2025屆黑龍江省龍東南七校高一下數(shù)學(xué)期末綜合測試試題含解析

2025屆黑龍江省龍東南七校高一下數(shù)學(xué)期末綜合測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知向量，且，則的值為()A．6 B．－6 C． D．2．定義運(yùn)算，設(shè)，若，，，則的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．3．設(shè)集合，，則（）A． B． C． D．4．已知，則的值域?yàn)锳． B． C． D．5．已知等比數(shù)列中，，該數(shù)列的公比為A．2 B．-2 C． D．36．已知a,,若關(guān)于x的不等式的解集為,則()A． B． C． D．7．在△ABC中角ABC的對邊分別為A．B．c，cosC＝，且acosB+bcosA＝2，則△ABC面積的最大值為（）A． B． C． D．8．甲、乙、丙、丁四名運(yùn)動(dòng)員參加奧運(yùn)會射擊項(xiàng)目選拔賽，四人的平均成績和方差如下表所示，從這四個(gè)人中選擇一人參加奧運(yùn)會射擊項(xiàng)目比賽，最佳人選是（）人數(shù)據(jù)甲乙丙丁平均數(shù)8.68.98.98.2方差3.53.52.15.6A．甲 B．乙 C．丙 D．丁9．已知，則的垂直平分線所在直線方程為（）A． B．C． D．10．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，數(shù)列的前項(xiàng)之和為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名同學(xué)，將他們的身高（單位：厘米）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖）.若要從身高，，三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法抽取18人參加一項(xiàng)活動(dòng)，則從身高在內(nèi)的學(xué)生中抽取的人數(shù)應(yīng)為________.12．已知平面向量，若，則________13．設(shè)在的內(nèi)部，且，的面積與的面積之比為______．14．已知，，若與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.15．如圖,貨輪在海上以的速度沿著方位角(從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角)為150°的方向航行.為了確定船位,在點(diǎn)B觀察燈塔A的方位角是120°,航行半小時(shí)后到達(dá)C點(diǎn),觀察燈塔A的方位角是75°,則貨輪到達(dá)C點(diǎn)時(shí)與燈塔A的距離為______nmile16．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，為等邊三角形，且平面平面.為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，過點(diǎn)，，的平面交于.（1）求證：平面；（2）若時(shí)，求二面角的余弦值.18．如圖所示，在平面四邊形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.（1）求cos∠CAD的值；（2）若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的長．19．設(shè)常數(shù)，函數(shù)．（1）若為偶函數(shù)，求的值；（2）若，求方程在區(qū)間上的解．20．某學(xué)校為了了解高三文科學(xué)生第一學(xué)期數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)效果.從高三第一學(xué)期期末考試成績中隨機(jī)抽取50名文科考生的數(shù)學(xué)成績，分成6組制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）試?yán)么祟l率分布直方圖求的值及這50名同學(xué)數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)的估計(jì)值；（2）該學(xué)校為制定下階段的復(fù)習(xí)計(jì)劃，從被抽取的成績在的同學(xué)中選出3位作為代表進(jìn)行座談，若已知被抽取的成績在的同學(xué)中男女比例為，求至少有一名女生參加座談的概率.21．某商場有獎(jiǎng)銷售中，購滿100元商品得1張獎(jiǎng)券，多購多得，100張獎(jiǎng)券為一個(gè)開獎(jiǎng)單位，每個(gè)開獎(jiǎng)單位設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè)，一等獎(jiǎng)10個(gè)，二等獎(jiǎng)50個(gè)，設(shè)一張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的事件分別為A，B，C，可知其概率平分別為．（1）求1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)的概率；（2）求1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

兩向量平行，內(nèi)積等于外積?！驹斀狻?，所以選A.【點(diǎn)睛】本題考查兩向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。2、C【解析】

由題意，由于與都是周期函數(shù)，且最小正周期都是，故只須在一個(gè)周期上考慮函數(shù)的值域即可，分別畫出與的圖象，如圖所示，觀察圖象可得：的值域?yàn)?，故選C.3、D【解析】試題分析：集合，集合，所以,故選D.考點(diǎn)：1、一元二次不等式；2、集合的運(yùn)算.4、C【解析】

利用求函數(shù)的周期為，計(jì)算即可得到函數(shù)的值域.【詳解】因?yàn)?，，，因?yàn)楹瘮?shù)的周期，所以函數(shù)的值域?yàn)椋蔬xC.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的周期運(yùn)算，及利用函數(shù)的周期性求函數(shù)的值域.5、B【解析】分析：根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式求公比.詳解：因?yàn)?，所以選B.點(diǎn)睛：本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式，考查基本求解能力.6、D【解析】

由不等式的解集為R，得的圖象要開口向上，且判別式，即可得到本題答案.【詳解】由不等式的解集為R，得函數(shù)的圖象要滿足開口向上，且與x軸至多有一個(gè)交點(diǎn)，即判別式.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次不等式恒成立問題.7、D【解析】

首先利用同角三角函數(shù)的關(guān)系式求出sinC的值，進(jìn)一步利用余弦定理和三角形的面積公式及基本不等式的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】△ABC中角ABC的對邊分別為a、b、c，cosC，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系式sin1C+cos1C＝1，解得sinC，由于acosB+bcosA＝1，利用余弦定理，解得c＝1．所以c1＝a1+b1﹣1abcosC，整理得4，由于a1+b1≥1ab，故，所以．則，△ABC面積的最大值為，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查的知識要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦定理余弦定理和三角形面積的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于中檔題．8、C【解析】

甲，乙，丙，丁四個(gè)人中乙和丙的平均數(shù)最大且相等，甲，乙，丙，丁四個(gè)人中丙的方差最小，說明丙的成績最穩(wěn)定，得到丙是最佳人選．【詳解】甲，乙，丙，丁四個(gè)人中乙和丙的平均數(shù)最大且相等，甲，乙，丙，丁四個(gè)人中丙的方差最小，說明丙的成績最穩(wěn)定，綜合平均數(shù)和方差兩個(gè)方面說明丙成績即高又穩(wěn)定，丙是最佳人選，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)和方差的實(shí)際應(yīng)用，考查數(shù)據(jù)處理能力，求解時(shí)注意方差越小數(shù)據(jù)越穩(wěn)定.9、A【解析】

首先根據(jù)題中所給的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，應(yīng)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)斜率坐標(biāo)公式求得，利用兩直線垂直時(shí)斜率的關(guān)系，求得其垂直平分線的斜率，利用點(diǎn)斜式寫出直線的方程，化簡求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以其中點(diǎn)坐標(biāo)是，又，所以的垂直平分線所在直線方程為，即，故選A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)線段的垂直平分線的方程的問題，在解題的過程中，需要明確線段的垂直平分線的關(guān)鍵點(diǎn)一是垂直，二是平分，利用相關(guān)公式求得結(jié)果.10、B【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，即可解出答案?！驹斀狻抗蔬xB【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，同底對數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、3【解析】

先由頻率之和等于1得出的值，計(jì)算身高在，，的頻率之比，根據(jù)比例得出身高在內(nèi)的學(xué)生中抽取的人數(shù).【詳解】身高在，，的頻率之比為所以從身高在內(nèi)的學(xué)生中抽取的人數(shù)應(yīng)為故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)頻率分布直方圖求參數(shù)的值以及分層抽樣計(jì)算各層總數(shù)，屬于中檔題.12、1【解析】

根據(jù)即可得出，解出即可．【詳解】∵；∴；解得，故答案為1．【點(diǎn)睛】本題主要考查向量坐標(biāo)的概念，以及平行向量的坐標(biāo)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.13、1:3【解析】

記,，可得：為的重心，利用比例關(guān)系可得：，,，結(jié)合：即可得解.【詳解】記,則則為的重心，如下圖由三角形面積公式可得：，,又為的重心，所以，所以所以【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形重心的向量結(jié)論，還考查了轉(zhuǎn)化能力及三角形面積比例計(jì)算，屬于難題.14、【解析】

由題意得出且與不共線，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由于與的夾角為鈍角，則且與不共線，，，，解得且，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量的夾角求參數(shù)，解題時(shí)要找到其轉(zhuǎn)化條件，設(shè)兩個(gè)非零向量與的夾角為，為銳角，為鈍角.15、【解析】

通過方位角定義，求出，，利用正弦定理即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，可知,,，因此可得，由正弦定理得：，求得，即答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理的實(shí)際應(yīng)用，難度不大.16、【解析】

先利用求出，在利用裂項(xiàng)求和即可.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上，，，，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查和的關(guān)系求通項(xiàng)公式，以及裂項(xiàng)求和，是基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析；(2)【解析】

（1）首先證明平面，由平面平面，可說明，由此可得四邊形為平行四邊形，即可證明平面；（2）延長交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，則即為二面角的平面角，求出的余弦值即可得到答案．【詳解】（1）∵為矩形∴，平面，平面∴平面.又因?yàn)槠矫嫫矫?，?為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，所以平行且等于，即四邊形為平行四邊形所以，平面，平面所以平面（2）不妨設(shè)，.因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，為等邊三角形，所以，，且∵，所以有平面，故因?yàn)槠矫嫫矫妗嗥矫?，又，∴平面，則延長交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，由于平行且等于，所以為中點(diǎn)，，由于，，，所以平面，則，所以即為二面角的平面角在中，，，所以，所以.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明，以及二面角的余弦值的求法，考查學(xué)生空間想象能力，計(jì)算能力，由一定綜合性．18、(1)(2)【解析】試題分析：(1)利用題意結(jié)合余弦定理可得；(2)利用題意結(jié)合正弦定理可得：.試題解析：（I）在中，由余弦定理得(II)設(shè)在中，由正弦定理，故點(diǎn)睛：在解決三角形問題中，面積公式S＝absinC＝bcsinA＝acsinB最常用，因?yàn)楣街屑扔羞呌钟薪?，容易和正弦定理、余弦定理?lián)系起來.19、(1);(2)或或.【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和三角形的函數(shù)的性質(zhì)即可求出，（2）先求出a的值，再根據(jù)三角形函數(shù)的性質(zhì)即可求出．【詳解】（1）∵，∴，∵為偶函數(shù)，∴，∴，∴，∴；（2）∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，或，∴，或，∵，∴或或【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的化簡和求值，以及三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．20、（1）；平均數(shù)的估計(jì)值（2）【解析】

（1）根據(jù)各小矩形面積和為1可求得的值；由頻率分布直方圖，結(jié)合平均數(shù)的求法即可求解.（2）根據(jù)頻率分布直方圖先求得成績在的同學(xué)人數(shù)，結(jié)合分層抽樣可得男生4人，女生2人，設(shè)男生分別為；女生分別為，利用列舉法可得抽取3人的所有情況，進(jìn)而得至少有一名女生的情況，即可由古典概型概率公式求解.【詳解】（1）由題，解得，由頻率分布直方圖，得這50名同學(xué)數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)的估計(jì)值為：（2）由頻率分布直方圖知，成績在的同學(xué)有人，由比例可知男生4人，女生2人，記男生分別為；女生分別為，則從6名同學(xué)中選出3人的所有可能如下：共20種，其中不含女生的有4種，設(shè)至少有一名女生參加座談為事件，則至少有一名女生參加座談的概率.【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖的性質(zhì)及平均數(shù)求法，分層抽樣及各組人數(shù)的確定方法，列舉法求古典概型的概率，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）（2）【解析】

（1）1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)包括中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng),且、、兩兩互斥,利用互斥事件的概