湖南省衡陽(yáng)市衡陽(yáng)縣2022-2023學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

MC.=-C.M=-a+-b+c.

1122

故選：A.

3.過(guò)點(diǎn)尸（百2百）且傾斜角為135的直線方程為（）

A.3x~y~4y/3=0B.x—y—y/3=0

C.x+_y—y/3=0D-x+_y+y/3=0

【答案】D

【解析】

【分析】由傾斜角為135求出直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式可求出直線方程

【詳解】解：因?yàn)橹本€的傾斜角為135，所以直線的斜率為左=tanl350=—l,

所以直線方程為y+20=—（x—G）,即x+y+G=O,

故選：D

4.已知等比數(shù)列｛%｝中，a2a3a4=21,%,=24,貝i|公比4=（）

A.-2B.2

C.3D.2或一2

【答案】B

【解析】

【分析】由。2。3。4=27可得%=3,即可求出公比.

【詳解】設(shè)數(shù)列｛4｝的公比為心因?yàn)椋?｝為等比數(shù)列，

所以。2%%=27,所以。3=3,

所以/="=8,解得q=2.

故選：B.

22—

5.設(shè)曲線C是雙曲線，則“C方程為三■-?=「'是"。的漸近線方程為＞=±岳”的（）

A.充分必要條件B.充分而不必要條件

C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

22

【分析】根據(jù)。的方程為三■-==：1,則漸近線為y=±0x；若漸近線方程為y=±0x,則雙曲線

2

方程為#―匕=4（4/0）即可得答案.

2

22

【詳解】解：若C的方程為乙―土=1,則0=20，b=2,漸近線方程為y=±fx,

84b

即為y=±0%,充分性成立；

_2

若漸近線方程為y=±拒X,則雙曲線方程為（2^0）,

22

“C的方程為（■-：=1”是“C的漸近線方程為y=±JIx”的充分而不必要條件.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題通過(guò)圓錐曲線的方程主要考查充分條件與必要條件，屬于中檔題.判斷充要條件應(yīng)注意：首

先弄清條件。和結(jié)論q分別是什么，然后直接依據(jù)定義、定理、性質(zhì)嘗試〃=%4=。.對(duì)于帶有否定性

的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想化抽象為直觀外，還可利用原命題和逆否命題、逆命題和

否命題的等價(jià)性，轉(zhuǎn)化為判斷它的等價(jià)命題；對(duì)于范圍問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)化為包含關(guān)系來(lái)處理.

6.已知耳，鳥是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，尸為C上一點(diǎn)，且/耳巡=60°,歸周=3歸聞，則C的離心率

為（）

A.且B.叵C.用D.713

22

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線的定義及條件，表示出|「片|,|尸耳|,結(jié)合余弦定理可得答案.

【詳解】因?yàn)閨P耳|=3歸閶，由雙曲線的定義可得歸居卜歸閶=2歸閭=2a,

所以|P閶=a，忖￡|=3a；

因?yàn)?耳產(chǎn)工=60。,由余弦定理可得4/=94+4-2X3GQ?COS60。，

整理可得4c2=7/,所以02=二=1，即6=立.

a242

故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：雙曲線的定義是入手點(diǎn)，利用余弦定理建立。間的等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵.

7.如圖，在正四棱柱ABC?！狝4GR中，。是底面ABC。的中心，瓦廠分別是的中點(diǎn)，則

A.AQ"EF

B.\OLEF

C.4。//平面￡尸片

D.4。，平面后尸用

【答案】B

【解析】

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明，逐項(xiàng)分析、判斷作答.

【詳解】在正四棱柱ABC。-A4G，中，以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

令A(yù)B=2a,02=2b(a>0,b>0),。是底面ABC。的中心，分別是3耳,。，的中點(diǎn),

則O(a,a,0),A(2a,0,2b),E(2a,2a,b),Bx(2a,2a,2b),F(0,0,Z?),西=(a,-a,2b),

FE=(2a,2a,0),EB[=(0,0,b),

對(duì)于A,顯然?？膳cEE不共線，即4。與EF不平行，A不正確；

對(duì)于B,因儂?瓶=。-2。+（—。>2。+0-2/?=0,則密,房，即AOLEE,B正確；

對(duì)于C,設(shè)平面EFB]的法向量為〃=（x,y,z）,貝"，令x=l,得"=（1,一1,0）,

n-EB[=bz=0

0Aln=2a>Q,因此。&與"不垂直，即4。不平行于平面后產(chǎn)及，C不正確；

對(duì)于D,由選項(xiàng)c知，Q4,與〃不共線，即4。不垂直于平面￡尸耳，D不正確.

故選：B

一2〃

8.已知數(shù)列｛。“｝滿足4=1+2+4++2〃T,則數(shù)歹打，的前5項(xiàng)和為（)

4%,

113062

A.—B.——C.D.

31633163

【答案】D

【解析】

2n11

【分析】先求出4=2角-1,得到-----=k二，利用裂項(xiàng)相消法求和.

4%2"-12?+1-1

2"

所以〈-----卜前5項(xiàng)和為

aa

[nn+l\

（p2i—_l__22q-1）j^-22--1--23--lV）4（25-—-12-6-l-）-21--1-26-16363

故選：D

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.（多選）對(duì)于拋物線上―必=》，下列描述正確的是（）

8

A.開(kāi)口向上，焦點(diǎn)為（0,2）B.開(kāi)口向上，焦點(diǎn)為

C.焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4D.準(zhǔn)線方程為y=-4

【答案】AC

【解析】

【分析】寫出標(biāo)準(zhǔn)形式即k=8y,即可得到相關(guān)結(jié)論

【詳解】由拋物線,-=y,即必=8>，可知拋物線的開(kāi)口向上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距

8

離為4,準(zhǔn)線方程為y=-2.

故選：AC

10.(多選)已知。=(1,0,2),人=(2,1,1)是平面a內(nèi)的兩個(gè)向量，則平面a的一個(gè)法向量可以是

()

A.(-2,3,1)B.(-2,-3,1)

C.(2,-3,-1)D.(1,3,-2)

【答案】AC

【解析】

【分析】由平面法向量的定義及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得.

【詳解】因?yàn)閍=(l,0,2),8=(2,1,1)是平面￡內(nèi)的兩個(gè)向量，

對(duì)于A,(-2,3,1)-(1,0,2)=-2+2=0,(-2,3,1).(2,1,1)=^+3+1=0,故正確；

對(duì)于B,(-2,-3,1).(1,0,2)=-2+2=0,(-2,-3,1).(2,1,1)=^1-3+1=-6,故錯(cuò)誤；

對(duì)于C,(2-3,-1).(1,0,2)=2-2=0,(2,-3,-1)-(2,1,1)=4-3-1=0,故正確；

對(duì)于D,(1,3,-2>(1,0,2)=1—4=—3,(1,3,-2).(2,1,1)=2+3-2=3,故錯(cuò)誤.

故選：AC.

11.等差數(shù)列｛a“｝中，％=1，公差de[l,2],且%+2%+%5=小，則實(shí)數(shù)％可能取值為()

1193

A.——B.——C.——D.-2

3172

【答案】AB

【解析】

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式將已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于4和d的方程，分離4結(jié)合de[1,2]即可求得

4的范圍，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列｛4｝中，4=1,且%+幾09+&=15,

所以1+2d+4(1+8d)+1+14d=15,

整理得人"2(1+82+15-+上

l+8dl+8dl+8d

因?yàn)閐e[l,2],所以l+8de[9,17],4藐,

Cc1519_1

所以4=—2H----------G，-

l+8d173

119

所以實(shí)數(shù)力的可能取值為.

故選：AB.

12.如圖所示，棱長(zhǎng)為1的正方體ABC。-A4GR中，P為線段45上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)

論正確的是（）

UULUUULU

A.平面平面AAPB.APDC,不是定值

C.三棱錐DtPC的體積為定值D.DC[工DR

【答案】ACD

【解析】

【分析】A.易證明平面A.AP,得到面面垂直；B.轉(zhuǎn)化

APDCX=(A4,+4P)-nq=A4>-DC,+A.PDQ,再求數(shù)量積；C.VBi_D<PC=匕>/口0,根據(jù)底面積和

高，判斷體積否是定值；D.由DG，平面A2P，判斷線線是否垂直.

【詳解】A.因?yàn)槭钦襟w，所以24，平面AAP,24U平面。AP，所以平面24P，平面AAP，

所以A正確；

B.APDQ=（A^+AP）-DC[=AV￡>Q+\P-DQ

=|A412Ggs45+[4h。。]際90=lx0x\-=l,故AP?g=l,故B不正確；

C.^BX-DXPC=Vp—BRC，312c的面積是定值，43//平面片￡>C，點(diǎn)尸在線段45上的動(dòng)點(diǎn)，所以點(diǎn)

P到平面42。的距離是定值，所以/fpc=%/℃是定值，故C正確；

D.DQIA^D^DQ1A^B,\DX\B^AX,所以。平面ARP,D/u平面所以

DC,±DtP,故D正確.

故選：ACD

【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)，線，面的位置關(guān)系，體積，空間向量數(shù)量積的綜合判斷題型，重點(diǎn)考查垂直關(guān)

系，屬于中檔題型.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

-1,

13.記S,為等比數(shù)列｛3｝的前W項(xiàng)和.若％=§,”4="6，貝1J$5=.

…山、121

【答案】一.

3

【解析】

【分析】本題根據(jù)已知條件，列出關(guān)于等比數(shù)列公比q的方程，應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算得到項(xiàng).題

目的難度不大，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q,由己知囚=542=&，所以《“3)2又q#o,

所以4=3,所以q_。4一^)_3。3)_⑵.

51-q1-33

【點(diǎn)睛】準(zhǔn)確計(jì)算，是解答此類問(wèn)題的基本要求.本題由于涉及幕的乘方運(yùn)算、繁分式分式計(jì)算，

部分考生易出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤.

14.已知圓G：/+/=4與圓。2：爐+/-8x+6y+根=0外切，此時(shí)直線/：x+y=0被圓G所截

的弦長(zhǎng).

【答案】V34

【解析】

【分析】將圓G的方程寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，然后根據(jù)兩圓外切，可得圓心距離為半徑之和，可得加，接著計(jì)

算c2到直線的距離，最后根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】由題可知：G：/+y2=4

222

C2:x+y—8x+6y+m=0,即(％—4『+(y+3)=25—m

且25—m>0nm<25

由兩圓向外切可知J(4—Op+(—3—0)2=2+j25—刃，解得加=16

所以。2：(尸4y+(y+3)2=9

|4-3|1

C,到直線的距離為d=、=L=7,設(shè)圓C,的半徑為R

-VI2+12V2

則直線/:x+y=0被圓。2所截的弦長(zhǎng)為2正一筋=2^71=734

故答案為：

15.已知拋物線E:/=4X,直線/：丁=左(％—1)與石相交于43兩點(diǎn)，若M(—1,1)使得

NAAffi=90°，則左=.

【答案】2

【解析】

【分析】設(shè)，聯(lián)立直線與方程，可得為+%2，X/2的值，同時(shí)求出力+%，%%的

值，由NA能必=90。，可得的4.MB=0，代入各值可得左的值.

【詳解】解：設(shè)4和%),3(%,為)，依題意得

f二八，整理得左2/—2(2+/)%+42=0,

；匚八14+242_

所以再+%=---2---'石％2=1，

K

42

可得：M+%=%(玉+%2—2)=一，％%=左(2玉—1)(%2—1)=左[玉%2一(項(xiàng)+%2)+1]=-4，

k

由M(-M),且NA兒歸=90。，可得M4-MB=0,

可得：(%+1)(%2+1)+(必一1)(%一1)=。，

整理可得：玉電+(X+%2)+X%-(M+%)+2=0,

所以y/x2+h2=2不(6-x)-+力2,

化簡(jiǎn)整理得/=—(%—8)2+16,0<x<6,

2

則x=6時(shí)，Amax=12,*=2百,

在正方形。CCA中，

因?yàn)镻OLCD,所以PCV/CG，

又在正方體ABCD-44GR中，CQ±平面ABCD,

所以P01平面ABCD,

所以三棱錐P-BCD的體積最大值為gx[x6x6,2君=12君.

故答案為：126.

【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體的最值問(wèn)題，考查了線面垂直的性質(zhì)定理，考查了空間想象能力與計(jì)算

能力，屬于中檔題.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.在正項(xiàng)等比數(shù)列｛q｝中，4=16,且電，生的等差中項(xiàng)為％+%.

(1)求數(shù)列｛4〃｝的通項(xiàng)公式;

(2)求數(shù)歹！]｛%+〃｝的前幾項(xiàng)和為S,,.

【答案】(1)。"=2'；(2)$=(1+")"+2用_2.

，2

【解析】

【分析】

(1)設(shè)出公比，根據(jù)條件列方程組求解即可；

(2)分組，利用等差等比的求和公式求和.

【詳解】解(1)設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝的公比為虱4>0),

0qi=16[a=2

由題意可A得2，解得4C.

a^q+a^q'=2(^+axq)國(guó)=2

二數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為an=2x2"T=2"；

“、,,,、(l+n)-n2(l-2")(1+〃).",

⑵凡=(4+/++?！?+(1+2++n)=-+—----=-+2-2?

Z1—ZZ

【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查等差，等比數(shù)列求和公式，是基礎(chǔ)題.

18.解答下列兩個(gè)小題：

22

(1)雙曲線E：鼻―1=1(?！?,?！?)離心率為0,且點(diǎn)(2,0)在雙曲線E上，求E的方程;

22

(2)雙曲線。實(shí)軸長(zhǎng)為2,且雙曲線C與橢圓二+二=1的焦點(diǎn)相同，求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

84

22匚1.

【答案】(1)二-匕=1；(2)x2-3

223

【解析】

,再將點(diǎn)化、歷)代入方程，聯(lián)立解出答案，可得答案

【分析】(1)由e=、/5可得c=J^z

(2)先求出橢圓(1+午=1的焦點(diǎn)(±2,0),則雙曲線。的焦點(diǎn)在x軸上，由條件可得2a=2,且

/+/=4,從而得出答案.

【詳解】(1)由e=J5,得￡=◎，即°=小，

a

又/='_〃2=(虛〃)_〃2=〃2,即〃二8，

雙曲線E的方程即為￡—1=1,點(diǎn)(2,J5)坐標(biāo)代入得:—1=1,解得儲(chǔ)=2.

22

所以，雙曲線E的方程為土—匕=1.

22

22

(2)橢圓寧++=1的焦點(diǎn)為(±2,0),

22

設(shè)雙曲線C的方程為2=1(?！?力〉0),

所以2。=2,且/+/=4，

所以a=l,b1=3

2

所以，雙曲線C的方程為爐―21=1.

3

19.己知圓C經(jīng)過(guò)4(3,0)和6(2,1)兩點(diǎn)，且圓心直線2x+y—4=0上.

(1)求圓C方程;

(2)從點(diǎn)(3,2)向圓C作切線，求切線方程.

【答案】(1)(x-2)2+/=1

(2)%=3或3%-4丁-1=。

【解析】

【分析】(1)根據(jù)弦的中垂線過(guò)圓心，聯(lián)立過(guò)圓心的兩條直線方程可確定圓心坐標(biāo)，即可求解;(2)根據(jù)直線與

圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

由題可知心B=y=-1,所以線段A5的中垂線的斜率等于1,

2—3

又因?yàn)锳3的中點(diǎn)為

所以線段AB的中垂線的直線方程為y-g=x-1,

即x_y—2—0,

2%+y-4=0x=2

聯(lián)立解得八，所以圓心C(2,0)

x-y-2=0y=o

又因?yàn)榘霃降扔趞AC|=1,所以圓C的方程為(X-2)2+/=1.

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)圓。的半徑為小則r=1,

若直線的斜率不存在，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)(3,2),

所以直線方程為x=3,

此時(shí)圓心C(2,0)到直線％=3的距離d=l=r,滿足題意；

若直線的斜率存在，設(shè)斜率為人,

則切線方程為y-2=A(x—3),即履—y+2—3左=0,

\—k+2|

因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離d=?1——=1,

3

解得左=:，

4

39

所以切線方程為一x—y+2——=0,即3x—4y—1=0.

4-4

所以切線方程為x=3或3x—4y—l=0.

20.如圖，四棱錐P—A6CD的底面是矩形，底面ABC。，PD=DC=1,M為5C的中點(diǎn),

且？BLAM.

（1）求BC；

（2）求二面角A-EW—5的正弦值.

【答案】（1）后；（2）場(chǎng)

14

【解析】

【分析】（1）以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA.DC、。尸所在直線分別為x、V、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)6C=2a,由已知條件得出paAM=0,求出。的值，即可得出的長(zhǎng)；

（2）求出平面/MM、？助以的法向量，利用空間向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得結(jié)果.

【詳解】（1）［方法一］:空間坐標(biāo)系+空間向量法

平面ABC。，四邊形ABC。為矩形，不妨以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC、0P所在直線分別

設(shè)5C=2a,則0（0,0,0）、P（0,0,l）,5（2。,1,0）、A（2a,0,0）,

則PB=（2a,l,-l）,AM=（-a,1,0），

PB1AM，貝1=—24+1=0，解得a=受，故BC=2a=5；

2

［方法二］【最優(yōu)解】：幾何法+相似三角形法

如圖，連結(jié)3￡）.因?yàn)椋康酌鍭BCD,且AMu底面ABCD,所以

又因?yàn)镻5LAM,PBPD=P,所以AM1平面PBD.

又BDu平面PBD，所以

從而ZADB+ZDAM=90°.

因?yàn)镹MAB+NZMM=90°,所以NM4B=NADB.

ADBA

所以ADBsBAM，于是一

AB~BM

所以：BC2=I.所以BC=J5.

［方法三］:幾何法+三角形面積法

如圖，聯(lián)結(jié)BD交A"于點(diǎn)N.

D

由⑵法二]知AM，加.

A/VDAo

在矩形ABCD中，有，DANs.BMN,所以——=——=2,^AN=-AM.

MNBM3

令BC=2，(，＞0),因?yàn)镸為BC的中點(diǎn)，則&！=/,DB=+1，AM=+1.

由SzMBngoA.ABngoB.ATV,得f=g府J?7T,解得產(chǎn)=；,所以5C=2f=拒.

（2）［方法一］【最優(yōu)解】：空間坐標(biāo)系+空間向量法

(V2)

設(shè)平面上4M的法向量為機(jī)=（%,%,zj,則AM=--,AP=(-A0,1),

I7

V2

由＜2,取玉=&,可得機(jī)=(、/!/,2)

m-AP=-迎石+Z[=0

設(shè)平面的法向量為〃=(*2，%，22)，BM=一--,0,0,3P=(—0,—1,1),

n?BM=———■尤,=0/、

由＜2-，取%=1,可得n=(0』,1)，

n-BP=-A/2X,-y2+zn=0

3_3四

cos(私m-n

\m\'\n\77x72-14

V70

所以，sin(〃z,〃)=Jl-cos2(〃z,“

14

因此，二面角A—PM—5的正弦值為^~■.

14

［方法二］:構(gòu)造長(zhǎng)方體法+等體積法

如圖，構(gòu)造長(zhǎng)方體ABC?！狝/GD，聯(lián)結(jié)A4，A5,交點(diǎn)記為H,由于AB1，AB,±BC,

聯(lián)結(jié)AG,由三垂線定理可知AG±DXM,

故NAG”為二面角A—。心―5的平面角.

易證四邊形ABC2是邊長(zhǎng)為近的正方形，聯(lián)結(jié)口”，HM.

SDtHM=QD［M-HG,SDHM=S正方形ABcq—SD1AlH—SHBM-S.MCDy,

由等積法解得HG=之叵.

10

在RjATiG中，A"=4Z,〃G=d叵，由勾股定理求得AG=避5.

2105

所以，sinNAGH=^=叵,即二面角A——5的正弦值為也°.

AG1414

【整體點(diǎn)評(píng)】(1)方法一利用空坐標(biāo)系和空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解；方法二利用線面垂直的判定定理，

結(jié)合三角形相似進(jìn)行計(jì)算求解，運(yùn)算簡(jiǎn)潔，為最優(yōu)解；方法三主要是在幾何證明的基礎(chǔ)上，利用三角形

等面積方法求得.

(2)方法一，利用空間坐標(biāo)系和空間向量方法計(jì)算求解二面角問(wèn)題是常用的方法，思路清晰，運(yùn)算簡(jiǎn)

潔，為最優(yōu)解；方法二采用構(gòu)造長(zhǎng)方體方法+等體積轉(zhuǎn)化法，技巧性較強(qiáng)，需注意進(jìn)行嚴(yán)格的論證.

Qfl。

21.已知首項(xiàng)為4的數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S〃，且工="§4+2/1

(1)求證：數(shù)列［墨］為等差數(shù)列，并求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)若2=an+1,求數(shù)列｛2｝的前n項(xiàng)和T”.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析，?！?(3”—1>2"；(2)7；=(3n-l)-2n+2+4.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題設(shè)中的遞推關(guān)系可得編-*=3,從而可得數(shù)列］舞］為等差數(shù)列，并求可得數(shù)

列｛4｝的通項(xiàng)公式.

(2)利用錯(cuò)位相減法可求數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，.

【詳解】(1)由題意得，4+1=24+3-2向，—之=3,

故數(shù)列｛墨｝是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，

.?.梟=2+3(=-1)=3〃-1,A=(3n-l)-2".

(2)由題意得，4=L+2>2"+i,

故7；=5x2?+8x23+11x24++(3n+2)-