湖南省益陽(yáng)市資陽(yáng)區(qū)第六中學(xué)2025屆高一下數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

湖南省益陽(yáng)市資陽(yáng)區(qū)第六中學(xué)2025屆高一下數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．角的終邊在直線(xiàn)上，則（）A． B． C． D．2．已知，則向量與向量的夾角是（）A． B． C． D．3．已知直線(xiàn)是函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸，則的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是（）A． B． C． D．4．關(guān)于的不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，則的取值范圍是()A． B． C． D．5．直線(xiàn)的傾斜角為（）A．30° B．60° C．120° D．150°6．已知平面向量，，且，則等于（）A． B． C． D．7．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈：A．281盞 B．9盞 C．6盞 D．3盞8．在中，若，，，則（）A．， B．，C．， D．，9．已知兩條不重合的直線(xiàn)和，兩個(gè)不重合的平面和，下列四個(gè)說(shuō)法：①若，，，則；②若，，則；③若，，，，則；④若，，，，則．其中所有正確的序號(hào)為（）A．②④ B．③④ C．④ D．①③10．若函數(shù)f（x）=loga（x2–ax+2）在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．[2，3） B．（2，3） C．[2，+∞） D．（2，+∞）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．某單位有200名職工，現(xiàn)要從中抽取40名職工作樣本，用系統(tǒng)抽樣法，將全體職工隨機(jī)按1－200編號(hào)，并按編號(hào)順序平均分為40組（1－5號(hào)，6－10號(hào)…，196－200號(hào)）.若第5組抽出的號(hào)碼為22，則第8組抽出的號(hào)碼應(yīng)是12．函數(shù)的最小正周期為_(kāi)_______．13．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則_____．14．設(shè)在的內(nèi)部，且，的面積與的面積之比為_(kāi)_____．15．若2弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為4cm，則這個(gè)圓心角所夾的扇形的面積是______．16．設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，則數(shù)列的前20項(xiàng)和為_(kāi)___________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．在中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為，，，已知．（Ⅰ）求角B的大??；（Ⅱ）設(shè)，，求．18．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，且．（1）求A；（2）求面積的最大值.19．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且，數(shù)列滿(mǎn)足：對(duì)于任意，有.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，若在數(shù)列的兩項(xiàng)之間都按照如下規(guī)則插入一些數(shù)后，構(gòu)成新數(shù)列：和兩項(xiàng)之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，求；（3）若不等式成立的自然數(shù)恰有個(gè)，求正整數(shù)的值．20．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值以及取得該最小值時(shí)的值.21．已知向量，，，．（1）若，且，求x的值；（2）對(duì)于，，定義．解不等式；（3）若存在，使得，求k的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

先由直線(xiàn)的斜率得出，再利用誘導(dǎo)公式將分式化為弦的一次分式齊次式，并在分子分母中同時(shí)除以，利用弦化切的思想求出所求代數(shù)式的值．【詳解】角的終邊在直線(xiàn)上，，則，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值，考查弦化切思想的應(yīng)用，弦化切一般適用于以下兩個(gè)方面：（1）分式為角弦的次分式齊次式，在分子分母中同時(shí)除以，可以弦化切；（2）代數(shù)式為角的二次整式，先除以，轉(zhuǎn)化為角弦的二次分式其次式，然后在分子分母中同時(shí)除以，可以實(shí)現(xiàn)弦化切．2、C【解析】試題分析：根據(jù)已知可得：，所以，所以?shī)A角為，故選擇C考點(diǎn)：向量的運(yùn)算3、B【解析】

利用周期公式計(jì)算出周期，根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸對(duì)應(yīng)的是最值，然后分析單調(diào)減區(qū)間.【詳解】因?yàn)?，若取到最大值，則，即，此時(shí)處最接近的單調(diào)減區(qū)間是：即，故B符合；若取到最小值，則，即，此時(shí)處最接近的單調(diào)減區(qū)間是：即，此時(shí)無(wú)符合答案；故選：B.【點(diǎn)睛】對(duì)于正弦型函數(shù)，對(duì)稱(chēng)軸對(duì)應(yīng)的是函數(shù)的最值，這一點(diǎn)值得注意.4、D【解析】

特值,利用排除法求解即可.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，滿(mǎn)足題意，所以可排除選項(xiàng)B、C、A，故選D【點(diǎn)睛】不等式恒成立問(wèn)題有兩個(gè)思路：求最值，說(shuō)明恒成立參變分離，再求最值。5、D【解析】

由直線(xiàn)方程得到直線(xiàn)斜率，進(jìn)而得到其傾斜角.【詳解】因直線(xiàn)方程為，所以直線(xiàn)的斜率，故其傾斜角為150°.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查求直線(xiàn)的傾斜角，熟記定義即可，屬于基礎(chǔ)題型.6、B【解析】

先由求出，然后按照向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則算出答案即可【詳解】因?yàn)?，，且所以，即，所以所以故選：B【點(diǎn)睛】若，則7、D【解析】

設(shè)塔的頂層共有盞燈，得到數(shù)列的公比為2的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)公式，即可求解．【詳解】設(shè)塔的頂層共有盞燈，則數(shù)列的公比為2的等比數(shù)列，所以，解得，即塔的頂層共有3盞燈，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式的應(yīng)用，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8、A【解析】

利用正弦定理列出關(guān)系式，把與代入得出與的關(guān)系式，再與已知等式聯(lián)立求出即可.【詳解】∵在中，，，，∴由正弦定理得：，即，聯(lián)立解得：.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

根據(jù)線(xiàn)面平行，面面平行，線(xiàn)面垂直，面面垂直的性質(zhì)定理，判定定理等有關(guān)結(jié)論，逐項(xiàng)判斷出各項(xiàng)的真假，即可求出．【詳解】對(duì)①，若，，，則或和相交，所以①錯(cuò)誤；對(duì)②，若，，則或，所以②錯(cuò)誤；對(duì)③，根據(jù)面面平行的判定定理可知，只有，，，，且和相交，則，所以③錯(cuò)誤；對(duì)④，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知，④正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查有關(guān)線(xiàn)面平行，面面平行，線(xiàn)面垂直，面面垂直的命題的判斷，意在考查線(xiàn)面平行，面面平行，線(xiàn)面垂直，面面垂直的性質(zhì)定理，判定定理等有關(guān)結(jié)論的理解和應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．10、A【解析】

函數(shù)為函數(shù)與的復(fù)合函數(shù)，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是同則增，異則減，討論，，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)還要保證真數(shù)恒大于零，由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)列不等式即可求得的范圍.【詳解】∵函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞減函數(shù)，∴時(shí)，在上為單調(diào)遞減函數(shù)，且在上恒成立，∴需在上的最小值，且對(duì)稱(chēng)軸，∴，當(dāng)時(shí)，在上為單調(diào)遞增函數(shù)，不成立，綜上可得的范圍是，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)的定義域與單調(diào)性，不等式恒成立問(wèn)題的解法，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法，屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1【解析】試題分析：因?yàn)閷⑷w職工隨機(jī)按1～200編號(hào)，并按編號(hào)順序平均分為40組，由分組可知，抽號(hào)的間隔為5，因?yàn)榈?組抽出的號(hào)碼為22，所以第6組抽出的號(hào)碼為27，第7組抽出的號(hào)碼為32，第8組抽出的號(hào)碼為1．考點(diǎn)：系統(tǒng)抽樣．點(diǎn)評(píng)：本題考查系統(tǒng)抽樣，在系統(tǒng)抽樣過(guò)程中得到的樣本號(hào)碼是最規(guī)則的一組編號(hào)．12、.【解析】

根據(jù)正切型函數(shù)的周期公式可計(jì)算出函數(shù)的最小正周期.【詳解】由正切型函數(shù)的周期公式得，因此，函數(shù)的最小正周期為，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查正切型函數(shù)周期的求解，解題的關(guān)鍵在于正切型函數(shù)周期公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.13、4或1024【解析】

當(dāng)時(shí)得到，當(dāng)時(shí)，代入公式計(jì)算得到，得到答案.【詳解】比數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)：易知，代入驗(yàn)證，滿(mǎn)足，故當(dāng)時(shí)：故答案為：4或1024【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列，忽略掉的情況是容易發(fā)生的錯(cuò)誤.14、1:3【解析】

記,，可得：為的重心，利用比例關(guān)系可得：，,，結(jié)合：即可得解.【詳解】記,則則為的重心，如下圖由三角形面積公式可得：，,又為的重心，所以，所以所以【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形重心的向量結(jié)論，還考查了轉(zhuǎn)化能力及三角形面積比例計(jì)算，屬于難題.15、【解析】

先求出扇形的半徑，再求這個(gè)圓心角所夾的扇形的面積.【詳解】設(shè)扇形的半徑為R,由題得.所以扇形的面積為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查扇形的半徑和面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.16、【解析】

對(duì)去絕對(duì)值，得，再求得的前項(xiàng)和，代入=20即可求解【詳解】由題的前n項(xiàng)和為的前20項(xiàng)和，代入可得.故答案為：260【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和，去絕對(duì)值是關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）在△ABC中，利用正弦定理及其．可得，利用和差公式化簡(jiǎn)整理可得B．（Ⅱ）在△ABC中，利用余弦定理即可得出b．【詳解】（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，又．可得，∴sinBcosBsinB，則．又∵B∈（0，π），可得．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，，∴b2＝a2+c2﹣2accosB＝4+9﹣2×2×3×cos7，解得．【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理、余弦定理、和差公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．18、（1）；（2）【解析】

（1）由題目條件a=1，可以將（1+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC中的1換成a，達(dá)到齊次化的目的，再用正余弦定理解決；（2）已知∠A，要求△ABC的面積，可用公式，因此把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求bc的最大值．【詳解】（1）因?yàn)椋?+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，由正弦定理得：（1+b）（a-b）=（c-b）c∴（a+b）（a-b）=（c-b）c，得b2+c2-a2=bc由余弦定理得：，所以．（2）因?yàn)閎2+c2-a2=bc，所以bc=b2+c2-1≥2bc-1，可得bc≤1；所以，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=1時(shí)，取等號(hào)．∴面積的最大值.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理解三角形及面積問(wèn)題，解決三角形面積最值問(wèn)題常常結(jié)合均值不等式求解，屬于中等題.19、（1）；，；（3）.【解析】

（1）令求出，然后令，由得出，兩式相減可得出數(shù)列是等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令可計(jì)算出，再令，由可得出，兩式相減求出，求出，再檢驗(yàn)是否滿(mǎn)足的表達(dá)式，由此可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出，由，以及可得出的值；（3）化簡(jiǎn)可得，分類(lèi)討論，當(dāng)、時(shí)，不等式成立，當(dāng)時(shí)，，利用判斷數(shù)列的單調(diào)性，得出該數(shù)列的最大項(xiàng)，可知滿(mǎn)足不等式，且和不滿(mǎn)足該不等式，由此可得出實(shí)數(shù)的取值范圍，進(jìn)而求出正整數(shù)的值.【詳解】（1）對(duì)任意的，.當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，由得出，兩式相減得，化簡(jiǎn)得，即，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，因此，；（2）對(duì)于任意，有.當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，由，可得，上述兩式相減得，.適合上式，因此，.由于和兩項(xiàng)之間插入個(gè)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，這個(gè)數(shù)列的公差為.，且，所以，；（3）由，得.當(dāng)、，該不等式顯然成立；當(dāng)時(shí)，，由，得，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，即，則.所以，數(shù)列的最大項(xiàng)為，又，.由題意可中，滿(mǎn)足不等式，和不滿(mǎn)足不等式.，則，因此正整數(shù)的值為.【點(diǎn)睛】本題考查利用求數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列定義的應(yīng)用，同時(shí)也考查了數(shù)列不等式的求解，涉及數(shù)列單調(diào)性的應(yīng)用，考查推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于中等題.20、（1）最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值.【解析】

（1）利用三角恒等變換思想化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為，利用正弦型函數(shù)的周期公式可求得函數(shù)的最小正周期，解不等式可求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由計(jì)算出的取值范圍，再利用正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求得該函數(shù)的最小值及其對(duì)應(yīng)的值.【詳解】（1），所以，函數(shù)的最小正周期為；令，得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；（2）當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，此時(shí).【點(diǎn)睛