動能和勢能課件

功和能與碰撞問題前面一章中，我們以牛頓運動定律為基礎(chǔ)，在引入力的沖量的基礎(chǔ)上，推導出了質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理，進而得到了質(zhì)點系的動量守恒定律；本章我們以牛頓運動定律為前提，在引入功的基礎(chǔ)上，推導出質(zhì)點和質(zhì)點系的動能定理，再加上保守力和勢能的概念，推導出功能原理和機械能守恒定律。1§4.1功和功率一、恒力做功說明:質(zhì)量為m的質(zhì)點在恒力的作用下發(fā)生位移,則力對質(zhì)點m所做的功

2(4)若作用于質(zhì)點m上有許多外力即：合力的功等于各個力做功的代數(shù)和。3二、變力的功質(zhì)點m在變力的作用下沿曲線由a點運動到b點如圖所示。為了計算變力做功，將A到B路徑分割成無窮多個小的微元，在該微小的位移內(nèi)可將力視為恒力。則在該微元內(nèi)力做功為：則由a點到b點變力的功是：bao4在直角坐標系下：

則由a點到b點變力的功是：5請說明曲線下面積所代表的物理意義？Aabxx0x例1：重力場質(zhì)點m做平拋運動，計算由a處落到

b處重力的功。ab6例2：計算彈簧彈力F=－Kx的功。以平衡位置為o點建立ox坐標系，計算質(zhì)點m由運動到處彈簧彈力的功。om由例1、例2結(jié)果可知，重力、彈簧彈力做功均與物體運動的路徑無關(guān)，只于始末位置有關(guān)。7例3：如圖所示質(zhì)點的受力Y(m)X(m)A(0,1)B(1,1)D(1,0)o計算：由OAB;ODB外力所做的功。（1）OAB

8（2）ODB

由以上例題可知：對于某些力，其做功僅與質(zhì)點運動的始末位置有關(guān)，而與質(zhì)點所經(jīng)歷的路徑無關(guān)－－保守力（重力、彈簧彈力等）；而一些力做功與質(zhì)點所經(jīng)過的路徑有關(guān)－－非保守力（摩擦力、牽引力等）。9三、功率——反映做功快慢的物理量

平均功率：瞬時功率：定義：在時間內(nèi)力做功為10§4.2動能定理一、質(zhì)點的動能定理力作用于質(zhì)量為m的質(zhì)點上，在時間內(nèi)質(zhì)點由A點運動到B點，則力的功為：由牛頓第二定律有：11即:作用于質(zhì)點m上合外力的功等于質(zhì)點動能的增量．動能與動量不同，動能是標量，動量是矢量，動量的改變?nèi)Q于合力的沖量，而動能的改變?nèi)Q于合外力的功.說明４.動能定理適用于慣性系．３.動能定理給出了過程量與狀態(tài)量之間的關(guān)系．２.質(zhì)點的運動狀態(tài)確定了，則動能就確定了，動能是運動狀態(tài)的函數(shù)，反映質(zhì)點運動狀態(tài)的物理量，功則是與質(zhì)點運動過程相聯(lián)系的，是過程量．12例：如圖所示單擺，將小球拉開偏離豎直線角后由靜止釋放，求小球擺線與豎直方向成角時小球速率．分析：運動過程中小球受重力，繩子張力，其合力是變力（與小球的位置有關(guān)）．開始時小球速率為０，用動能定理求解方便。由于運動過程中繩子的張力不做功，故合外力的功：13由動能定理有：14例題：物體ｍ由高ｈ處沿斜面下滑，然后在水平面上滑行一段后停止于x處.斜面、水平面的摩擦系數(shù)為,摩擦力做功:斜面部分:證明:分析受力情況如圖所示。15水平面部分:故:由于初、末的動能都為零,故16設(shè)質(zhì)點系由n個質(zhì)點組成作用于每個質(zhì)點上的力可以分為外力和內(nèi)力(相對于質(zhì)點系而言），對于每一個質(zhì)點應(yīng)用質(zhì)點動能定理：二、質(zhì)點系的動能定理17兩邊求和：式中:

質(zhì)點系的末動能質(zhì)點系的初動能作用于質(zhì)點系上合外力的功質(zhì)點系合內(nèi)力的功(作用力的功與反作用力的功之和不一定為零)即:作用于質(zhì)點系的功等于質(zhì)點系動能的變化量。18求:卡車滑行距離。（木箱與卡車同時靜止）例題：質(zhì)量M的卡車上載質(zhì)量為m的木箱，以速度v沿平直路面行駛，突然急剎車，車輪立即停止轉(zhuǎn)動，卡車滑行一段距離后靜止，木箱在卡車上向前滑行了一段距離，已知木箱與卡車之間滑動摩擦系數(shù)為，車輪與地面間滑動摩擦系數(shù)為，19解：將卡車與木箱分別當作兩個質(zhì)點，組成質(zhì)點系，它的受力情況分別是：重力；地面支持力;木箱壓力；木箱相對于車箱滑動時的滑動摩擦力;地面摩擦力;重力,卡車對木箱支持力，卡車對木箱的滑動摩擦力卡車：木箱:20均為外力，但僅有外力做功，而是內(nèi)力，但僅有做功。則合外力做功為：則合內(nèi)力做功為：21則由質(zhì)點系的動能定理可得：（實際上作用力與反作用力的總功，等于木箱與卡車之間的摩擦力與木箱相對卡車位移的標積）22§4.3勢能一、保守力與非保守力（根據(jù)力做功的特點來區(qū)分）萬有引力的功僅與質(zhì)點的的初始位置（）、終止位置（）有關(guān)而與質(zhì)點所經(jīng)過的路徑無關(guān)。例：在一靜止質(zhì)點質(zhì)量為M的引力場中有一質(zhì)量為m

的質(zhì)點由運動到，討論萬有引力的功。

23重力做功：力沿一閉合路徑做功為零，則力稱為保守力。非保守力：力做功與路徑有關(guān)。（摩擦力、磁場力）即：若力滿足：彈簧彈力做功：保守力：力做功僅由質(zhì)點的始末位置決定而與受力質(zhì)點運動所經(jīng)歷的路徑無關(guān)。（重力、萬有引力、彈簧力、靜電力）24勢能（位能）是在保守力概念基礎(chǔ)上提出的一個概念。對于保守力來說，受力質(zhì)點的始末位置一定，則力做功便唯一確定。功是受力質(zhì)點始末位置的函數(shù)－－該位置函數(shù)就是勢能。即：保守力的功等于相應(yīng)勢能增量的負值。以分別表示質(zhì)點在始末位置的勢能，則保守力的功若規(guī)定保守力做功起始位置的勢能為零勢能。則質(zhì)點在任一位置上的勢能二、勢能的概念25勢能零點的選擇是相對的，例如，重力勢能可表示為零點可根據(jù)需要選取彈性勢能。（零勢點雖然可以任意選取，但若選擇彈簧原長處為勢能零點，彈性勢能的表達式簡單地表示為：萬有引力勢能的零點選擇無窮遠處為零勢能。故萬有引力勢能：由于勢能與物體間相互作用的保守力相聯(lián)系，故勢能屬于以保守力相互作用的物體組成的物體系或質(zhì)點組所共有。26討論保守力時，互施保守力作用的兩質(zhì)點之一處于靜止，若質(zhì)點系中幾個質(zhì)點都在運動，情況會是什么樣的？三、勢能是物體相對位置的函數(shù)前面的討論中我們講到兩運動質(zhì)點相互作用力所做功的和，等于將其中任一質(zhì)點視為靜止時，相互作用力對另一質(zhì)點在其相對位移上所做的功。由于相互作用的力是保守力，則作用力與反作用力做功的代數(shù)和只與兩質(zhì)點始末相對位置有關(guān)，在這樣兩個質(zhì)點組成的質(zhì)點系勢能的增量等于作用力與反作用力保守力所作代數(shù)和的負值。27若質(zhì)點系中包含多個質(zhì)點，它們之間相互作用力是保守力，則該質(zhì)點系內(nèi)一切保守力做功的代數(shù)和僅與各個質(zhì)點始末相對位置有關(guān)，與各個質(zhì)點運動路徑無關(guān)。28§４.4功能原理和機械能守恒定律質(zhì)點組的動能與勢能之和稱為質(zhì)點組的機械能，功能原理和機械能守恒定律都是說明質(zhì)點系機械能變化規(guī)律的，可以由質(zhì)點動能定理，以及勢能的概念推導出來。一、質(zhì)點組的功能原理

由質(zhì)點組的動能定理有：29即：一切外力和一切非保守力內(nèi)力做功的代數(shù)和等于質(zhì)點組機械能的增量。——質(zhì)點組功能原理30說明（１）只有外力，非保守力做功才會引起系統(tǒng)機械的改變；（２）保守內(nèi)力的功雖然會引起每個質(zhì)點動能的改變，引起質(zhì)點系動能的改變，但不會引起質(zhì)點系機械能發(fā)生改變。（３）功能原理和動能原理并無本質(zhì)上的不同，只不過功能原理中把保守內(nèi)力的功用相應(yīng)勢能增量的負值來計算，在實際應(yīng)用中更方便。31二、質(zhì)點組的機械能守恒定律由質(zhì)點系組的功能原理可知：若則：機械能守恒的條件－－“外力不做功，非保守內(nèi)力做功代數(shù)和為零”32例1：一輕彈簧與質(zhì)量為和兩個物體相連結(jié)，至少用多大的力向下壓才能在此力撤去后把下面物體帶離地面？

解：選彈簧處于原長為坐標原點

o建oy坐標系。開始時在重力作用下彈簧被壓縮的位移為，此時重力與彈簧的彈力平衡。33設(shè)在外力的作用下將彈簧壓縮到處，撤去外力后可剛好將提離地面，在處由力的平衡條件有：撤去外力到跳起剛好拉動整個過程34此時彈簧的拉力剛好提起即:求解上述方程，可得：開始時機械能:彈起，剛好提離時:中（選、彈簧、地球構(gòu)成系統(tǒng)）機械能守恒，（選坐標原點為重量勢能，彈性勢能零點）35例2：利用機械能守恒定律討論第二宇宙速度和第三宇宙速度(逃逸速度)。解：第一宇宙速度即為環(huán)繞地球表面做勻速率圓周運動的速度：36萬有引力勢能：(1):第二宇宙速度即為脫離地球引力范圍的速度。選飛船和地球構(gòu)成系統(tǒng)。則內(nèi)力僅有保守力—萬有引力設(shè)飛船以飛行可脫離地球，則動能：地球的動能為：當飛船剛好脫離地球引力范圍時，飛船的動能為0，引力勢能達最大值0，系統(tǒng)僅有地球動能，由機械能守恒定律有：37

第三宇宙速度是指飛船脫離太陽系所需速度，當飛船以發(fā)射時，則：一部分用于克服地球引力所需動能38另一部分克服太陽系引力所需動能則：若忽略其他行星對飛船的引力，則由飛船和太陽組成質(zhì)點系的機械能守恒，按照類似的方法可求出。由前面的討論可知，第一宇宙速度的倍便是第二宇宙速度即：39同樣地，飛船脫離太陽引力所需速度應(yīng)該是飛船隨地球公轉(zhuǎn)的速度的倍由于地球公轉(zhuǎn)的速度為29.8，所以飛船要脫離太陽引所需速度：故：所以既要脫離地球引力又要脫離太陽引力所需要的第三宇宙速度為：40要獲得如此大的速度是比較困難的，如果充分利用地球的公轉(zhuǎn)，將飛船的發(fā)射方向與地球公轉(zhuǎn)的方向相同，這時，飛船在離開地球時只需要相對于地球的速度為41與此相應(yīng)的動能以這么大的動能就可以脫離太陽的引力。即第三宇宙速度為：42以上討論的速度，均是在不考慮空氣阻力的影響下得出速度的最小值，實際中發(fā)射飛船似的，值比理論的，值都要大。43§4.5能量的轉(zhuǎn)換和守恒定律自然界中物質(zhì)的運動形式除了機械運動以外還有熱運動，電磁運動，化學運動等多種運動形式，不同的運動形式對應(yīng)著不同形式的能量，在一定條件下，不同形式的能量之間不會發(fā)生相互轉(zhuǎn)化。搓手運動：蒸汽機：線圈在磁場中運動：機械能電磁能熱能機械能機械能熱能44能量轉(zhuǎn)換與守恒定律是自然界各種自然現(xiàn)象所服從的普遍規(guī)律，是物理學中最普遍定律之一。大量的實驗證明，能量只能從一個物體傳給其他物體或者從一種形式轉(zhuǎn)化為其他形式，能量既不能消滅，也不能創(chuàng)生?！芰渴睾愫娃D(zhuǎn)化定律能量轉(zhuǎn)換與守恒定律還可以表達成－－－－“第一種永動機不可能制成”45守恒定律的意義

物理學特別注意對守恒量和守恒定律的研究，這是因為：第一，從方法論上看：自然界中許多物理量如動量、角動量、機械能、電荷、質(zhì)量等等，都具有相應(yīng)的守恒定律。利用守恒定律研究問題，而對系統(tǒng)始、末態(tài)下結(jié)論可避開過程的細節(jié)，（特點、優(yōu)點）。46低速均適用。第二，從適用性來看：守恒定律適用范圍廣，宏觀、微觀、高速、守恒定律是認識世界的很有力的武器。在新現(xiàn)象研究中，若發(fā)現(xiàn)某守恒定律不成立，則往往作以下考慮：

第三，從認識世界來看：47（1）尋找被忽略的因素，從而使守恒定律成立，如中微子的發(fā)現(xiàn)。（2）引入新概念使守恒定律更普遍化(補救)。（3）當無法補救時，則宣布該守恒定律不成立，如弱相互作用宇稱（parity）不守恒。48

不論哪種情況，都是對自然界的認識上了新都能對人類認識自然起到巨大的推動作用。

第四，從本質(zhì)上看：臺階。因此守恒定律的發(fā)現(xiàn)、推廣、甚至否定，守恒定律揭示了自然界普遍的屬性—對稱性。49§4.7球的對心碰撞（1）物體間的碰撞力是沖力，在發(fā)生碰撞的極短時間內(nèi)，可以不考慮外力對物體運動的影響；（2）碰撞過程時間很短，而碰撞前、后運動狀態(tài)的改變卻是十分明顯的；為了更好的研究碰撞過程中的規(guī)律，常將發(fā)生碰撞的兩物體（或多個物體）簡化為球的碰撞，并認為在碰撞時，不受外力的作用。碰撞過程中，都存在以下共同特點：50本節(jié)課我們主要現(xiàn)討論球的對心碰撞問題，下一節(jié)課再討論非對心的碰撞。球的對心碰撞——是指兩個發(fā)生碰撞的小球，碰撞前速度矢量沿兩球心的連線，碰撞后它們速度矢量的連線沿著兩球心的連心線的碰撞。也稱“正碰”。511.完全彈性碰撞（質(zhì)點系總動能不變）球的正碰分類：完全非彈性碰撞（碰撞后兩質(zhì)點不分開以共同速度運動）非完全彈性碰撞（碰撞后兩質(zhì)點彼此分開，且質(zhì)點系的機械能不守恒）52一、完全彈性碰撞：對于正碰，由于碰撞前后，兩質(zhì)點速度的連線在同一直線上，故選兩個球心連線為x軸（一維情形），上述矢量表達式可表示為：設(shè)質(zhì)量的兩個球碰撞前速度分別，碰撞后的速度分別為，對于質(zhì)點組成的質(zhì)點系，碰撞過程不受外力，故動量守恒：即：53同時考慮到碰撞前后的動能不變,即:若已知由(1)式可求出由(1)式可得:由(2)式可得:54碰撞前m1相對于m2的“相對速度”碰撞后m1相對于m2的“相對速度”接近速度分離速度即：發(fā)生完全彈性碰撞的兩個小球的相對速度的大小不發(fā)生變化，而方向發(fā)生180度改變。如果觀察者站在一個小球上，則會觀察到什么現(xiàn)象？另一個小球以大小不變的速率被反射回去！55討論：（1），則即：碰撞后兩個小球交換速度。即：用碰撞靜止后，靜止，以速度前進。56用質(zhì)量很小的球去碰質(zhì)量很大的靜止的球質(zhì)量大的球不動而質(zhì)量輕的小球以原速率彈回（2）若<<

且57用質(zhì)量很大的球去碰質(zhì)量很小的靜止的球質(zhì)量大的球仍以原速前進，而質(zhì)量輕的小球以2倍于質(zhì)量大的球的速率前進。（2）若>>

且58例如：表示中子質(zhì)量，表示某質(zhì)子核質(zhì)量，（1）中子與靜止的原子核發(fā)生對心完全彈性碰撞后，中子動能損失的比率（2）鉛，碳和氫原子核的質(zhì)量分別是中子的206倍12倍和1倍計算中子于他們發(fā)生對心碰撞后動能損失的比率。解：將中子、原子核視為質(zhì)點：（1） 和表示中子碰撞前后的速度，則動能的損失比率：59由于（2）求中子和鉛、碳、氫原子核碰撞后能量損失比率：

鉛：60即：中子與氫原子碰撞時能量損失最多。碳：氫：61在原子反應(yīng)堆中，用慢中子與鈾（）的原子核相碰可形成“鏈式反應(yīng)”，對鏈式反應(yīng)中釋放出的中子需要減速，常選用含由碳原子的石墨和含氫原子核的石蠟作為減速劑比較好。實際上大量的中子和氫原子核碰撞，不可能恰好都是對心碰撞，且加速后的氫原子又可繼續(xù)與中子發(fā)生碰撞，因此碰撞后的中子向各個方向運動機會相同，大量中子平均損失能量的比率<1。62分量式：二、完全非彈性碰撞設(shè)兩質(zhì)點碰前速度，碰后二者共同運動的速度為，組成的質(zhì)點系，由動量守恒定律有：63兩個小球碰撞后彼此分開，但是碰撞時又有機械能的損失，（例如：乒乓球和球臺的碰撞過程）由動量守恒定律有：三、非完全彈性碰撞分量式：由一個方程，怎么能確定出兩個未知數(shù)（）？64為此必須建立一個方程，經(jīng)過大量的實驗證明，一定材料制成的小球，碰撞后分開的相對速度與碰撞前接近的相對速度成正比，設(shè)碰撞前接近時相對速度為，碰后分離時相對速度為定義恢復系數(shù)：恢復系數(shù)e，由兩球材料確定。65由這兩個方程即可求出碰撞后的速度：說明（1）e=0時，即碰后兩個小球以相同速度運動——完全非彈性碰撞66（2）e=1時：即碰后兩個小球運動速度分為，—完全彈性碰撞（3）0<e<1時，對應(yīng)于非完全彈性碰撞。兩個小球之間時發(fā)生彈性碰撞，還是完全非彈性碰撞，還是非完全彈性碰撞，取決于恢復系數(shù)e的值。67如何通過實驗測量恢復系數(shù)e？用同種材料制成的一個小球和一厚重的平板，令小球從高度H處自由落下，則碰前速度，和板發(fā)生碰撞后彈起高度為h，則知碰后小球速度為 ，參與碰撞的平板則由恢復系數(shù)的定義式有：68§4.8球的非對心碰撞兩球碰前的速度不沿它們的中心連線的碰撞——非對心碰撞或斜碰。碰后兩球速度矢量在同一平面上的碰撞——二維碰撞。對于非對心碰撞過程，我們僅討論運動小球和靜止小球的碰撞即可。如圖所示：兩球質(zhì)量分別為和，碰前靜止，以速度勻速直線運動；碰撞后運動的速度分別為：69由動量守恒定律有：對于二維碰撞問題，選xoy坐標系（通常選取兩球碰撞時的連心線為y軸，建立坐標系xoy）將矢量式轉(zhuǎn)化為分量式：70對于則所以有：71由于在的極限情況下，可視做小球自傾斜方向與半徑的球（平面）碰撞。則：碰撞后嗎？由于進行的是非完全彈性碰撞，存在機械能損失，則討論：72對于質(zhì)量相同的兩個小球（）做非對心完全彈性碰撞;無論碰后如何運動，但是必有：即：碰后兩小球運動方向互相垂直。73例1：一氣體分子以300m/s速率碰撞一靜止的質(zhì)量相同的分子，碰撞后第一個分子沿與初速度成角方向飛出，解1：兩個氣體分子斜碰撞的問題在坐標下寫出分量方程為：求：碰撞后兩分子運動的速率以及第二個分子與第一個分子初速度所夾角由動量守恒及動能守恒得：74解2：由前面的討論中可知，當兩個質(zhì)量相同的小球發(fā)生斜碰時（一個靜止），則碰撞后兩個小球運動方向互相垂直，即很容易得到：75解（1）碰前：動量守恒方程：（1）完全彈性碰撞，（2）完全非彈性碰撞例2：質(zhì)量分別為和的兩個小球，系于等長線上構(gòu)成懸于同一點的單擺。將拉到高度h處有靜止釋放在下