福建省泉州永春縣聯(lián)考2024屆中考數(shù)學(xué)四模試卷含解析

福建省泉州永春縣聯(lián)考2024學(xué)年中考數(shù)學(xué)四模試卷

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題(共10小題，每小題3分，共30分)

1.下列關(guān)于x的方程一定有實(shí)數(shù)解的是()

A.x2-mx-l=OB.ax=3

C.Jx—6-，4—x=0D.-=-

X-1X-1

2.如圖，從圓。外一點(diǎn)P引圓。的兩條切線K4,PB,切點(diǎn)分別為A,B,如果NAP3=60°，PA=8,那么弦

AB的長是()

A.4B.4百C.8D.873

3.射擊訓(xùn)練中，甲、乙、丙、丁四人每人射擊10次,平均環(huán)數(shù)均為8.7環(huán),方差分別為s差=0.51,s|^=0.62,s,=0.48,

s：=0.45,則四人中成績最穩(wěn)定的是()

A.甲B.乙C.丙D.丁

4.如果將拋物線y=x?+2向下平移1個單位，那么所得新拋物線的表達(dá)式是

A.y=(x-l)~+2B.y=(x+l)~+2C.y=x?+lD.y=x?+3

5.已知平面內(nèi)不同的兩點(diǎn)A(a+2,4)和5(3,2a+2)到x軸的距離相等，則a的值為（）

A.-3B.-5C.1或-3D.1或-5

6.化簡一9—+L的結(jié)果為()

a-11-a

A.-1B.1C.巴D.巴

a-11-a

7.下列計算正確的是()

A.x2+x2=x4B.X8-rX2=X4C.X2*X3=X6D.(-X)2-x2=0

8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于任意三點(diǎn)A,B,C的“矩面積”，給出如下定義：“水平底”a：任意兩點(diǎn)橫坐標(biāo)差

的最大值，“鉛垂高”h：任意兩點(diǎn)縱坐標(biāo)差的最大值，貝臚矩面積"S=ah.例如：三點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1,2),B(-3,

1),C(2,-2),則“水平底”a=5,“鉛垂高”h=4,“矩面積"S=ah=L若D(1,2)、E(-2,1)、F(0,t)三點(diǎn)的“矩

面積”為18,貝Ut的值為()

A.-3或7B.-4或6C.-4或7D.-3或6

9.在1，0,-1,這四個數(shù)中，最小的數(shù)是()

22

11

A.-B.0C.——D.-1

22

10.中國古代人民很早就在生產(chǎn)生活中發(fā)現(xiàn)了許多有趣的數(shù)學(xué)問題，其中《孫子算經(jīng)》中有個問題：今有三人共車，

二車空；二人共車，九人步，問人與車各幾何？這道題的意思是：今有若干人乘車，每三人乘一車，最終剩余2輛車,

若每2人共乘一車，最終剩余9個人無車可乘，問有多少人，多少輛車？如果我們設(shè)有x輛車，則可列方程()

A.3(%—2)=2x+9B.3(x+2)=2x-9

x+9

C.D.『2=

二、填空題(本大題共6個小題，每小題3分，共18分)

11.和平中學(xué)自行車停車棚頂部的剖面如圖所示，已知43=16機(jī)，半徑。4=10機(jī)，高度。為m.

12.如圖，正比例函數(shù)yi=kix和反比例函數(shù)丫2=4的圖象交于A(-1,2),B(1,-2)兩點(diǎn)，若yi>y2,則x的取

x

值范圍是.

13.如圖，將兩張長為8,寬為2的矩形紙條交叉，使重疊部分是一個菱形，容易知道當(dāng)兩張紙條垂直時，菱形的周

長有最小值8,那么菱形周長的最大值是

14.計算：,（—3）-2+（|-3|）°=.

15.分解因式：4x2-36=.

16.如圖，△ABC中，ZA=80°,ZB=40°,BC的垂直平分線交AB于點(diǎn)D,聯(lián)結(jié)DC.如果AD=2,BD=6,那么△ADC

的周長為.

三、解答題（共8題，共72分）

17.（8分）甲、乙兩人在玩轉(zhuǎn)盤游戲時，把兩個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤A,B都分成3等份的扇形區(qū)域，并在每一小區(qū)

域內(nèi)標(biāo)上數(shù)字（如圖所示），游戲規(guī)則：同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，若指針?biāo)竷蓚€區(qū)域的數(shù)字之和為3,的

倍數(shù)，則甲獲勝；若指針?biāo)竷蓚€區(qū)域的數(shù)字之和為4的倍數(shù)，則乙獲勝.如果指針落在分割線上，則需要重新轉(zhuǎn)動

轉(zhuǎn)盤.請問這個游戲?qū)住⒁译p方公平嗎？說明理由.

18.(8分)計算：瓜-4cos450+(-)1+1-21.

2

19.（8分）如圖，在ABC中，CD±AB,垂足為D,點(diǎn)E在BC上，EF±AB,垂足為F./l=/2,試判斷

DG與BC的位置關(guān)系，并說明理由.

20.（8分）如圖，正方形OABC繞著點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)40。得到正方形ODEF,連接AF,求NOFA的度數(shù)

0

F

21.（8分）校車安全是近幾年社會關(guān)注的重大問題，安全隱患主要是超速和超載，某中學(xué)數(shù)學(xué)活動小組設(shè)計了如下檢

測公路上行駛的汽車速度的實(shí)驗(yàn)：先在公路旁邊選取一點(diǎn)C,再在筆直的車道1上確定點(diǎn)D,使CD與1垂直，測得

CD的長等于24米，在1上點(diǎn)D的同側(cè)取點(diǎn)A、B,使NCAD=30。，ZCBD=60°.求AB的長（結(jié)果保留根號）；已

知本路段對校車限速為45千米〃J、時，若測得某輛校車從A到B用時1.5秒，這輛校車是否超速？說明理由.（參考數(shù)

據(jù)：V3-1.7,72-1.4）

22.（10分）（1）問題發(fā)現(xiàn)：

如圖①，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)M為BC邊上異于B、C的一點(diǎn)，以AM為邊作等邊三角形AMN,連接CN,NC

與AB的位置關(guān)系為；

（2）深入探究：

如圖②，在等腰三角形ABC中，BA=BC,點(diǎn)M為BC邊上異于B、C的一點(diǎn)，以AM為邊作等腰三角形AMN,使

ZABC=ZAMN,AM=MN,連接CN,試探究NABC與NACN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）拓展延伸：

如圖③，在正方形ADBC中，AD=AC,點(diǎn)M為BC邊上異于B、C的一點(diǎn)，以AM為邊作正方形AMEF,點(diǎn)N為正

方形AMEF的中點(diǎn)，連接CN,若BC=10,CN=0,試求EF的長.

23.（12分）某化工材料經(jīng)銷公司購進(jìn)一種化工材料若干千克，價格為每千克40元，物價部門規(guī)定其銷售單價不高于

每千克70元，不低于每千克40元.經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，日銷量y（千克）是銷售單價x（元）的一次函數(shù)，且當(dāng)x=70時，y

=80；x=60時，y=l.在銷售過程中，每天還要支付其他費(fèi)用350元.求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的

取值范圍；求該公司銷售該原料日獲利w（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)銷售單價為多少元時，該公司日

獲利最大？最大利潤是多少元？

24.解分式方程：一2—Xf+--1=1.

x~33—x

參考答案

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1、A

【解題分析】

根據(jù)一元二次方程根的判別式、二次根式有意義的條件、分式方程的增根逐一判斷即可得.

【題目詳解】

A.x2-mx-l=0中△=m2+4>0,一定有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，符合題意；

B.ax=3中當(dāng)a=0時，方程無解，不符合題意；

x-6>0

C.由匕八可解得不等式組無解，不符合題意；

4-%>0

1Y

D.--=—；有增根x=L此方程無解，不符合題意；

故選A.

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查方程的解，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程根的判別式、二次根式有意義的條件、分式方程的增根.

2、C

【解題分析】

先利用切線長定理得到上4=PB，再利用ZAPB=60可判斷APB為等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求解.

【題目詳解】

解：PA,PB為。的切線，

:.PA=PB,

ZAPB=60，

APB為等邊三角形，

,-.AB=PA=8.

故選c.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查切線長定理，掌握切線長定理是解題的關(guān)鍵.

3、D

【解題分析】

根據(jù)方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動大小的一個量.方差越大，則平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越??；反之，則它與

其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好可得答案.

【題目詳解】

V0.45<0.51<0.62,

二丁成績最穩(wěn)定，

故選D.

【題目點(diǎn)撥】

此題主要考查了方差，關(guān)鍵是掌握方差越小，穩(wěn)定性越大.

4、C

【解題分析】

根據(jù)向下平移，縱坐標(biāo)相減，即可得到答案.

【題目詳解】

???拋物線y=x2+2向下平移1個單位，

二拋物線的解析式為y=x2+2-l,即y=x2+l.

故選C.

5、A

【解題分析】

分析：根據(jù)點(diǎn)A(a+2,4)和B(3,2a+2)到x軸的距離相等，得到4=|2a+2|,即可解答.

詳解：???點(diǎn)A(a+2,4)和B(3,2a+2)到x軸的距離相等，

；.4=|2a+2|,a+2/3,

解得：a=-3,

故選A.

點(diǎn)睛：考查點(diǎn)的坐標(biāo)的相關(guān)知識；用到的知識點(diǎn)為：到x軸和y軸的距離相等的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相等或互為相反數(shù).

6、B

【解題分析】

先把分式進(jìn)行通分，把異分母分式化為同分母分式，再把分子相加，即可求出答案.

【題目詳解】

a1a1a-1,

解：——+——=----------=——=1.

a-11-aa-1a-1a-1

故選B.

7、D

【解題分析】

試題解析：A原式=2x2,故A不正確；

B原式=x，，故B不正確；

C原式=x5,故C不正確；

D原式=x2-x2=0,故D正確；

故選D

考點(diǎn)：1.同底數(shù)塞的除法；2.合并同類項(xiàng)；3.同底數(shù)幕的乘法；4.塞的乘方與積的乘方.

8、C

【解題分析】

由題可知“水平底”a的長度為3,則由“矩面積”為18可知“鉛垂高”h=6,再分>2或tV1兩種情況進(jìn)行求解即可.

【題目詳解】

解：由題可知a=3,則h=18+3=6,則可知t>2或tVl.當(dāng)t>2時,t-l=6,解得t=7；當(dāng)tVl時,24=6,解得t=-4.綜

上,t=-4或4

故選擇C.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了平面直角坐標(biāo)系的內(nèi)容，理解題意是解題關(guān)鍵.

9、D

【解題分析】

試題分析：因?yàn)樨?fù)數(shù)小于0,正數(shù)大于0,正數(shù)大于負(fù)數(shù)，所以在工，0,-1,-4這四個數(shù)中，最小的數(shù)是一1,故

22

選D.

考點(diǎn)：正負(fù)數(shù)的大小比較.

10、A

【解題分析】

根據(jù)每三人乘一車，最終剩余2輛車，每2人共乘一車，最終剩余1個人無車可乘，進(jìn)而表示出總?cè)藬?shù)得出等式即可.

【題目詳解】

設(shè)有x輛車，則可列方程：

3(x-2)=2x+l.

故選：A.

【題目點(diǎn)撥】

此題主要考查了由實(shí)際問題抽象出一元一次方程，正確表示總?cè)藬?shù)是解題關(guān)鍵.

二、填空題(本大題共6個小題，每小題3分，共18分)

11、1.

【解題分析】

由CDJ_AB,根據(jù)垂徑定理得到AD=DB=8,再在RtAOAD中，利用勾股定理計算出OD,則通過CD=OC-OD

求出CD.

【題目詳解】

解：'：CDLAB,HB=16,

：.AD^DB^8,

在RtAOAO中，AB=16m,半徑。4=〃0?1,

22

OD=7OA-AD=7102-82=6，

:.CD=OC-OD=1Q-6=\Cm).

故答案為1.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的弧.也考查了切線的性質(zhì)定理以及勾股定理.

12、x<-2或0VxV2

【解題分析】

仔細(xì)觀察圖像，圖像在上面的函數(shù)值大，圖像在下面的函數(shù)值小，當(dāng)刈>以，即正比例函數(shù)的圖像在上，反比例函數(shù)

的圖像在下時，根據(jù)圖像寫出x的取值范圍即可.

【題目詳解】

結(jié)合圖象可得:

①當(dāng)xV-2時，j2>j2；②當(dāng)-2<xV0時，j2<j2；③當(dāng)0VxV2時，j2>j2；④當(dāng)x>2時，yi<yi.

綜上所述：若則x的取值范圍是比V-2或0<xV2.

故答案為尤<-2或0<x<2.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了圖像法解不等式，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖像，全面寫出符合條件的x的取值范圍.

13、1

【解題分析】

畫出圖形，設(shè)菱形的邊長為x,根據(jù)勾股定理求出周長即可.

【題目詳解】

當(dāng)兩張紙條如圖所示放置時，菱形周長最大，設(shè)這時菱形的邊長為xcm,

在RtAABC中，

由勾股定理:x2=(8-x)2+22,

解得：X=二,

4

/.4x=l,

即菱形的最大周長為1cm.

故答案是：L

【題目點(diǎn)撥】

解答關(guān)鍵是怎樣放置紙條使得到的菱形的周長最大，然后根據(jù)圖形列方程.

4

14、

3

【解題分析】

原式=,1而+,1§,4+耳?

15、4(x+3)(x-3)

【解題分析】

分析：首先提取公因式4,然后再利用平方差公式進(jìn)行因式分解.

詳解：原式=4（尤2—9）=4（x+3）（x—3）.

點(diǎn)睛：本題主要考查的是因式分解，屬于基礎(chǔ)題型.因式分解的方法有提取公因式、公式法和十字相乘法等，如果有

公因式首先都要提取公因式.

16、1.

【解題分析】

試題分析：由BC的垂直平分線交AB于點(diǎn)D,可得CD=BD=6,又由等邊對等角，可求得NBCD的度數(shù)，繼而求得

NADC的度數(shù)，則可判定△ACD是等腰三角形，繼而求得答案.

試題解析：；BC的垂直平分線交AB于點(diǎn)D,

/.CD=BD=6,

.,.ZDCB=ZB=40°,

，ZADC=ZB+ZBCD=80°,

,,.ZADC=ZA=80°,

；.AC=CD=6,

AADC的周長為：AD+DC+AC=2+6+6=L

考點(diǎn)：1.線段垂直平分線的性質(zhì)；2.等腰三角形的判定與性質(zhì).

三、解答題（共8題，共72分）

17、見解析

【解題分析】

解：不公平，理由如下：

列表得：

123

21,22,23,2

31,32,33,3

41,42,43,4

由表可知共有9種等可能的結(jié)果，其中數(shù)字之和為3的倍數(shù)的有3種結(jié)果，數(shù)字之和為4的倍數(shù)的有2種,

312

則甲獲勝的概率為§=耳、乙獲勝的概率為E，

,這個游戲?qū)?、乙雙方不公平.

【題目點(diǎn)撥】

考查的是游戲公平性的判斷.判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平.用到的知

識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

18、4

【解題分析】

分析：

代入45。角的余弦函數(shù)值，結(jié)合“負(fù)整數(shù)指數(shù)塞的意義”和“二次根式的相關(guān)運(yùn)算法則”進(jìn)行計算即可.

詳解：

L、歷

原式=2近—4x工+2+2=4.

2

點(diǎn)睛：熟記“特殊角的三角函數(shù)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的意義：ap=^~（a/0,，為正整數(shù)）”是正確解答本題的關(guān)鍵.

a1

19、DG〃BC,理由見解析

【解題分析】

由垂線的性質(zhì)得出CD〃EF,由平行線的性質(zhì)得出N2=/DCE,再由已知條件得出/1=/DCE,即可得出結(jié)論.

【題目詳解】

解：DG/7BC,理由如下：

VCD1AB,EF_LAB,

；.CD〃EF,

Z2=ZDCE,

VZ1=Z2,

/.Z1=ZDCE,

；.DG〃BC.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查平行線的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)，證明N1=NDCE是解題關(guān)鍵.

20、25°

【解題分析】

先利用正方形的性質(zhì)得OA=OC,ZAOC=90°,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得OC=OF,ZCOF=40°,貝!IOA=OF,根據(jù)等腰三

角形的性質(zhì)得NOAF=NOFA,然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理計算NOFA的度數(shù).

【題目詳解】

解：?四邊形OABC為正方形，

.\OA=OC,ZAOC=90°,

?.?正方形OABC繞著點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)40。得到正方形ODEF,

/.OC=OF,ZCOF=40°,

/.OA=OF,

.,.ZOAF=ZOFA,

■:ZAOF=ZAOC+ZCOF=90°+40°=130°,

AZOFA=-（180°-130°）=25°.

2

故答案為25°.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后

的圖形全等.也考查了正方形的性質(zhì).

21、（1）16百；（2）此校車在AB路段超速，理由見解析.

【解題分析】

（1）結(jié)合三角函數(shù)的計算公式，列出等式，分別計算AD和BD的長度，計算結(jié)果，即可.（2）在第一問的基礎(chǔ)上，

結(jié)合時間關(guān)系，計算速度，判斷，即可.

【題目詳解】

解：（1）由題意得，在RtAADC中，tan3（F=CB=竺，

ADAD

解得AD=24證.

rn9d

在RtABDC中，tan60°=—=—,

BDBD

解得BD=8?

所以AB=AD-BD=24證-8證=16遂（米）.

（2）汽車從A到B用時1.5秒，所以速度為16后1.5M8.1（米/秒），

因?yàn)?8.1（米/秒）=65.2千米/時＞45千米/時，

所以此校車在AB路段超速.

【題目點(diǎn)撥】

考查三角函數(shù)計算公式，考查速度計算方法，關(guān)鍵利用正切值計算方法，計算結(jié)果，難度中等.

22、（1）NC〃AB；理由見解析；（2）ZABC=ZACN；理由見解析；（3）2741；

【解題分析】

（1）根據(jù)△ABC,AAMN為等邊三角形，得至!|AB=AC,AM=AN且/BAC=NMAN=60。從而得到

ZBAC-ZCAM=ZMAN-ZCAM,即NBAM=NCAN,證明ABAM^^CAN,即可得到BM=CN.

(2)根據(jù)AABC,AAMN為等腰三角形，得到AB：BC=1：1且NABC=NAMN,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到

ABAC

，利用等腰三角形的性質(zhì)得到NBAC=NMAN,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論;

AMAN

(3)如圖3,連接AB,AN,根據(jù)正方形的性質(zhì)得到NABC=NBAC=45。，ZMAN=45°,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出

BMAB

,得到BM=2,CM=8,再根據(jù)勾股定理即可得到答案.

CNAC

【題目詳解】

(1)NC〃AB,理由如下:

VAABC與4MN是等邊三角形,

，AB=AC,AM=AN,NBAC=NMAN,=60°,

/.ZBAM=ZCAN,

在小ACN中,

AB=AC

ZBAM=ZCAN,

AM=AN

.?.△ABM也△ACN(SAS),

:.ZB=ZACN=60°,

,.?ZANC+ZACN+ZCAN=ZANC+60°+ZCAN=180°,

.,.ZANC+ZMAN+ZBAM=ZANC+60°+ZCAN=ZBAN+ZANC=180°,

ACN/ZAB；

(2)ZABC=ZACN,理由如下:

ABAM

—=------=1且nNABC=NAMN,

BCMN

/.△ABC-AAMN

ABAC

AMAN

VAB=BC,

/.ZBAC=-(180°-ZABC),

2

；AM=MN

,*.ZMAN=-(180°-ZAMN),

2

,/ZABC=ZAMN,

:.ZBAC=ZMAN,

ZBAM=ZCAN,

,.△ABM-AACN,

\ZABC=ZACN；

(3)如圖3,連接AB,AN,

??四邊形ADBC,AMEF為正方形，

,.ZABC=ZBAC=45°,ZMAN=45°,

\ZBAC-ZMAC=ZMAN-ZMAC

即/BAM=/CAN,

?.?理=州=0

BCAN

?AB_AC

"AMAN"

/.△ABM~AACN

?B--M-----AB

CNAC叵

------=------=cos45°=---