小學(xué)奧數(shù)基本公式

小學(xué)奧數(shù)基本公式

一、數(shù)學(xué)公式

1、【等差數(shù)列的基本公式】

項(xiàng)數(shù)（n）=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）?公差+1

首項(xiàng)（為）二末項(xiàng)一公差X（項(xiàng)數(shù)一1）

末項(xiàng)（a?）:首項(xiàng)+公差X（項(xiàng)數(shù)一1）

和（s）=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）X項(xiàng)數(shù)?2

奇數(shù)項(xiàng)等差數(shù)列的和=中間項(xiàng)X項(xiàng)數(shù)

2、【數(shù)線段條數(shù)的公式】

⑴、若線段AB上有m個(gè)基本線段（首尾相連的線段），貝UAB上

共有線段的條數(shù)

S=m+（m—1）+（m—2）+...+3+2+1

（2）、若線段AB上共有n個(gè)分點(diǎn)（不包括A、B端點(diǎn)），貝寸AB線

段上共有的線段條數(shù)S,計(jì)算的公式是：

S=（n+1）+n+（n_1）+…+3+2+1

_（n+l）（n+2）

2

例如，求下圖（圖1.22）中所有線段的條數(shù)。

A,F1???白，R

圖1.22

解在線段AB上，共有五個(gè)分點(diǎn)。根據(jù)數(shù)線條數(shù)的公式，得

S=（5+1）+5+4+3+2+1

（5+l）X（5+2）

=21（答略）

2

注意：這一公式，還可以用來數(shù)形如圖1.23的三角形個(gè)數(shù)。

A

在這個(gè)圖形中，因?yàn)榈走匓C上有4個(gè)分點(diǎn)，可依據(jù)數(shù)線段

條數(shù)的計(jì)算公式，得三角形的個(gè)數(shù)為

S=(4+%(4+%5(個(gè))。(答略)

3、【數(shù)長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)的公式】

若長(zhǎng)方形的一邊有m個(gè)小格，另一邊有n個(gè)小格，那么這個(gè)圖形

中長(zhǎng)方形的總個(gè)數(shù)S為

S=(m+m-1+m—2+...+3+2+1)X(n+n—1+n-2+....+3+2+1)

_m(m+1)xn3+D

=~"2-2~~

例如，請(qǐng)數(shù)出下圖1.24中共有多少個(gè)不同的長(zhǎng)方形。

解長(zhǎng)方形ABCD長(zhǎng)邊上有6個(gè)小格，寬邊上有4個(gè)小格。根

據(jù)數(shù)長(zhǎng)方形總數(shù)的公式，可得

6X(6+1)4X(4+1)

S=----2----X----1----

=21X10=210（個(gè)）。（答略）

注意：這一公式，還可以用來數(shù)形如圖1.25中的梯形的個(gè)

數(shù)。

圖1.25

顯然，這個(gè)圖形中除了4ADE以外，其余均為大大小小的梯

形。

最大的梯形下底上有五個(gè)小格，腰邊上有4個(gè)小格。利用數(shù)

長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)的計(jì)算公式，可得梯形的總個(gè)數(shù)S為

5X(5+1)4X(4+1)

3=------------------X--------------------

22

=15X10=150(個(gè))o(答略)

4、【數(shù)正方形個(gè)數(shù)的公式】

若一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)被分成了m等份，寬被分成了n(n<m)等份

(長(zhǎng)和寬上的每一份長(zhǎng)度是相等的)，那么這個(gè)長(zhǎng)方形中的正方

形總數(shù)S為：

S=mXnX(m-1)(n-1)+(m-2)(n-2)+...+(m—n+1)X1

?特殊的，當(dāng)一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)被分成n等分時(shí)，則這個(gè)圖形

中正方形的總個(gè)數(shù)S為：

S=I?+(n-川+(n-2尸+…+2?+12

=n(n+l)(2n+l)

6

例1求下圖中正方形的總個(gè)數(shù)（如圖1.26）o

圖1.26

解圖中AB邊上有7個(gè)等分，AD邊上有3個(gè)等份。根據(jù)在

長(zhǎng)方形中數(shù)正方形個(gè)數(shù)的公式，可得：

S=7X3+6X2+5X1

=21+12+5

=38（個(gè)）。（答略）

例2求下圖（圖1.27）中的正方形有多少個(gè)。

圖1.27

解圖形中正方形每邊上有4等分。根據(jù)數(shù)正方形個(gè)數(shù)的計(jì)

算公式，得

S=42+32+22+12

4X（4+l）X（2X4+1）

6

=30（個(gè)）

（答略）

二、數(shù)學(xué)問題

1、【和差問題的公式】

已知兩數(shù)的和與差，要求這兩數(shù)（或其中一個(gè)數(shù)）是多少的應(yīng)用

題。是和差問題。

較大數(shù)=（和+差）+2

較小數(shù)=（和一差）+2

2、【和倍問題的公式】

已知兩個(gè)數(shù)的和及較大數(shù)為較小數(shù)的多少倍（或較小數(shù)是較大數(shù)

的幾分之幾），求這兩個(gè)數(shù)各是多少（或其中一個(gè)數(shù)是多少）的

應(yīng)用題，是“和倍問題”。

小數(shù)=和?。ū稊?shù)-1）

大數(shù)=小數(shù)X倍數(shù)

（大數(shù)=和一小數(shù)）

31差倍問題的公式】

已知兩個(gè)數(shù)的差及較大數(shù)是叫小數(shù)的幾倍（或或較小數(shù)是較大數(shù)

的幾分之幾），求這兩個(gè)數(shù)各是多少（或其中一個(gè)數(shù)是多少）的

應(yīng)用題，是“差倍問題”。

小數(shù)=差小（倍數(shù)一1）

大數(shù)=小數(shù)X倍數(shù)

（大數(shù)=小數(shù)+差）

4、【盈虧問題公式】

（1）、一次有余（盈），一次不夠（虧），可用的公式

分配對(duì)象=（盈+虧）?分配差

⑵、兩次都盈（都有余數(shù)），可用公式

（大盈一小盈）4"分配差=分配對(duì)象

⑶、兩次都虧（都不夠），可用公式

（大虧一小虧）4"分配差=分配對(duì)象

⑷、一次不夠（虧），另一次剛好分完，可用公式

虧4"分配差=分配對(duì)象

⑸一次余（盈），另一次剛好分完，可用公式

盈4"分配差=分配對(duì)象

5、【雞兔的問題公式】

①已知總頭數(shù)和總腳數(shù)，求雞兔各多少只

兔數(shù)=（總腳數(shù)一每只雞的腳數(shù)X總頭數(shù)）。（每只兔的腳數(shù)一

每只雞的腳數(shù)）

雞數(shù)=總頭數(shù)一兔數(shù)

雞數(shù)=（每只兔的腳數(shù)X總頭數(shù)一總腳數(shù)）4-（每只兔的腳數(shù)一

每只雞的腳數(shù)）

兔數(shù)=總頭數(shù)一雞數(shù)

②、得失問題的解法

不合格品數(shù)=（每只合格品的分?jǐn)?shù)X產(chǎn)品總數(shù)一實(shí)得的總分?jǐn)?shù)）

4-（每只合格品得分?jǐn)?shù)+每只不合格品扣分?jǐn)?shù)）

③不合格品數(shù)=總產(chǎn)品數(shù)一（每只合格品扣分?jǐn)?shù)X總產(chǎn)品總數(shù)+

實(shí)得的總分?jǐn)?shù)）-T（每只合格品得分?jǐn)?shù)+每只不合格品扣分?jǐn)?shù)）

6、【植樹問題的公式】

1非封閉線路上的植樹問題主要可分為以下三種情形：

①如果在非封閉線路的兩端都要植樹,那么：

棵數(shù)=段數(shù)+1

棵距=全長(zhǎng)小段數(shù)

總長(zhǎng)=棵距X段數(shù)

株距=全長(zhǎng)子（株數(shù)一1）

⑵如果在非封閉線路的一端要植樹，另一端不要植樹,那么：

棵數(shù)=段數(shù)=全長(zhǎng)+棵距

總長(zhǎng)=棵距X棵樹

棵距=總長(zhǎng)+棵樹

⑶如果在非封閉線路的兩端都不要植樹,那么：

棵數(shù)=段數(shù)一1

總長(zhǎng)=棵距X段數(shù)

2封閉線路上的植樹問題的數(shù)量關(guān)系如下

棵數(shù)=段數(shù)=總長(zhǎng)+棵距距

總長(zhǎng)=棵距X棵數(shù)

棵距=總長(zhǎng)子棵數(shù)

7、【行程問題】

路程=速度X時(shí)間

速度=路程:時(shí)間

時(shí)間=路程4■速度

8、【相遇問題（同時(shí)異地相向運(yùn)動(dòng)）公式】

總路程=速度和X相遇時(shí)間

相遇時(shí)間=總路程:速度和

速度和=總路程4-相遇時(shí)間

9、【追及問題（同時(shí)同向運(yùn)動(dòng)）公式】

路程差=速度差X追及時(shí)間

速度差=路程差?追及時(shí)間

追及時(shí)間=路程差。速度差

10、三人行問題：分三步完成（畫線段圖時(shí)注意中間的一段距離

既是相遇路程，又是追及距離）

1、和較慢的相遇求路程

2、同向追及求時(shí)間

3、和較快的相遇求路程

11、兩次相遇問題（兩人兩次相遇和走3個(gè)全程）

（1）兩次相遇在兩邊

第一次相遇X3—第二次相遇

（2）兩次相遇在同一邊

（第一次相遇X3+第二次相遇）4-2

12、【流水行船問題】

順流速度=靜水速度+水流速度

逆流速度=靜水速度一水流速度

靜水速度=（順?biāo)俣?逆水速度）

水流速度=（順流速度一逆流速度）:2

順?biāo)俣?船速+水速

逆水速度=船速一水速

13、【環(huán)形行程】

既可以是相遇問題，也可以是追擊問題，抓住環(huán)形跑道的周長(zhǎng)為

不變量。

14、【車過橋的問題】

車過橋的時(shí)間=（車長(zhǎng)+橋長(zhǎng)）：車速

橋長(zhǎng)=車速X車過橋的時(shí)間一車長(zhǎng)

車長(zhǎng)=車速X車過橋的時(shí)間一橋長(zhǎng)

15、【牛吃草的問題】

原有草量=牛頭數(shù)X吃的天數(shù)一草速X天數(shù)

草的生長(zhǎng)速度=（牛頭數(shù)X吃的較多天數(shù)一牛頭數(shù)X吃的較少天

數(shù)）4-（較多天數(shù)一較少天數(shù)）

牛頭數(shù)=原有草量:吃的天數(shù)+草速

吃的天數(shù)=原有草量+（牛頭數(shù)一草速）

二、簡(jiǎn)便運(yùn)算：課本P4頁(yè)中間公式(較難打，所以只寫出頁(yè)數(shù))

三、輾轉(zhuǎn)相除法。(自己看書復(fù)習(xí))

四、最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)：

(ab)X[ab]=ab

兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)X這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)二這兩個(gè)數(shù)的乘積

五、包含于排除：

容斥原理1、N=N(A)+N(B)-N(AB)

N(A)=N+N(AB)-N(B)

N(AB)=N-N(A)-N(B)

容斥原理2、N=N(A)+N(B)+N(0)-N(AB)

容斥原理3、N=N(A)+N(B)+N(C)—N(AB)-N(AC)-N(BC)+

N(ABC)

六、長(zhǎng)方體或正方體涂色部分個(gè)數(shù)：

一個(gè)面涂色有(面上)：表面積計(jì)算公式：

【(長(zhǎng)一2)X(寬一2)+(長(zhǎng)一2)X(高一2)+(寬一2)X

(高一2)12

2個(gè)面涂色：在域上(棱長(zhǎng)計(jì)算公式)

【(長(zhǎng)一2)+(寬一2)+(鬲-2)】X4

三個(gè)面涂色部分有：(在頂點(diǎn)上)8個(gè)

不涂色部分：在里面(體積計(jì)算公式)

(長(zhǎng)一2)X(寬一2)X(鬲-2)

七、分?jǐn)?shù)應(yīng)用題：

1、解題關(guān)鍵：找到和數(shù)字對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)

2、求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多或少幾分之幾？

（大數(shù)一小數(shù)）：?jiǎn)挝弧?”的數(shù)

八、面積計(jì)算因注意：

利用三角形中等地等高的關(guān)系

幾何面積

基本思路：

在一些面積的計(jì)算上，不能直接運(yùn)用公式的情況下，一般需要對(duì)圖形進(jìn)行割補(bǔ)，平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、

分解、變形、重疊等，使不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則的圖形進(jìn)行計(jì)算；另外需要掌握和記憶一些常規(guī)的面積規(guī)

律

常用方法：

i.連輔助線方法

2.利用等底等高的兩個(gè)三角形面積相等。

3.大膽假設(shè)（有些點(diǎn)的設(shè)置題目中說的是任意點(diǎn)，解題時(shí)可把任意點(diǎn)設(shè)置在特殊位置上）。

4.利用特殊規(guī)律

①等腰直角三角形，已知任意一條邊都可求出面積。（斜邊的平方除以4等于等腰直角三角形的面積）

②梯形對(duì)角線連線后，兩腰部分面積相等。

③圓的面積占外接正方形面積的78.5%。

立體圖形

名稱圖形特征表面積體積

長(zhǎng)

8個(gè)頂點(diǎn)；6個(gè)面；相對(duì)的面相等；V二abh

方S=2(ab+ah+bh)

12條棱；相對(duì)的棱相等；二Sh

體

正

8個(gè)頂點(diǎn)；6個(gè)面；所有面相等；12

方S=6a2V=a3

條棱；所有棱相等；

體

圓

上下兩底是平行且相等的圓；側(cè)面展S-S側(cè)+2S底

柱V=Sh

開后是長(zhǎng)方形；Sfthj-Ch

體

圓

下底是圓；只有一個(gè)頂點(diǎn)；1:母線，S-S側(cè)+S底

錐

頂點(diǎn)到底圓