2025屆全國普通高等學(xué)校數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2025屆全國普通高等學(xué)校數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.若是的重心,,,分別是角的對(duì)邊,若,則角()A. B. C. D.2.若,則三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是()A. B.C. D.3.如圖,位于處的海面觀測站獲悉,在其正東方向相距40海里的處有一艘漁船遇險(xiǎn),并在原地等待營救.在處南偏西且相距20海里的處有一救援船,其速度為海里小時(shí),則該船到求助處的時(shí)間為()分鐘.A.24 B.36 C.48 D.604.設(shè)數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列,它的前項(xiàng)和為,且、、成等比數(shù)列,則等于()A. B. C. D.5.函數(shù)的部分圖像如圖所示,則的值為()A.1 B.4 C.6 D.76.《五曹算經(jīng)》是我國南北朝時(shí)期數(shù)學(xué)家甄鸞為各級(jí)政府的行政人員編撰的一部實(shí)用算術(shù)書.其第四卷第九題如下:“今有平地聚粟,下周三丈高四尺,問粟幾何?”其意思為“場院內(nèi)有圓錐形稻谷堆,底面周長3丈,高4尺,那么這堆稻谷有多少斛?”已知1丈等于10尺,1斜稻谷的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的稻谷約有()A.57.08斜 B.171.24斛 C.61.73斛 D.185.19斛7.一個(gè)多面體的三視圖如圖所示.設(shè)在其直觀圖中,M為AB的中點(diǎn),則幾何體的體積為()A. B. C. D.8.在中,,,則的最大值為A. B. C. D.9.已知三個(gè)互不相等的負(fù)數(shù),,滿足,設(shè),,則()A. B. C. D.10.設(shè)平面向量,,若,則等于()A. B. C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.=__________.12.在等差數(shù)列中,,,則公差______.13.已知變量之間滿足線性相關(guān)關(guān)系,且之間的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示:_____.12340.13.1414.給出以下四個(gè)結(jié)論:①過點(diǎn),在兩軸上的截距相等的直線方程是;②若是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,則;③在中,若,則是等腰三角形;④已知,,且,則的最大值是2.其中正確的結(jié)論是________(寫出所有正確結(jié)論的番號(hào)).15.已知,,,若,則__________.16.中,三邊所對(duì)的角分別為,若,則角______.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.已知等差數(shù)列與等比數(shù)列滿足,,且.(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),是否存在正整數(shù),使恒成立?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.18.如圖,在幾何體P﹣ABCD中,平面ABCD⊥平面PAB,四邊形ABCD為矩形,△PAB為正三角形,若AB=2,AD=1,E,F(xiàn)分別為AC,BP中點(diǎn).(1)求證:EF∥平面PCD;(2)求直線DP與平面ABCD所成角的正弦值.19.已知函數(shù)是指數(shù)函數(shù).(1)求的表達(dá)式;(2)判斷的奇偶性,并加以證明(3)解不等式:.20.如圖所示,在三棱柱中,側(cè)棱底面,,D為的中點(diǎn),.(1)求證:平面;(2)求與所成角的余弦值.21.在某單位的職工食堂中,食堂每天以3元/個(gè)的價(jià)格從面包店購進(jìn)面包,然后以5元/個(gè)的價(jià)格出售.如果當(dāng)天賣不完,剩下的面包以1元/個(gè)的價(jià)格全部賣給飼料加工廠.根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料,得到食堂每天面包需求量的頻率分布直方圖如下圖所示.食堂某天購進(jìn)了80個(gè)面包,以x(單位:個(gè),)表示面包的需求量,T(單位:元)表示利潤.(1)求食堂面包需求量的平均數(shù);(2)求T關(guān)于x的函數(shù)解析式;(3)根據(jù)直方圖估計(jì)利潤T不少于100元的概率.

參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】試題分析:由于是的重心,,,代入得,整理得,,因此,故答案為D.考點(diǎn):1、平面向量基本定理;2、余弦定理的應(yīng)用.2、A【解析】

根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較,b,c的大小即可.【詳解】=log50.2<0,b=20.5>1,0<c=0.52<1,則,故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),是一道基礎(chǔ)題.3、A【解析】

利用余弦定理求出的長度,然后根據(jù)速度、時(shí)間、路程之間的關(guān)系求出時(shí)間即可.【詳解】由題意可知:,運(yùn)用余弦定理可知:該船到求助處的時(shí)間,故本題選A.【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理的應(yīng)用,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.4、A【解析】

設(shè)等差數(shù)列的公差為,根據(jù)得出與的等量關(guān)系,即可計(jì)算出的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為,由于、、成等比數(shù)列,則有,所以,,化簡得,因此,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列前項(xiàng)和中基本量的計(jì)算,解題的關(guān)鍵就是結(jié)合題意得出首項(xiàng)與公差的等量關(guān)系,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

根據(jù)是零點(diǎn)以及的縱坐標(biāo)值,求解出的坐標(biāo)值,然后進(jìn)行數(shù)量積計(jì)算.【詳解】令,且是第一個(gè)零點(diǎn),則;令,是軸右側(cè)第一個(gè)周期內(nèi)的點(diǎn),所以,則;則,,則.選C.【點(diǎn)睛】本題考查正切型函數(shù)以及坐標(biāo)形式下向量數(shù)量積的計(jì)算,難度較易.當(dāng)已知,則有.6、C【解析】

根據(jù)圓錐的周長求出底面半徑,再計(jì)算圓錐的體積,從而估算堆放的稻谷數(shù).【詳解】設(shè)圓錐形稻谷堆的底面半徑為尺,則底面周長為尺,解得尺,又高為尺,所以圓錐的體積為(立方尺);又(斛,所以估算堆放的稻谷約有61.73(斛.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了椎體的體積計(jì)算問題,也考查了實(shí)際應(yīng)用問題,是基礎(chǔ)題.7、D【解析】

利用棱柱的體積減去兩個(gè)棱錐的體積,求解即可.【詳解】由題意可知幾何體C?MEF的體積:VADF?BCE?VF?AMCD?VE?MBC=.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查簡單空間圖形的三視圖及體積計(jì)算,根據(jù)三視圖求得幾何體的棱長及關(guān)系,利用幾何體體積公式即可求解,考查運(yùn)算能力和空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

利用正弦定理得出的外接圓直徑,并利用正弦定理化邊為角,利用三角形內(nèi)角和關(guān)系以及兩角差正弦公式、配角公式化簡,最后利用正弦函數(shù)性質(zhì)可得出答案.【詳解】中,,,則,,其中由于,所以,所以最大值為.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理以及兩角差正弦公式、配角公式,考查基本分析計(jì)算能力,屬于中等題.9、C【解析】

作差后利用已知條件變形為,可知為負(fù)數(shù),由此可得答案.【詳解】由題知.因?yàn)椋?,都是?fù)數(shù)且互不相等,所以,即.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了作差比較大小,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】分析:由向量垂直的條件,求解,再由向量的模的公式和向量的數(shù)量積的運(yùn)算,即可求解結(jié)果.詳解:由題意,平面向量,且,所以,所以,即,又由,所以,故選D.點(diǎn)睛:本題主要考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算和向量模的求解,其中解答中熟記平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式和向量模的計(jì)算公式是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、2【解析】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得到,故答案為2.12、3【解析】

根據(jù)等差數(shù)列公差性質(zhì)列式得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,,所?【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列公差,考查基本分析求解能力,屬基礎(chǔ)題.13、【解析】

根據(jù)回歸直線方程過樣本點(diǎn)的中心,代入數(shù)據(jù)即可計(jì)算出的值.【詳解】因?yàn)?,,所以,解?故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)回歸直線方程過樣本點(diǎn)的中心求參數(shù),難度較易.14、②④【解析】

①中滿足題意的直線還有,②中根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和的特點(diǎn),得到,③中根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系進(jìn)行化簡計(jì)算,從而進(jìn)行判斷,④中根據(jù)基本不等式進(jìn)行判斷.【詳解】①中過點(diǎn),在兩軸上的截距相等的直線還可以過原點(diǎn),即兩軸上的截距都為,即直線,所以錯(cuò)誤;②中是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和的特點(diǎn),,是一個(gè)不含常數(shù)項(xiàng)的二次式,從而得到,即,所以正確;③中在中,若,則可得,所以可得或,所以可得或,從而得到為直角三角形或等腰三角形,所以錯(cuò)誤;④中因?yàn)椋?,由基本不等式,得到,所以,?dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立.所以,即的最大值是,所以正確.故答案為:②④【點(diǎn)睛】本題考查截距相等的直線的特點(diǎn),等差數(shù)列前項(xiàng)和的特點(diǎn),判斷三角形形狀,基本不等式求積的最大值,屬于中檔題.15、-3【解析】由可知,解得,16、【解析】

利用余弦定理化簡已知條件,求得的值,進(jìn)而求得的大小.【詳解】由得,由于,所以.【點(diǎn)睛】本小題主要考查余弦定理解三角形,考查特殊角的三角函數(shù)值,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),.(2)存在正整數(shù),,證明見解析【解析】

(1)根據(jù)題意,列出關(guān)于d與q的兩個(gè)等式,解方程組,即可求出。(2)利用錯(cuò)位相減求出,再討論求出的最小值,對(duì)應(yīng)的n值即為所求的k值?!驹斀狻浚?)解:設(shè)等差數(shù)列與等比數(shù)列的公差與公比分別為,,則,解得,于是,,.(2)解:由,即,①,②①②得:,從而得.令,得,顯然、所以數(shù)列是遞減數(shù)列,于是,對(duì)于數(shù)列,當(dāng)為奇數(shù)時(shí),即,,,…為遞減數(shù)列,最大項(xiàng)為,最小項(xiàng)大于;當(dāng)為偶數(shù)時(shí),即,,,…為遞增數(shù)列,最小項(xiàng)為,最大項(xiàng)大于零且小于,那么數(shù)列的最小項(xiàng)為.故存在正整數(shù),使恒成立.【點(diǎn)睛】本題考查等差等比數(shù)列,利用錯(cuò)位相減法求差比數(shù)列的前n項(xiàng)和,并討論其最值,屬于難題。18、(1)見證明;(2)【解析】

(1)根據(jù)EF是△BDP的中位線可知EF∥DP,即可利用線線平行得出線面平行;(2)取AB中點(diǎn)O,連接PO,DO,可證明∠PDO為DP與平面ABCD所成角,在Rt△DOP中求解即可.【詳解】(1)因?yàn)镋為AC中點(diǎn),所以DB與AC交于點(diǎn)E.因?yàn)镋,F(xiàn)分別為AC,BP中點(diǎn),所以EF是△BDP的中位線,所以EF∥DP.又DP?平面PCD,EF?平面PCD,所以EF∥平面PCD.(2)取AB中點(diǎn)O,連接PO,DO∵△PAB為正三角形,∴PO⊥AB,又∵平面ABCD⊥平面PAB∴PO⊥平面ABCD,∴DP在平面ABCD內(nèi)的射影為DO,∠PDO為DP與平面ABCD所成角,在Rt△DOP中,sin∠PDO=,∴直線DP與平面ABCD所成角的正弦值為【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面平行的證明,線面角的求法,屬于中檔題.19、(1)(2)見證明;(3)【解析】

(1)根據(jù)指數(shù)函數(shù)定義得到,檢驗(yàn)得到答案.(2),判斷關(guān)系得到答案.(3)利用函數(shù)的單調(diào)性得到答案.【詳解】解:(1)∵函數(shù)是指數(shù)函數(shù),且,∴,可得或(舍去),∴;(2)由(1)得,∴,∴,∴是奇函數(shù);(3)不等式:,以2為底單調(diào)遞增,即,∴,解集為.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的定義,函數(shù)的奇偶性,解不等式,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.20、(1)證明見解析;(2).【解析】

(1)連接,設(shè)與相交于點(diǎn)O,連接OD.證明OD為的中位線,得,即可證明;(2)由(1)可知,為與所成的角或其補(bǔ)角,在中,利用余弦定理求解即可【詳解】(1)證明:如圖,連接,設(shè)與相交于點(diǎn)O,連接OD.∵四邊形是平行四邊形.∴點(diǎn)O為的中點(diǎn).∵D為AC的中點(diǎn),∴OD為的中位線,平面,平面,平面.(2)由(1)可知,為與所成的角或其補(bǔ)角在中,D為AC的中點(diǎn),則同理可得,在中,與BD所成角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定,異面直線所成的角,考查空間想象能力與計(jì)算能力是基礎(chǔ)題21、(1)84;(2);(3)【解析】

(1)每個(gè)小矩

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