高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第七章 第五節(jié) 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)教案

第五節(jié)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)【考綱下載】1．能以立體幾何中的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)和判定定理．2．能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題．理解直線與平面所成的角、二面角的概念．1．直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說(shuō)直線l與平面α互相垂直．(2)直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行?a∥b2.直線與平面所成的角(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角．如圖所示，∠PAO就是斜線AP與平面α所成的角．(2)線面角θ的范圍：θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).3．二面角的有關(guān)概念(1)二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角．4．平面與平面垂直的判定定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面互相垂直?α⊥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面互相垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直?l⊥α1．若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那另一條與此平面是否垂直？提示：垂直．2．如果兩條直線與一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線一定平行嗎？提示：不一定．可能平行、相交或異面．3．垂直于同一平面的兩平面是否平行？提示：不一定．可能平行，也可能相交．4．垂直于同一條直線的兩個(gè)平面一定平行嗎？提示：平行．可由線面垂直的性質(zhì)及面面平行的判定定理推導(dǎo)出．1．(教材習(xí)題改編)給出下列四個(gè)命題：①垂直于同一平面的兩條直線相互平行；②垂直于同一平面的兩個(gè)平面相互平行；③若一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面相互平行；④若一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線，那么這條直線垂直于這個(gè)平面．其中真命題的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3解析：選B①④正確．2．已知直線a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，則b與α的位置關(guān)系為()A．b?αB．b∥αC．b?α或b∥αD．b與α相交解析：選C∵a⊥b，a⊥α，∴b∥α或b?α.3．(教材習(xí)題改編)PD垂直于正方形ABCD所在的平面，連接PB、PC，PA、AC、BD，則一定互相垂直的平面有()A．8對(duì)B．7對(duì)C．6對(duì)D．5對(duì)解析：選B由于PD⊥平面ABCD，故平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PDC，共7對(duì)．4．已知α，β表示兩個(gè)不同的平面，m為平面α內(nèi)的一條直線，則“α⊥β”是“m⊥β”的________條件(填“充分不必要”、“必要不充分”或“充要”)．解析：設(shè)α∩β＝l，則當(dāng)m?α，且m⊥l時(shí)，有m⊥β，否則m不垂直β，故α⊥β?/m⊥β；反之，若m?α，m⊥β，則α⊥β.答案：必要不充分5.如圖，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．解析：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC.又BC⊥AC，PA∩AC＝A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC.故△PAB，△PAC，△BAC，△BCP都是直角三角形．答案：4答題模板(五)空間位置關(guān)系的證明[典例](2013·浙江高考)(15分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，AD＝CD＝eq\r(7)，PA＝eq\r(3)，∠ABC＝120°，G為線段PC上的點(diǎn)．(1)證明：BD⊥平面APC；(2)若G為PC的中點(diǎn)，求DG與平面APC所成的角的正切值；(3)若G滿足PC⊥平面BGD，求eq\f(PG,GC)的值．[快速規(guī)范審題]第(1)問(wèn)1．審結(jié)論，明解題方向觀察所求結(jié)論，證明BD⊥平面APCeq\o(→,\s\up7(可利用線面垂直的),\s\do5(判定定理或面面垂直的性質(zhì)定理))證明BD與平面APC內(nèi)的兩相交直線垂直或證明BD所在的平面與平面APC垂直，且BD與交線垂直．2．審條件，挖解題信息觀察條件，AB＝BC，AD＝CD，PA⊥平面ABCD，線面垂直的判定定理,BD⊥平面APC.3．建聯(lián)系，找解題突破口AB＝BC，AD＝CDeq\o(→,\s\up7(BD是AC的),\s\do5(中垂線))BD⊥AC，PA⊥平面ABCD線面垂直的判定定理,BD⊥平面APC.第(2)問(wèn)1．審結(jié)論，明解題方向觀察所求結(jié)論，DG與平面APC所成的角的正切值射影定理,DG與平面APC所成的角．2．審條件，挖解題信息觀察條件，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°余弦定理,AC＝2eq\r(3)比例關(guān)系,OC＝eq\r(3)勾股定理,OD＝2.3．建聯(lián)系，找解題突破口在Rt△OGD中三角函數(shù)定義,tan∠OGD＝eq\f(OD,OG).第(3)問(wèn)1．審結(jié)論，明解題方向觀察所求結(jié)論，eq\f(PG,GC)eq\o(→,\s\up7(相似三),\s\do5(角形性質(zhì)))PG、GC的值．2．審條件，挖解題信息觀察條件，PC⊥平面BGDOG?平面BGD,PC⊥OG勾股定理,PC的值．3．建聯(lián)系，找解題突破口PC⊥平面BGDOG?平面BGD,PC⊥OG勾股定理,PC的值eq\o(→,\s\up7(相似三角形),\s\do5(性質(zhì)))GC的值→eq\f(PG,GC)的值．[準(zhǔn)確規(guī)范答題](1)證明：設(shè)點(diǎn)O為AC與BD的交點(diǎn)．由AB＝BC，AD＝CD，得BD是線段AC的中垂線，所以O(shè)為AC的中點(diǎn)，BD⊥AC.?2分又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD.又PA∩AC＝A，PA，AC?平面APC，所以BD⊥平面APC.?4分(2)連接OG.由(1)可知，OD⊥平面APC，則DG在平面eq\x(此外易誤判DG與平面APC所成的角造成后續(xù)求解錯(cuò)誤)APC內(nèi)的射影為OG，所以∠OGD是DG與平面APC所成的角．?5分由題意得OG＝eq\f(1,2)PA＝eq\f(\r(3),2).在△ABC中，AC＝eq\r(AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC)＝eq\r(4＋4－2×2×2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝2eq\r(3)，所以O(shè)C＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(3).?7分在Rt△OCD中，OD＝eq\r(CD2－OC2)＝eq\r(7－3)＝2.在Rt△OGD中，tan∠OGD＝eq\f(OD,OG)＝eq\f(4\r(3),3).所以DG與平面APC所成的角的正切值為eq\f(4\r(3),3).?10分(3)因?yàn)镻C⊥平面BGD，OG?平面BGD，所以PC⊥OG.在Rt△PAC中，PC＝eq\r(PA2＋AC2)＝eq\r(3＋12)＝eq\r(15)，所以GC＝eq\f(AC·OC,PC)＝eq\f(2\r(3)×\r(3),\r(15))＝eq\f(2\r(15),5).?13分從而PG＝eq\f(3\r(15),5)，所以eq\f(PG,GC)＝eq\f(3,2).?15分[答題模板速成]證明空間線面位置關(guān)系的一般步驟：第一步審清題意分析條件，挖掘題目中平行與垂直關(guān)系