人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)新高考名師導(dǎo)學(xué)第一章復(fù)習(xí)參考題

人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)新高考名師導(dǎo)學(xué)第一章

復(fù)習(xí)參考題1

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.如圖，空間四邊形。4BC中，OA=a，OB=b，OC=c，且。暇=2M4,BN=NC,

貝！I旃=（）

1-171-

B.-ci-\—b—c

222

1-21-

C.——a+—b+—cD.—a——br+—c

332232

【答案】A

【分析】

根據(jù)麗=麗一兩，再由。暇=2M4,BN=NC,得到

0M=|0A=|a,0]V=l（0B+0C）=l^+c）,求解,

【詳解】

因?yàn)辂?兩-兩'，

又因?yàn)閮?：西=|￡,兩=；（赤+反，

一---?2―1-1-

=-—a+—b+—c.

故選：A

二、解答題

2.如圖所示，在平行六面體ABCD-ABC。中，AB=a,AD=b,AA=c9尸是CA的

中點(diǎn)，M是CD'的中點(diǎn)，N是C77的中點(diǎn)，點(diǎn)。在CA上，且CQ:QA=4:1用基底｛部啟

表示以下向量.

(1)AP-,

⑵AMi

(3)AN;

(4)AQ.

【答案】(1)AP=^(a+b+c)；(2)AM=^a+b+^c；(3)AN=^a+b+c-(4)

=La+-b+-c..

555

【分析】

各空間向量轉(zhuǎn)化在三角形中利用空間向量線性運(yùn)算可解.

(1)/在△44'C中運(yùn)用向量線性運(yùn)算可得；

(2)由在△AD'C中運(yùn)用向量線性運(yùn)算可得；

(3)版在4AC"中運(yùn)用向量線性運(yùn)算可得；

(4)戀在△A4'C中運(yùn)用向量線性運(yùn)算可得;

【詳解】

連接AC,AD'.

試卷第2頁，共21頁

A'D'

(1)「是C4的中點(diǎn)

AP=1(AC+A4;)=1(AB+AD+A4z)=1(a+&+c)

(2)M是CO的中點(diǎn)

AM=1(AC+A/y)=1(AB+2A5+A47)=^fl+^+1c

(3)N是CD的中點(diǎn)

AN=^(AC+AD!)=^(AA+AC+AD+A^)=^AA+AB+2AD+AA)=^a+b+c(.4)

點(diǎn)。在。r上，且CQ：QV=4：1

AQ=AC+Ce=AC+|c4;=AC+|(A4;-AC)=|ZC+|A4;=|(AB+AD)=|a+|&+!?

【點(diǎn)睛】

本題考查空間向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題

3.如圖，在直三棱柱ABC-A與G中，ZABC=90°,CB=1,CA=2,4\="，M

是CG的中點(diǎn).求證：AM1BA,.

C

【答案】證明見解析

【分析】

以2為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，證明甌?同=0即可.

【詳解】

由題可以B為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

則3(0,0,0),A(0,6,0),M1,0,，A（o,6,屈）,

則可二（0,后廂，麗7=（1,-

4.如圖，正三棱柱ABC-44G的底面邊長為.，側(cè)棱長為

（1）試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，并寫出點(diǎn)A,B,A，C的坐標(biāo);

（2）求AG與側(cè)面山珥4所成的角.

【答案】（1）答案見解析；（2）?

O

【分析】

試卷第4頁，共21頁

取3c的中點(diǎn)為。，與G的中點(diǎn)為a,連結(jié)。a,連結(jié)。4,以。為原點(diǎn)，配礪，西為x、

y,Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解.

【詳解】

取BC的中點(diǎn)為0,取BG的中點(diǎn)為a,連結(jié)。a,則，面ABC.連結(jié)。4,則OALBC.

以。為原點(diǎn)，礪，礪，西為x、y、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，由底面邊長為m

側(cè)棱長為亞a，則

0(0,0,0),A*a,0,0,B^0,1,0j,C^0,——,0^,Aj^^-a,0,y/2a,BX^0,—^0,——,y/2a^,

所以點(diǎn)A,3,A，G的坐標(biāo)為：A二

）12—2）'2;

（2）

由（1）知：ACj=^-—,A/2<2,AB

=,4\=（0,0,拒0）,.

設(shè)；z=（x,y,z）為面小叫A的一個(gè)法向量

,.?-A4j=0+0+y/2a-z

則"=0,即—（有）.

\n-AB=0n-AB=------a-XH—y+0=0'

［〔2J2

不妨設(shè)無=1,則1=（1,后o）.

設(shè)A5與側(cè)面4期4所成的角為外0<64)則

所以e=g,即AG與側(cè)面A884所成的角為］

66

5.已知空間三點(diǎn)40,2,3),5(-2,1,6),C(l,-1,5)

(1)求以至，AC為邊的平行四邊形的面積；

(2)若向量￡分別與血，而垂直，且|￡|=石，求a的坐標(biāo).

【答案】(1)7普；(2)2=(1,1,1)或(-1,-1,-1)

【詳解】

⑴?布=(-2,-1,3),定=(1,-3,2),

l^l=vrH,l4Cl=vrH,cosZBAC=J±-d￡=2,ZBAC=60°,

|H0|*|HL|2

*"-S=|麗l4C|sinZBAC=7V3.

⑵設(shè)向量Z=(x,y,z),則由7而=0,a-AC=0,\Zl=V3,得

f-2x-y+3z=0,仔=1,(x=-1,

x-3y+2z=0,My=i或y=-L

x2+y2+z2=3,\z=l(z=-L

￡=(1,1,1)或Gl,-1,-1).

【點(diǎn)睛】

本題主要考查向量模的坐標(biāo)表示、向量垂直的坐標(biāo)表示以及向量夾交余弦公式的應(yīng)用,

屬于中檔題.利用向量的位置關(guān)系求參數(shù)是出題的熱點(diǎn)，主要命題方式有兩個(gè)：(1)兩

向量平行；(2)兩向量垂直.

6.設(shè)空間兩個(gè)單位向量礪=(利”,0),礪=(0,〃,°)與向量反=(1,1,1)的夾角都等于7,

求cosZAOB的值.

【答案】cosZAOB=2+^cosZAOB=2~^.

44

【分析】

根據(jù)已知可得花?麗=1云川西1<05?=6*心孝=半=〃7+",次2=毋+“2=1，

再根據(jù)cos/AC2=0AoL=*,即可求得答案.

由此可以求出外

\OA\-\OB\

試卷第6頁，共21頁

【詳解】

因?yàn)閮蓚€(gè)單位向量04=(九％0),赤=(0,w,p)與向量無=(1,1,1)的夾角都等于

:.ZAOC=ZBOC=~,\OC\=y/3,

4

|兩二|礪|=1,

:.OCOA=\OC\\OA\cos-

4

A/2V6

=A/3x1X---=---

22

,.eOC-OA=m+n，

OA=m2+[2=],

22+6

m=--------

m+n=----口44

2解得〈或,

2-73

m2+n2=1n2

44

,/OAOB=n2

麗?礪

cosZAOB二n2

\OA\-\OB\

cosZAOB=或cosZAOB=

44

7.正三棱柱ABC-AAG的側(cè)棱長為2,底面邊長為1,M是BC的中點(diǎn).在直線CG上

求一點(diǎn)M使

【答案】滿足CN=；

O

【分析】

以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)N(0,l,f),魄力2,通過麗.鬲=0求解.

【詳解】

如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,

￡；,O1,A(O,O,O)，41/

則M

I44J(22J

設(shè)N(0,1J),砌2,

—正！

貝lj；,2

MN=一不彳,AB]2,

?.,MN1AB1,

:.MNAB.=--x^-+-x-+2t=0,解得?=

42428

故可得滿足CN=：即可.

o

8.如圖，在棱長為1的正方體A3CD-a4GR中，E,F,G分別是BD,8月的

（2）求與CG所成角的余弦值；

（3）求CE的長.

【答案】（1）證明見解析；（2）巫；（3）先

152

【分析】

（1）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，證明喬.彳=0即可;

(2)求出8$夕=?＜甌詼＞卜即可;

（3）利用空間兩點(diǎn)間距離公式即可求出.

【詳解】

如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,

試卷第8頁，共21頁

則E（O,O，m1；,O）,C（O,l,O）,G（l,q1.

22

1

⑴麗m2

11111

則EFCF=—X—+—X+xO=O,

22222

.-.EFCF，-EFVCF-,

（2）設(shè)E尸與CG所成角為凡

叵

J可

甌

郵

<一4

CGn一

ICGI

------X-------

22

所以取與CG所成角的余弦值為書；

⑶CE=^（0-0）2+（0-l）2+Q-0^=

9.如圖所示，直三棱柱ABC—A4G中，CA=CB=19ZBCA=90°,明=2,M、N

分別是A4、AA的中點(diǎn).

（I）求證：\BVCXM；

(II)求線段3N的長度;

(in)求異面直線84與CB,的夾角余弦值.

【答案】(I)證明見詳解；(H)73；(III)叵

10

【分析】

(I)先由題中條件，根據(jù)線面垂直的判定定理，證明平面441AB,進(jìn)而可得

4B±C.M；

(II)根據(jù)題中條件，得到⑷VLAB,再由勾股定理，即可得出結(jié)果；

(IID連接AC,取8片的中點(diǎn)為尸，取AC的中點(diǎn)為。，連接OA1,OP,MP,根據(jù)

題中條件，得到NOMP即等于異面直線84與C4所成的角或所成角的補(bǔ)角，再由題中

數(shù)據(jù)，解三角形，即可得出結(jié)果.

【詳解】

(I)因?yàn)橹比庵鵄3C-A與G中，CA=CB=1,所以GA=GBI=1；

又M是A耳的中點(diǎn)，所以由；

又直棱柱中，側(cè)棱與底面垂直，所以平面4瓦G；

又C|Mu平面A4G，所以

因?yàn)锳ACA耳=A，A&U平面9為臺(tái)，A4u平面AA與B,

所以平面例與2,

因?yàn)锳Bu平面胡用5,所以

(ID因?yàn)橹崩庵?，?cè)棱與底面垂直，所以平面ABC；

又N分別是AA的中點(diǎn)，44,=2,

則AN_L平面ABC,AN=1；因?yàn)锳B1平面45C,所以4V_L45,

因?yàn)镚4=CB=1,ZBC4=90°,所以==

因止匕BN=yjAN2+AB2=每；

(III)連接AC,取2用的中點(diǎn)為P,4c的中點(diǎn)為0,連接OM,OP,MP,

因?yàn)镸是A片的中點(diǎn)，

試卷第10頁，共21頁

所以M尸〃AB,OMIICB},J.MP==^AA^+AB-=,

OM=-CB.=-dCB2+BB.2=—,

2112

所以NOMP即等于異面直線BA}與CB,所成的角或所成角的補(bǔ)角；

取AC中點(diǎn)為S,連接OS,SB,則OS//44),且OS=：A4,,

因此OSHPB且OS=PB,因此四邊形OSBP為平行四邊形,

所以O(shè)P=SB=y/cS2+CB-=^1+1=5,

565

0加2+〃尸2一0尸2—?--------

444底

因此，在AOMP中,cosZOMP=

20MMp~w

22

所以異面直線B4與C4的夾角余弦值為招.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛:

立體幾何體中空間角的求法：

（1）定義法：根據(jù)空間角（異面直線所成角、線面角、二面角）的定義，通過作輔助

線，在幾何體中作出空間角，再解對(duì)應(yīng)三角形，即可得出結(jié)果；

（2）空間向量的方法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量，平面的法

向量，通過計(jì)算向量夾角（兩直線的方法向量夾角、直線的方向向量與平面的法向量夾

角、兩平面的法向量夾角）的余弦值，來求空間角即可.

10.如圖，在平行六面體4?CD-A3'C'D'中，底面A3。是邊長為a的正方形，側(cè)棱

A4'的長為從1.ZAAB=ZAAD=120°.

求：（1）AC的長；

（2）直線3D與AC所成角的余弦值.

___________b

［答案］（1）\AC'\=yl2a2+b2-2ab；（2）萬吞石?

【分析】

（1）利用基底表示向量祠，再利用數(shù)量積求模；（2）轉(zhuǎn)化為利用向量數(shù)量積求直線

夾角的余弦值.

【詳解】

AC=AB+AD+AA,

所以|箱卜J（而+布+砌2

=^AB+AD+A^+2^ABAD+AB-AN+ADA^^

—J26r+/?--2ab

初=麗+而+麗，

所以|阿=，（而+前+麗J

=JB^+BC2+3^2+2（BABC+BABBt+BCBB!）

—\l2a2+b2

AC=AB+BC,\AC\=>/2a

BD!-AC=［BA+BC+BB!y^AB+BC^=~ab,

BD'AC—ab-b

cos<Biy,Ac>=

甌國d2als及a而+2b2'

b

所以直線BD'與AC所成角的余弦值為

^cr+1b2'

11.在長方體ABCD-A#CQ中，點(diǎn)E,尸分別在BBl,上，且AE，,A尸，AiD.

試卷第12頁，共21頁

（1）求證：AC^￥ffiAEF；

（2）當(dāng)AD=3,AB=4,e=5時(shí)，求平面AE歹與平面，目四所成二面角的余弦

值.

【答案】（1）證明見解析；（2）”也.

25

【分析】

（1）利用向量證明AC，A￡，ACLAP即可；

（2）首先建立空間直角坐標(biāo)系，算出平面24瓦？的法向量，利用第一問的結(jié)論進(jìn)一步

得到平面口的法向量，最后利用法向量的夾角求出二面角的余弦值.

【詳解】

（1）證明：因?yàn)槎?旗=（率+配）?通=配.通=就?（通+礪）=0

所以AC1AE

因?yàn)槭?通=（麗+配）.*=配./=覺.（礪+而）=0

所以ACLAF

因?yàn)?所以AC，平面AEE

（2）分別以A3、AD,A4為了軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，連接AC,

由于：AB=4,AD=3,M=5

所以麗=(一4,3,0),函=(0,0,5)

設(shè)平面。88。的法向量為”=(x,y,z),則“?￡)￡>]=0,n-BD-0

f5z=0-.、

所以/2八，所以可取"=3,4,0

[一4元+3y=0'7

又由于：&G，平面AEb

ULUJL

所以：AC1看作是平面尸的法向量

苑=(4,3,-5)

n-AC112&

設(shè)平面AEV和平面所成的角為。，貝ijcos6>=

25

所以平面AEF和平面D}BiBD所成的角的余弦值為皂1.

25

12.如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABC。滿足ABLBC,SA_L底面ABCD,

且S4=AB=3C=1,AD=0.5.

試卷第14頁，共21頁

s

（1）求四棱錐S-ABCD的體積；

（2）求平面SCD與平面SAB的夾角的余弦值.

【答案】（1）7；（2）逅.

43

【分析】

（1）先求底面面積，再結(jié)合錐體體積公式即可求解；

（2）分別以AD、AB.AS所在直線為了軸,丁軸、z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，前為

平面SAB的一個(gè)法向量，且BC=（1,0,0），求平面SCD的一個(gè)法向量溫,根據(jù)

|cos6?|=cos<BC,n）即可求得答案.

【詳解】

（1）SA_L平面A￡CD,AB_LAP,BC_LAB,且5A=AB=BC=1,AD=0.5

所以四棱錐S-ABCD的體積丫=35加°.54=；*；、+1卜卜1=；；

（2）分別以皿AB.AS所在直線為x軸,y軸、z軸,建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

可得:A(0,0,0),8(0,1,0),C(l,l,0),D(1,0,0),S(0,0,l),

由⑴知5cl.平面S4B,

能為平面&LB的一個(gè)法向量，且配=(1,0,0)；

設(shè)7=(x,y,z)為平面SCD的一個(gè)法向量，

則A,皮工麗，

n-DC=0,n-SD=Q,

----?11

DC=(-,l,0),5D=(-,0,-l),

，乙

—x+y=0

■<2

1'

—x-z=0

12

令z=l,則x=2,y=T,

5=(2,-1,1),

設(shè)平面SCD與平面&LB所成的二面角為仇

|cos^|=cos(BC,ri)|=-^-=^-,

???平面SCD與平面SAB所成二面角的余弦值為星.

3

13.如圖，把正方形紙片A3。沿對(duì)角線AC折成直二面角，E,歹分別為AD,3c的

中點(diǎn)，。是原正方形A5C。的中心，求折紙后NEO尸的大小.

【答案】120。

【分析】

可連接3。，。。，根據(jù)正方形的對(duì)角線互相垂直有80,AC,DO±AC,而折成的為

直二面角，從而平面ABC_L平面ADC,從而可得到8O_L平面ADC,可得出。￡>,OC,

08三直線兩兩垂直，從而可分別以這三直線為龍，,，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.然

后求出空間一些點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可以得出向量施，小的坐標(biāo)，這樣可根據(jù)向量夾角的余

弦公式求出向量施,小的夾角，從而得出/EO尸的大小.

試卷第16頁，共21頁

【詳解】

折起后的圖形如下所示，連接B。，DO,則30J_AC,DO±AC；

又平面ABC_L平面ADC,平面ASCri平面ADC=AC；

BO_L平面AT＞C；

：.OD,OC,08三直線兩兩垂直，分別以這三直線為X,y,Z軸，建立空間直角坐

標(biāo)系

設(shè)正方形的對(duì)角線長為2,則可確定以下點(diǎn)坐標(biāo)：

0(0,0,0),A(0,-1,0),。(1,0,0),E(1,-1,0),3(0,0,D,C(0,1,0),

-11f11

OE=0),OF=(0,-,-)；

■網(wǎng)＜亦加＞=OEQF=一一

一由而612，

<OE,OF>=120°；

14.在正四棱錐S-MCD中,O為頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影,P為側(cè)棱SO的中點(diǎn)，且SO=OD.

求直線BC與平面PAC所成的角.

【答案】30°

【分析】

如圖所示，以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,求得平面PAC的一個(gè)法向量和直線

BC的方向向量，結(jié)合線面夾角公式即可求解.

【詳解】

如圖所示，以0為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.

設(shè)OD=SO=OA=OB=OC=a(a>。),

則A(a,O,O),B(0,41,0),C(-a,0,0),P(0,-^,1).

則無=(2a,0,0),=,CB=(a,a,0).

設(shè)平面PAC的法向量為〃，則〃_LAP,n_LCA,

2ax=0

即,aa,得％=0,令V=l,貝!Jz=l

-ax—y+—z=0M

Ix2

/.n=(0,1,1)，

_CB,na1

貝cos<CB,n>=>一=~尸=二—.

\CB\\n\y/2-yl2a2

.\<CB,n>=60°.

?,?直線BC與平面B4C所成的角為90。一60。=30。.

15.如圖，在四面體A3CD中，E,F,G,H分別是Ab,BC,CD,ZM的中點(diǎn).

A

(1)求證：E,F,G,H四點(diǎn)共面;

(2)求證：B。//平面E/G”；

試卷第18頁，共21頁

(3)設(shè)“是EG和廣〃的交點(diǎn)，求證：對(duì)空間任意一點(diǎn)0,有

OM=^-(0A+0B+0C+0D^.

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)證明見解析

【分析】

(1)根據(jù)題意得出方=旃可證；

(2)通過證明HE/ABD可得；

(3)可得四邊形EPGH為平行四邊形，”為EG中點(diǎn)，即可證明.

【詳解】

(1)???￡,F,G,X分別是AB,BC,CD,ZM的中點(diǎn)，

—.1—>.1—.

：.EF=-AC,HG=-AC,；.EF=HG，

又E,F,G,H四點(diǎn)不共線，故E,F,G,〃四點(diǎn)共面；

(2)：E,H分別是AB,A。的中點(diǎn)，

—.1—.

HE=-DB,HE//DB,:.HE//BD,

???HEu平面EFGH,BD<z平面EFGH,■■BD!/平面EFGH-,

(3)由(1)知四邊形所GH為平行四邊形，為EG中點(diǎn)，

G分別是AB,CO的中點(diǎn)，

:.OM=^(OE+OG)=^^(.OA+OB)+^OC+OD)^=^OA