原創(chuàng)2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期第二周周末提優(yōu)訓(xùn)練

一、選擇題

1.如圖，下面是利用尺規(guī)作40B的角平

分線定的作法，在用尺規(guī)作角平分線

過程中，用到的三角形全等的判定方法J——

是（）

作法：

①以。為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交力，仍于點(diǎn)〃，公

②分別以D,￡為圓心,大于的長為半徑畫弧,兩弧在4OB

內(nèi)交于一點(diǎn)C；

③畫射線0C,射線%就是Z40B的角平分線.

A.ASAB.SASC.SSSD.AAS

2.如圖所示在A4BC中，P、0分別是a'、/C上的

點(diǎn)，作PR1/B,PSLAC,垂足分別是樂S,

若/Q=PQ,PR=PS,下面三個(gè)結(jié)論：（1）4S=

AR;(2)PQ〃/B;(3)△PBRQAPCS,其中正確的是()

A.(1)(2)B.(2)(3)C.(1)(3)D.(1)(2)(3)

3.已知：如圖。為物的中點(diǎn)，

EF1BD于點(diǎn)、0,與AD,優(yōu)分別交于點(diǎn)

E,立下列結(jié)論正確的是（）

①kBOF支DOE；②DE=DF；③BD平分4DF；(4)AE=

CF.

A.①②B.①③C.①②③D.①②③④

4.如圖，在中，〃是a1的中點(diǎn)，ED1

BC,ZEAC+ZEAF=180°,EF1AB

于點(diǎn)R若力F=3,AC=10,則的長為

()

A.16B.15C.14D.13

5.在△4BC和AEMN中，已知上4=50。，=60。，/E=

70。，/M=60°,AC=EN,則這兩個(gè)三角形（）

A.一定全等B.一定不全等C.不一定全等D.以上都不對

6.如圖，/EOF內(nèi)有一定點(diǎn)R過點(diǎn)戶的一條

直線分別交射線在于A,射線0于5當(dāng)滿

足下列哪個(gè)條件時(shí)，A/lOB的面積一定最小

()

A.OA=OBB.8為△/OB的角平分線

C.。〃為△/OB的高D.8為△/OB的中線

7.如圖：Rt^ABC^P，AC=BC,ZACB=90°;D為8c邊中

點(diǎn)，CFJ.AD交AD于E,交AB于F；BE交AC于G；連如，下

列結(jié)論：（DAC=AF.②CD+DF=AD.③4DC=NBDF.

=B立⑤/BED=45°,其中正確的有（）

A.5個(gè)B.4個(gè)C.3個(gè)D.2個(gè)

8.如圖，在等邊△ABC中，AD=BE=CF,D,

E,夕不是中點(diǎn)，連結(jié)/反BF,CD,構(gòu)成一些

三角形.如果三個(gè)全等的三角形組成一組，那

么圖中全等的三角形的組數(shù)是（）

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

9.如圖，在等腰直角△力BC中，ZACB=90°,。是斜邊力〃的中

點(diǎn)，點(diǎn)〃少分別在直角邊〃；BC上,且/DOE=90°,DE交

0C于點(diǎn)P.則下列結(jié)論：

⑴力。+BE=AC；

(2)AD2+BE2=DE2；

⑶△ABC的面積等于四邊形6W后面積的2倍;

(4)。。=0E.

其中正確的結(jié)論有()

A.①④B.②③C.①②③D.①②③④

二、填空題

10.已知：如圖，在長方形/&Z?中，AB=4,

AD=6.延長或到點(diǎn)反使CE=2,連接〃瓦

動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)8出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度

沿BC—CD—D4向終點(diǎn)/運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)〃的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2秒,

當(dāng)方的值為秒時(shí)，a/BP和△￡)(：￡＞全等.

11.如圖，已知C/1BC,垂足為。，AC=

2cm,BC=6cm,射線BM1BQ,垂足

為B.動(dòng)點(diǎn)P從C點(diǎn)、出發(fā),以lcm/s的速

度沿射線&運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N為射線胤/上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足PN=4B,且點(diǎn)力隨著尸點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng).當(dāng)

點(diǎn)、P運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，△BC/與以點(diǎn)RN,4為頂點(diǎn)的三角

形全等.

12.如圖是5x5的正方形網(wǎng)格，△/BC的

頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上，像4

ABC這樣的三角形叫做格點(diǎn)三角形，

畫與△力BC只有一條公共邊且全等的

格點(diǎn)三角形，在該網(wǎng)格中這樣的格點(diǎn)

三角形（不與重合）最多可以畫出個(gè).

13.已知如圖，在△力BC中，ZBAE=ZCAE,BE1/E于點(diǎn)反

若4BC=34CB,則45,和龐'之間的數(shù)量關(guān)系是

14.如圖，已知中，AB=/C=24厘米，ZABC=ZACB,

BC=16厘米，點(diǎn)〃為4?的中點(diǎn).如果點(diǎn)尸在線段為7上以4

厘米/秒的速度由4點(diǎn)向。點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)0

在線段。上由。點(diǎn)向4點(diǎn)運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)0的運(yùn)動(dòng)

速度為cm/s時(shí)，能夠在某一時(shí)?a丫—

亥ij使ABPD與△CQP全等.

15.如圖，△ABC中，/ACB=90°,AC=8cm,BC=15cm.點(diǎn)

〃從4點(diǎn)出發(fā)沿？I-C-B路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為夕點(diǎn)；點(diǎn)0

從夕點(diǎn)出發(fā)沿BTCTA路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)、為A點(diǎn)、.點(diǎn)P

和。分別以2on/s和3on/s的運(yùn)動(dòng)速度同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)都

要到相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)才能停止運(yùn)動(dòng)，在某時(shí)刻，分別過〃和0作

PE1I于E,QF1［于F.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），當(dāng)t=秒時(shí)，

△PEC與全等.

16.如圖，在等腰直角三角形力比1中，NC=90。,

AC=BC=4,點(diǎn)〃是4夕的中點(diǎn)，E.分在

射線4C與射線位上運(yùn)動(dòng),且滿足/E=CF；

當(dāng)點(diǎn)￡運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)。的距離為1時(shí)，則△DEF的面積為

17.如圖，ZCDE=/E==90°,/C=BC,

AC1BC并且CD=2,BE=5,貝ij△4CD

的面積

是________________________________

三、解答題

18.觀察猜想探究：在△4BC中，/ACB=2/B.

(1)如圖①，當(dāng)/C=90。，/〃為的平分線，求證：AB=

AC+CD；

(2)如圖②，當(dāng)4。90°,49為的平分線，線段力反

AC,必有怎樣的數(shù)量關(guān)系？不需要證明，直接寫出你的猜想;

(3)如圖③，當(dāng)4?為△8/C的外角平分線時(shí)一，線段/樂AC、CD

有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并給予證明.

19.在△4BC中，AB=AC,=90。，點(diǎn)〃是夕。的中點(diǎn),

點(diǎn)P是比邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP,直線鰭垂直于直線AP,

交在于點(diǎn)反直線⑦垂直于直線心，交在于點(diǎn)尸.

(1)當(dāng)點(diǎn)〃在線段初上時(shí)(如圖。)，求證：CF=BE+EF-,

(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段〃。上時(shí)(如圖②)，請畫出圖形，并直接寫出

CF、BE、砥之間的關(guān)系(不需要證明).

(3)若直線應(yīng)1交直線4〃于點(diǎn)M(如圖③)，其他條件不變，找出

圖中與爐相等的線段，并加以證明.

20.把兩個(gè)全等的直角三角板的斜邊重合，組成一個(gè)四邊形ACBD

以〃為頂點(diǎn)作/MDN,交邊亦、BC于欣N.

(1)若/4CD=30°,/MDN=6。°,當(dāng)/MDN繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)

時(shí),4伙的K/V三條線段之間有何種數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；

(2)當(dāng)4CD+/MDN=90°時(shí)，AM、MN、m三條線段之間

有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；

(3)如圖③，在(2)的結(jié)論下，若將以N改在。、%的延長線

上，完成圖3,其余條件不變，則/欣揚(yáng)V、AM之間有何數(shù)量關(guān)

系（直接寫出結(jié)論，不必證明）

21.【問題】

在//BC中，ZACB=90。，點(diǎn)￡在直線山上（B,C除外），分

別經(jīng)過點(diǎn)￡和點(diǎn)8作4月和4?的垂線，兩條垂線交于點(diǎn)凡研

究力￡和用的數(shù)量關(guān)系.

【探究發(fā)現(xiàn)】

某數(shù)學(xué)興趣小組在探究的關(guān)系時(shí)，運(yùn)用“從特殊到一般”

的數(shù)學(xué)思想，他們發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)￡是區(qū)中點(diǎn)時(shí)，只需要取4。邊的

中點(diǎn)G（如圖1）,通過推理證明就可以得到4?和"的數(shù)量關(guān)系，

請你按照這種思路直接寫出力總和用的數(shù)量關(guān)系；

【數(shù)學(xué)思考】

那么點(diǎn)￡在直線夕。上（B,C除外）（其他條件不變），上面得到的

結(jié)論是否仍然成立呢？請你從“點(diǎn)月在線段回上”“點(diǎn)￡在

線段比1的延長線上”“點(diǎn)片在線段區(qū)的反向延長線上”三種

情況中，任選一種情況，在圖2中畫出圖形，并證明你的結(jié)論.

圖2

答案和解析

1.C

解：如圖，連接￡C、DC.

根據(jù)作圖的過程知，

在^EOC與工DOC中，

0E=0D

OC=0C,

CE=CD

△EOC咨工DOC(SSS).

2.A

在△/PR和△/PS中，

???NARP=ZASP=90°,

.?.在Rt△APR^Rt△APS中,

..(AP=AP

'\PR=PS'

??.△APR0AAPS(HL),

■.AS=AR,故①是正確的,

NBAP=ZSAP,

:.ZSAB=/BAP+ZSAP=2ZSAP,

在a/QP中，

AQ=PQ,

:.ZQAP=ZAPQ,

.??/CQP=/QAP+NAPQ=2/QAP=2ZSAP.

PQ//AB,故②是正確的，

RtJ^BRP^RtLCSP^,

只有PR=PS,

不滿足三角形全等的條件，

故③是錯(cuò)誤的.

3.C

證明：vED//BF,

NDEO=/BFO,

???。為初的中點(diǎn)，

?*.DO=BO,

在4￡7)。和4FB。中，

'/DEO=ZBFO

'NEOD=NFOB，

WD=0B

：.^DEO^^FBO(AAS),故選項(xiàng)①正確;

:.DE=BF,

vEF1BD,且。為初中點(diǎn)，即以垂直平分切,

:.BF=DF,

:.DE=DF,選項(xiàng)②正確；

???DE=DF,且。。1EF,

???DB平分/4DF,選項(xiàng)③正確；

4后不一定等于CF,選項(xiàng)④錯(cuò)誤，

則結(jié)論正確的有⑦②③.

4.A

解：如圖，過點(diǎn)￡作￡^1a4,連接用，EC,

???ZEAC+ZEAF=180°,ZEAC+ZEAG=180

:.ZEAG=ZEAF,

vEF1.AB,

ZEFA=ZEGA=90°,

vEA=EA,

EGA=△EFA,

:.EF=EG,AG=AF=3

???AC=10,

:.CG=13,

???D是笈的中點(diǎn)，ED1BC,

:.EB=EC,

Rt△EBF=R，t△ECG9

:.BF=CG=13,

:.AB=BF+AF=16,

5.A

解：

???4=50°,/B=60°,

：.NC=70°,

在△ABC和中，

'NB=ZM

'NC=NE，

<AC=EN

△力BC也△NME(7L4S),

6.D

解：當(dāng)點(diǎn)〃是48的中點(diǎn)時(shí)SMOB最小；

如圖，過點(diǎn)P的另一條直線CD交OE、OF千點(diǎn)、a

D,設(shè)PD<PC,過點(diǎn)A作4G〃。尸交CD千G,

在△業(yè)；和4BPD中，

2G/P=NPBD

?AP=BP,

、4PG=/BPD

:.△APG9kBPD(ASA),

S四邊形AODG=S^AOB?

S四邊形AODG<S&COD,

,,,S&AOB<S&COD，

.??當(dāng)點(diǎn)P是月方的中點(diǎn)時(shí)SMOB最小;

7.D

解：???CF1/D,不一定是NC/B的平分線,

.■.AC^AF,故。昔誤；

如圖，延長成到〃，使HF=DF,連接

???ZBFD=ZCFA,

:.NBFC=ZAFD，

???NBFC=NAFH,

:.ZAFD=ZAFH,

在△ADF與中，

DF=HFZDFA=ZHFAAF=AF,

???△ADF^LAHF,

???AH=AD,ZADF=NH,

???ZACB=90",CE1AD,

:.ZACE=ZADC,

:./BDF=1800-ZADC-ZADF,NCAH=180°-

ZACF-NH,

：.NBDF=NCAH,

:.^ACH=/CAH,

AAH=CH,

vCH=CF+FH=CF+DF,

：.CF+DF=AD,故②正確；

如圖，作交6F的延長線于點(diǎn)〃,

c

D

A-----------TT?B

V

H

VCF1AD,/ACB=90°,

:.NBCH+ZACE=90°,ZACE+ZCAD=90°,

:./BCH=NCAD,

在△4。。與^CHB中，

rZACD=/CHB=90°

'ZCAD=NBCH，

'<AC=BC

:.△ACDQ&CHB(AAS),

ACD=BH,NCDA=NCHB,

vCD=BD,

：.BH=BD,

vZCBA=/HBF=45°,

在^BFH與A8FD中，

(BD=BH

/DBF=NHBF,

BF=BF

???△BFH^LBFD,

：./FHB=NFDB,NBFD=/BFH,

???NBFH=ZCFA,

：.NBFD=ZAFC,/ADC=NBDF,故③正確;

同理BCWBE,/BEDw45°④儂昔誤.

.??正確只有②③正確.

8.C

解：???△力BC是等邊三角形，

：,AB=BC=AC,NABE=ZCAD=NBCF=60°

在△/BE與ABC/中，

(AB=BC

/ABE=/BCF,

BE=CF

同理可證：△/BE會(huì)△CAD；

即ABE^LBCF^LCAD；

同理可證：△/￡＞，/段ZkBEB'之△CFC';

△ABB'BCC'CAAz;

△AB'/名△CA'EABCzD；

&ABF義卜CAE^LBCD.

9.D

10.1或7

設(shè)點(diǎn)刀的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為方秒，則BP=2t,

當(dāng)點(diǎn)〃在線段勿上時(shí)，

???四邊形ABC。為長方形,

:，AB=CD,/B=ZDCE=90°,

止匕時(shí)有△ABP也

BP=CE,即2t=2,解得t=l；

當(dāng)點(diǎn)〃在線段上時(shí)，

??,AB-4,AD=6,

???BC=6,CD=4,

??.+CD+DA=6+4+6=16,

???AP-16—23

此時(shí)有△?格△CDE,

AP=CE=2,即16—2t=2,解得［=7；

綜上，當(dāng)七為1秒或7秒時(shí)，AABP和全等.

11.0或4或8或12

解：①當(dāng)尸在線段比上，AC=BP時(shí)，AACB注APBN,

,:AC=2cm,

:，BP=2cm,

?\CP=6-2=4cm,

.??點(diǎn)夕的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為4+1=4（秒）；

鷗〃在線段夕。上，/C=BN時(shí)，△4CB0△NBP,

這時(shí)BC=PN=6cm,CP=0cm,因此時(shí)間為0秒;

著當(dāng)戶在制上，4C=BP時(shí)一，AACB沁PBN,

vAC=2cm,

:.BP=2cm,

;CP=2+6=8cm,

點(diǎn)夕的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為8+1=8（秒）；

色尸在制上，4C=NB時(shí)XACB支NBP,

vBC=6cm,

BP=6cm,

二CP=6+6=12cm,

點(diǎn)夕的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為12+1=12（秒），

12.6

解：分三種情況找點(diǎn),

①公共邊是4。，符合條件的是△AC%;

②^共邊是優(yōu)；符合條件的是△48C,LA2BC,△&BC；

③公共邊是48符合條件的是△ABC"ABC5.

13.AC=AB+2BE

解：延長交笈于點(diǎn)〃延長龍交4月于點(diǎn)E

???/BAE=ZCAE,

:./I=Z2,

vBE1AE,

:.ZAEB=ZAEF=90°,

在a/EB和中

21=Z2

'AE=AE,

、/AEB=ZAEF

AEB=△AEF,

AAB=AF,-3=4,BE=EF,

:.BF=2BE,

???2=^5+/C,

與=%+/C,

:.ZABC=與+4

:.ZABC=^5+NC+^5=2^5+/C=3/C,

???^5=NC，

??.CF=BF=2BE,

???AC-AF=FC,

：.AC-AB=2BE.

:.AC=AB+2BE.

14.4或6

解：設(shè)經(jīng)過x秒后，使△8PD與△CQP全等，

???A8=/C=24厘米，點(diǎn)〃為4?的中點(diǎn)，

:.BD=12厘米，

???ZABC=NACB,

要使△BPD與人CQP全等，必須BD=CP或BP=CP,

即12=16—4%或4%=16—4%,

解得：x=1或％=2,

%=1時(shí)，BP=CQ=4,4+1=4；

%=2時(shí)，BD=CQ=12,12+2=6；

即點(diǎn)0的運(yùn)動(dòng)速度是4或6.

15.7或8或高

解：分為三種情況：物口圖1,尸在〃'上，。在a1上,

???PE1I,QF1I,

:./PEC=NQFC=90°,

???ZACB=90°,

:.NEPC+/PCE=90°,/PCE+NQCF=90°,

A/EPC=NQCF,

則^PCE當(dāng)工CQF,

：.PC=CQ,

即8-2t=15-3t,

則t=7；

v2t<8,

???t<4,

P在〃1上，0在a1上（不存在）；

圖2

?.?由協(xié)1：PC=CQ,

**?2t—8—31—15,

???t=7；（符合題意）

第P、0都在比上時(shí)，如圖3,

CP=2t-8=15—33

則”小

@當(dāng)0到4點(diǎn)停止，

月在a'上時(shí)，AC=PC,21—8=8時(shí),

解得t=8；

產(chǎn)和。都在/C上的情況不存在；

解：所在線段4。上，

???在CDF中，

AD=CD,4=/DCF,AE=CF

.-.△XDF^ACDF,(S/S),

.?.同理^CDE2BDF,

四邊形四平面積是△ABC面積的一半,

???CE=1,.?.”=4-1=3,

△CEF的面積=2.CF=也

△DEF的面積=|x2V2x2V2一I=1.

②E，在延長線上，

vAEz=CF',AC=BC=4,NACB=90°,

:.CEf=BF',ZACD=NCBD=450,CD=AD=BD=242,

:./DCE'=/DBF'=135°,

???在△CDE'和^BDF'中，CD=BD,/DCE'=/DBF',CE'

=BF',

CDEz之△BDF，,(S/S)

z

ADE=DF',/CDE'=NBDF，，

???NCDE'+NBDE'=90°,

:./BDE'+/BDF'=90°,ZE7DFf=90°,

vDEz2=CE72+CD2-2CD-CE7cosl35°=1+8+2x

2V2x—=13,

2

■Sz—1DE72=—

,,dAEzDF~2~2,

17.3

解：如圖所示，作/91DC,交〃C延長線于E作CG1BE,交

BE于G,

???/CDE=/==90°

NCGE=90°,

CDEG是矩形，

:.EG=CD=2,DC11BE,

:.BG=5—2=3,

???DC〃8E（已證），

:.NCBG=/FCB,

???AC1BC,

ZFCB+ZACF=90°,

???/CBG+/BCG=90°,

AZACF=/BCG,

???ZCGB=NAFC=90

AC=BC,

AFC義kBGC,

AF=BG=3,

11

S^ADC=-DC-AF=IX2X3=3.

18.解：(1)過〃作交AB于點(diǎn)、E,如圖/

①'

???AD為的平分線，DC1AC,DE1AB,BDC

圖①

:"DE=DC,

在Rt△ACD和Rt△/￡■￡)中，

3D=AD

Rt△ACD^Rt△AED(HL),

AC=AE,ZACB=ZAED,

???NACB=2NB,

/AED=2/B,

又???ZAED=/B+/EDB,

:.NB=/EDB,

:*BE=DE=DC,

則/B=BE+AE=CD+AC；

(2)/B=CD+AC,理由：

在上截取/G=/C,如圖②，

為/B4C的平分線，

:./GAD=ZCAD,

(AG=AC

在△/DG和△ADC中，44D,

AD=AD

：.LADG^LADC(SAS'),

ACD=CG,ZAGD=ZACB,

VZACB=2NB,

：.ZAGD=2NB,

又???ZAGD=4+/GDB,

:.NB=NGDB,

:.BE=DG=DC,

則/B=BG+AG=CD+AC；

(3)/B=CD-AC,理由：

在47上截取/G=4C,如圖③，

???/。為4力。的平分線，

:，/GAD=ZCAD,

圖③

(AG=AC

在△/DG和△/CD中，ZGAD=ZCAD,

AD=AD

：.LADG^LACD[SAS'),

???CD=GD,ZAGD=ZACD,即/4C8NFGD，

???NACB=2NB,

:.ZFGD=2NB,

又???/FGD=^B+/GDB,

:./B=/GDB,

:.BG=DG=DC,

則=BG-AG=CD-AC.

19.(1)證明：???BE1/P,CFLAP,

AZAEB=ZCFA=90°,

???ZBAC=90°,

:.ZBAE=ZCAF,

在△B/E和△C/F中，

'/BAE=ZCAF

'ZAEB=ZCFA'

<AB=AC

BAE=^,CAF,

:.CF=AE,AF=BE,

ACF=BE+EF-,

(2)當(dāng)點(diǎn)尸在線段加7上時(shí)，圖形如圖②所示:

CF=BE-EF,

證明：由(1)得，

:.CF=AE,AF=BE,

:.CF=BE-EF；

(3)CP=AM.

理由如下：?.?48=/C,點(diǎn)〃是用的中點(diǎn)，

BD=DC,AD±BC,

???CF1AP,AD1BC,

:.ZPAD=NPCF,

在4石/時(shí)和^FCP中，

fZEAM=ZFCP

-AE=CF,

^AEM=ZCFP

：.^EAM^^FCP,

ACP=AM.

證明：延長力到E,使BE=AM,

vZA=NCBD=90°,

4=NEBD=90°,

在^ZZ4M和^DBE中

iAM=BE

ZA=NDBE,

AD=BD

四△QBE,

:./BDE=ZMDA,DM=DE,

V/MDN=ZADC=60°,

:./ADM=/NDC,

???/BDE=/NDC,

/MDN=NNDE,

在^"。'和4￡DN中

(DM=DE

/MDN=/NDE,

DN=DN

MDN"AEDN,

:.MN=NE,

vNE=BE+BN=AM+BN,

：.AM+BN=MN.

(2)4M+BN=MN,

證明：延長或到