專題 二次函數(shù)中的角度問(wèn)題40題專練 中考數(shù)學(xué)VIP

專題08二次函數(shù)中的角度問(wèn)題（4大題型）40題專練通用的解題思路：1、角的數(shù)量關(guān)系處理的一般方法如下：

（1）證等角：常運(yùn)用等腰三角形兩底角相等，等角的余角相等，等角的補(bǔ)角相等、全等三角形和相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等及兩角的銳角三角函數(shù)值相等，等等；

（2）證二倍角：常構(gòu)造輔助圓，利用圓周角定理；

（3）證和差角：常旋轉(zhuǎn)、翻折、平移構(gòu)造角．2.特殊角問(wèn)題處理的一般方法如下：

（1）運(yùn)用三角函數(shù)值；

（2）遇45°構(gòu)造等腰直角三角形；

（3）遇30°，60°構(gòu)造等邊三角形；

（4）遇90°構(gòu)造直角三角形．題型一：角相等問(wèn)題對(duì)于二次函數(shù)中的角相等問(wèn)題，首選方法是利用等角的三角比解決問(wèn)題（利用一線三等角模型或者拆分特殊角來(lái)發(fā)現(xiàn)等角），其次選擇利用相似三角形中的比例線段解決問(wèn)題。

二次函數(shù)中的角相等問(wèn)題比較靈活，在遇到具體問(wèn)題時(shí)具體分析，合理構(gòu)造等角，解決問(wèn)題。1．（2024·山西太原·三模）綜合與探究如圖1，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)M為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

(1)求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線l的函數(shù)表達(dá)式．(2)如圖2，若點(diǎn)M是直線l上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線交直線l于點(diǎn)C，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，求的最大值．(3)如圖3，連接，拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使得，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．（23-24九年級(jí)下·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．

(1)請(qǐng)直接寫出、、三點(diǎn)坐標(biāo)．(2)如圖，點(diǎn)是第四象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，交直線于點(diǎn)，求線段長(zhǎng)度的最大值；(3)如圖，若點(diǎn)在拋物線上且滿足，求點(diǎn)的坐標(biāo)；3．（23-24九年級(jí)下·湖南永州·開學(xué)考試）綜合與探究．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，連接．(1)求，，三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)是二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)是否存在點(diǎn)使？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．4．（2024·上海嘉定·二模）在平面直角坐標(biāo)系（如圖）中，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、兩點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線．(1)求此拋物線的表達(dá)式；(2)已知以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓記作圓，以點(diǎn)A為圓心的圓記作圓A，如果圓A與圓外切，試判斷對(duì)稱軸直線與圓A的位置關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)已知點(diǎn)在軸的正半軸上，且在點(diǎn)的上方，如果，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)．5．（2023·海南·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．直線與拋物線交于，兩點(diǎn)．點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．(1)求該拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，求四邊形的面積；(3)拋物線上是否存在點(diǎn)，使？若存在，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(4)如圖2，點(diǎn)、是對(duì)稱軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)在點(diǎn)的上方，求四邊形的周長(zhǎng)的最小值．6．（2024·上海靜安·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線關(guān)于直線對(duì)稱，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)在此拋物線上．(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)聯(lián)結(jié)、、，求的值；(3)如果點(diǎn)P在對(duì)稱軸右方的拋物線上，且，過(guò)點(diǎn)P作軸，垂足為Q，請(qǐng)說(shuō)明，并求點(diǎn)P的坐標(biāo)．7．（2024·廣西·一模）如圖，已知拋物線交x軸于，兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，P是拋物線上一點(diǎn)，連接、．(1)求拋物線的解析式；(2)連接，，若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)若，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．8．（2024·山東濟(jì)南·一模）如圖，二次函數(shù).的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，其對(duì)稱軸與線段交于點(diǎn)E，與x軸交于點(diǎn)F．連接．

(1)若，求B點(diǎn)和C點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若求m的值；(3)若在第一象限內(nèi)二次函數(shù)的圖象上，始終存在一點(diǎn)P，使得請(qǐng)結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫出m的范圍．9．（2024·廣東·一模）綜合應(yīng)用．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接．

(1)求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接寫出直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)P是二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)是否存在點(diǎn)P使？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖2，作出該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸直線l，交x軸于點(diǎn)D．若點(diǎn)M是二次函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)M始終位于x軸上方，作直線，，分別交l于點(diǎn)E，F(xiàn)，在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的值是否為定值？若是，請(qǐng)直接寫出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．10．（2024·江蘇宿遷·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)、、三點(diǎn)，已知，，．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)是拋物線上任意一點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)是拋物線上任意一點(diǎn)，若以、、為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．題型二：二倍角關(guān)系問(wèn)題對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的二倍角問(wèn)題，往往將其轉(zhuǎn)化成等角問(wèn)題。對(duì)于等角問(wèn)題，往往有以下解決路徑：等角的構(gòu)造方法（1）將等角轉(zhuǎn)化在一個(gè)三角形中，利用等腰三角形兩邊相等，借助距離公式解決；（2）用等角的三角比相等，構(gòu)造直角三角形，尋找比例關(guān)系；；（3）利用角的和差關(guān)系，尋找等角，而等角存在兩個(gè)相似三角形中，往往是子母三角形，利用比例線段構(gòu)建數(shù)量關(guān)系；（4）利用角平分線的相關(guān)性質(zhì)定理。二倍角的構(gòu)造方法如圖，已知，我們可以利用等腰三角形和外角定理去構(gòu)造，在BC邊上找一點(diǎn)D，使得BD=AD，則.這樣我們就構(gòu)造出了二倍角，接下來(lái)利用三角函數(shù)（一般用正切）計(jì)算就可以了1．（2024·陜西西安·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸分別交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，與軸交于點(diǎn)，是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第二象限，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，線段與直線相交于點(diǎn)

(1)求該拋物線的解析式；(2)連接，是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)B的坐標(biāo)是，與y軸交于點(diǎn)C，P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第二象限，過(guò)點(diǎn)P作軸，垂足為D，線段與直線相交于點(diǎn)E．(1)求該拋物線的解析式；(2)連接，是否存在點(diǎn)P，使得？若存在，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．（2023·江蘇無(wú)錫·中考真題）已知二次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)．(1)請(qǐng)直接寫出，的值；(2)直線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是二次函數(shù)圖像上位于直線下方的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為．①求的最大值；②若中有一個(gè)內(nèi)角是的兩倍，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．4．（2024·西藏·二模）已知拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，對(duì)稱軸為直線，拋物線與y軸交于C點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖（甲），P是拋物線第一象限內(nèi)的任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作軸于D，直線與交于點(diǎn)E，當(dāng)是以為底的等腰三角形時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖（乙），若點(diǎn)M是拋物線上任意一點(diǎn)，且滿足，求M的坐標(biāo)．題型三：兩角和與差問(wèn)題1．（2024·山西臨汾·一模）綜合與探究如圖，拋物線的圖像與x軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)，作直線．(1)求拋物線表達(dá)式及所在直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)M是拋物線上的點(diǎn)，且，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．2．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)；(1)如圖1，求的長(zhǎng)度．(2)如圖2，點(diǎn)為第一象限拋物線上一點(diǎn)，連接，取上一點(diǎn)，以為底向下作等腰，設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，試用含的代數(shù)式表示的值為______（直接填空）．(3)如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)為第一象限拋物線上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接、且，連接并延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)橫坐標(biāo)．3．（2024·江蘇揚(yáng)州·一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與x軸分別交于點(diǎn)A，B．連接，點(diǎn)D是線段上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，連接，求面積的最大值；(3)如圖2，在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，連接交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在線段上，連接，若，求點(diǎn)F橫坐標(biāo)的最大值．4．（2024·山東泰安·一模）如圖，拋物線的圖象與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，作直線．(1)求拋物線表達(dá)式及所在直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點(diǎn)是拋物線上在第三象限的一個(gè)點(diǎn)，且，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，當(dāng)面積是面積的一半時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)．5．（2022·湖北黃石·中考真題）如圖，拋物線與坐標(biāo)軸分別交于A，B，C三點(diǎn)，P是第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)且橫坐標(biāo)為m．(1)A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)為____________，____________，____________；(2)連接，交線段于點(diǎn)D，①當(dāng)與x軸平行時(shí)，求的值；②當(dāng)與x軸不平行時(shí)，求的最大值；(3)連接，是否存在點(diǎn)P，使得，若存在，求m的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．6．（2023·遼寧營(yíng)口·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線軸，過(guò)點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點(diǎn)為第三象限內(nèi)拋物線上的點(diǎn)，連接和交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)．求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，連接，在直線上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．7．（2023·湖北黃石·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．

(1)求此拋物線的解析式；(2)已知拋物線上有一點(diǎn)，其中，若，求的值；(3)若點(diǎn)D，E分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)，且，求的最小值．8．（23-24九年級(jí)下·重慶北碚·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，連接，點(diǎn)P是直線上方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作交直線于點(diǎn)D，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)連接，過(guò)點(diǎn)A作，交于點(diǎn)F，將原拋物線沿射線方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線，點(diǎn)Q為新拋物線上一點(diǎn)，直線與射線交于點(diǎn)G，連接．當(dāng)時(shí)，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)．9．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線交軸的負(fù)半軸于點(diǎn)，交軸的正半軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．

(1)______________；(2)如圖1，點(diǎn)在第二象限的拋物線上，連接交軸于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，線段的長(zhǎng)為，請(qǐng)直接寫出與的函數(shù)解析式；(3)如圖2，在（2）的條件下，點(diǎn)在第四象限的拋物線上，點(diǎn)在第一象限的拋物線上，連接交軸于點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)并直接寫出直線的解析式．10．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）如圖，拋物線分別交軸于點(diǎn)和（在左側(cè)），交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，連接，的面積是．(1)如圖1，求的值；(2)如圖2，點(diǎn)為第一象限拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，連接和，的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；(3)如圖3，在（2）的條件下，，直線和直線相交于點(diǎn)，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，交軸于點(diǎn)，，且，在軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，使，若求點(diǎn)的坐標(biāo)．題型四：特殊角問(wèn)題1．（2024·安徽蕪湖·二模）如圖1，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)（點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)在原點(diǎn)的右側(cè)），且．在軸上有一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線軸，交拋物線于點(diǎn)．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的解析式；(2)如圖2，連接，若，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖3，連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，連接，記的面積為的面積為，若，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．2．（2024·廣東東莞·一模）如圖，拋物線交軸于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，連接，．

(1)求的面積；(2)點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得與相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），且使得中有一個(gè)角是，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．3．（2024·福建泉州·一模）已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是．(1)求該拋物線的解析式；(2)經(jīng)過(guò)的直線軸，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)H．①求證：A，D，H三點(diǎn)共線；②M是拋物線上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．4．（2024·廣東汕頭·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與直線交于，B兩點(diǎn)，與y軸交于，直線l與y軸交于點(diǎn)D．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式：(2)設(shè)直線l與拋物線的對(duì)稱軸的交點(diǎn)為F，若，求直線l的解析式：(3)若在x軸上存在一點(diǎn)P，使，且，直接寫出k的值．5．（2024·河北邯鄲·一模）【建立模型】（1）如圖1，點(diǎn)B是線段上的一點(diǎn)，，，，垂足分別為C，B，D，．求證：；【類比遷移】（2）如圖2，一次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)A、與x軸交于點(diǎn)B，將線段繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到、直線交x軸于點(diǎn)D．①點(diǎn)C的坐標(biāo)為______；②求直線的解析式；【拓展延伸】（3）如圖3，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，已知點(diǎn)，連接，拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得，若存在，直接寫出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)．6．（2024·安徽滁州·一模）已知拋物線交x軸于點(diǎn)和點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)如圖1，已知點(diǎn)P是位于上方的拋物線上的一點(diǎn)，作，垂足為M，求線段長(zhǎng)度的最大值；(3)如圖2，已知點(diǎn)Q是第四象限拋物線上一點(diǎn)，，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．7．（2023·四川自貢·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線解析式及，兩點(diǎn)坐標(biāo)；(2)以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)坐標(biāo)；(3)該拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使得，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．8．（2024·山西大同·一模）綜合與探究如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A和B，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，交y軸于點(diǎn)C，作直線．(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)及直線的表達(dá)式；(2)當(dāng)點(diǎn)D在直線下方的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接交于點(diǎn)E，若，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)拋物線上是否存在點(diǎn)F．使得?若存在，直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．9．（2024·山東濟(jì)南·一模）如圖，拋物線（）與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作直線軸，過(guò)點(diǎn)D作，交直線l于點(diǎn)E．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P為第四象限內(nèi)拋物線上的點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)Q，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)F，使得，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．10．（2024·山東濟(jì)南·一模）如圖，二次函數(shù).的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，其對(duì)稱軸與線段交于點(diǎn)E，與x軸交于點(diǎn)F．連接．

(1)若，求B點(diǎn)和C點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若求m的值；(3)若在第一象限內(nèi)二次函數(shù)的圖象上，始終存在一點(diǎn)P，使得請(qǐng)結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫出m的范圍．11．（2024·山東棗莊·一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，B（點(diǎn)A在B左邊），交y軸于C，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)．(1)求拋物線的關(guān)系式；(2)在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M，使的值最小，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)如圖2，拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．12．（2024·黑龍江大慶·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)，B與y軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為，點(diǎn)P，Q在此拋物線上，其橫坐標(biāo)分別為m，，連接．

(1)求此拋物線的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，求m的值，并直接寫出的面積；(3)設(shè)此拋物線在點(diǎn)C與點(diǎn)P之間部分（包括點(diǎn)C和點(diǎn)P）的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差為，在點(diǎn)C與點(diǎn)Q之間部分（包括點(diǎn)C和點(diǎn)Q）的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差為．當(dāng)時(shí)，直接寫出m的值．13．（2023·湖南郴州·中考真題）已知拋物線與軸相交于點(diǎn)，，與軸相交于點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖1，點(diǎn)是拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，求的值；(3)如圖2，取線段的中點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)，使？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．14．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）如圖，拋物線交x軸正半軸于點(diǎn)A，過(guò)頂點(diǎn)作軸于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)若時(shí)，則函數(shù)的取值范圍是______；(3)點(diǎn)為右側(cè)第一象限拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，點(diǎn)為軸正半軸上一點(diǎn)，連接，，延長(zhǎng)線交軸于點(diǎn)B，點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，連接、，若，求直線的解析式．15．（2024·廣東廣州·一模）已知二次函數(shù)圖象與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)D是直線上方的拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作軸交射線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)F，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)D坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，若點(diǎn)P，Q為x軸下方的拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并且這兩個(gè)點(diǎn)滿足，試求點(diǎn)D到直線的最大距離．16．（2024·重慶南岸·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線交軸于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖1，若點(diǎn)M是第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，軸交于點(diǎn)N，求的最大值；(3)如圖2，在軸上取一點(diǎn)，拋物線沿方向平移個(gè)單位得新拋物線，新拋物線與軸交于點(diǎn)，，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，線段關(guān)于線段的對(duì)稱線段所在直線交新拋物線于點(diǎn)，直線與直線所成夾角為，直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)．專題08二次函數(shù)中的角度問(wèn)題（4大題型）40題專練通用的解題思路：1、角的數(shù)量關(guān)系處理的一般方法如下：（1）證等角：常運(yùn)用等腰三角形兩底角相等，等角的余角相等，等角的補(bǔ)角相等、全等三角形和相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等及兩角的銳角三角函數(shù)值相等，等等；（2）證二倍角：常構(gòu)造輔助圓，利用圓周角定理；（3）證和差角：常旋轉(zhuǎn)、翻折、平移構(gòu)造角．2.特殊角問(wèn)題處理的一般方法如下：（1）運(yùn)用三角函數(shù)值；（2）遇45°構(gòu)造等腰直角三角形；（3）遇30°，60°構(gòu)造等邊三角形；（4）遇90°構(gòu)造直角三角形．題型一：角相等問(wèn)題對(duì)于二次函數(shù)中的角相等問(wèn)題，首選方法是利用等角的三角比解決問(wèn)題（利用一線三等角模型或者拆分特殊角來(lái)發(fā)現(xiàn)等角），其次選擇利用相似三角形中的比例線段解決問(wèn)題。

二次函數(shù)中的角相等問(wèn)題比較靈活，在遇到具體問(wèn)題時(shí)具體分析，合理構(gòu)造等角，解決問(wèn)題。1．（2024·山西太原·三模）綜合與探究如圖1，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)M為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．(1)求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線l的函數(shù)表達(dá)式．(2)如圖2，若點(diǎn)M是直線l上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線交直線l于點(diǎn)C，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，求的最大值．(3)如圖3，連接，拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使得，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)A的坐標(biāo)為，B的坐標(biāo)為，直線函數(shù)表達(dá)式為；(2)；(3)或．【分析】本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用、相似三角形的性質(zhì)證明、一次函數(shù)的應(yīng)用，掌握相關(guān)知識(shí)并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（1）在中，令得得，在中，令得，設(shè)直線函數(shù)表達(dá)式為，把，代入，即可求解；（2）過(guò)M作軸于K，過(guò)C作軸于T，則，設(shè)直線函數(shù)表達(dá)式為，把代入得直線函數(shù)表達(dá)式為，進(jìn)而得，由，，即可求解；（3）過(guò)B作軸于R，設(shè)直線l交y軸于點(diǎn)E，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)為，則，由得到，則，設(shè)，則，得到，解得或，進(jìn)而可求解；【詳解】（1）解：在中，令得，解得或，∴，在中，令得，∴，設(shè)直線函數(shù)表達(dá)式為，把，代入得：，解得，∴直線函數(shù)表達(dá)式為；∴A的坐標(biāo)為，B的坐標(biāo)為，直線函數(shù)表達(dá)式為；（2）過(guò)M作軸于K，過(guò)C作軸于T，如圖：∵點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，∴，設(shè)直線函數(shù)表達(dá)式為，把代入得：，解得，∴直線函數(shù)表達(dá)式為，由得，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為；（3）拋物線上存在一點(diǎn)M，使得，理由如下：過(guò)作軸于R，設(shè)直線l交y軸于點(diǎn)E，如圖：當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為，∴∵，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)，或是方程的解且符合題意，∴或．2．（23-24九年級(jí)下·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．(1)請(qǐng)直接寫出、、三點(diǎn)坐標(biāo)．(2)如圖，點(diǎn)是第四象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，交直線于點(diǎn)，求線段長(zhǎng)度的最大值；(3)如圖，若點(diǎn)在拋物線上且滿足，求點(diǎn)的坐標(biāo)；【答案】(1)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為(2)(3)或【分析】（1）由拋物線，分別令，，則可確定拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)可確定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)軸于點(diǎn)，設(shè)，確定直線的解析式為，得到，繼而得到，根據(jù)二次函數(shù)的最值可得結(jié)論；（3）確定直線的解析式為，然后分兩種情況進(jìn)行討論即可．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，得，解得：或，當(dāng)時(shí)，得，∴，，，∵拋物線的頂點(diǎn)為，∴，即，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）設(shè)軸于點(diǎn)，設(shè)，設(shè)直線的解析式為，過(guò)點(diǎn)，，∴，解得：，∴直線的解析式為，∵過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，交直線于點(diǎn)，∴，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，線段的長(zhǎng)度取得最大值，此時(shí)最大值為；（3）設(shè)直線的解析式為，過(guò)點(diǎn)，，∴，解得：，∴直線的解析式為，①如圖，∵，∴，設(shè)直線的解析式為，過(guò)點(diǎn)，∴，∴直線的解析式為，聯(lián)立，解得：或，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；②如圖，設(shè)交于點(diǎn)，作射線交于點(diǎn)，∵，∴，∵，，∴，∴垂直平分，∴點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是，即，設(shè)直線的解析式為，過(guò)點(diǎn)，∴，∴，∴直線的解析式為，∵直線：與直線：交于點(diǎn)，聯(lián)立，解得：，∴，設(shè)直線的解析式為，過(guò)點(diǎn)，，∴，∴解得：，∴直線的解析式為，聯(lián)立，解得：或，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的最值，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，平行線的判定，二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，等角對(duì)等邊，中點(diǎn)坐標(biāo)，垂直平分線的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、確定二次函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)的方法是解題的關(guān)鍵．3．（23-24九年級(jí)下·湖南永州·開學(xué)考試）綜合與探究．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，連接．(1)求，，三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)是二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)是否存在點(diǎn)使？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，，(2)或或或(3)或【分析】（1）當(dāng)時(shí)，即，解方程可得圖象與軸交于點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，從而得圖象與軸交于點(diǎn)；（2）先利用勾股定理求出，再分當(dāng)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，三種情況討論求解即可；（3）分點(diǎn)在上方時(shí)和點(diǎn)在下方兩種情況討論求解即可．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，即，解得：．∴圖象與軸交于點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，∴圖象與軸交于點(diǎn)，（2）解：∵，，∴，當(dāng)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；當(dāng)時(shí)，∵，∴，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∴，∴，解得，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或；（3）解：當(dāng)點(diǎn)在上方時(shí)，∵，∴，即軸，∴點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，∵拋物線解析式為，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線；∵，∴；當(dāng)點(diǎn)在下方時(shí)，設(shè)交軸于點(diǎn)，則，．∵，∴．在中，，∴，解得：，∴，設(shè)直線的解析式為，，解得：，∴直線的解析式為，聯(lián)立，得，解得：舍去，，∴．綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或；【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，求二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，一次函數(shù)與幾何綜合，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定等等，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．4．（2024·上海嘉定·二模）在平面直角坐標(biāo)系（如圖）中，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、兩點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線．(1)求此拋物線的表達(dá)式；(2)已知以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓記作圓，以點(diǎn)A為圓心的圓記作圓A，如果圓A與圓外切，試判斷對(duì)稱軸直線與圓A的位置關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)已知點(diǎn)在軸的正半軸上，且在點(diǎn)的上方，如果，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)此拋物線的表達(dá)式是(2)對(duì)稱軸直線與圓A的位置是相離，理由見詳解(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為【分析】（1）直接用待定系數(shù)法求解即可；（2）設(shè)圓A的半徑為r，又圓A與圓外切，所以，得到，即，即可判斷；（3）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為G，利用等角的正切值相等解決問(wèn)題，，所以，，所以，即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、兩點(diǎn)∴，解得∴此拋物線的表達(dá)式是；（2）答：對(duì)稱軸直線與圓A的位置是相離根據(jù)（1）得，拋物線的對(duì)稱軸是直線，拋物線與y軸的交點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以圓的半徑是，設(shè)圓A的半徑為r，又圓A與圓外切，所以，又，所以，對(duì)稱軸與x軸垂直，設(shè)垂足為M，那么的長(zhǎng)就是圓A到對(duì)稱軸的距離，又對(duì)稱軸是直線，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，因?yàn)?，即，所以?duì)稱軸直線與圓A的位置是相離．（3）解：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為G，易得，，又點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，所以軸，所以，，由勾股定理得，所以，在中，，在中，，因?yàn)?，所以，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)與幾何綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，圓與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，二次函數(shù)與角度的存在性問(wèn)題，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．5．（2023·海南·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．直線與拋物線交于，兩點(diǎn)．點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．(1)求該拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，求四邊形的面積；(3)拋物線上是否存在點(diǎn)，使？若存在，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(4)如圖2，點(diǎn)、是對(duì)稱軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)在點(diǎn)的上方，求四邊形的周長(zhǎng)的最小值．【答案】(1)拋物線的解析式為，(2)(3)存在，點(diǎn)的橫坐標(biāo)或(4)【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，利用軸對(duì)稱求最短距離，解直角三角形；（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）過(guò)點(diǎn)作軸，過(guò)點(diǎn)作交于，過(guò)點(diǎn)作交于，利用割補(bǔ)法求四邊形的面積即可；（3）連接交于點(diǎn)，則，先求兩直線的交點(diǎn)，可得，設(shè)，過(guò)點(diǎn)作軸交于，由，得到方程，求出的值即可；（4）連接，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，與交于點(diǎn)，四邊形的周長(zhǎng)，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)有最小值，分別求出，，即可得四邊形的周長(zhǎng)的最小值為．【詳解】（1）解：將、，代入，，解得，拋物線的解析式為，，解得或，；（2）過(guò)點(diǎn)作軸，過(guò)點(diǎn)作交于，過(guò)點(diǎn)作交于，、，，，，，，，四邊形的面積；（3）存在點(diǎn)，使，理由如下：連接交于點(diǎn)，直線與直線平行，，，，，設(shè)直線的解析式為，，解得，直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，解得，，，，，設(shè)，過(guò)點(diǎn)作軸交于，，，解得或或（舍，或；點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或；（4）連接，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，與交于點(diǎn)，四邊形是平行四邊形，，，、關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，，四邊形的周長(zhǎng)，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)有最小值，，，，、，，，四邊形的周長(zhǎng)的最小值為．6．（2024·上海靜安·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線關(guān)于直線對(duì)稱，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)在此拋物線上．(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)聯(lián)結(jié)、、，求的值；(3)如果點(diǎn)P在對(duì)稱軸右方的拋物線上，且，過(guò)點(diǎn)P作軸，垂足為Q，請(qǐng)說(shuō)明，并求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)該拋物線的表達(dá)式為；(2)(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為．【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得答案；（2）先證得是等腰直角三角形，可得，，過(guò)點(diǎn)作軸于，則，，，進(jìn)而證得是等腰直角三角形，可得，，推出，再運(yùn)用三角函數(shù)定義即可求得答案；（3）連接，先證得，得出，即，設(shè)，則，可得，得出，代入拋物線解析式求得，即可求得答案．【詳解】（1）解：拋物線關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)拋物線的解析式為，把、代入，得：，解得：，，該拋物線的表達(dá)式為；（2）解：在中，令，得，，、，，是等腰直角三角形，，，如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于，則，，，，，是等腰直角三角形，，，，；（3）證明：如圖，連接，由（2）知是等腰直角三角形，，，，軸，，，，，，設(shè)，則，，，點(diǎn)在對(duì)稱軸右方的拋物線上，，且，解得：，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，熟練掌握等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)是解題關(guān)鍵．7．（2024·廣西·一模）如圖，已知拋物線交x軸于，兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，P是拋物線上一點(diǎn)，連接、．(1)求拋物線的解析式；(2)連接，，若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)若，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．【分析】本題考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，正切函數(shù)的定義．（1）將，兩點(diǎn)代入，即可求解；（2）先求出，則，設(shè)，可得，即可求點(diǎn)坐標(biāo)；（3）設(shè)交y軸于點(diǎn)，利用正切函數(shù)求得，利用待定系數(shù)法求得直線的解析式，聯(lián)立求得即可；當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)時(shí)，也符合題意，同理求解即可．【詳解】（1）解：將，兩點(diǎn)代入，，解得，；（2）解：令，則，，，，，，，，設(shè)，，，，解得或，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；（3）解：設(shè)交y軸于點(diǎn)，∵，，，∴，，∵，∴，∴，即，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為，聯(lián)立，解得或，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)時(shí)，也符合題意，同理求得直線的解析式為，聯(lián)立，解得或，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．8．（2024·山東濟(jì)南·一模）如圖，二次函數(shù).的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，其對(duì)稱軸與線段交于點(diǎn)E，與x軸交于點(diǎn)F．連接．(1)若，求B點(diǎn)和C點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若求m的值；(3)若在第一象限內(nèi)二次函數(shù)的圖象上，始終存在一點(diǎn)P，使得請(qǐng)結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫出m的范圍．【答案】(1)，(2)1(3)【分析】（1）令，解方程可得，兩點(diǎn)坐標(biāo)，令，可得點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）由題意得，，，進(jìn)而可得，推出，連接，由，可得，推出，利用解直角三角形可得，，構(gòu)建方程，求出即可；（3）設(shè)交軸于點(diǎn)，證明，推出，可得結(jié)論．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，令，得，解得：，，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，，令，得，；（2）當(dāng)時(shí)，，解得：，，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，且，，，當(dāng)時(shí)，，，，，，如圖1中，連接，，，，，，，、關(guān)于對(duì)稱軸直線對(duì)稱，，，，，，即，，，，，，，解得：或，經(jīng)檢驗(yàn)，是方程的根，，；（3）如圖2，設(shè)交軸于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，點(diǎn)總是在點(diǎn)的左側(cè)，此時(shí)，即．，，，解得：，又，同法可得，，．【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．9．（2024·廣東·一模）綜合應(yīng)用．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接．(1)求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接寫出直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)P是二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)是否存在點(diǎn)P使？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖2，作出該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸直線l，交x軸于點(diǎn)D．若點(diǎn)M是二次函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)M始終位于x軸上方，作直線，，分別交l于點(diǎn)E，F(xiàn)，在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的值是否為定值？若是，請(qǐng)直接寫出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，，，(2)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或(3)的值是定值；【分析】（1）當(dāng)時(shí)，即，解方程可得圖象與軸交于點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，從而得圖象與軸交于點(diǎn)，利用待定系數(shù)法即可求解直線的函數(shù)表達(dá)式；（2）分點(diǎn)在上方時(shí)和點(diǎn)在下方兩種情況討論求解即可；（3）由（）得拋物線的對(duì)稱軸為直線，從而，設(shè)且，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求得直線和直線的解析式，從而得，于是即可得．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，即，解得：．∴圖象與軸交于點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，∴圖象與軸交于點(diǎn)，設(shè)直線為：，把，代入得，解得，∴直線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）解：存在，理由如下：當(dāng)點(diǎn)在上方時(shí)，∵，∴，即軸，∴點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，∵，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線；∵，∴；當(dāng)點(diǎn)在下方時(shí)，設(shè)交軸于點(diǎn)，則，．∵，∴．在中，，∴，解得：，∴，設(shè)直線的解析式為，，解得：，∴直線的解析式為，聯(lián)立，得，解得：舍去，，∴．綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或；（3）解：存在，的值為定值，理由如下：由得拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴，設(shè)且，設(shè)直線的解析式為，將和點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：，解得：，∴直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，∴，同理，直線的解析式為：，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴，∴的值是定值，．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，二元一次方程組的應(yīng)用以及勾股定理，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．10．（2024·江蘇宿遷·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)、、三點(diǎn)，已知，，．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)是拋物線上任意一點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)是拋物線上任意一點(diǎn)，若以、、為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或(3)或或或【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；（2）①當(dāng)P在上方時(shí)，延長(zhǎng)與y軸相交點(diǎn)Q，過(guò)B作于N，利用等積法求出，利用勾股定理求出，證明，利用正切定理可得出，求出，得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法求出直線解析式，把直線、拋物線解析式聯(lián)立方程組，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)P在下方時(shí)，設(shè)與y軸相交點(diǎn)Q，過(guò)B作于N，類似①的方法求解即可；（3）分；；三種情況討論，根據(jù)勾股定理構(gòu)建方程求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)拋物線解析式為，∵拋物線經(jīng)過(guò)，，，∴，解得，∴；（2）解：①當(dāng)點(diǎn)P在上方時(shí)，延長(zhǎng)與y軸相交點(diǎn)Q，過(guò)B作于N，∵，，，∴，，∴，，，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，又，∴，∴，∴，即，解得，∴，設(shè)直線解析式為，把B、Q坐標(biāo)代入，得，解得，∴，聯(lián)立方程組，解得或，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；②當(dāng)點(diǎn)P在下方時(shí)，設(shè)與y軸相交點(diǎn)Q，過(guò)B作于N，∵，，，∴，∴，∴，即，解得，∴，同理可求直線解析式為，聯(lián)立方程組，解得或，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；（3）解：設(shè)，∵，，∴，，，當(dāng)時(shí)，，∴，整理得，∴，解得（不符合題意，舍去），（不符合題意，舍去），，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴M的坐標(biāo)為或；當(dāng)時(shí)，，∴，整理得，解得（不符合題意，舍去），∴∴M的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，，∴，整理得，解得（不符合題意，舍去），∴∴M的坐標(biāo)為，綜上，M的坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等知識(shí)，明確題意，數(shù)形結(jié)合，合理分類討論是解題的關(guān)鍵．題型二：二倍角關(guān)系問(wèn)題對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的二倍角問(wèn)題，往往將其轉(zhuǎn)化成等角問(wèn)題。對(duì)于等角問(wèn)題，往往有以下解決路徑：等角的構(gòu)造方法（1）將等角轉(zhuǎn)化在一個(gè)三角形中，利用等腰三角形兩邊相等，借助距離公式解決；（2）用等角的三角比相等，構(gòu)造直角三角形，尋找比例關(guān)系；；（3）利用角的和差關(guān)系，尋找等角，而等角存在兩個(gè)相似三角形中，往往是子母三角形，利用比例線段構(gòu)建數(shù)量關(guān)系；（4）利用角平分線的相關(guān)性質(zhì)定理。二倍角的構(gòu)造方法如圖，已知，我們可以利用等腰三角形和外角定理去構(gòu)造，在BC邊上找一點(diǎn)D，使得BD=AD，則.這樣我們就構(gòu)造出了二倍角，接下來(lái)利用三角函數(shù)（一般用正切）計(jì)算就可以了1．（2024·陜西西安·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸分別交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，與軸交于點(diǎn)，是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第二象限，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，線段與直線相交于點(diǎn)(1)求該拋物線的解析式；(2)連接，是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)拋物線的解析式為；(2)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是用含字母的代數(shù)式表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)和相關(guān)線段的長(zhǎng)度．（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）證明，則，由，即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的表達(dá)式為：，則，解得：，拋物線的解析式為；（2）解：設(shè)存在點(diǎn)，使得，理由如下：延長(zhǎng)到，設(shè)，連接，如圖：，，，，，，，，設(shè)，則，，，，，，，解得（舍去）或（舍去）或，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．2．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)B的坐標(biāo)是，與y軸交于點(diǎn)C，P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第二象限，過(guò)點(diǎn)P作軸，垂足為D，線段與直線相交于點(diǎn)E．(1)求該拋物線的解析式；(2)連接，是否存在點(diǎn)P，使得？若存在，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是用含字母的代數(shù)式表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)和相關(guān)線段的長(zhǎng)度．（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）延長(zhǎng)到H，設(shè)，連接，證明，可得，設(shè)，則，根據(jù)，列出方程，即可求解．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)B的坐標(biāo)是，∴可設(shè)拋物線的表達(dá)式為：，∵拋物線的表達(dá)式為：，∴，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）解：設(shè)存在點(diǎn)P，使得，理由如下：對(duì)于，當(dāng)時(shí)，,∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，即，延長(zhǎng)到H，設(shè)，連接，如圖：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則，∴，∴，∵，∴，解得（舍去）或或（舍去），∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為．3．（2023·江蘇無(wú)錫·中考真題）已知二次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)．(1)請(qǐng)直接寫出，的值；(2)直線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是二次函數(shù)圖像上位于直線下方的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為．①求的最大值；②若中有一個(gè)內(nèi)角是的兩倍，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)①；②2或【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）①過(guò)點(diǎn)作軸平行線分別交、于、．令，求得，勾股定理求得，得出，則，進(jìn)而可得，求得直線的解析式為，設(shè)，則，進(jìn)而表示出，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．②根據(jù)已知，令，，在上取點(diǎn)，使得，得出，然后根據(jù)，設(shè)，．進(jìn)而分兩種情況討論，ⅰ當(dāng)時(shí)，，則相似比為，得出代入拋物線解析式，即可求解；ⅱ當(dāng)時(shí)，，同理可得，代入拋物線解析式即可求解．【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)∴解得：∴，，；（2）①如圖1，過(guò)點(diǎn)作軸平行線分別交、于、．∵，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，，∴，∴．∵，，∴，∴，∴，∴．∵設(shè)直線的解析式為∴解得：直線解析式為．設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，取得最大值為，的最大值為．②如圖2，已知，令，則，在上取點(diǎn)，使得，∴，設(shè)，則，則，解得，∴，即．如圖3構(gòu)造，且軸，相似比為，又∵，設(shè)，則．分類討論：ⅰ當(dāng)時(shí)，則，∴與的相似比為，∴，，∴，代入拋物線求得，（舍）．∴點(diǎn)橫坐標(biāo)為．ⅱ當(dāng)時(shí)，則，∴相似比為，∴，，∴，代入拋物線求得，（舍）．∴點(diǎn)橫坐標(biāo)為．綜上所示，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，線段長(zhǎng)的最值問(wèn)題，相似三角形的性質(zhì)與判定，正切的定義．利用分類討論的思想并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2024·西藏·二模）已知拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，對(duì)稱軸為直線，拋物線與y軸交于C點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖（甲），P是拋物線第一象限內(nèi)的任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作軸于D，直線與交于點(diǎn)E，當(dāng)是以為底的等腰三角形時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖（乙），若點(diǎn)M是拋物線上任意一點(diǎn)，且滿足，求M的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)；(3)或【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；（1）求出直線解析式，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為：，則點(diǎn)E坐標(biāo)為，當(dāng)是以為底的等腰三角形時(shí)，點(diǎn)C在線段垂直平分線上，線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，由此求出x即可；（3）如圖所示，取點(diǎn)，連，在上取點(diǎn)F，使得，連并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)M，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和證明，再分別用待定系數(shù)法依次求出直線和直線的解析式，求出直線與拋物線交點(diǎn)M的坐標(biāo)，再由對(duì)稱性求出另一點(diǎn)M的坐標(biāo)即可．【詳解】（1）解：由題意，得，解得：，∴拋物線的解析式為：；（2）解：由題意點(diǎn)C坐標(biāo)為，由拋物線的對(duì)稱性，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為：，設(shè)直線解析式為：，把，代入，得，，解得：，∴直線解析式為：，∴設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為：，則點(diǎn)E坐標(biāo)為，當(dāng)是以為底的等腰三角形時(shí)，點(diǎn)C在線段垂直平分線上，線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，∴，解得，（舍去），∴，故P點(diǎn)的坐標(biāo)為．（3）解：取直線與x軸交點(diǎn)，記為點(diǎn)D，連，在上取點(diǎn)F，使得，連并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)M，由題意可知，點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，則有，，∵，∴，∴，設(shè)直線解析式為：，把，代入，得，，解得，，∴直線解析式為：設(shè)點(diǎn)F坐標(biāo)為，，，∵，∴，解得，（舍去），則點(diǎn)F坐標(biāo)為：，設(shè)直線的解析式為，把點(diǎn)，代入，得，解得，的解析式為，當(dāng)時(shí)，解得（舍去）∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為，由對(duì)稱性可知當(dāng)F坐標(biāo)為時(shí)，直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)也滿足題意，同理可以求出此時(shí)M的坐標(biāo)為；綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合與一次函數(shù)的綜合，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等等，解題的關(guān)鍵在于能夠利用等腰三角形的性質(zhì)構(gòu)造出等角關(guān)系．題型三：兩角和與差問(wèn)題1．（2024·山西臨汾·一模）綜合與探究如圖，拋物線的圖像與x軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)，作直線．(1)求拋物線表達(dá)式及所在直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)M是拋物線上的點(diǎn)，且，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】(1)拋物線解析式為，直線的解析式為，(2)面積的最大值為4，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3)或【分析】（1）設(shè)出直線解析式，分別把，代入拋物線解析式中和直線解析式中，利用待定系數(shù)法求解即可；（2）過(guò)點(diǎn)P作軸交于D，設(shè)，則，可得；再由，得到，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案；（3）如圖所示，取點(diǎn)，連接，利用勾股定理和勾股定理的逆定理證明是等腰直角三角形，得到，則點(diǎn)M即為為拋物線的交點(diǎn)，同理可得直線解析式為，聯(lián)立，解得或，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為；求出直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為；取，則直線解析式為，由對(duì)稱性可得，則射線與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)M，同理可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為．【詳解】（1）解：把，代入中得：，∴，∴拋物線解析式為；設(shè)直線的解析式為，把，代入中得：，∴，∴直線的解析式為；（2）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作軸交于D，設(shè)，則，∴；∵，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，最大，最大值為4，∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3）解：如圖所示，取點(diǎn)，連接，∵，，∴，，，∴，，∴是直角三角形，且，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴點(diǎn)M即為為拋物線的交點(diǎn)，同理可得直線解析式為，聯(lián)立，解得或，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為；在中，當(dāng)時(shí)，，∴直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為；取，則直線解析式為，由對(duì)稱性可得，∴射線與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)M，聯(lián)立，解得或，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為；綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等等，解（2）的關(guān)鍵在于利用線段的長(zhǎng)表示出對(duì)應(yīng)三角形的面積，解（3）的關(guān)鍵在于取出H點(diǎn)證明等腰直角三角形得到45度的角．2．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)；(1)如圖1，求的長(zhǎng)度．(2)如圖2，點(diǎn)為第一象限拋物線上一點(diǎn)，連接，取上一點(diǎn)，以為底向下作等腰，設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，試用含的代數(shù)式表示的值為______（直接填空）．(3)如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)為第一象限拋物線上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接、且，連接并延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)橫坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）令，解方程，即可求解；（2）以為斜邊向上作等腰，過(guò)點(diǎn)作軸，過(guò)點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，證明，證明得出，進(jìn)而設(shè)，則，則，，得出，根據(jù)正切的定義，即可求解；（3）證明得出，進(jìn)而可得，則求得直線的解析式為，證明得出，則，可得直線的解析式為，聯(lián)立拋物線解析式，即可求解．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，解得：∴∴（2）解：如圖所示，以為斜邊向上作等腰，過(guò)點(diǎn)作軸，過(guò)點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，∵等腰，∴又∵∴，則,∵軸，∴∴在中，∴∴∵點(diǎn)橫坐標(biāo)為，∴設(shè)，則，則，∴∴∴∴故答案為：．（3）解：如圖所示，連接，∵，是等腰直角三角形，∴，又∴∴又∵∴∴∴∴∴設(shè)直線的解析式為∴解得：∴直線的解析式為∵是等腰直角三角形，∴∵∴是等腰直角三角形，∴∵且∴又∵，即∴∴∴∵是的中點(diǎn)，∴∴直線的解析式為∴解得：（負(fù)值舍去）∴的橫坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)與判定，二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．3．（2024·江蘇揚(yáng)州·一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與x軸分別交于點(diǎn)A，B．連接，點(diǎn)D是線段上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，連接，求面積的最大值；(3)如圖2，在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，連接交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在線段上，連接，若，求點(diǎn)F橫坐標(biāo)的最大值．【答案】(1)(2)1(3)【分析】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，一次函數(shù)與幾何綜合：（1）把拋物線設(shè)為頂點(diǎn)式即可得到答案；（2）先求出，進(jìn)而求出直線解析式為；如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作軸，交于E，設(shè)，則，可得；進(jìn)而得到，據(jù)此可得答案；（3）利用勾股定理得到，，，則，可得，利用三角形外角的性質(zhì)證明，進(jìn)而證明，得到，設(shè)，則，可得，則當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為1，即點(diǎn)F的橫坐標(biāo)的最大值為．【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴拋物線解析式為；（2）解：在中，當(dāng)時(shí)，解得或，∴；設(shè)直線解析式為，∴，∴，∴直線解析式為；如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作軸，交于E，設(shè)，則，∴；∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為1；（3）解：∵，，∴，，，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)，則，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為1，∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)的最大值為．4．（2024·山東泰安·一模）如圖，拋物線的圖象與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，作直線．(1)求拋物線表達(dá)式及所在直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點(diǎn)是拋物線上在第三象限的一個(gè)點(diǎn)，且，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，當(dāng)面積是面積的一半時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【答案】(1)拋物線表達(dá)式為；所在直線的函數(shù)表達(dá)式為；(2)；(3)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是或或或．【分析】（1）設(shè)出直線解析式，分別把，代入拋物線解析式中和直線解析式中，利用待定系數(shù)法求解即可；（2）如圖所示，取點(diǎn)，連接，利用勾股定理和勾股定理的逆定理證明是等腰直角三角形，得到，則點(diǎn)M即為為拋物線的交點(diǎn)，同理可得直線解析式為，聯(lián)立，解得或，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為；（3）分點(diǎn)在直線的上方和下方，兩種情況進(jìn)行討論求解即可．【詳解】（1）解：把，代入中得：，∴，∴拋物線解析式為；設(shè)直線的解析式為，把，代入中得：，∴，∴直線的解析式為；（2）解：已知，∴，則，如圖所示，取點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，使得，，連接，∴，∴，∴，∵，∴，∴是直角三角形，且，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴點(diǎn)M即為為拋物線的交點(diǎn)，同（1）法可得直線解析式為，聯(lián)立，解得或，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為；（3）∵，，∴，∴，如圖所示，當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)：將直線向上平移1個(gè)單位，得到，設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∵，∴點(diǎn)為直線與拋物線的交點(diǎn)，令，解得：，當(dāng)點(diǎn)在直線下方時(shí)，將直線向下平移1個(gè)單位，得到直線，則點(diǎn)為直線與拋物線的交點(diǎn)，令：，解得：．綜上：點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：或或或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰三角形的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)圖象的平移等知識(shí)點(diǎn)，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想，進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．5．（2022·湖北黃石·中考真題）如圖，拋物線與坐標(biāo)軸分別交于A，B，C三點(diǎn)，P是第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)且橫坐標(biāo)為m．(1)A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)為____________，____________，____________；(2)連接，交線段于點(diǎn)D，①當(dāng)與x軸平行時(shí)，求的值；②當(dāng)與x軸不平行時(shí)，求的最大值；(3)連接，是否存在點(diǎn)P，使得，若存在，求m的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1);;(2)①；②(3)存在點(diǎn)P，【分析】(1)令x=0，則y=4，令y=0，則=0，所以x=-2或x=3，由此可得結(jié)論；(2)①由題意可知，P(1，4)，所以CP=1，AB=5，由平行線分線段成比例可知，．②過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB交BC于點(diǎn)Q，所以直線BC的解析式為：y=-x+4．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則P(m，-)，Q(，-)．所以PQ=m-()=-，因?yàn)镻Q∥AB，所以=，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)論；(3)假設(shè)存在點(diǎn)P使得∠BCO+2∠BCP=90°，即0＜m＜3．過(guò)點(diǎn)C作CFx軸交拋物線于點(diǎn)F，由∠BCO+2∠PCB=90°，可知CP平分∠BCF，延長(zhǎng)CP交x軸于點(diǎn)M，易證△CBM為等腰三角形，所以M(8，0)，所以直線CM的解析式為：y=-x+4，令=-x+4，可得結(jié)論．【詳解】（1）解：令x=0，則y=4，∴C(0，4)；令y=0，則=0，∴x=-2或x=3，∴A(-2，0)，B(3，0)．故答案為：(-2，0)；(3，0)；(0，4)．（2）解：①∵軸，，∴，，又∵軸，∴△CPD∽△BAD∴；②過(guò)P作交于點(diǎn)Q，設(shè)直線BC的解析式為，把B(3，0)，C(0，4)代入，得，解得，∴直線的解析式為，設(shè)，則，∴，∵，∴△QPD∽△BAD∴，∴當(dāng)時(shí)，取最大值；（3）解：假設(shè)存在點(diǎn)P使得，即，過(guò)C作軸，連接CP，延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)M，∴∠FCP=∠BMC，∵，∴平分，∴∠BCP=∠FCP，∴∠BCP=∠BMC，∴BC=BM，∴為等腰三角形，∵，∴，，，設(shè)直線CM解析式為y=kx+b，把C(0，4)，代入，得，解得：，∴直線的解析式為，聯(lián)立，解得或(舍)，∴存在點(diǎn)P滿足題意，即．【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，平行線分線段成比例，角度的存在性等相關(guān)內(nèi)容，解本題的關(guān)鍵是求拋物線解析式，確定點(diǎn)P的坐標(biāo)．6．（2023·遼寧營(yíng)口·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線軸，過(guò)點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點(diǎn)為第三象限內(nèi)拋物線上的點(diǎn)，連接和交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)．求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，連接，在直線上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)或．【分析】（1）根據(jù)拋物線過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）根據(jù)題意求得，，求得，則，進(jìn)而求得直線的解析式為，過(guò)點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，證明，根據(jù)已知條件得出設(shè)，則，將點(diǎn)代入，即可求解．（3）根據(jù)題意可得，以為對(duì)角線作正方形，則，進(jìn)而求得的坐標(biāo)，待定系數(shù)法求得的解析式，聯(lián)立解析式，即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)，則對(duì)稱軸為直線，∴，解得：∴拋物線解析式為；（2）解：由，當(dāng)時(shí)，，解得：，∴，當(dāng)時(shí)，，則，∵，∴，∴，即，∴，∴，則，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，∴直線的解析式為，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，∵，∴∵∴，則設(shè)，則即，將點(diǎn)代入即解得：或（舍去）當(dāng)時(shí)，，∴；（3）∵，，則，是等腰直角三角形，∴，由（2）可得，∵∴，由（2）可得，設(shè)直線的解析式為，則解得：∴直線的解析式為如圖所示，以為對(duì)角線作正方形，則，∵，則，則，，設(shè)，則，解得：，，則，，設(shè)直線的解析式為，直線的解析式為則，，解得：，，設(shè)直線的解析式為，直線的解析式為，∴解得：，則，解得：,則，綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2023·湖北黃石·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．(1)求此拋物線的解析式；(2)已知拋物線上有一點(diǎn)，其中，若，求的值；(3)若點(diǎn)D，E分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)，且，求的最小值．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）在中，，則，得到直線的表達(dá)式為：，進(jìn)而求解；（3）作，證明且相似比為，故當(dāng)、、共線時(shí)，為最小，進(jìn)而求解．【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的表達(dá)式為：，即，則，故拋物線的表達(dá)式為：①；（2）解：在中，，，則，故設(shè)直線的表達(dá)式為：②，聯(lián)立①②得：，解得：（不合題意的值已舍去）；（3）解：作，設(shè)，，且相似比為，則，故當(dāng)、、共線時(shí)，為最小，在中，設(shè)邊上的高為，則，即，解得：，則，則，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：，同理可得，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，即點(diǎn)，由點(diǎn)、的坐標(biāo)得，，即的最小值為．【點(diǎn)睛】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來(lái)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)度，從而求出線段之間的關(guān)系．8．（23-24九年級(jí)下·重慶北碚·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，連接，點(diǎn)P是直線上方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作交直線于點(diǎn)D，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)連接，過(guò)點(diǎn)A作，交于點(diǎn)F，將原拋物線沿射線方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線，點(diǎn)Q為新拋物線上一點(diǎn)，直線與射線交于點(diǎn)G，連接．當(dāng)時(shí)，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)．【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，的最大值為(3)或或或【分析】（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）過(guò)點(diǎn)作軸，交軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，根據(jù)銳角三角函數(shù)得到，將轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值即可；（3）先求出，進(jìn)而得到為的中點(diǎn)，推出拋物線的平移規(guī)則，求出新的拋物線的解析式，根據(jù)，當(dāng)點(diǎn)在右側(cè)時(shí)，得到四點(diǎn)共圓，推出，利用銳角三角函數(shù)求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出點(diǎn)坐標(biāo)，得到直線的解析式，聯(lián)立直線和拋物線的解析式，求出點(diǎn)坐標(biāo)即可，當(dāng)點(diǎn)在左側(cè)，點(diǎn)是中點(diǎn)時(shí)，，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，得到直線的解析式，聯(lián)立直線和拋物線的解析式，求出點(diǎn)坐標(biāo)即可．【詳解】（1）解：把，，代入函數(shù)解析式，得：，解得：，∴；（2）∵，∴當(dāng)時(shí)，，解得：，∴，∵，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，把代入，得：，∴，過(guò)點(diǎn)作軸，交軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，∵，∴，又：，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則：，∴，∴當(dāng)時(shí)，有最大值為，此時(shí)最大為；∴當(dāng)時(shí)，的最大值為．（3）∵，∴，∴，∵，∴點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，過(guò)點(diǎn)作軸，∴，，∴，∴，∴，，將原拋物線沿射線方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線，即將原拋物線先向右平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，則新拋物線的的解析式為：，即：∵垂直平分，且點(diǎn)在上，∴，∵，∴，∴，又∵，當(dāng)點(diǎn)在右側(cè)時(shí)，，∴，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)∵，∴，∴，即：，∴，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，∵，∴，∴，∴，設(shè)的解析式為：，把代入，得：，解得：，∴，聯(lián)立，解得：或，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：或，當(dāng)點(diǎn)在左側(cè)時(shí)，點(diǎn)是中點(diǎn)時(shí)，，設(shè)點(diǎn)，則：解得：，∴，設(shè)的解析式為：，把代入，得：，解得：，∴，聯(lián)立，解得：或，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：或，故答案為：或或或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解直角三角形，四點(diǎn)共圓，二次函數(shù)求最值，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度大，計(jì)算量大，屬于壓軸題，掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．9．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線交軸的負(fù)半軸于點(diǎn)，交軸的正半軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．(1)______________；(2)如圖1，點(diǎn)在第二象限的拋物線上，連接交軸于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，線段的長(zhǎng)為，請(qǐng)直接寫出與的函數(shù)解析式；(3)如圖2，在（2）的條件下，點(diǎn)在第四象限的拋物線上，點(diǎn)在第一象限的拋物線上，連接交軸于點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)并直接寫出直線的解析式．【答案】(1)(2)(3)，【分析】（1）待定系數(shù)法求得的值，即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)在第二象限的拋物線上，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，得出，，，根據(jù)得出，即可求解；（3）過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，證明是等腰直角三角形，得出，，設(shè)則，過(guò)點(diǎn)作軸，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，設(shè)交軸于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接，證明是等腰直角三角形，得出，，，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，進(jìn)而求得待定系數(shù)法求得直線的解析式為得出直線的解析式為，聯(lián)立拋物線解析式得出的坐標(biāo)，進(jìn)而得出的解析式，即可求解．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，∴，即∵∴將代入∴解得：故答案為：．（2）如圖所示，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，由（1）可得令，則解得:∴點(diǎn)在第二象限的拋物線上，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，∴，∴∴∴∵∴即∴（3）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，∵，，∴，在中，∴∴，又∴∴，則是等腰直角三角形，∵∴解得：或（舍去）∴，，，，則是的中位線∴，設(shè)∴，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作軸，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，設(shè)交軸于點(diǎn)，∵，∴，又∴，∴在中，∴∴連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接，∵∴又∵，，∴，∴，又∵，，，∴，同理可得∴∴∴又∵∴，，∴是等腰直角三角形，∴∴，∵，則，，∴，，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，∵∴，又∵即∵∴∵，∴∴設(shè)直線的解析式為將，代入得，解得：∴直線的解析式為設(shè)直線的解析式為將代入，得解得：∴直線的解析式為聯(lián)立解得：∴設(shè)直線的解析式為，將，代入得，解得：∴直線的解析式【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，待定系數(shù)法求解析式，平行線分線段成比例定理，解直角三角形，二次函數(shù)的線段周長(zhǎng)問(wèn)題，角度問(wèn)題，全等三角形的性質(zhì)；綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．10．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）如圖，拋物線分別交軸于點(diǎn)和（在左側(cè)），交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，連接，的面積是．(1)如圖1，求的值；(2)如圖2，點(diǎn)為第一象限拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，連接和，的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；(3)如圖3，在（2）的條件下，，直線和直線相交于點(diǎn)，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，交軸于點(diǎn)，，且，在軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，使，若求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先求出，得到，進(jìn)而根據(jù)的面積是，求出，則，再利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出對(duì)稱軸，進(jìn)而求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，則可求出的長(zhǎng)，再求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式求解即可；（3）根據(jù)（2）所求，結(jié)合可得，求出直線解析式為，聯(lián)立，可得；過(guò)點(diǎn)F作交軸于，可證明，設(shè)，利用勾股定理得到，可得，，，證明，求出，設(shè)，利用勾股定理可得，解方程可得；過(guò)點(diǎn)M作軸，延長(zhǎng)交直線于Q，過(guò)點(diǎn)G、F分別作的垂線，垂足分別為S、R，過(guò)點(diǎn)G作軸于K，設(shè)，則，解直角三角形得到，，則，，可得；證明四邊形是矩形，得到，則，，解，得到；進(jìn)而得到；，證明，求出，則，可證明，推出，則；取，連接，可證明是等腰直角三角形，且，得到，則點(diǎn)H即為與y軸的交點(diǎn)，同理可得直線解析式為，則．【詳解】（1）解：在中，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∵的面積是，∴，即，∴，∴，∴，把代入中得：，∴；（2）解：由（1）得拋物線解析式為，∵點(diǎn)為第一象限拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∴；∵拋物線對(duì)稱軸為直線，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，∴，∴；（3）解：由（2）可得，解得或（舍去），∴；設(shè)直線解析式為，∴，∴，∴直線解析式為，聯(lián)立，解得，∴；如圖所示，過(guò)點(diǎn)F作交軸于，∴，∵，∴，∴，設(shè)，∴，解得，∴，，∴，∵，∴，∴，即，∴，設(shè)，∴，解得或（舍去），∴；如圖所示，過(guò)點(diǎn)M作軸，延長(zhǎng)交直線于Q，過(guò)點(diǎn)G、F分別作的垂線，垂足分別為S、R，過(guò)點(diǎn)G作軸于K，設(shè)，∴，∴，，∵，∴，，∴，，∴，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴，在中，；∵軸，∴，∴；，∵，∴，∴，∴，∴，即，解得或（此時(shí)不滿足，舍去）；∴，∴，∴，∴，∵，∴；如圖所示，取，連接，∴，，，∴，∴是等腰直角三角形，且，∴，∴點(diǎn)H即為與y軸的交點(diǎn)，同理可得直線解析式為，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，一次函數(shù)與幾何綜合，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形，相似三角形和直角三角形是解題的關(guān)鍵．題型四：特殊角問(wèn)題1．（2024·安徽蕪湖·二模）如圖1，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)（點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)在原點(diǎn)的右側(cè)），且．在軸上有一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線軸，交拋物線于點(diǎn)．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的解析式；(2)如圖2，連接，若，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖3，連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，連接，記的面積為的面積為，若，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)，；(2)；(3)．【分析】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，解直角三角形：（1）先求出，接著利用待定系數(shù)法求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，再根據(jù)對(duì)稱性求出點(diǎn)A的坐標(biāo)即可；（2）點(diǎn)坐標(biāo)為，則，求出，解直角三角形得到，則，解方程即可得到答案；（3）設(shè)直線的表達(dá)式為，則，解得，則直線的表達(dá)式為，即可得到點(diǎn)坐標(biāo)為，則，據(jù)此分別求出，再由建立方程求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴，把代入中得：，∴，∴拋物線解析式為，∵拋物線對(duì)稱軸為直線，∴；（2）解：由題意得點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，∴，，∴，∴，，（舍去）或，；（3）解：由題意得點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)直線的表達(dá)式為，則，解得∴直線的表達(dá)式為，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，，，∴或，解得（舍去）或（負(fù)值舍去）．2．（2024·廣東東莞·一模）如圖，拋物線交軸于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，連接，．(1)求的面積；(2)點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得與相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），且使得中有一個(gè)角是，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)6(2)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或，理由見詳解(3)點(diǎn)坐標(biāo)為，或．【分析】（1）分別確定點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得的長(zhǎng)度，然后根據(jù)三角形面積公式求解即可；（2）若與相似，則進(jìn)行分類討論，當(dāng)或當(dāng)，由相似三角形的性質(zhì)可得對(duì)應(yīng)邊成比例，再代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算，即可求解；（3）分三種情況討論：根據(jù)題意，點(diǎn)與點(diǎn)不重合，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，設(shè)交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證明為等腰直角三角形，結(jié)合點(diǎn)坐標(biāo)可得，設(shè)，則，，進(jìn)而解得，即可確定點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法解得直線的解析式，聯(lián)立直線的解析式與拋物線解析式，求解即可確定點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)時(shí)，同理可解．【詳解】（1）解：對(duì)于拋物線，當(dāng)時(shí)，可有，即，當(dāng)時(shí)，可有，解得，，即，，∴，，∴；（2）解：存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為，或理由如下：∵，，，∴，，，如下圖，當(dāng)時(shí)，則有，即，∴，∴，∴；當(dāng)時(shí)，如圖：則有，即，∴，∴則，綜上：或（3）解：根據(jù)題意，點(diǎn)與點(diǎn)不重合；且，如圖結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱性，且∴∴則∵∴對(duì)稱軸則則∴的坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，如下圖，設(shè)交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，∴，∴，∵，，∴，，∴，設(shè)，則，，∴，解得，∴，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)，代入，可得，解得，∴直線的解析式為，聯(lián)立直線的解析式與拋物線解析式，可得，解得（舍去）或，∴點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，如下圖，設(shè)交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，∴，∴，∵，即，∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，，∴，解得，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)，代入，可得，解得，∴直線的解析式為，聯(lián)立直線的解析式與拋物線解析式，可得，解得（舍去）或，∴點(diǎn)．綜上所述，點(diǎn)坐標(biāo)為，或．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合應(yīng)用，主要考查了坐標(biāo)與圖形、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、解直角三角形、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度較大，解題關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想分析問(wèn)題．3．（2024·福建泉州·一模）已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是．(1)求該拋物線的解析式；(2)經(jīng)過(guò)的直線軸，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)H．①求證：A，D，H三點(diǎn)共線；②M是拋物線上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)①證明見解析；②【分析】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)的性質(zhì)，求二次函數(shù)解析式，勾股定理和勾股定理的逆定理：（1）利用對(duì)稱軸公式求出；代入點(diǎn)C坐標(biāo)即可求出c，進(jìn)而求出解析式；（2）①先求出A、B坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)H坐標(biāo)，再求出直線解析式，最后驗(yàn)證點(diǎn)H是否在直線上即可；②取，連接，可證明是等腰直角三角形，且，則，即直線與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)M，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，∴，∵拋物線經(jīng)過(guò)，∴，∴拋物線解析式為；（2）解：①在中，當(dāng)時(shí)，解得或，∴，∵經(jīng)過(guò)的直線軸，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)H，∴；設(shè)直線解析式為，∴，∴，∴直線解析式為，在中，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)在直線上，∴A，D，H三點(diǎn)共線；②如圖所示，取，連接，∵，，∴，，，∴，∴是等腰直角三角形，且，∴，∴直線與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)M，同理可得直線解析式為，聯(lián)立，解得或，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為．4．（2024·廣東汕頭·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與直線交于，B兩點(diǎn)，與y軸交于，直線l與y軸交于點(diǎn)D．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式：(2)設(shè)直線l與拋物線的對(duì)稱軸的交點(diǎn)為F，若，求直線l的解析式：(3)若在x軸上存在一點(diǎn)P，使，且，直接寫出k的值．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）將點(diǎn)，代入，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)拋物線解析式求出對(duì)稱軸，過(guò)點(diǎn)A作對(duì)稱軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)B作對(duì)稱軸于點(diǎn)