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吉林省長春汽車經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)六中高三第二次模擬考試新高考數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列說法正確的是()A.“若,則”的否命題是“若,則”B.“若,則”的逆命題為真命題C.,使成立D.“若,則”是真命題2.已知命題,,則是()A., B.,.C., D.,.3.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,則在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.設(shè)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù),且在單調(diào)遞增,,則()A. B.C. D.5.已知圓M:x2+y2-2ay=0a>0截直線x+y=0A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.相離6.已知集合,則=A. B. C. D.7.已知平面向量,滿足,且,則與的夾角為()A. B. C. D.8.展開項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)為A.1 B.11 C.-19 D.519.如圖,在中,,是上一點(diǎn),若,則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.10.已知定義在上的偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,設(shè),則()A. B. C. D.11.單位正方體ABCD-,黑、白兩螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿棱向前爬行,每走完一條棱稱為“走完一段”.白螞蟻爬地的路線是AA1→A1D1→‥,黑螞蟻爬行的路線是AB→BB1→‥,它們都遵循如下規(guī)則:所爬行的第i+2段與第i段所在直線必須是異面直線(iN*).設(shè)白、黑螞蟻都走完2020段后各自停止在正方體的某個(gè)頂點(diǎn)處,這時(shí)黑、白兩螞蟻的距離是()A.1 B. C. D.012.在直角中,,,,若,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在平面直角坐標(biāo)系中,若雙曲線經(jīng)過點(diǎn)(3,4),則該雙曲線的準(zhǔn)線方程為_____.14.已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在球的球面上,,是邊長為2的正三角形,,則球的體積為__________.15.在中,點(diǎn)在邊上,且,設(shè),,則________(用,表示)16.已知,則__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在斜三棱柱中,平面平面,,,,均為正三角形,E為AB的中點(diǎn).(Ⅰ)證明:平面;(Ⅱ)求斜三棱柱截去三棱錐后剩余部分的體積.18.(12分)已知函數(shù).(1)解不等式;(2)若函數(shù)的最小值為,求的最小值.19.(12分)已知函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間(2)記函數(shù)的圖象為曲線,設(shè)點(diǎn)是曲線上不同兩點(diǎn),如果在曲線上存在點(diǎn),使得①;②曲線在點(diǎn)M處的切線平行于直線AB,則稱函數(shù)存在“中值和諧切線”,當(dāng)時(shí),函數(shù)是否存在“中值和諧切線”請(qǐng)說明理由20.(12分)已知函數(shù)的定義域?yàn)?(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)設(shè)實(shí)數(shù)為的最小值,若實(shí)數(shù),,滿足,求的最小值.21.(12分)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)若對(duì)恒成立,求的取值范圍.22.(10分)已知函數(shù).(1)若在上為單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍:(2)若,記的兩個(gè)極值點(diǎn)為,,記的最大值與最小值分別為M,m,求的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】選項(xiàng)A,否命題為“若,則”,故A不正確.選項(xiàng)B,逆命題為“若,則”,為假命題,故B不正確.選項(xiàng)C,由題意知對(duì),都有,故C不正確.選項(xiàng)D,命題的逆否命題“若,則”為真命題,故“若,則”是真命題,所以D正確.選D.2、B【解析】

根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題,得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題,可得,本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查含量詞的命題的否定,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

化簡(jiǎn)得到,得到答案.【詳解】,故,對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第三象限.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的化簡(jiǎn)和對(duì)應(yīng)象限,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.4、C【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì),比較即可.【詳解】解:顯然,所以是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù),且在單調(diào)遞增,所以故選:C【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算及偶函數(shù)的性質(zhì),是基礎(chǔ)題.5、B【解析】化簡(jiǎn)圓M:x2+(y-a)2=a又N(1,1),r6、C【解析】

本題考查集合的交集和一元二次不等式的解法,滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取數(shù)軸法,利用數(shù)形結(jié)合的思想解題.【詳解】由題意得,,則.故選C.【點(diǎn)睛】不能領(lǐng)會(huì)交集的含義易致誤,區(qū)分交集與并集的不同,交集取公共部分,并集包括二者部分.7、C【解析】

根據(jù),兩邊平方,化簡(jiǎn)得,再利用數(shù)量積定義得到求解.【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄?,滿足,且,所以,所以,所以,所以,所以與的夾角為.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的模,向量的夾角和數(shù)量積運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

展開式中的每一項(xiàng)是由每個(gè)括號(hào)中各出一項(xiàng)組成的,所以可分成三種情況.【詳解】展開式中的項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),有3種情況:(1)5個(gè)括號(hào)都出1,即;(2)兩個(gè)括號(hào)出,兩個(gè)括號(hào)出,一個(gè)括號(hào)出1,即;(3)一個(gè)括號(hào)出,一個(gè)括號(hào)出,三個(gè)括號(hào)出1,即;所以展開項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)為,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理知識(shí)的生成過程,考查定理的本質(zhì),即展開式中每一項(xiàng)是由每個(gè)括號(hào)各出一項(xiàng)相乘組合而成的.9、C【解析】

由題意,可根據(jù)向量運(yùn)算法則得到(1﹣m),從而由向量分解的唯一性得出關(guān)于t的方程,求出t的值.【詳解】由題意及圖,,又,,所以,∴(1﹣m),又t,所以,解得m,t,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理,根據(jù)分解的唯一性得到所求參數(shù)的方程是解答本題的關(guān)鍵,本題屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì),可判斷關(guān)系;由時(shí),,求得導(dǎo)函數(shù),并構(gòu)造函數(shù),由進(jìn)而判斷函數(shù)在時(shí)的單調(diào)性,即可比較大小.【詳解】為定義在上的偶函數(shù),所以所以;當(dāng)時(shí),,則,令則,當(dāng)時(shí),,則在時(shí)單調(diào)遞增,因?yàn)?,所以,即,則在時(shí)單調(diào)遞增,而,所以,綜上可知,即,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了偶函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用,由導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)判斷函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,根據(jù)單調(diào)性比較大小,屬于中檔題.11、B【解析】

根據(jù)規(guī)則,觀察黑螞蟻與白螞蟻經(jīng)過幾段后又回到起點(diǎn),得到每爬1步回到起點(diǎn),周期為1.計(jì)算黑螞蟻爬完2020段后實(shí)質(zhì)是到達(dá)哪個(gè)點(diǎn)以及計(jì)算白螞蟻爬完2020段后實(shí)質(zhì)是到達(dá)哪個(gè)點(diǎn),即可計(jì)算出它們的距離.【詳解】由題意,白螞蟻爬行路線為AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA,即過1段后又回到起點(diǎn),可以看作以1為周期,由,白螞蟻爬完2020段后到回到C點(diǎn);同理,黑螞蟻爬行路線為AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA,黑螞蟻爬完2020段后回到D1點(diǎn),所以它們此時(shí)的距離為.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題,考查空間想象與推理能力,屬于中等題.12、C【解析】

在直角三角形ABC中,求得,再由向量的加減運(yùn)算,運(yùn)用平面向量基本定理,結(jié)合向量數(shù)量積的定義和性質(zhì):向量的平方即為模的平方,化簡(jiǎn)計(jì)算即可得到所求值.【詳解】在直角中,,,,,

若,則故選C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的加減運(yùn)算和數(shù)量積的定義和性質(zhì),主要是向量的平方即為模的平方,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

代入求解得,再求準(zhǔn)線方程即可.【詳解】解:雙曲線經(jīng)過點(diǎn),,解得,即.又,故該雙曲線的準(zhǔn)線方程為:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的準(zhǔn)線方程求解,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

由題意可得三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,則它的外接球就是棱長為的正方體的外接球,求出正方體的對(duì)角線的長,就是球的直徑,然后求出球的體積.【詳解】解:因?yàn)?,為正三角形,所以,因?yàn)?,所以三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,所以它的外接球就是棱長為的正方體的外接球,因?yàn)檎襟w的對(duì)角線長為,所以其外接球的半徑為,所以球的體積為故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查球的體積,幾何體的外接球,考查空間想象能力,計(jì)算能力,屬于中檔題.15、【解析】

結(jié)合圖形及向量的線性運(yùn)算將轉(zhuǎn)化為用向量表示,即可得到結(jié)果.【詳解】在中,因?yàn)?,所以,又因?yàn)?,所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形中向量的線性運(yùn)算,關(guān)鍵是利用已知向量為基底,將未知向量通過幾何條件向基底轉(zhuǎn)化.16、【解析】解:由題意可知:.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)要證明線面平行,需先證明線線平行,所以連接,交于點(diǎn)M,連接ME,證明;(Ⅱ)由題意可知點(diǎn)到平面ABC的距離等于點(diǎn)到平面ABC的距離,根據(jù)體積公式剩余部分的體積是.【詳解】(Ⅰ)如圖,連接,交于點(diǎn)M,連接ME,則.因?yàn)槠矫?,平面,所以平面.(Ⅱ)因?yàn)槠矫鍭BC,所以點(diǎn)到平面ABC的距離等于點(diǎn)到平面ABC的距離.如圖,設(shè)O是AC的中點(diǎn),連接,OB.因?yàn)闉檎切?,所以,又平面平面,平面平面,所以平面ABC.所以點(diǎn)到平面ABC的距離,故三棱錐的體積為.而斜三棱柱的體積為.所以剩余部分的體積為.【點(diǎn)睛】本題考查證明線面平行,計(jì)算體積,意在考查推理證明,空間想象能力,計(jì)算能力,屬于中檔題型,一般證明線面平行的方法1.證明線線平行,則線面平行,2.證明面面平行,則線面平行,關(guān)鍵是證明線線平行,一般構(gòu)造平行四邊形,則對(duì)邊平行,或是構(gòu)造三角形中位線.18、(1)(2)【解析】

(1)用分類討論思想去掉絕對(duì)值符號(hào)后可解不等式;(2)由(1)得的最小值為4,則由,代換后用基本不等式可得最小值.【詳解】解:(1)討論:當(dāng)時(shí),,即,此時(shí)無解;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.所求不等式的解集為(2)分析知,函數(shù)的最小值為4,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.的最小值為4.【點(diǎn)睛】本題考查解絕對(duì)值不等式,考查用基本不等式求最小值.解絕對(duì)值不等式的方法是分類討論思想.19、(1)見解析(2)不存在,見解析【解析】

(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義,再令,轉(zhuǎn)化為方程有解問題,即可說明.【詳解】(1)函數(shù)的定義域?yàn)?,所以?dāng)時(shí),;,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí),①當(dāng)時(shí),函數(shù)在上遞增②,顯然無增區(qū)間;③當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上遞增,綜上當(dāng)函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí)函數(shù)無單調(diào)遞增區(qū)間當(dāng)時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增(2)假設(shè)函數(shù)存在“中值相依切線”設(shè)是曲線上不同的兩個(gè)點(diǎn),且則曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為,.令,則,單調(diào)遞增,,故無解,假設(shè)不成立綜上,假設(shè)不成立,所以不存在“中值相依切線”【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.20、(1);(2)【解析】

(1)首先通過對(duì)絕對(duì)值內(nèi)式子符號(hào)的討論,將不等式轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組,再分別解各不等式組,最后求各不等式組解集的并集,得到所求不等式的解集;(2)首先確定m的值,然后利用柯西不等式即可證得題中的不等式.【詳解】(1)因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?,即恒成立,所以恒成立由單調(diào)性可知當(dāng)時(shí),有最大值為4,即;(2)由(1)知,,由柯西不等式知所以,即的最小值為.當(dāng)且僅當(dāng),,時(shí),等號(hào)成立【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法,柯西不等式及其應(yīng)用,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.21、(1)或;(2)或.【解析】試題分析:(1)根據(jù)絕對(duì)值定義將不等式化為三個(gè)不等式組,分別求解集,最后求并集(2)根據(jù)絕對(duì)值三角不等式得最小值,再解含絕對(duì)值不等式可得的取值范圍.試題解析:(1)等價(jià)于或或,解得:或.故不等式的解集為或.(2)因?yàn)椋核?,由題意得:,解得或.點(diǎn)睛:含絕對(duì)值不等式的解法有兩個(gè)基本方法,一是運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間討論,二是利用絕對(duì)值的幾何意義求解.法一是運(yùn)用分類討論思想,法二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,將絕對(duì)值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透,解題時(shí)強(qiáng)化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用,這是命題的新動(dòng)向.

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