計(jì)數(shù)原理（三大題型）（講義）-2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（新教材新高考）（解析版）

第01講計(jì)數(shù)原理

目錄

考情分析

網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建

-分類加法計(jì)數(shù)原理

克基?必備基礎(chǔ)知識梳理

目錄!-分步乘法計(jì)數(shù)原理

I-題型一：分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用

提升?必考題型突破-一題型二：分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用

-題型三：兩個計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用

真題感悟

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

(1)理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步今后在本節(jié)的考查形式依然以選

乘法計(jì)數(shù)原理.擇或者填空為主，以考查基本概念

2020年上海卷第10題，5分

(2)會用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘和基本方法為主，難度中等偏下，

2016年上海卷第8題，3分

法計(jì)數(shù)原理分析和解決一些簡單的實(shí)與教材相當(dāng).

際問題.

第1頁共13頁

分類加法計(jì)數(shù)原理和“分類”有關(guān)，如果完成某件

事情有n類辦法，這n類辦法之間是互斥的，那

么求完成這件事情的方?？倲?shù)時，就用分類加送

計(jì)數(shù)原理.

分類加法計(jì)數(shù)原理

分步乘法計(jì)數(shù)原理和“分步”有關(guān)，是針對“分步完

計(jì)數(shù)原理成”的問題.如果完成某件事情有n個步驟，而且這

n個步騾缺一不可，且互不影響（獨(dú)立），當(dāng)且

僅當(dāng)依次完成這n個步驟后，這件事情才算完

成，那么求完成這件事情的方法總數(shù)時，就用分

步乘法計(jì)數(shù)原理.

分步乘法計(jì)數(shù)原理

—夯基?必備基礎(chǔ)知識梳理

知識點(diǎn)1、分類加法計(jì)數(shù)原理

完成一件事，有〃類辦法，在第1類辦法中有叫種不同的辦法，在第2類辦法中有牡種不同的方法，???，

在第〃類辦法中有用〃種不同的方法，那么完成這件事共有：N=ml+m2++乙種不同的方法.

知識點(diǎn)2、分步乘法計(jì)數(shù)原理

完成一件事，需要分成幾個步驟，做第1步有叫種不同的方法，做第2步有丐種不同的方法，…，做

第〃步有加〃種不同的方法，那么完成這件事共有：N=?乙種不同的方法.

注意：兩個原理及其區(qū)別

分類加法計(jì)數(shù)原理和“分類”有關(guān)，如果完成某件事情有〃類辦法，這幾類辦法之間是互斥的，那么求完

成這件事情的方法總數(shù)時，就用分類加法計(jì)數(shù)原理.

分步乘法計(jì)數(shù)原理和“分步”有關(guān)，是針對“分步完成”的問題.如果完成某件事情有幾個步驟，而且這幾

第2頁共13頁

個步驟缺一不可，且互不影響（獨(dú)立），當(dāng)且僅當(dāng)依次完成這〃個步驟后，這件事情才算完成，那么求完成

這件事情的方法總數(shù)時，就用分步乘法計(jì)數(shù)原理.

當(dāng)然，在解決實(shí)際問題時，并不一定是單一應(yīng)用分類計(jì)數(shù)原理或分步計(jì)數(shù)原理，有時可能同時用到兩個

計(jì)數(shù)原理.即分類時，每類的方法可能運(yùn)用分步完成；而分步后，每步的方法數(shù)可能會采取分類的思想求方

法數(shù).對于同一問題，我們可以從不同的角度去處理，從而得到不同的解法（但方法數(shù)相同），這也是檢驗(yàn)

排列組合問題的很好方法.

知識點(diǎn)3、兩個計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用

如果完成一件事的各種方法是相互獨(dú)立的，那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時，使用分類計(jì)數(shù)原理.如果

完成一件事的各個步驟是相互聯(lián)系的，即各個步驟都必須完成，這件事才告完成，那么計(jì)算完成這件事的方

法數(shù)時，使用分步計(jì)數(shù)原理.

一提升?必考題型歸納

題型一：分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用

例1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面

對”.在一個正方體中，由兩個頂點(diǎn)確定的直線與含有四個頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是

（）

A.48B.18C.24D.36

【答案】D

【解析】正方體的兩個頂點(diǎn)確定的直線有棱、面對角線、體對角線，

對于每一條棱，都可以與兩個側(cè)面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有2x12=24（個）；

對于每一條面對角線，都可以與一個對角面構(gòu)成“正交線面對“，這樣的“正交線面對“有12個，

不存在四個頂點(diǎn)確定的平面與體對角線垂直，

所以正方體中“正交線面對”共有24+12=36（個）.

故選：D

例2.（2023?四川成都?雙流中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，小黑圓表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)之間的連線表示它們

有網(wǎng)線相連.連線上標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時間內(nèi)可以通過的最大信息量.現(xiàn)從結(jié)點(diǎn)A向結(jié)點(diǎn)B傳

遞信息（）

A.26B.24C.20D.19

【答案】D

【解析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形知,

第3頁共13頁

從A到8傳播路徑有4條，如圖所示;

途徑①傳播的最大信息量為3,途徑②傳播的最大信息量為4；

途徑③傳播的最大信息量為6,途徑④傳播的最大信息量為6；

所以從A向2傳遞信息，單位時間內(nèi)傳遞的最大信息量為3+4+6+6=19,

故選：D.

例3.（2023?江蘇鎮(zhèn)江?高三揚(yáng)中市第二高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）定義：“各位數(shù)字之和為7的四位數(shù)叫好運(yùn)

數(shù)”，比如1006,2203,則所有好運(yùn)數(shù)的個數(shù)為（）

A.82B.83C.84D.85

【答案】C

【解析】因?yàn)楦魑粩?shù)字之和為7的四位數(shù)叫好運(yùn)數(shù)，所以按首位數(shù)字分別計(jì)算:

當(dāng)首位數(shù)字為7,則剩余三位數(shù)分別為0,0,0,共有1個好運(yùn)數(shù);

當(dāng)首位數(shù)字為6,則剩余三位數(shù)分別為1,0,0,共有3個好運(yùn)數(shù);

當(dāng)首位數(shù)字為5,則剩余三位數(shù)分別為1,1,0或2,0,0,共有3+3=6個好運(yùn)數(shù);

當(dāng)首位數(shù)字為4,則剩余三位數(shù)分別為3,0,0或2,1,?；?,1,1,共有3+A；+l=10個好運(yùn)數(shù);

當(dāng)首位數(shù)字為3,則剩余三位數(shù)分別為4,0,?；?,1,。或2,2,0或2,1,1,

共有3+A；+3+3=15個好運(yùn)數(shù);

當(dāng)首位數(shù)字為2,則剩余三位數(shù)分別為5,0,0或4,1,0或3,2,0或3,1,1或2,2,1,

共有3+A：+A：+3+3=21個好運(yùn)數(shù);

當(dāng)首位數(shù)字為1,則剩余三位數(shù)分別為6,0,?；?,1,?；?,2,0或4,1,1或3,3,?；?,2,1

或2,2,2,

共有3+A；+A；+3+3+Aj+1=28個好運(yùn)數(shù);

所以共有1+3+6+10+15+21+28=84個好運(yùn)數(shù),

故選：C

變式1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）從1,2,3,4,5,6中選取4個數(shù)字,組成各個數(shù)位上的數(shù)字既不全

相同，也不兩兩互異的四位數(shù)，記四位數(shù)中各個數(shù)位上的數(shù)字從左往右依次為a,b,c,d,且要求

a<b<c<d,則滿足條件的四位數(shù)的個數(shù)為.

【答案】105

【解析】由題意可知，只用2個不同的數(shù)字時，有屐=15（種）選法,

第4頁共13頁

按照位數(shù)要求，每種數(shù)字組合組成的符合要求的四位數(shù)有3個，比如數(shù)字1和2,可以構(gòu)成的四位數(shù)有

1222,1122,1112,所以共有15x3=45（個）符合要求的四位數(shù).

只用3個不同的數(shù)字時，有C：=20（種）選法，

按照位數(shù)要求，每種數(shù)字組合組成的符合要求的四位數(shù)有3個，比如數(shù)字1,2,3,可以構(gòu)成的四位數(shù)有

1123,1223,1233,所以共有20x3=60（個）符合要求的四位數(shù).

故符合要求的四位數(shù)總共有45+60=105（個）.

故答案為：105

變式2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）己知直線方程本+為=0,若從0、1、2、3、5、7這六個數(shù)中每次取

兩個不同的數(shù)分別作為A、8的值，則—+為=0可表示條不同的直線.

【答案】22

【解析】當(dāng)4=0時，可表示1條直線；當(dāng)3=0時，可表示1條直線；

當(dāng)ABwO時，A有5種選法，B有4種選法，可表示5x4=20條不同的直線.

由分類加法計(jì)數(shù)原理，知共可表示1+1+20=22條不同的直線.

故答案為：22

變式3.（2023?遼寧?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）某迷宮隧道貓爬架如圖所示，B,C為一個長方體的兩個頂

點(diǎn)，A,8是邊長為3米的大正方形的兩個頂點(diǎn)，且大正方形由完全相同的9小正方形拼成.若小貓從A點(diǎn)

沿著圖中的線段爬到8點(diǎn)，再從8點(diǎn)沿著長方體的棱爬到C點(diǎn)，則小貓從A點(diǎn)爬到C點(diǎn)可以選擇的最短路

徑共有條.

【答案】120

【解析】小貓要從A點(diǎn)爬到C點(diǎn)，需要先從A點(diǎn)爬到8點(diǎn)，需要走3橫3豎，則可選的路徑共有C：=20

條，

再從B點(diǎn)爬到C點(diǎn)的路徑共6條，用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得小貓可以選擇的最短路徑有20x6=120條.

故答案為：120.

【解題方法總結(jié)】

分類標(biāo)準(zhǔn)的選擇

（1）應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵元素、關(guān)鍵位置.根據(jù)題目特點(diǎn)恰當(dāng)選擇一個分類標(biāo)準(zhǔn).

（2）分類時應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法

是不同的方法，不能重復(fù)，但也不能有遺漏.

第5頁共13頁

題型二：分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用

例4.（2023?廣東深圳?高三?？茧A段練習(xí)）甲、乙、丙3個公司承包6項(xiàng)不同的工程，甲承包1項(xiàng)，乙承

包2項(xiàng)，丙承包3項(xiàng)，則共有種承包方式（用數(shù)字作答）.

【答案】60

【解析】由題意得，不同的承包方案分步完成，先讓甲承包1項(xiàng)，有C；=6種，再讓乙承包2項(xiàng)，有

C；=10,剩下的3項(xiàng)丙承包，

所以由分步乘法原理可得共有6x10=60種方案，

故答案為：60

例5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若一個三位數(shù)同時滿足：①各數(shù)位的數(shù)字互不相同；②任意兩個數(shù)位的

數(shù)字之和不等于9,則這樣的三位數(shù)共有個.（結(jié)果用數(shù)字作答）

【答案】432

【解析】從百位開始討論：

（1）百位數(shù)字為1,十位數(shù)字有023,4,5,6,7,9,（除1,8外所有數(shù)字）；

當(dāng)十位數(shù)字為。時，個位數(shù)字為2,3,4,5,6,7,（除1,0,8,9外所有數(shù)字），所以對應(yīng)的三位數(shù)有8x6=48

種；

（2）百位數(shù)字為2,3,4,5,678,9,情況同（1）；

綜上這樣的三位數(shù)共有：9x48=432種；

故答案為：432.

例6.（2023?安徽亳州?高三蒙城第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）將3名男生，2名女生排成一排，要求男生甲必

須站在中間，2名女生必須相鄰的排法種數(shù)有（）

A.4種B.8種C.12種D.48種

【答案】B

【解析】先讓甲站好中間位置，再讓2名女生相鄰有兩種選法，最后再排剩余的2名男生，

根據(jù)分步乘法原理得，有2xA；xA；=8種不同的排法.

故選:B

變式4.（2023?四川成都?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）“數(shù)獨(dú)九宮格”原創(chuàng)者是18世紀(jì)的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，它的游戲

規(guī)則很簡單，將1到9這九個自然數(shù)填到如圖所示的小九宮格的9個空格里，每個空格填一個數(shù)，且9個

空格的數(shù)字各不相同，若中間空格已填數(shù)字5,且只填第二行和第二列，并要求第二行從左至右及第二列

從上至下所填的數(shù)字都是從小到大排列的，則不同的填法種數(shù)為（）

第6頁共13頁

C.144D.196

【答案】C

【解析】按題意，5的上方和左邊只能從1,2,3,4中選取，5的下方和右邊只能從6,7,8,9中選

取.第一步，填上方空格，有4種方法；第二步，填左方空格，有3種方法；第三步，填下方空格，有4

種方法；第四步，填右方空格，有3種方法.

由分步計(jì)數(shù)原理得，填法總數(shù)為4x3x4x3=144.

故選：C.

變式5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）三棱柱各面所在平面將空間分成不同部分的個數(shù)為（）

A.18B.21C.24D.27

【答案】B

【解析】三棱柱的三個側(cè)面將空間分成7部分，三棱柱的兩個底面將空間分成3部分.

故三棱柱各面所在平面將空間分成不同部分的個數(shù)為3x7=21.

故選：B.

變式6.（2023?河北石家莊?高三校聯(lián)考期中）臨近春節(jié)，某校書法愛好小組書寫了若干副春聯(lián)，準(zhǔn)備贈送

給四戶孤寡老人.春聯(lián)分為長聯(lián)和短聯(lián)兩種，無論是長聯(lián)或短聯(lián)，內(nèi)容均不相同.經(jīng)過調(diào)查，四戶老人各

戶需要1副長聯(lián)，其中乙戶老人需要1副短聯(lián)，其余三戶各要2副短聯(lián).書法愛好小組按要求選出11副

春聯(lián)，則不同的贈送方法種數(shù)為（）

A.15120B.7560C.12520D.12160

【答案】A

【解析】4副長聯(lián)內(nèi)容不同，贈送方法有A：=24種；

從剩余的7副短聯(lián)中選出1副贈送給乙戶老人，有A；=7種方法，

再將剩余的6副短聯(lián)平均分為3組，最后將這3組贈送給三戶老人,

c2c2c2

方法種數(shù)為美產(chǎn).A；=C：C；C；=90.

A3

所以所求方法種數(shù)為24x7x90=15120.

故選：A

變式7.（2023?北京東城?高三北京市廣渠門中學(xué)校考開學(xué)考試）魚缸里有8條熱帶魚和2條冷水魚，為避

免熱帶魚咬死冷水魚，現(xiàn)在把魚缸出孔打開，讓魚隨機(jī)游出，每次只能游出1條，直至2條冷水魚全部游

出就關(guān)閉出孔，若恰好第3條魚游出后就關(guān)閉了出孔，則不同游出方案的種數(shù)為（）

A.16B.32C.36D.48

【答案】B

【解析】由題意得，前2條魚游出1條冷水魚，1條熱帶魚，第3條為另一條冷水魚,

先選出一條熱帶魚，有C；種，再選出一條冷水魚，有C；種，

兩條魚可在第一條魚和第二條魚順序上進(jìn)行全排列，

第7頁共13頁

則不同游出方案的種數(shù)為C；C；A；=32.

故選：B

變式8.（2023?湖南?高三臨澧縣第一中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）在如圖所示的表格中填寫1,2,3三個數(shù)字,

要求每一行、每一列均有這3個數(shù)字，則不同的填法種數(shù)為（）.

A.6B.9C.12D.18

【答案】C

【解析】先填第一行，有A；=6種填法；再填第二行，有2種填法；最后填第三行，只有1種填法；

不同的填法種數(shù)為6x2x1=12種.

故選：C.

變式9.（2023?黑龍江佳木斯?高三校考開學(xué)考試）甲、乙分別從4門不同課程中選修1門，且2人選修的課

程不同，則不同的選法有（）種.

A.6B.8C.12D.16

【答案】C

【解析】甲從4門課程中選擇1門，有4種選法；乙再從甲未選的課程中選擇1門，有3種選法；

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得：不同的選法有4x3=12種.

故選：C.

變式10.（2023?陜西西安?西安市第三十八中學(xué)?？寄M預(yù)測）從六人（含甲）中選四人完成四項(xiàng)不同的工

作（含翻譯），則甲被選且甲不參加翻譯工作的不同選法共有（）

A.120種B.150種C.180種D.210種

【答案】C

【解析】依題意可得，甲需從除翻譯外的其他三項(xiàng)工作中任選一項(xiàng)，有3種選法，

再從其余五人中選三人參加剩下的三項(xiàng)工作，有A；=60種選法，

所以滿足條件的不同選法共有3A；=180種.

故選：C

變式11.（2023?貴州黔東南?凱里一中?？寄M預(yù)測）某足球比賽有A,B,C,D,E,F,G,H,J

共9支球隊(duì)，其中A,B,C為第一檔球隊(duì)，D,E,尸為第二檔球隊(duì)，G,H,J為第三檔球隊(duì)，現(xiàn)將

上述9支球隊(duì)分成3個小組，每個小組3支球隊(duì)，若同一檔位的球隊(duì)不能出現(xiàn)在同一個小組中，則不同的

分組方法有（）

A.27種B.36種C.72種D.144種

第8頁共13頁

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，先排A8,C,共有1種排法；

再排。，瓦尸，共有A；=6種不同的排法；

最后排G〃,J,共有A；=6種不同的排法，

由分步計(jì)數(shù)原理得，共有1x6x6=36種不同的排法.

故選：B.

【解題方法總結(jié)】

利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題的策略

（1）明確題目中的“完成這件事”是什么，確定完成這件事需要幾個步驟，且每步都是獨(dú)立的.

（2）將這件事劃分成幾個步驟來完成，各步驟之間有一定的連續(xù)性，只有當(dāng)所有步驟都完成了，整個

事件才算完成.

題型三：兩個計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用

例7.（2023?全國?高三專題練習(xí)）第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動會于6月26日至7月7日在成都舉辦，現(xiàn)在

從6男4女共10名青年志愿者中，選出3男2女共5名志愿者，安排到編號為1、2、3、4、5的5個賽

場，每個賽場只有一名志愿者，其中女志愿者甲不能安排在編號為1、2的賽場，編號為2的賽場必須安排

女志愿者，那么不同安排方案有（）

A.1440種B.2352種C.2880種D.3960種

【答案】D

【解析】分以下兩種情況討論：

①女志愿者甲被選中，則還需從剩余的9人中選出3男1女，選法種數(shù)為C：C；=60,

則女志愿者甲可安排在3號或4號或5號賽場，另一位女志愿者安排在2號賽場，

余下3個男志愿者隨意安排，此時，不同的安排種數(shù)為60X3XA；=1080；

②女志愿者甲沒被選中，則還需從剩余9人中選出3男2女，選法種數(shù)為C：C；=60,

編號為2的賽場必須安排女志愿者，只需從2名女志愿者中抽1人安排在2號賽場，

余下4人可隨意安排，此時，不同的安排方法種數(shù)為60X2XA：=2880.

由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，不同的安排方法種數(shù)為1080+2880=3960種.

故選：D.

例8.（2023?江蘇南京?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）從2位男生，3位女生中安排3人到三個場館做志愿者，每

個場館各1人，且至少有1位男生入選，則不同安排方法有（）種

A.16B.36C.54D.96

【答案】C

【解析】當(dāng)選擇一個男生，二個女生時，不同的安排方法有C>C：A；=36；

當(dāng)選擇二個男生，一個女生時，不同的安排方法有C；C；?A；=18,

第9頁共13頁

所以不同安排方法有36+18=54種，

故選：C

例9.（2023?上海黃浦?高三上海市敬業(yè)中學(xué)校考開學(xué)考試）三位同學(xué)參加跳高、跳遠(yuǎn)、鉛球項(xiàng)目的比賽，

若每人只選擇一個項(xiàng)目，則同一個項(xiàng)目最多只有2人參賽的情況共有種.

【答案】24

【解析】三位同學(xué)參加跳高、跳遠(yuǎn)、鉛球項(xiàng)目的比賽，若每人只選擇一個項(xiàng)目，

同一個項(xiàng)目最多只有2人參賽有以下兩種情況：①同一個項(xiàng)目有且僅有兩人選擇；②每個項(xiàng)目分別只有一

人選擇；

有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同有C；xC；xC；=18種；

每個項(xiàng)目分別只有一人選擇；A：=6種；

故同一個項(xiàng)目最多只有2人參賽的情況共有18+6=24種.

故答案為：24.

變式12.（2023?廣東?高三河源市河源中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）現(xiàn)有5名同學(xué)從北京、上海、深圳三個路線中

選擇一個路線進(jìn)行研學(xué)活動，每個路線至少1人，至多2人，其中甲同學(xué)不選深圳路線，則不同的路線選

擇方法共有種.（用數(shù)字作答）

【答案】60.

【解析】每個路線至少1人，至多2人，則一個路線1人，另外兩個路線各2人，

若甲同學(xué)單獨(dú)1人時，有C；C：=12種不同的選法；

若甲同學(xué)與另外一個同學(xué)一起，則有C；C；C；A；=48種不同的選法，

則不同的選擇方法有60種.

故答案為：60.

變式13.（2023?浙江?高三舟山中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）杭州亞運(yùn)會舉辦在即，主辦方開始對志愿者進(jìn)行分

配.已知射箭場館共需要6名志愿者，其中3名會說韓語，3名會說日語.目前可供選擇的志愿者中有4

人只會韓語，5人只會日語，另外還有1人既會韓語又會日語，則不同的選人方案共有種.（用數(shù)

字作答）.

【答案】140

【解析】若從只會韓語中選3人，則C：（C；+UC；）=4x20=80種，

若從只會韓語中選2人，則C：C；C；=6x1。=6。種，

故不同的選人方案共有60+80=140種.

故答案為：140.

變式14.（2023?江蘇揚(yáng)州?高三儀征中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知如圖所示的電路中，每個開關(guān)都有閉合、不閉

合兩種可能，因此5個開關(guān)共有25種可能，在這25種可能中，電路從尸到。接通的情況有種.

第10頁共13頁

【解析】若電路從尸到。接通，共有三種情況：

（1）若1閉合，而4不閉合時，可得分為：

①若1、2閉合，而4不閉合，則3、5可以閉合也可以不閉合，共有2x2=4種情況；

②若1、3、5閉合，而4不閉合，則2可以閉合也可以不閉合，有2種情況，

但①與②中都包含1、2、3、5都閉合，而4不閉合的情況，所以共有4+2-1=5種情況；

（2）若4閉合，而1不閉合時，可分為：

③若4、5閉合，而1不閉合，則2、3可以閉合也可以不閉合，有2x2=4種情況；

④若4、3、2閉合，而1不閉合，則5可以閉合也可以不閉合，有2種情況，

但③與④中，都包含4、2、3、5都閉合，而1不閉合的情況，所以共有4+2-1=5種情況；

（3）若1、4都閉合，共有2x2x2=8種情況，而其中電路不通有2、3、5都不閉合與2、5都不閉合2種

情況，則此時電路接通的情況有8-2=6種情況；

所以電路接通的情況有5+5+6=16種情況.

故答案為：16.

變式15.（2023?湖北?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）從5男3女共8名學(xué)生中選出組長1人，副組長1人，普通組

員3人組成5人志愿組，要求志愿組中至少有3名男生，且組長和副組長性別不同，則共有種不

同的選法.（用數(shù)字作答）

【答案】480

【解析】由題意可知，當(dāng)志愿組有3名男生，2名女生時，有C；C；C；C；A；=36。種方法；

當(dāng)志愿組有4名男生，1名女生時，有C；C；C：A；=120種方法，

由分類計(jì)數(shù)原理得，共有360+120=480種不同的選法.

故答案為：480.

變式16.（2023?湖北?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）有兩個家庭共8人暑假到新疆結(jié)伴旅游（每個家庭包括一對夫

妻和兩個孩子），他們在烏魯木齊租了兩輛不同的汽車進(jìn)行自駕游，每輛汽車乘坐4人，要求每對夫妻乘

坐同一輛汽車，且該車上至少有一個該夫妻自己的孩子，則滿足條件的不同乘車方案種數(shù)為.

【答案】10

【解析】由題意得當(dāng)每個家庭各乘坐一輛車時，有2種乘車方案；

當(dāng)每對夫妻乘坐的車上恰有一個自己的孩子時，乘車方案種數(shù)為2xC；C；=8,

故滿足條件的不同乘車方案種數(shù)為2+8=10,

第11頁共13頁

故答案為：10

變式17.（2023?福建福州?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）“二十四節(jié)氣”是中國古代勞動人民偉大的智慧結(jié)晶，其劃分

如圖所示.小明打算在網(wǎng)上搜集一些與二十四節(jié)氣有關(guān)的古詩.他準(zhǔn)備在春季的6個節(jié)氣與夏季的6個節(jié)

氣中共選出3個節(jié)氣，若春季的節(jié)氣和夏季的節(jié)氣各至少選出1個，則小明選取節(jié)氣的不同情況的種數(shù)是

小滿立夏谷雨

芒種清明

夏至春分

小暑李春驚蟄

大暑夏李雨水

二十四節(jié)

立秋立春

氣與四季

處暑秋季大寒

白露季冬小寒

秋分攵至

寒露大雪

霜降立冬小雪

A.90B.180C.270D.360

【答案】B

【解析】根據(jù)題意可知，小明可以選取1春2夏或2春1夏，

其中1春2夏的不同情況有：C；?或=90種；

2春1夏的不同情況有：C＞爆=90種，

所以小明選取節(jié)氣的不同情況有：90+90=180種.

故選：B.

【