微專題09 巧妙借助復(fù)數(shù)的幾何意義求與模有關(guān)的范圍與最值問題 （三大題型）（解析版）

微專題09巧妙借助復(fù)數(shù)的幾何意義求與模有關(guān)的范圍與最值問題【題型歸納目錄】題型一：單模長最值問題題型二：多模長之和差最值問題題型三：模長的范圍問題【方法技巧與總結(jié)】求復(fù)數(shù)模的范圍與最值問題是熱點(diǎn)問題，其解題策略是：（1）把復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化、直觀化、熟悉化，即將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題來處理，轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，求模的范圍與最值問題來解決；（2）發(fā)掘問題的幾何意義，利用幾何圖形的直觀性來解答，把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來解答；（3）利用三角函數(shù)解決.【典型例題】題型一：單模長最值問題【典例1-1】（2024·高一·江蘇蘇州·期末）設(shè)是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．9【答案】A【解析】因?yàn)?，所?，當(dāng)時(shí)，.故選：A.【典例1-2】（2024·高一·黑龍江哈爾濱·期末）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)滿足，i為虛數(shù)單位，則的最小值為．【答案】【解析】因?yàn)椋詮?fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，又的幾何意義是表示復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，其最小值為原點(diǎn)到點(diǎn)之間的距離減去圓的半徑，故的最小值為.故答案為：.【變式1-1】（2024·高一·湖南長沙·期末）已知復(fù)數(shù)滿足，則的最小值是.【答案】【解析】因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，因此，的最小值為.故答案為：.【變式1-2】（2024·高一·全國·單元測試）已知，求的最大值和最小值分別為.【答案】，【解析】設(shè)，則，所以，又，所以，即，可知復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，則，；所以的最大值和最小值分別為，.故答案為：，.【變式1-3】（2024·高一·全國·單元測試）若|，則的最小值為.【答案】1【解析】設(shè)，則.所以，即，所以，所以，故當(dāng)時(shí)，的最小值為1.故答案為：1.題型二：多模長之和差最值問題【典例2-1】（2024·上海浦東新·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)，其中.則的最小值為.【答案】【解析】在圖中作出復(fù)數(shù)，和的位置，分別為點(diǎn),令復(fù)數(shù)所在復(fù)平面上的點(diǎn)為，易得，所以四邊形為平行四邊形，因?yàn)?，所以四邊形為菱形，，，所以?fù)數(shù)所表示的點(diǎn)在線段上（包括端點(diǎn)），因?yàn)樗倪呅螢榱庑危源怪逼椒?，所以?于是由三角不等式，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，此時(shí).故答案為：4.【典例2-2】（2024·浙江·高一嘉興一中校聯(lián)考）已知復(fù)數(shù)滿足，求的最小值______．【答案】13【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)滿足，所以，所以，所以，解得，所以，所以，則上式表示復(fù)平面上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離和，因?yàn)殛P(guān)于實(shí)軸的對稱點(diǎn)為，所以因?yàn)?，?dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號，所以的最小值為13，即的最小值為13，故答案為：13【變式2-1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)滿足，則的最小值為_________.【答案】【解析】設(shè)，因?yàn)椋?，所以或，因?yàn)?，所以的軌跡為，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可知表示復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)到與的距離和；顯然當(dāng)，即時(shí)，故答案為：【變式2-2】著名的費(fèi)馬問題是法國數(shù)學(xué)家皮埃爾·德費(fèi)馬（1601-1665）于1643年提出的平面幾何極值問題：“已知一個(gè)三角形，求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.”費(fèi)馬問題中的所求點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn)，已知對于每個(gè)給定的三角形，都存在唯一的費(fèi)馬點(diǎn)，當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，則使得的點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)．根據(jù)以上材料，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則表示點(diǎn)到三頂點(diǎn)、、的距離之和.依題意結(jié)合對稱性可知的費(fèi)馬點(diǎn)位于虛軸的負(fù)半軸上，且，則.此時(shí).故選：B.題型三：模長的范圍問題【典例3-1】（2024·全國·高一專題練習(xí)）若，則取值范圍是___．【答案】【解析】由題意設(shè)(),則其幾何意義為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)，距離之差，由圖可知，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，距離之差最大，當(dāng)時(shí)，最小，則．的取值范圍是．故答案為：．【典例3-2】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知復(fù)數(shù)滿足，則的取值范圍是______.【答案】【解析】復(fù)數(shù)滿足，表示以原點(diǎn)為圓心，以3為半徑的圓，則的表示圓上的點(diǎn)到和的距離，由圖象可知，當(dāng)點(diǎn)在處最小，最小為:，當(dāng)點(diǎn)在處最大，最大為，則的取值范圍是，故答案為：【變式3-1】（2024·浙江寧波·高一效實(shí)中學(xué)?？迹┮阎獜?fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位.(1)當(dāng)，且是純虛數(shù)，求的值；(2)當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.【解析】(1)是純虛數(shù)，故有，經(jīng)計(jì)算有，;(2),所以有，如下圖，根據(jù)幾何意義，可知.【變式3-2】（2024·山西晉中·高二榆次一中?？奸_學(xué)考試）已知z為復(fù)數(shù)，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】法一：在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)O為圓心，以1為半徑的圓，表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離.因?yàn)辄c(diǎn)與原點(diǎn)O的距離，所以的最小值是，最大值是，故的取值范圍是.故選:C.法二：因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足，不妨設(shè)，,則.因?yàn)?，所以，所以的取值范圍?故選:C.【變式3-3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）復(fù)數(shù)z滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】復(fù)數(shù)表示復(fù)平面上的點(diǎn)z到和的距離之和是4的軌跡是橢圓，則，的幾何意義是復(fù)平面上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，所以.故選：A.【過關(guān)測試】1．（2024·高一·廣東廣州·期末）瑞士數(shù)學(xué)家歐拉于1748年提出了著名的公式：，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，i是虛數(shù)單位，該公式被稱為歐拉公式．根據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．B．的最大值為2C．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限D(zhuǎn)．若，在復(fù)平面內(nèi)分別對應(yīng)點(diǎn)，，則面積的最大值為【答案】B【解析】對于A，，故A錯(cuò)誤；對于B，，當(dāng)時(shí)，的最大值為2，故B正確；對于C，，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，故C錯(cuò)誤；對于D，，，，，所以的面積為：.則面積的最大值為，故D錯(cuò)誤.故選：B.2．（多選題）（2024·高一·海南省直轄縣級單位·期末）已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，復(fù)數(shù)滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．點(diǎn)的坐標(biāo)為B．（為的共軛復(fù)數(shù)）C．的最大值為D．的最小值為【答案】ABC【解析】對于A選項(xiàng)，因?yàn)?，則，A對；對于B選項(xiàng)，由共軛復(fù)數(shù)的定義可得，B對；對于CD選項(xiàng)，設(shè)在復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)，由復(fù)數(shù)滿足，，的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓上.故的最大值為到的距離與半徑的和為，最小值為到的距離與半徑的差為，故C對，D錯(cuò).故選：ABC.3．（多選題）（2024·高一·河北石家莊·期末）下列命題中正確的是（

）A．若，則B．若復(fù)數(shù)滿足，則C．若，則復(fù)數(shù)一定為實(shí)數(shù)D．若復(fù)數(shù)滿足，則最大值為【答案】ACD【解析】A選項(xiàng)，由于，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的知識可知，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，若，則，但，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，設(shè)，由得，則，解得，所以為實(shí)數(shù)，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，由于，所以對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，而表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，所以最大值為，D選項(xiàng)正確.故選：ACD4．（多選題）（2024·高一·廣東東莞·階段練習(xí)）設(shè)z為復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是（）A． B．C．若，則的最大值為2 D．若復(fù)數(shù)，則【答案】ACD【解析】對于A，設(shè)()，則，所以，而，所以成立，故A正確；對于B，設(shè)()，當(dāng)均不為時(shí)，為虛數(shù)，而為實(shí)數(shù)，所以不成立，故B錯(cuò)誤；對于C，，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，的幾何意義為復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)與兩點(diǎn)間的距離，所以，如圖可知，當(dāng)點(diǎn)P為時(shí)，最大，取最大值，最大值為2，故C正確；對于D，設(shè)()，（），由，則，則；；所以，故D正確.故選：ACD.5．（多選題）（2024·高一·江蘇無錫·期末）（多選）在復(fù)平面內(nèi)，下列說法正確的是（

）A．若復(fù)數(shù)z滿足，則 B．若復(fù)數(shù)、滿足，則C．若，且，則 D．若，則的最大值為【答案】AD【解析】對于A選項(xiàng)，因?yàn)?，則，得，故A正確；對于B選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，不滿足，排除B選項(xiàng)；對于C選項(xiàng)，設(shè)，，，則，那么，，那么，由于，但，排除C選項(xiàng)；對于D選項(xiàng)，若，如圖：的幾何意義為圓上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離，則的最大值為.故選：AD.6．（多選題）（2024·高一·重慶江津·期末）已知復(fù)數(shù)，，則（

）A． B．若，則的最大值為2.C． D．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限【答案】AC【解析】對于A：復(fù)數(shù)，，，，又，，A正確；對于B：設(shè)，則，即，且，，即的最大值為3，B錯(cuò)誤；對于C：，，又，則，故C正確；對于D：，其在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)為，在第一象限，D錯(cuò)誤.故選：AC.7．（2024·高一·江蘇鹽城·階段練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），記對應(yīng)的點(diǎn)為點(diǎn)，z對應(yīng)的點(diǎn)為點(diǎn)，則點(diǎn)與點(diǎn)之間距離的最小值【答案】【解析】設(shè)，，,即，化簡整理可得，復(fù)數(shù)的對應(yīng)點(diǎn)的軌跡，對應(yīng)的點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)之間距離的最小值為，故答案為：8．（2024·高一·遼寧·階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)滿足，則（為虛數(shù)單位）的最大值為．【答案】6【解析】設(shè)(為實(shí)數(shù))，則復(fù)數(shù)滿足的幾何意義是以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓上的點(diǎn)，則表示的幾何意義是圓上的點(diǎn)到的距離，根據(jù)圓的性質(zhì)可知，所求最大值為.故答案為：6.9．（2024·高一·遼寧·期末）已知復(fù)數(shù)z滿足，則的最大值為．【答案】/【解析】設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面中對應(yīng)的點(diǎn)為，因?yàn)椋瑒t點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓，且表示點(diǎn)到定點(diǎn)的距離，所以的最大值為.故答案為：.10．（2024·高一·黑龍江哈爾濱·期末）若，且滿足，則的最大值為.【答案】3【解析】，復(fù)數(shù)的軌跡表示以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓，表示圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，如圖，當(dāng)過點(diǎn)和圓的圓心，即為最大值.故答案為：11．（2024·高一·遼寧遼陽·期末）設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，若，則的最大值為．【答案】7【解析】因?yàn)椋瑒t點(diǎn)組成的集合是圓心在原點(diǎn)O，半徑的圓及其內(nèi)部．的坐標(biāo)為．所以的最大值為．故答案為：7.12．（2024·高一·上海寶山·期末）已知，則的最大值是.【答案】6【解析】在復(fù)平面內(nèi)，由，知復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是原點(diǎn)為圓心的單位圓，表示點(diǎn)與復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)的距離，所以的最大值為.故答案為：613．（2024·高一·上海浦東新·期末）如果復(fù)數(shù)滿足，那么的最大值是.【答案】6【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可知，滿足的復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在以為圓心，以為半徑的圓上，的幾何意義為圓上的動(dòng)點(diǎn)到的距離，如圖：當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，且在圓心的兩側(cè)時(shí)，距離最大，最大距離為，故答案為：14．（2024·福建福州·三模）已知復(fù)數(shù)，滿足，，則的最大值為.【答案】