直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系講義-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

基礎(chǔ)課45直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系考點(diǎn)考向課標(biāo)要求真題印證考頻熱度核心素養(yǎng)直線與圓的位置關(guān)系理解2023年新高考Ⅰ卷T2023年新高考Ⅱ卷T2023年天津卷T2023年全國甲卷（文）T2023年全國乙卷（理）T2022年新高考Ⅰ卷T2022年新高考Ⅱ卷T★★★直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理圓與圓的位置關(guān)系理解2019年全國Ⅱ卷（理）T★★☆直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理命題分析預(yù)測(cè)從近幾年高考的情況來看，本基礎(chǔ)課內(nèi)容主要集中在直線與圓的位置關(guān)系的綜合問題，在2025屆高考的備考中，要重點(diǎn)關(guān)注圓的幾何性質(zhì)在研究圓錐曲線幾何量中的應(yīng)用，特別是圓的切線問題在研究橢圓、雙曲線幾何性質(zhì)中的應(yīng)用，圓的幾何性質(zhì)與拋物線焦點(diǎn)弦、準(zhǔn)線的結(jié)合，都可能成為命題的熱點(diǎn)一、直線與圓的位置關(guān)系設(shè)圓C:x?a2+y?b2=r2,直線l:Ax+By+C位置關(guān)系相離相切相交圖形量化方程觀點(diǎn)Δ①<Δ②=Δ③>幾何觀點(diǎn)d④>dd⑥<二、圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓O1,O2的半徑為r1,r位置關(guān)系圖形幾何維度方程維度公切線維度外離⑦dΔ<4條外切⑧dΔ=3條相交⑨rΔ>2條內(nèi)切⑩dΔ=1條內(nèi)含?0Δ<0條1.圓的切線方程的常用結(jié)論（1）過圓x2+y2=（2）過圓x?a2+y（3）過圓x2+y2=r2外一點(diǎn)Px0（4）過圓x?a2+y?b2=r22.過圓內(nèi)一點(diǎn)最長的弦是直徑，最短的弦是垂直于這點(diǎn)與圓心連線的弦.3.過兩圓交點(diǎn)的圓系方程過圓C1：x2+y2【注意】當(dāng)λ=?1時(shí)，得方程題組1走出誤區(qū)1.判一判.（對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”）（1）如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和,那么兩圓相交.(×)（2）從兩圓的方程中消掉二次項(xiàng)后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程.(×)（3）過圓O：x2+y2=（4）如果直線與圓組成的方程組有解,那么直線與圓相交或相切.(√)2.（易錯(cuò)題）若過點(diǎn)2,0作圓x2+y2?2x?【易錯(cuò)點(diǎn)】過圓外一點(diǎn)作圓的切線有兩條，忽視斜率不存在的切線這種情況而致誤.[解析]根據(jù)題意，圓x2+y2?2x?6y+9=0，即x?12+y?32=1，其圓心為1,3，半徑r=1.若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x=2，圓心1,3到直線題組2走進(jìn)教材3.（雙空題）（人教A版選修①P103?T20改編）已知圓C：x?12+y?22[解析]直線l的方程可化為l：2x+y?7m+x+y?4=0，聯(lián)立{2x+y?7=0,x+y?4=0,解得{x=3,y=4.（雙空題）（人教A版選修①P103?T18改編）由曲線C：x2+y2=x[解析]如圖所示，當(dāng)y≥?x時(shí)，C：x2+y2=x+y?x?122+y?122=12，設(shè)其圓心為A，易知kOA=1，所以圓A與直線y=?x相切；當(dāng)y≤?x時(shí)，C：x2+y2=x+題組3走向高考5.[2023·新高考Ⅰ卷]若過點(diǎn)0,?2與圓x2+y2?A.1 B.154 C.104 [解析]x2+y2?4x?1=0，即x?22+y2=5，可得圓心C2,0，半徑r=5，如圖，過點(diǎn)P0,?考點(diǎn)一直線與圓的位置關(guān)系［自主練透］1.[2024·海淀模擬改編]已知圓O：x2+y2=a2A.1 B.2 C.3 D.±[解析]在圓O：x2+y2=a2中，圓心O0,2.[2024·柳州?？糫已知圓C：x?12+y?2A.相交 B.相切 C.相離 D.不確定[解析]直線l：m+由x+y?4=0,而當(dāng)x=1,y=3時(shí)，x?12+y3.（多選題）已知圓M：x+cosθ2A.對(duì)任意實(shí)數(shù)k與θ，直線l和圓M相切B.對(duì)任意實(shí)數(shù)k與θ，直線l和圓M有公共點(diǎn)C.對(duì)任意實(shí)數(shù)θ，必存在實(shí)數(shù)k，使得直線l和圓M相切D.對(duì)任意實(shí)數(shù)k，必存在實(shí)數(shù)θ，使得直線l和圓M相切[解析]圓M：x+cosθ2+y所以對(duì)任意實(shí)數(shù)k與θ，直線l和圓M有公共點(diǎn)，故B正確；圓心M?cosθ,sinθ到直線l的距離則對(duì)任意實(shí)數(shù)k，存在θ，使得直線l和圓M的位置關(guān)系是相交或者相切，故D正確，A錯(cuò)誤；當(dāng)θ=0時(shí)，圓M為x+12+y2=1，此時(shí)不存在實(shí)數(shù)4.[2022·新高考Ⅱ卷]設(shè)點(diǎn)A?2,3,B0,a，若直線AB關(guān)于y=a[解析]因?yàn)閗AB=a?32，所以直線AB關(guān)于直線y=a的對(duì)稱直線為判斷直線與圓的位置關(guān)系常見的兩種方法代數(shù)法將直線方程與圓的方程聯(lián)立，消元得到一元二次方程，利用根的判別式：Δ>0?相交；Δ=0幾何法利用圓心到直線的距離d和圓的半徑r的大小關(guān)系：d<r?相交；d考點(diǎn)二圓的弦長、切線問題［多維探究］弦長問題典例1[2024·廣州模擬]寫出經(jīng)過點(diǎn)1,0且被圓x2+y2?2x[解析]圓的方程可化為x?12+y當(dāng)過點(diǎn)1,0的直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為x=1，此時(shí)圓心在直線上，弦長為2r=2，不滿足題意，所以過點(diǎn)即kx?y?k=0，則圓心依題意得2=2r2?d2=21?有關(guān)弦長問題的兩種求法幾何法直線被圓截得的半弦長l2、弦心距d和圓的半徑r構(gòu)成直角三角形,即代數(shù)法聯(lián)立直線方程和圓的方程,消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程,由根與系數(shù)的關(guān)系,即可求得弦長AB=1切線問題典例2（1）[2024·福建模擬]已知直線x+y?2a=0與圓x2+y2A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件[解析]因?yàn)橹本€x+y?2a=0與圓x2+y2=25相交于A，B兩點(diǎn)，所以設(shè)圓心到直線的距離為d，則AB<6等價(jià)于2（2）[2022·新高考Ⅰ卷]寫出與圓x2+y2=1和x?3[解析]由兩圓方程可得，兩圓圓心距d=32+42=因?yàn)閗OC=43,所以kl1=?34所以直線l1的方程為3x由圖可知，直線l2:x=?1,且l聯(lián)立x=?1即直線l2與l3的交點(diǎn)為在l2上取一點(diǎn)?1,0,設(shè)該點(diǎn)關(guān)于直線則y02=43所以直線l3的方程為y=7故與兩圓都相切的一條直線方程是3x+4y?5=求圓的切線方程的兩種方法幾何法設(shè)切線方程為y?y0=kx代數(shù)法設(shè)切線方程為y?y0=【注意】當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，一般采用數(shù)形結(jié)合法.1.[2024·湖南模擬]設(shè)直線x?my?1=0與圓x?12+y?2[解析]由圓的方程x?12+y∵圓心到直線x?my?且AB=23，∴∴m2.[2024·洛陽模擬]已知直線l1：ax?y?2a①直線l1,l2均與圓②直線l1被圓E截得的弦長的最小值為2③直線l2被圓E④若直線l1與圓E交于A，C兩點(diǎn)，l2與圓E交于B，D兩點(diǎn)，則四邊形[解析]如圖，由直線l1：ax?y?2a由直線l2：x+ay?2E：x2+y因?yàn)镻E=2?22+1當(dāng)PE⊥l1時(shí)，直線l1被圓當(dāng)直線l2經(jīng)過圓心E2,?1時(shí)，直線l2當(dāng)a=0時(shí)，l1⊥l2；當(dāng)故直線l1與直線l2恒垂直，圓心E到直線l1圓心E到直線l2的距離d故AC=BD=所以四邊形ABCD的面積S=令t=a2+1因?yàn)閠≥1，所以0<1t≤1，所以當(dāng)1考點(diǎn)三圓與圓的位置關(guān)系［師生共研］典例3已知圓C1：x?a2+y+22A.62 B.32 C.94[解析]由圓C1與圓C2外切,可得a+b2+?2+22=2變式設(shè)問1若將本例條件中的“外切”變?yōu)椤皟?nèi)切”,則ab的最大值為14[解析]由C1與C2內(nèi)切,得a+b2+?2+22變式設(shè)問2若將本例條件中的“外切”變?yōu)椤跋嘟弧?則公共弦所在的直線方程為2a+[解析]由題意把圓C1,圓C圓C1圓C2由②?①得2a+即2a+圓與圓位置關(guān)系問題的解題策略1.判斷兩圓的位置關(guān)系時(shí)常用幾何法,即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系,一般不采用代數(shù)法.2.若兩圓相交,則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2,y1.（多選題）（原創(chuàng)）集合A={x,y|x2+y2=A.2 B.3 C.4 D.5[解析]圓x2+y2=圓x?32+y因?yàn)锳∩B=?所以當(dāng)兩圓相離時(shí)，1+r<13，r<13?1,故A正確；當(dāng)兩圓內(nèi)含時(shí)，r?1>2.（改編）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（約公元前262～公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，著作中有這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k(k>0且k≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓.后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.已知A?2,0,A.相交 B.相離 C.內(nèi)切 D.外切[解析]由條件可知，x+22+y2x?42+y2=3，化簡為x?72+隱形圓問題在直線與圓的綜合考查中，有時(shí)題設(shè)條件并沒有直接給出相關(guān)圓的信息，而是隱含在題目中，要通過分析和轉(zhuǎn)化，發(fā)現(xiàn)圓的方程或圓的定義，從而利用圓的知識(shí)來求解，這類問題常被稱為“隱形圓”問題.此類問題在教材中出現(xiàn)過相關(guān)例題，通過對(duì)教材例題分析與研究，可以拓展總結(jié)為如下的幾種類型：1.已知兩定點(diǎn)A,B，若動(dòng)點(diǎn)P滿足PA=λPB2.已知兩定點(diǎn)A,B，若動(dòng)點(diǎn)P滿足PA?3.已知兩定點(diǎn)A,B，若動(dòng)點(diǎn)P滿足PA2典例如圖，已知兩定點(diǎn)A,B，動(dòng)點(diǎn)P滿足PA=λPB(λ[解析]設(shè)AB=2mm>0,以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線AB為x設(shè)Px,y，則由PA兩邊平方并化簡整理得λ2當(dāng)λ=1時(shí)，x=當(dāng)λ≠1時(shí)，x?λ2+1變式設(shè)問1若將典例中的條件“動(dòng)點(diǎn)P滿足PA=λPB(λ>0且λ[解析]設(shè)AB=2mm>0，以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線AB為x設(shè)Px,y，則PA則由PA?PB=λ,得當(dāng)λ>?m2,即λ>?AB24變式設(shè)問2若將典例中的條件“動(dòng)點(diǎn)P滿足PA=λPB(λ>0且λ[解析]設(shè)AB=2mm>0，以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系（圖略），則A?m,0則由PA2+PB整理得x2當(dāng)λ2>m2，即λ>AB2深度訓(xùn)練1已知O為原點(diǎn)，A2,0，B?1,0[解析]設(shè)Mx,y，由MA=2MO，得故M的軌跡