甲上月用水量為X噸，居民乙用水(X-6)噸.

由題意：X-6C15且X>15時，4(X-6)+15x4+(X-15)x6=126

X=18,

，居民甲上月用水量為18噸，居民乙用水12噸.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是用一次函數(shù)解決實(shí)際問題，此類題是近年中考中的熱點(diǎn)問題.注意在實(shí)際問題中，利用方程或方程組是

解決問題的常用方法.

20、(1)二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x2-4x+3；(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為：(0,3+30)或(0,3-30)或(0,-3)或(0,

0)；(3)當(dāng)點(diǎn)M出發(fā)1秒到達(dá)D點(diǎn)時，AMNB面積最大，最大面積是1.此時點(diǎn)N在對稱軸上x軸上方2個單位處

或點(diǎn)N在對稱軸上x軸下方2個單位處.

【解析】

(1)把A(1,0)和C(0,3)代入y=x2+bx+c得方程組，解方程組即可得二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理求得BC的長，當(dāng)APBC為等腰三角形時分三種情況進(jìn)行討論：①CP=CB；

②BP=BC；③PB=PC；分別根據(jù)這三種情況求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)設(shè)AM="!|DN=2t,由AB=2,得BM=2-t,SAMNB=-x(2-t)x2t=-t2+2t,把解析式化為頂點(diǎn)式，根據(jù)二

2

次函數(shù)的性質(zhì)即可得△MNB最大面積；此時點(diǎn)M在D點(diǎn)，點(diǎn)N在對稱軸上x軸上方2個單位處或點(diǎn)N在對稱軸上x

軸下方2個單位處.

【詳解】

解：(1)把A(1,0)和C(0,3)代入y=x?+bx+c,

l+/>+c=0

。=3

解得：b=-4,c=3,

...二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x2-4x+3；

(2)令y=0,則x2-4x+3=0,

解得：x=l或x=3,

?*.B(3,0),

:.BC=3五,

點(diǎn)P在y軸上，當(dāng)△PBC為等腰三角形時分三種情況進(jìn)行討論：如圖1,

①當(dāng)CP=CB時，PC=30,，OP=OC+PC=3+3?或OP=PC-OC=30-3

APi(0,3+30),P2(0,3-30)；

②當(dāng)PB=PC時，OP=OB=3,

；.P3(0,-3)；

③當(dāng)BP=BC時,

VOC=OB=3

,此時P與O重合，

，P4(0,0);

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：(0,3+30)或(0,3-30)或(-3,0)或(0,0)；

(3)如圖2,設(shè)AM=t,由AB=2,得BM=2-t,則DN=2t,

ASAMNB=-x(2-t)x2t=-t2+2t=-(t-1)2+l,

2

當(dāng)點(diǎn)M出發(fā)1秒到達(dá)D點(diǎn)時，AMNB面積最大，最大面積是1.此時點(diǎn)N在對稱軸上x軸上方2個單位處或點(diǎn)N在

對稱軸上x軸下方2個單位處.

S2

21、⑴見解析；(2)證明見解析.

【解析】

(1)利用線段