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文檔簡介
MC.=-C.M=-a+-b+c.
1122
故選:A.
3.過點尸(百2百)且傾斜角為135的直線方程為()
A.3x~y~4y/3=0B.x—y—y/3=0
C.x+_y—y/3=0D-x+_y+y/3=0
【答案】D
【解析】
【分析】由傾斜角為135求出直線的斜率,再利用點斜式可求出直線方程
【詳解】解:因為直線的傾斜角為135,所以直線的斜率為左=tanl350=—l,
所以直線方程為y+20=—(x—G),即x+y+G=O,
故選:D
4.已知等比數(shù)列{%}中,a2a3a4=21,%,=24,貝i|公比4=()
A.-2B.2
C.3D.2或一2
【答案】B
【解析】
【分析】由。2。3。4=27可得%=3,即可求出公比.
【詳解】設數(shù)列{4}的公比為心因為{4}為等比數(shù)列,
所以。2%%=27,所以。3=3,
所以/="=8,解得q=2.
故選:B.
22—
5.設曲線C是雙曲線,則“C方程為三■-?=「'是"。的漸近線方程為>=±岳”的()
A.充分必要條件B.充分而不必要條件
C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
22
【分析】根據(jù)。的方程為三■-==:1,則漸近線為y=±0x;若漸近線方程為y=±0x,則雙曲線
2
方程為#―匕=4(4/0)即可得答案.
2
22
【詳解】解:若C的方程為乙―土=1,則0=20,b=2,漸近線方程為y=±fx,
84b
即為y=±0%,充分性成立;
_2
若漸近線方程為y=±拒X,則雙曲線方程為(2^0),
22
“C的方程為(■-:=1”是“C的漸近線方程為y=±JIx”的充分而不必要條件.
故選:B.
【點睛】本題通過圓錐曲線的方程主要考查充分條件與必要條件,屬于中檔題.判斷充要條件應注意:首
先弄清條件。和結論q分別是什么,然后直接依據(jù)定義、定理、性質嘗試〃=%4=。.對于帶有否定性
的命題或比較難判斷的命題,除借助集合思想化抽象為直觀外,還可利用原命題和逆否命題、逆命題和
否命題的等價性,轉化為判斷它的等價命題;對于范圍問題也可以轉化為包含關系來處理.
6.已知耳,鳥是雙曲線C的兩個焦點,尸為C上一點,且/耳巡=60°,歸周=3歸聞,則C的離心率
為()
A.且B.叵C.用D.713
22
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線的定義及條件,表示出|「片|,|尸耳|,結合余弦定理可得答案.
【詳解】因為|P耳|=3歸閶,由雙曲線的定義可得歸居卜歸閶=2歸閭=2a,
所以|P閶=a,忖£|=3a;
因為/耳產工=60。,由余弦定理可得4/=94+4-2X3GQ?COS60。,
整理可得4c2=7/,所以02=二=1,即6=立.
a242
故選:A
【點睛】關鍵點睛:雙曲線的定義是入手點,利用余弦定理建立。間的等量關系是求解的關鍵.
7.如圖,在正四棱柱ABC?!狝4GR中,。是底面ABC。的中心,瓦廠分別是的中點,則
A.AQ"EF
B.\OLEF
C.4。//平面£尸片
D.4。,平面后尸用
【答案】B
【解析】
【分析】建立空間直角坐標系,利用空間位置關系的向量證明,逐項分析、判斷作答.
【詳解】在正四棱柱ABC。-A4G,中,以點。為原點建立如圖所示的空間直角坐標系,
令AB=2a,02=2b(a>0,b>0),。是底面ABC。的中心,分別是3耳,。,的中點,
則O(a,a,0),A(2a,0,2b),E(2a,2a,b),Bx(2a,2a,2b),F(0,0,Z?),西=(a,-a,2b),
FE=(2a,2a,0),EB[=(0,0,b),
對于A,顯然。可與EE不共線,即4。與EF不平行,A不正確;
對于B,因儂?瓶=。-2。+(—。>2。+0-2/?=0,則密,房,即AOLEE,B正確;
對于C,設平面EFB]的法向量為〃=(x,y,z),貝",令x=l,得"=(1,一1,0),
n-EB[=bz=0
0Aln=2a>Q,因此。&與"不垂直,即4。不平行于平面后產及,C不正確;
對于D,由選項c知,Q4,與〃不共線,即4。不垂直于平面£尸耳,D不正確.
故選:B
一2〃
8.已知數(shù)列{。“}滿足4=1+2+4++2〃T,則數(shù)歹打,的前5項和為()
4%,
113062
A.—B.——C.D.
31633163
【答案】D
【解析】
2n11
【分析】先求出4=2角-1,得到-----=k二,利用裂項相消法求和.
4%2"-12?+1-1
2"
所以〈-----卜前5項和為
aa
[nn+l\
(p2i—_l__22q-1)j^-22--1--23--lV)4(25-—-12-6-l-)-21--1-26-16363
故選:D
二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題
目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.
9.(多選)對于拋物線上―必=》,下列描述正確的是()
8
A.開口向上,焦點為(0,2)B.開口向上,焦點為
C.焦點到準線的距離為4D.準線方程為y=-4
【答案】AC
【解析】
【分析】寫出標準形式即k=8y,即可得到相關結論
【詳解】由拋物線,-=y,即必=8>,可知拋物線的開口向上,焦點坐標為(0,2),焦點到準線的距
8
離為4,準線方程為y=-2.
故選:AC
10.(多選)已知。=(1,0,2),人=(2,1,1)是平面a內的兩個向量,則平面a的一個法向量可以是
()
A.(-2,3,1)B.(-2,-3,1)
C.(2,-3,-1)D.(1,3,-2)
【答案】AC
【解析】
【分析】由平面法向量的定義及數(shù)量積的坐標運算可得.
【詳解】因為a=(l,0,2),8=(2,1,1)是平面£內的兩個向量,
對于A,(-2,3,1)-(1,0,2)=-2+2=0,(-2,3,1).(2,1,1)=^+3+1=0,故正確;
對于B,(-2,-3,1).(1,0,2)=-2+2=0,(-2,-3,1).(2,1,1)=^1-3+1=-6,故錯誤;
對于C,(2-3,-1).(1,0,2)=2-2=0,(2,-3,-1)-(2,1,1)=4-3-1=0,故正確;
對于D,(1,3,-2>(1,0,2)=1—4=—3,(1,3,-2).(2,1,1)=2+3-2=3,故錯誤.
故選:AC.
11.等差數(shù)列{a“}中,%=1,公差de[l,2],且%+2%+%5=小,則實數(shù)%可能取值為()
1193
A.——B.——C.——D.-2
3172
【答案】AB
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式將已知條件轉化為關于4和d的方程,分離4結合de[1,2]即可求得
4的范圍,進而可得正確選項.
【詳解】因為等差數(shù)列{4}中,4=1,且%+幾09+&=15,
所以1+2d+4(1+8d)+1+14d=15,
整理得人"2(1+82+15-+上
l+8dl+8dl+8d
因為de[l,2],所以l+8de[9,17],4藐,
Cc1519_1
所以4=—2H----------G,-
l+8d173
119
所以實數(shù)力的可能取值為.
故選:AB.
12.如圖所示,棱長為1的正方體ABC。-A4GR中,P為線段45上的動點(不含端點),則下列結
論正確的是()
UULUUULU
A.平面平面AAPB.APDC,不是定值
C.三棱錐DtPC的體積為定值D.DC[工DR
【答案】ACD
【解析】
【分析】A.易證明平面A.AP,得到面面垂直;B.轉化
APDCX=(A4,+4P)-nq=A4>-DC,+A.PDQ,再求數(shù)量積;C.VBi_D<PC=匕>/口0,根據(jù)底面積和
高,判斷體積否是定值;D.由DG,平面A2P,判斷線線是否垂直.
【詳解】A.因為是正方體,所以24,平面AAP,24U平面。AP,所以平面24P,平面AAP,
所以A正確;
B.APDQ=(A^+AP)-DC[=AV£>Q+\P-DQ
=|A412Ggs45+[4h。。]際90=lx0x\-=l,故AP?g=l,故B不正確;
C.^BX-DXPC=Vp—BRC,312c的面積是定值,43//平面片£>C,點尸在線段45上的動點,所以點
P到平面42。的距離是定值,所以/fpc=%/℃是定值,故C正確;
D.DQIA^D^DQ1A^B,\DX\B^AX,所以。平面ARP,D/u平面所以
DC,±DtP,故D正確.
故選:ACD
【點睛】本題考查點,線,面的位置關系,體積,空間向量數(shù)量積的綜合判斷題型,重點考查垂直關
系,屬于中檔題型.
三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.
-1,
13.記S,為等比數(shù)列{3}的前W項和.若%=§,”4="6,貝1J$5=.
…山、121
【答案】一.
3
【解析】
【分析】本題根據(jù)已知條件,列出關于等比數(shù)列公比q的方程,應用等比數(shù)列的求和公式,計算得到項.題
目的難度不大,注重了基礎知識、基本計算能力的考查.
【詳解】設等比數(shù)列的公比為q,由己知囚=542=&,所以《“3)2又q#o,
所以4=3,所以q_。4一^)_3。3)_⑵.
51-q1-33
【點睛】準確計算,是解答此類問題的基本要求.本題由于涉及幕的乘方運算、繁分式分式計算,
部分考生易出現(xiàn)運算錯誤.
14.已知圓G:/+/=4與圓。2:爐+/-8x+6y+根=0外切,此時直線/:x+y=0被圓G所截
的弦長.
【答案】V34
【解析】
【分析】將圓G的方程寫成標準形式,然后根據(jù)兩圓外切,可得圓心距離為半徑之和,可得加,接著計
算c2到直線的距離,最后根據(jù)圓的弦長公式計算可得結果.
【詳解】由題可知:G:/+y2=4
222
C2:x+y—8x+6y+m=0,即(%—4『+(y+3)=25—m
且25—m>0nm<25
由兩圓向外切可知J(4—Op+(—3—0)2=2+j25—刃,解得加=16
所以。2:(尸4y+(y+3)2=9
|4-3|1
C,到直線的距離為d=、=L=7,設圓C,的半徑為R
-VI2+12V2
則直線/:x+y=0被圓。2所截的弦長為2正一筋=2^71=734
故答案為:
15.已知拋物線E:/=4X,直線/:丁=左(%—1)與石相交于43兩點,若M(—1,1)使得
NAAffi=90°,則左=.
【答案】2
【解析】
【分析】設,聯(lián)立直線與方程,可得為+%2,X/2的值,同時求出力+%,%%的
值,由NA能必=90。,可得的4.MB=0,代入各值可得左的值.
【詳解】解:設4和%),3(%,為),依題意得
f二八,整理得左2/—2(2+/)%+42=0,
;匚八14+242_
所以再+%=---2---'石%2=1,
K
42
可得:M+%=%(玉+%2—2)=一,%%=左(2玉—1)(%2—1)=左[玉%2一(項+%2)+1]=-4,
k
由M(-M),且NA兒歸=90。,可得M4-MB=0,
可得:(%+1)(%2+1)+(必一1)(%一1)=。,
整理可得:玉電+(X+%2)+X%-(M+%)+2=0,
所以y/x2+h2=2不(6-x)-+力2,
化簡整理得/=—(%—8)2+16,0<x<6,
2
則x=6時,Amax=12,*=2百,
在正方形。CCA中,
因為POLCD,所以PCV/CG,
又在正方體ABCD-44GR中,CQ±平面ABCD,
所以P01平面ABCD,
所以三棱錐P-BCD的體積最大值為gx[x6x6,2君=12君.
故答案為:126.
【點睛】本題考查了空間幾何體的最值問題,考查了線面垂直的性質定理,考查了空間想象能力與計算
能力,屬于中檔題.
四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.在正項等比數(shù)列{q}中,4=16,且電,生的等差中項為%+%.
(1)求數(shù)列{4〃}的通項公式;
(2)求數(shù)歹!]{%+〃}的前幾項和為S,,.
【答案】(1)。"=2';(2)$=(1+")"+2用_2.
,2
【解析】
【分析】
(1)設出公比,根據(jù)條件列方程組求解即可;
(2)分組,利用等差等比的求和公式求和.
【詳解】解(1)設正項等比數(shù)列{%}的公比為虱4>0),
0qi=16[a=2
由題意可A得2,解得4C.
a^q+a^q'=2(^+axq)國=2
二數(shù)列{4}的通項公式為an=2x2"T=2";
“、,,,、(l+n)-n2(l-2")(1+〃).",
⑵凡=(4+/++。“)+(1+2++n)=-+—----=-+2-2?
Z1—ZZ
【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式,考查等差,等比數(shù)列求和公式,是基礎題.
18.解答下列兩個小題:
22
(1)雙曲線E:鼻―1=1(?!?,?!?)離心率為0,且點(2,0)在雙曲線E上,求E的方程;
22
(2)雙曲線。實軸長為2,且雙曲線C與橢圓二+二=1的焦點相同,求雙曲線C的標準方程.
84
22匚1.
【答案】(1)二-匕=1;(2)x2-3
223
【解析】
,再將點化、歷)代入方程,聯(lián)立解出答案,可得答案
【分析】(1)由e=、/5可得c=J^z
(2)先求出橢圓(1+午=1的焦點(±2,0),則雙曲線。的焦點在x軸上,由條件可得2a=2,且
/+/=4,從而得出答案.
【詳解】(1)由e=J5,得£=◎,即°=小,
a
又/='_〃2=(虛〃)_〃2=〃2,即〃二8,
雙曲線E的方程即為£—1=1,點(2,J5)坐標代入得:—1=1,解得儲=2.
22
所以,雙曲線E的方程為土—匕=1.
22
22
(2)橢圓寧++=1的焦點為(±2,0),
22
設雙曲線C的方程為2=1(。〉0力〉0),
所以2。=2,且/+/=4,
所以a=l,b1=3
2
所以,雙曲線C的方程為爐―21=1.
3
19.己知圓C經過4(3,0)和6(2,1)兩點,且圓心直線2x+y—4=0上.
(1)求圓C方程;
(2)從點(3,2)向圓C作切線,求切線方程.
【答案】(1)(x-2)2+/=1
(2)%=3或3%-4丁-1=。
【解析】
【分析】(1)根據(jù)弦的中垂線過圓心,聯(lián)立過圓心的兩條直線方程可確定圓心坐標,即可求解;(2)根據(jù)直線與
圓相切,則圓心到直線的距離等于半徑即可求解.
【小問1詳解】
由題可知心B=y=-1,所以線段A5的中垂線的斜率等于1,
2—3
又因為A3的中點為
所以線段AB的中垂線的直線方程為y-g=x-1,
即x_y—2—0,
2%+y-4=0x=2
聯(lián)立解得八,所以圓心C(2,0)
x-y-2=0y=o
又因為半徑等于|AC|=1,所以圓C的方程為(X-2)2+/=1.
【小問2詳解】
設圓。的半徑為小則r=1,
若直線的斜率不存在,因為直線過點(3,2),
所以直線方程為x=3,
此時圓心C(2,0)到直線%=3的距離d=l=r,滿足題意;
若直線的斜率存在,設斜率為人,
則切線方程為y-2=A(x—3),即履—y+2—3左=0,
\—k+2|
因為直線與圓相切,所以圓心到直線的距離d=?1——=1,
3
解得左=:,
4
39
所以切線方程為一x—y+2——=0,即3x—4y—1=0.
4-4
所以切線方程為x=3或3x—4y—l=0.
20.如圖,四棱錐P—A6CD的底面是矩形,底面ABC。,PD=DC=1,M為5C的中點,
且?BLAM.
(1)求BC;
(2)求二面角A-EW—5的正弦值.
【答案】(1)后;(2)場
14
【解析】
【分析】(1)以點。為坐標原點,DA.DC、。尸所在直線分別為x、V、z軸建立空間直角坐標系,
設6C=2a,由已知條件得出paAM=0,求出。的值,即可得出的長;
(2)求出平面/MM、?助以的法向量,利用空間向量法結合同角三角函數(shù)的基本關系可求得結果.
【詳解】(1)[方法一]:空間坐標系+空間向量法
平面ABC。,四邊形ABC。為矩形,不妨以點。為坐標原點,DA,DC、0P所在直線分別
設5C=2a,則0(0,0,0)、P(0,0,l),5(2。,1,0)、A(2a,0,0),
則PB=(2a,l,-l),AM=(-a,1,0),
PB1AM,貝1=—24+1=0,解得a=受,故BC=2a=5;
2
[方法二]【最優(yōu)解】:幾何法+相似三角形法
如圖,連結3£).因為?底面ABCD,且AMu底面ABCD,所以
又因為P5LAM,PBPD=P,所以AM1平面PBD.
又BDu平面PBD,所以
從而ZADB+ZDAM=90°.
因為NMAB+NZMM=90°,所以NM4B=NADB.
ADBA
所以ADBsBAM,于是一
AB~BM
所以:BC2=I.所以BC=J5.
[方法三]:幾何法+三角形面積法
如圖,聯(lián)結BD交A"于點N.
D
由⑵法二]知AM,加.
A/VDAo
在矩形ABCD中,有,DANs.BMN,所以——=——=2,^AN=-AM.
MNBM3
令BC=2,(,>0),因為M為BC的中點,則&!=/,DB=+1,AM=+1.
由SzMBngoA.ABngoB.ATV,得f=g府J?7T,解得產=;,所以5C=2f=拒.
(2)[方法一]【最優(yōu)解】:空間坐標系+空間向量法
(V2)
設平面上4M的法向量為機=(%,%,zj,則AM=--,AP=(-A0,1),
I7
V2
由<2,取玉=&,可得機=(、/!/,2)
m-AP=-迎石+Z[=0
設平面的法向量為〃=(*2,%,22),BM=一--,0,0,3P=(—0,—1,1),
n?BM=———■尤,=0/、
由<2-,取%=1,可得n=(0』,1),
n-BP=-A/2X,-y2+zn=0
3_3四
cos(私m-n
\m\'\n\77x72-14
V70
所以,sin(〃z,〃)=Jl-cos2(〃z,“
14
因此,二面角A—PM—5的正弦值為^~■.
14
[方法二]:構造長方體法+等體積法
如圖,構造長方體ABC?!狝/GD,聯(lián)結A4,A5,交點記為H,由于AB1,AB,±BC,
聯(lián)結AG,由三垂線定理可知AG±DXM,
故NAG”為二面角A—。心―5的平面角.
易證四邊形ABC2是邊長為近的正方形,聯(lián)結口”,HM.
SDtHM=QD[M-HG,SDHM=S正方形ABcq—SD1AlH—SHBM-S.MCDy,
由等積法解得HG=之叵.
10
在RjATiG中,A"=4Z,〃G=d叵,由勾股定理求得AG=避5.
2105
所以,sinNAGH=^=叵,即二面角A——5的正弦值為也°.
AG1414
【整體點評】(1)方法一利用空坐標系和空間向量的坐標運算求解;方法二利用線面垂直的判定定理,
結合三角形相似進行計算求解,運算簡潔,為最優(yōu)解;方法三主要是在幾何證明的基礎上,利用三角形
等面積方法求得.
(2)方法一,利用空間坐標系和空間向量方法計算求解二面角問題是常用的方法,思路清晰,運算簡
潔,為最優(yōu)解;方法二采用構造長方體方法+等體積轉化法,技巧性較強,需注意進行嚴格的論證.
Qfl。
21.已知首項為4的數(shù)列{4}的前〃項和為S〃,且工="§4+2/1
(1)求證:數(shù)列[墨]為等差數(shù)列,并求數(shù)列{4}的通項公式;
(2)若2=an+1,求數(shù)列{2}的前n項和T”.
【答案】(1)證明見解析,?!?(3”—1>2";(2)7;=(3n-l)-2n+2+4.
【解析】
【分析】(1)根據(jù)題設中的遞推關系可得編-*=3,從而可得數(shù)列]舞]為等差數(shù)列,并求可得數(shù)
列{4}的通項公式.
(2)利用錯位相減法可求數(shù)列{4}的前〃項和,.
【詳解】(1)由題意得,4+1=24+3-2向,—之=3,
故數(shù)列{墨}是以2為首項,3為公差的等差數(shù)列,
.?.梟=2+3(=-1)=3〃-1,A=(3n-l)-2".
(2)由題意得,4=L+2>2"+i,
故7;=5x2?+8x23+11x24++(3n+2)-
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