人教版小學數學四年級下冊奧數培訓教材

第一講植樹問題

(2課時)

【學習導航】

在實際植樹中，我們研究總距離、間隔距離和棵數之間的數量關系，稱為植樹問題。植

樹問題我們一般分為不封閉路線植樹和封閉路線植樹。

1.不封閉路線的植樹問題又可以分為以下三種情況：

(1)如果在植樹的線路兩端都要植樹：

棵數=段數+1

(2)如果植樹線路的一■端植樹，另一■端不植樹；

棵數二段數

(3)如果植樹線路兩端都不植樹：

棵數=段數7

2.在封閉的路線上植數，棵數與段數相等，即：

棵數=段數

注意：這類問題，題中會明確告訴我們每段間隔長是相等的。

段數二總距離+間隔長

總距離二間隔長X段數

間隔長=總距離+段數

例1

城中小學在一條大路邊從頭至尾栽樹28棵，每隔6米栽一棵。這條路長多少米？

【思路導航】題中已知栽樹28棵，且線路兩端都栽了樹，故28棵樹之間有28—1=27段,

每隔6米為一段，所以這條大路長6X27=162米。

試一試

在一條馬路一邊從頭至尾植樹36棵，每相鄰兩棵樹之間隔8米，這長馬路有多長？

例2

在一個周長是240米的游泳池周圍栽樹，每隔5米栽一棵，一共要栽多少棵樹？

【思路導航】這道題是封閉線路上的植樹問題，植樹的棵數和段數相等。240+5=48(棵)

1

試一試

一個魚塘的周長是1500米，沿魚塘周圍每隔6米栽一棵楊樹，需要種多少棵楊樹？

例3

在一座長800米的大橋兩邊掛彩燈，起點和終點都掛，一共掛了202盞，相鄰兩盞之間

的距離都相等。求相鄰兩盞彩燈之間的距離。

【思路導航】大橋兩邊一共掛了202盞彩燈，每邊各掛202+2=101盞，101盞彩燈把800

米長的大橋分成101—1=100段，所以，相鄰兩盞彩燈之間的距離是800:100=8米。

試一試

在一條長100米的大路兩旁各栽一行樹，起點和終點都栽，一共栽52棵，相鄰的兩棵樹

之間的距離相等。求相鄰兩棵樹之間的距離。

例4

一個木工鋸一根19米的木料，他先把一頭損壞部分鋸下來1米，然后鋸了5次，鋸成同

樣長的短木條。每根短木條長多少米？

【思路導航】根據題意，把長19—1=18米的木條鋸了5次，可以鋸成5+1=6段，所以

每根短木條長184-6=3米。

試一試

一個木工鋸一根長17米的木料，他先把一頭損壞的部分鋸下來2米，然后鋸了4次，鋸

成同樣長的短木條，每根短木條長幾米？

例5

有一幢10層的大樓，由于停電電梯停開。某人從1層走到3層需栗30秒，照這樣計算，

他從3層走到10需要多少秒？

【思路導航】把每一層樓所需要的時間看作一個間隔，1層至3層有兩個時間間隔，所

以每個間隔用去的時間是30：(3—1)=15秒，3層到10層經過了10—3=7個時間間隔，所

以，他從3層到10層需栗15X7=105秒。

2

試一試

把6米長的木料平均鋸成3段要6分鐘，照這樣計算，如果鋸成6段，需要多少分鐘？

例6

有一個池塘，它的周長是450米，在池塘四周每隔15米種一棵柳樹，再在兩棵柳樹之間，

間隔相等距離種2棵桃樹，求共種了幾棵桃樹？相鄰的兩棵桃樹相隔多少米？

【思路導航】池塘是封閉線路，所以柳樹的棵樹和段數相等，是450:15=30（段），在

兩棵柳樹之間，間隔相等距離的種2棵桃樹，那么桃樹一共種了2X30=60（棵）。在兩棵柳

樹之間種了2棵桃樹，一共有4棵，4棵樹之間有3個間隔，3個間隔是15米，那么每個間

隔是154-3=5米，也就是相鄰的兩棵桃樹間的距離是5米。

2X（4504-15）=60（棵）

154-（2+2-1）=5（米）

答：一共種了60棵桃樹，相鄰的兩棵桃樹相隔5米。

試一試

有一個圓形草地，它的周長是480米，沿著它的四周，每隔6米種一棵樹，再在兩棵樹

之間，間隔相等距離放5盆茶花，求一共放了多少盆茶花？

練習題

1、同學們做早操，21個同學排成一排，每相鄰兩個同學之間的距離相等，第一個人到最后

一個人的距離是40米，相鄰兩個人隔多少米？

2、一條路長200米，在路的一旁從頭至尾每隔5米植一棵樹，一共栗植多少棵？

3

3、在圓形的水池邊，每隔3米種一棵樹，共種樹60棵，這個水池的周長是多少米？

4、在一塊長80米，寬60米的長方形地的周圍種樹，每隔4米種一棵，一共要種多少棵？

5、一座長400米的大橋兩旁掛彩燈，每兩個相隔4米，從橋頭到橋尾一共裝了多少盞燈？

6、六年級學生參加廣播操比賽，排了5路縱隊，隊伍長20米，相鄰的前后兩排距離均為1

米。六年級有學生多少人？

7、有一根圓鋼長22米，先鋸下2米，剩下的鋸成每根都是4米的小段，又鋸了幾次？

8、有一個工人把長12米的圓鋼鋸成了3米長的小段，鋸斷一次票5分鐘。共需栗多少分鐘？

9、一游人以等速在一條小路上散步，路邊相鄰兩棵樹的距離都相等，他從第一棵樹走到第

10棵樹用了11分鐘，如果這個游人走22分鐘，應走到第幾棵樹？

4

10、時鐘4點敲4下，6秒鐘敲完。那么12點鐘敲12下，多少秒鐘敲完？

11、有一塊三角形草地，三條邊的長度分別為42米、54米、63米，現(xiàn)在在每邊上植樹，棵

距是3米，三個角上都要植一棵，一共需要多少棵樹？

12、某小學五、六年級有學生400人，進行隊列訓練?，F(xiàn)在排成四路縱隊，也就是四個人一

排。已知相鄰兩排之間都相距1米，這支隊伍長多少米？

13、木匠師傅鋸一根長17米的木條，他先鋸下一段壞的部分1米長，然后鋸了7次，鋸成一

樣長的木條。求每段木條長多少米？

14、兩棵樹相隔160米，在其間再等距離的栽上19棵樹后，求第一棵與第十五棵相離是多少

米？

15、有一排電線桿共61根，每相鄰的兩根電線桿之間的距離是20米，現(xiàn)在計劃除兩端2根

電線桿外，其余的全部拆除，重新在中間等距離的豎49根。求相鄰的兩根電線桿之間的距離

是多少米？

16、一條公路長2450米，中間有一條公路橫穿，計劃在這條公路的兩旁各種一行樹，棵距是

3米，兩端都要植1棵樹，中間十字路口的兩棵樹相距50米，一共要植樹多少棵？

5

第二講周期問題

（2課時）

【學習導航】

在日常生活中，有一些現(xiàn)象按照一定的規(guī)律不斷重復出現(xiàn)，例如，人的生肖、每周的七

天等等。我們把這種特殊的規(guī)律性問題稱為周期問題。

解答周期問題的關鍵是找規(guī)律，找出周期。確定周期后，用總量除以周期，如果正好有

整數個周期，結果為周期里的最后一個；如果比整數個周期多n個，那么為下個周期里的第

n個；如果不是從第一個開始循環(huán)，可以從總量里減掉不是循環(huán)的個數后，再繼續(xù)算。

例1

你能找出下面每組圖形的排列規(guī)律嗎？根據發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，算出每組第20個圖形分別是什

么。

（1）

（2）.....

【思路導航】第（1）題排列規(guī)律是“口△”兩個圖形重復出現(xiàn)，204-2=10,即“口△”

重復出現(xiàn)10次，所以第20個圖形是第（2）題的排列規(guī)律是“△”三個圖形重復出

現(xiàn)，20+3=6…2,即“△”重復出現(xiàn)6次后又出現(xiàn)了兩個圖形“□△”，所以第20個圖

形是

試一試

□……第28個圖形是什么？

例2

有一列數，按5、6、2、4、5、6、2、4…排列。（1）第129個數是多少？（2）這129

個數相加的和是多少？

【思路導航】（1）從排列可以看出，這組數是按“5、6、4、2”一個循環(huán)依次重復出現(xiàn)

進行排列，那么一個循環(huán)就是4個數，則129+4=32-1,可知有32個“5、6、4、2”還剩

一個。所以第129個數是5。（2）每組四個數之和是5+6+4+2=17,所以，這129個數相加的

和是17X32+5=549o

試一試

有一列數：1,4,2,8,5,7,1,4,2,8,5,7…

（1）第58個數是多少？（2）這58個數的和是多少？

6

例3

假設所有的自然數排列起來，如下所示39應該排在哪個字母下面？88應該排在哪個字

母下面？

ABCD

1234

5678

9…

【思路導航】從排列情況可以知道，這些自然數是按從小到大4個數一個循環(huán)，我們可

以根據這些數除以4所得的余數來分析。

394-4=9-3884-4=22

所以，39應排在第10個循環(huán)的第三個字母C下面，88應排在第22個循環(huán)的第四個字

母D下面。

試一試

有a、b、c三條直線，從a線開始，從1起依次在三條直線上寫數（如下圖），22、59、

2001各在哪一條線上？

cb

例4

1991年1月1日是星期二，（1）該月的22日是星期幾？該月28日是星期幾？（2）1994

年1月1日是星期幾？

【思路導航】（1）一個星期是7天，因此，7天為一個循環(huán)，這類題在計算天數時，可

以采用“算尾不算頭”的方法。（22—1）：7=3,沒有余數，該月22日仍是星期二；（28—1）

4-7=3-6,從星期三開始（包括星期三）往后數6天，28日是星期一。

（2）1991年、1993年是平年，1992年是閏年，從1991年1月2日到1994年1月1日

共1096天，1096+7=156…4,從星期三開始往后數4天，1994年1月1日是星期六。

試一試

1990年9月22日是星期六，1991年元旦是星期幾？

7

例5

我國農歷用鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬12種動物按順序輪流代

表年號，例如，第一年如果屬鼠年，第二年就屬牛年，第三年就是虎年…。如果公元1年屬

雞年，那么公元2001年屬什么年？

【思路導航】一共有12種動物，因此12為一個循環(huán)，為了便于思考，我們把“狗、豬、

鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞”看作一個循環(huán)，從公元2年到公元2001年共經

歷了2000年（算頭不算尾），20004-12=166-8,從狗年開始往后數8年，公元2001年是蛇

年。

試一試

我國農歷用鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬12種動物按順序輪流代

表年號。

1,如果公元3年屬豬年，那么公元2000年屬什么年？

2,如果公元6年屬虎年，那么公元21世紀的第一個虎年是哪一年？

3,公元2001年屬蛇年，公元2年屬什么年？

練習題

1、盼望祖國早日統(tǒng)一盼望祖國早日統(tǒng)一盼望祖國早日統(tǒng)---第2001個字是什么字？

2、公園門口掛了一排彩燈泡按“二紅三黃四藍”重復排列，第63只燈泡是什么顏色？第112

只呢？

3、小青把積存下來的硬幣按先四個1分，再三個2分，最后兩個5分這樣的順序一直往下排。

（1）他排到第111個是幾分硬幣？（2）這111個硬幣加起來是多少元錢？

8

4、河岸上種了100棵桃樹，第一棵是蟠桃，后面兩棵是水蜜桃，再后面三棵是大青桃。接下

去一直這樣排列。問：第100棵是什么桃樹？三種樹各有多少棵？

5、假設所有自然數如下圖排列起來，36、43、78、2000應分別排在哪個字母下面？

ABCD

1234

8765

9101112

6、2001個學生按下列方法編號排成五列:

-二三四五

12345

9876

10111213

17161514

18192021

問：最后一個學生應該排在第幾列？

7、1989年12月5日是星期二，那么再過10年的12月5日是星期幾？

8、1996年8月1日是星期四，1996年的元旦是星期幾？

9、某部84集的電視連續(xù)劇在某星期日開播，從星期一到星期五以及星期天每天都要播出1

集，星期六停播。問：最后一集在星期幾播出？

10、某個月的星期二的天數比星期一的天數多，星期三的天數比星期四的天數多，那么這個

月的第一個星期天是幾號？

9

第三講用假設法解題

（2課時）

【學習導航】

假設法是一種常用的解題方法?！凹僭O法”就是根據題目中的已知條件或結論作出某種

假設，然后按已知條件進行推算，根據數量上出現(xiàn)的矛盾作適當調整，從而找到正確答案。

運用假設法的思路解應用題，先要根據題意假設未知的兩個量是同一種量，或者假設要

求的兩個未知量相等；其次，要根據所作的假設，注意到數量關系發(fā)生了什么變化并作出適

當的調整。

例1

今有雞、兔共居一籠，已知雞頭和兔頭共35個，雞腳與兔腳共94只。問雞、兔各有多

少只？

【思路導航】雞兔同籠問題往往用假設法來解答，即假設全是雞或全是兔，腳的總數必

然與條件矛盾，根據數量上出現(xiàn)的矛盾適當調整，從而找到正確答案。

假設全是雞，那么相應的腳的總數應是2X35=70只，與實際相比，減少了94—70=24只。

減少的原因是把一只兔當作一只雞時，要減少4—2=2只腳。所以兔有24+2=12只，雞有35

-12=23只。

試一試

雞與兔共有30只，共有腳70只。雞與兔各有多少只？

例2

面值是2元、5元的人民幣共27張，全計99元。面值是2元、5元的人民幣各有多少張？

【思路導航】這道題類似于“雞兔同籠”問題。假設全是面值2元的人民幣，那么27張

人民幣是2X27=54元，與實際相比減少了99—54=45元，減少的原因是每把一張面值2元的

人民幣當作一張面5元的人民幣，要減少5—2=3元，所以，面值是5元的人民幣有45+3=15

張，面值2元的人民幣有27—15=12張。

試一試

孫佳有2分、5分硬幣共40枚，一共是1元7角。兩種硬幣各有多少枚？

10

例3

一批水泥，用小車裝載，要用45輛；用大車裝載，只要36輛。每輛大車比小車多裝4

噸，這批水泥有多少噸？

【思路導航】求出大車每輛各裝多少噸，是解題關鍵。如果用36輛小車來運，則剩4X

36=144噸，需45—36=9輛小車來運，這樣可以求出每輛小車的裝載量是144+9=16噸，所

以，這批水泥共有16X45=720噸。

試一試

一批貨物用大卡車裝栗16輛，如果用小卡車裝要48輛。已知大卡車比小卡車每輛多裝

4噸，問這批貨物有多少噸？

例4

某玻璃杯廠要為商場運送1000個玻璃杯，雙方商定每個運費為1元，如果打碎一個，這

個不但不給運費，而且要賠償3元。結果運到目的地后結算時，玻璃杯廠共得運費920元。

求打碎了幾個玻璃杯？

【思路導航】假設1000個玻璃杯全部運到并完好無損，應得運費1X1000=1000元，實

際上少得1000—920=80元，這說明運輸過程中打碎了玻璃杯。每打碎一個，不但不給運費還

要賠償3元，這樣玻璃杯廠就少收入1+3=4元。又已求出共少收入80元，所以打碎的玻璃

杯數為804-4=20個。

試一試

搬運1000玻璃瓶，規(guī)定安全運到一只可得搬運費3角。但打碎一只，不僅不給搬運費還

要賠5角。如果運完后共得運費260元，那么，搬運中打碎了多少只？

例5

某場乒乓球比賽售出30元、40元、50元的門票共200張，收入7800元。其中40元和

50元的張數相等，每種票各售出多少張？

【思路導航】因為“40元和50元的張數相等“，所以可以把40元和50元的門票都看作

45元的門票，假設這200張門票都是45元的，應收入45X200=9000元，比實際多收入9000

-7800=1200元，這是因為把30元的門票都當作45元來計算了。因此30元的門票有1200

4-(45-30)=80張，40元和50元的門票各有(200-80)+2=60張。

11

試一■試

某場球賽售出40元、30元、50元的門票共400張，收入15600元。其中40元和50元

的張數相等，每種門票各售出多少張？

練習題

1、雞與兔共有20只，共有腳50只。雞與兔各有多少只？

2、雞與兔共有100只，雞腳比兔腳多80只。雞與兔各有多少只？

3、50名同學去劃船，一共乘坐11只船，其中每條大船坐6人，每條小船坐4人。問大船和

小船各幾只？

4、小明參加猜謎比賽，共20道題，規(guī)定猜對一道得5分，猜錯一道倒扣3分（不猜按錯算）。

小明共得60分，他猜對了幾道？

12

5、有一堆黃沙，用大汽車運需運50次，如果用小汽車運，栗運80次。每輛大汽車比小汽車

多運3噸，這堆黃沙有多少噸？

6、一批鋼材，用小車裝，要用35輛，用大車裝只用30輛，每輛小車比大車少裝3噸，這批

鋼材有多少噸？

7、某次數學競賽共20道題，評分標準是每做對一題得5分，每做錯一題倒扣1分。劉亮參

加了這次競賽，得了64分。劉亮做對了多少道題？

8、某校舉行化學競賽共有15道題，規(guī)定每做對一題得10分，每做錯一道或不做倒扣4分。

小華在這次競賽中共得66分，他做對了幾道題？

9、數學測試卷有20道題，做對一題得7分，做錯一題倒扣4分，不做得0分。紅紅得了100

分，她幾道題沒做？

10、有甲、乙、丙三種練習簿，價錢分別為7角、3角和2角，三種練習簿一共買了47本,

付了21元2角。買乙種練習簿的本數是丙種練習簿的2倍，三種練習簿各買了多少本？

13

第四講還原問題

（2課時）

【學習導航】

已知某個數經過加、減、乘、除運算后所得的結果，要求原數，這類問題叫做還原問題,

還原問題又叫逆運算問題。解決這類問題通常運用倒推法。

遇到比較復雜的還原問題，可以借助畫圖和列表從后面往前推來解決這些問題。

例1

小剛的奶奶今年年齡減去7后，縮小9倍，再加上2之后，擴大10倍，恰好是100歲。

小剛的奶奶今年多少歲？

【思路導航】從最后一個條件恰好是100歲向前推算，擴大10倍后是100歲，沒有擴大

10倍之前應是100+10=10歲；加上2之后是10歲，沒有加2之前應是10—2=8歲；沒有縮

小9倍之前應是8X9=72歲；減去7之后是72歲，沒有減去7前應是72+7=79歲。所以，

小剛的奶奶今年是79歲。

試一試

在□里填上適當的數。

20XQ4-8+16=26

例2

某商場出售洗衣機，上午售出總數的一半多10臺，下午售出剩下的一半多20臺，還剩

95臺。這個商場原來有洗衣機多少臺？

【思路導航】從“下午售出剩下的一半還多20臺”和“還剩95臺”向前倒推，從圖中

可以看出，剩下的95臺和下午多賣的20臺合起來，即95+20=115臺正好是上午售后剩下的

一半，那么115X2=230臺就是上午售出后剩下的臺數。而230臺和10臺合起來，即230+

10=240臺又正好是總數的一半。那么，240X2=480臺就是原有洗衣機的臺數。

試一試

糧庫內有一批大米，第一次運出總數的一半多3噸，第二次運出剩下的一半多5噸，還

剩下4噸。糧庫原有大米多少噸？

14

例3

小明、小強和小勇三個人共有故事書60本。如果小強向小明借3本后，又借給小勇5本，

結果三個人有的故事書的本數正好相等。這三個人原來各有故事書多少本？

【思路導航】不管這三個人如何借來借去，故事書的總本數是60本，根據結果三個人故

事書本數相同，可以求最后三個人每人都有故事書603=20本。如果小強不借給小勇5本，

那么小強有20+5=25本，小勇有20—5=15本；如果小強不向小明借3本，那么小強有25—

3=22本,小明有20+3=23本。

試一試

甲、乙、丙三個小朋友共有賀年卡90張。如果甲給乙3張后，乙又送給丙5張，那么三

個人的賀年卡張數剛好相同。問三人原來各有賀年卡多少張？

例4

甲乙兩桶油各有若干千克，如果要從甲桶中倒出和乙桶同樣多的油放入乙桶，再從乙桶

倒出和甲桶同樣多的油放入甲桶，這時兩桶油恰好都是36千克。問兩桶油原來各有多少千

克？

【思路導航】如果后來乙桶不倒出和甲桶同樣多的油放入甲桶，甲桶內應有油36?2=18

千克，乙桶應有油36+18=54千克；如果開始不從甲桶倒出和乙桶同樣多的油倒入乙桶，乙

桶原有油應為542=27千克，甲桶原有油18+27=45千克。你會用列表格法來做嗎？

試一試

王亮和李強各有畫片若干張，如果王亮拿出和李強同樣多的畫片送給李強，李強再拿出

和王亮同樣多的畫片給王亮，這時兩個人都有24張。問王亮和李強原來各有畫片多少張？

例5

兩只猴子拿26個桃，甲猴眼急手快，搶先得到，乙看甲猴拿得太多，就搶去一半；甲猴

不服，又從乙猴那兒搶走一半；乙猴不服，甲猴就還給乙猴5個，這時乙猴比甲猴多2個。

問甲猴最初準備拿幾個？

【思路導航】先求出兩只猴現(xiàn)在各拿多少，然后采用倒退法，結合表格，將會更加清晰。

甲猴的桃子數乙猴的桃子數

甲猴還給乙猴5個后，乙猴比甲猴多2個1214

若甲不還給乙5個呢？179

甲猴從乙猴那兒搶走一半179

若甲猴不從乙猴那兒搶走一半呢？818

乙看甲猴拿得太多，就搶去一半818

若乙猴不搶去甲猴的一半1610

15

試一試

學校運來36棵樹苗，小強和小萍兩人爭著去栽。小強先拿了樹苗若干棵，小萍看到小強

拿太多了就搶了10棵，小強不肯，又從小萍那里搶了6棵，這時小強拿的棵數是小萍的2倍。

問最初小強準備拿多少棵？

練習題

1、一個數的3倍加上6,再減去9,最后乘上2,結果得60。這個數是多少？

2、小紅問王老師今年多大年紀，王老師說：''把我的年紀加上9,除以4,減去2,再乘上3,

恰好是30歲?！蓖趵蠋熃衲甓嗌贇q？

3、爸爸買了一些橘子，全家人第一天吃了這些橘子的一半多1個，第二天吃了剩下的一半多

1個，第三天又吃掉了剩下的一半多1個，還剩下1個。爸爸買了多少個橘子？

4、某水果店賣菠蘿，第一次賣掉總數的一半多2個，第二次賣掉了剩下的一半多1個，第三

次賣掉第二次賣后剩下的一半多1個，這時只剩下一外菠蘿。三次共賣得48元，求每個菠蘿

多少元？

16

5、小紅、小麗、小敏三個人各有年歷片若干張。如果小紅給小麗13張，小麗給小敏23張,

小敏給小紅3張，那么他們每人各有40張。原來三個人各有年歷片多少張？

6、甲、乙、丙、丁四個小朋友有彩色玻璃彈子10顆，甲給乙13顆，乙給丙18顆，丙給丁

16顆，四人的個數相等。他們原來各有彈子多少顆？

7、甲、乙、丙三個小朋友各有玻璃球若干個，如果甲按乙現(xiàn)有的玻璃球個數給乙，再按丙現(xiàn)

有的個數給丙之后，乙也按甲、丙現(xiàn)有的個數分別給甲、丙。最后，丙也按同樣的方法給甲、

乙，這時，他們三個人都有32個玻璃球。原來每人各有多少個？

8、書架上分上、中、下三層，共放192本書?，F(xiàn)從上層出與中層同樣多的書放到中層，再從

中層取出與下層同樣多的書放到下層，最后從下層取出與上層剩下的同樣多的書放到上層，

這時三書架所放的書本數相等。這個書架上中下各層原來各放多少本書？

9、李輝和張新各搬60本圖書，李輝搶先拿了若干本，張新看李輝拿了太多，就搶了一半;

李輝不肯，張新就給了他10本。這時李輝比張新多4本。問最初李輝拿了多少本？

10、有甲、乙、丙三個數，從甲數中拿出15加到乙數，再從乙數中拿出18加到丙數，最后

從丙數拿出12加到甲數，這時三個數都是180。問甲、乙、丙三個數原來各是多少？

17

第五講邏輯推理

（2課時）

【學習導航】

解答推理問題常用的方法有：排除法、假設法、反證法。一般可以從以下幾方面考慮：

1,選準突破口，分析時綜合幾個條件進行判斷；

2,根據題中條件，在推理過程中，不斷排除不可能的情況，從而得出要求的結論；

3,對可能出現(xiàn)的情況作出假設，然后再根據條件推理，如果得到的結論和條件不矛盾,

說明假設是正確的；

4,遇到比較復雜的推理問題，可以借助圖表進行分析。

5.列表格解題時，應先將基本條件填寫在表格中，然后再進行假設推理。

例1

有三個小朋友們在談論誰做的好事多。冬冬說：“蘭蘭做的比靜靜多。”蘭蘭說：“冬冬做

的比靜靜多?！膘o靜說：“蘭蘭做的比冬冬少?！边@三位小朋友中，誰做的好事最多？誰做的好

事最少？

【思路導航】我們用“>”來表示每個小朋友之間做好事多少的關系。

蘭蘭〉靜靜冬冬〉靜靜冬冬〉蘭蘭

所以，冬冬〉蘭蘭〉靜靜，冬冬做的好事最多，靜靜做的最少。

試一試

盧剛、丁飛和陳瑜一位是工程師，一位是醫(yī)生，一位是飛行員?，F(xiàn)在只知道：盧剛和醫(yī)

生不同歲；醫(yī)生比丁飛年齡小，陳瑜比飛行員年齡大。問：誰是工程師、誰是醫(yī)生、誰是飛

行員？

例2

有一個正方體，每個面分別寫上漢字：數學奧林匹克。三個人從不同角度觀察的結果如

下圖所示。這個正方體的每個漢字的對面各是什么字？

/克

匹奧數

(2)

【思路導航】如果直接思考某個漢字的對面是什么字比較困難，可以換一種思維方式，

想想某個漢字的對面不是什么字。

從圖（1）可知，“奧”的對面不是“林”、“匹”，從圖（2）可知，“奧”的對面不是“數”、

“學所以，“奧”的對面一定是“克

18

從圖(2)可知，“數”的對面不是“奧”、“學從圖(3)可知，“數”的對面不是“克”、

“林”，所以“數”的對面一定是“匹”，剩下“學”的對面一定是“林

試一試

下面三塊正方體的六個面都是按相同的規(guī)律涂有紅、黃、藍、白、綠、黑六種顏色。請

判斷黃色的對面是什么顏色？白色的對面是什么顏色？紅色的對面是什么顏色？

(A)(B)(C)

例3

甲、乙、丙三個孩子踢球打碎了玻璃，甲說：“是丙打碎的?！币艺f：“我沒有打碎破璃?！?/p>

丙說：“是乙打碎的?！彼麄儺斨杏幸粋€人說了謊話，到底是誰打碎了玻璃？

【思路導航】由題意推出結論，必須符合他們中只有一個人說了謊，推理時可先假設，

看結論和條件是否矛盾。

如果是甲打碎的，那么甲說謊話，乙說的是真話，丙說的是謊話。這樣兩人說的是謊話，

與他們中只有一人說謊相矛盾，所以不是甲打碎的。

如果是乙打碎的，那么甲說的是謊話，乙說的是謊話，丙說的是真話，與他們中只有一

人說謊相矛盾，所以不是乙打碎的。

如果是丙打碎的，那么甲說的是真話，乙說的是真話，而丙說的是謊話。這樣有兩個說

的是真話，符合條件中只有一個人說的是謊話，所以玻璃是丙打碎的。

你有沒有更好的方法？

試一試

已知甲、乙、丙三人中，只有一人會開汽車。甲說：“我會開汽車。”乙說：“我不會開。

丙說：“甲不會開汽車?！比绻酥兄挥幸蝗酥v的是真話，那么誰會開汽車？

例4

甲、乙、丙、丁四個人同時參加數學競賽。賽后：甲說：“丙是第一名，我是第三名?！?/p>

乙說：“我是第一名，丁是第四名?！北f：“丁是第二名，我是第三名?！倍]有說話。成績

19

揭曉時，大家發(fā)現(xiàn)甲、乙、丙三個人各說對了一半。你能說出他們的名次嗎？

【思路導航】推理時，必須以“他們都只說對了一半”為前提。為了幫助分析，我們先

將基本條件填寫在表格中，然后利用假設法進行分析。

從甲的觀點開始分析：假設丙是第一名是正確的，則甲是第三名就是錯誤的，由此我們

可以得出如下圖表：

試一試

甲、乙、丙、丁四個人進行游泳比賽，賽前名次眾說不一。有的說：“甲是第二名，丁是

第三名?！庇械恼f：“甲是第一名，丁是第二名。”有的說：“丙是第二名，丁是第四名?！睂嶋H

上，上面三種說法各說對了一半。甲、乙、丙、丁各是第幾名？

例5

A、B、C、D與小強五個同學一起參加象棋比賽，每兩人都賽一盤，比賽一段時間后統(tǒng)計：

A賽了4盤，B賽了3盤，C賽了2盤，D賽了一盤。問小強已經賽了幾盤？

【思路導航】用五個點表示這5個人，如果某兩個人之間已經進行了比賽，就在表示這

兩個人的點之間畫一條線。現(xiàn)在A賽4盤，所以A應該與其余4個點都連線。B賽了3盤，

由于D只賽了1盤，是和A賽的，所以B應該與C連。（B、A已連線）C已連了2條線，小強

也連了2條線，所以小強已賽了2盤。

小強A

D

CB

試一試

上海、遼寧、北京、山東四個足球隊進行循環(huán)賽，到現(xiàn)在為止，上海隊賽了3場，遼寧

隊賽了2場，山東隊賽了1場。問北京隊賽了幾場？

練習題

1、小李、小徐和小張是同學，大學畢業(yè)后分別當了教師、數學家和工程師。小張年齡比工程

師大；小李和數學家不同歲；數學家比小徐年齡小。誰是教師、誰是數學家、誰是工程師？

2、江波、劉曉、吳萌三個老師，其中一位教語文，一位教數學，一位教英語。已知：江波和

語文老師是鄰居；吳萌和語文老師不是鄰居；吳萌和數學老師是同學。請問：三個老師分別

教什么科目？

3、一個正方體，六個面分別寫上A、B、C、D、E、F,你能根據這個正方體不同的擺法，求

出相對的兩個面的字母是什么嗎？

21

4、五個相同的正方體木塊，按相同的順序在上面寫上數字1—6,把木塊疊成下圖，那么，2

的對面是幾？4的對面是幾？5的對面是幾？

5、某學校為表揚好人好事核實一件事，老師找了A、B、C三個學生。A說：“是B做的。"B

說：“不是我做的。"C說：“不是我做的?！边@三個學生中只有一人說了實話，這件好事是誰

做的？

6、A、B、C、D四個孩子踢球打碎了玻璃。A說：“是C或D打碎的。"B說：“是D打碎的?！?/p>

C說：“我沒有打碎玻璃?！盌說：“不是我打碎的o”他們中只有一個人說了謊，到底是誰打碎

了玻璃？

7、紅、黃、藍、白、紫五種顏色的珠子各一顆，用紙包著放在桌子上一排。甲、乙、丙、丁、

戌五個人猜各包里的珠子的顏色。甲猜：“第二包紫色，第三包黃色?！币也拢骸暗诙{色，

第四包紅色?！北拢骸暗谝话t色，第五包白色?！倍〔拢骸暗谌{色，第四包白色。"戌猜:

“第二包黃色，第五包紫色?！苯Y果每個人都猜對了一半，他們各猜對了哪種顏色的珠子？

22

8、張老師要五個同學給鄱陽湖、洞庭湖、太湖、巢湖和洪澤湖每個湖泊寫上號碼，這五個同

學只認對了一半。他們是這樣回答的：

甲：2是巢湖，3是洞庭湖；

乙：4是鄱陽湖，2是洪澤湖；

丙：1是鄱陽湖，5是太湖；

T:4是太湖，3是洪澤湖；

戌：2是洞庭湖，5是巢湖。請寫出各個號碼所代表的湖泊。

9、明明、冬冬、蘭蘭、靜靜、思思和毛毛六人參加一次會議，見面時每兩個人都要握一次手。

明明已握了5次手，冬冬握了4次手，蘭蘭握了3次手，靜靜握了2次，思思握了1次手。

問毛毛握了幾次手？

10、甲、乙、丙、丁比賽乒乓球，每兩人都要賽一場。結果甲勝了丁，并且甲、乙、丙三人

勝的場數相同。問丁勝了幾場

23

第六講行程問題(一)

(2課時)

【學習導航】

我們把研究路程、速度、時間這三者之間關系的問題稱為行程問題。行程問題主要包括

相遇問題、相背問題和追及問題。這一周我們來學習一些常用的、基本的行程問題。

解答行程問題時，要理清路程、速度和時間之間的關系，緊扣基本數關系“路程=速度

X時間”來思考，對具體問題栗作仔細分析，弄清出發(fā)地點、時間和運動結果。

例1

甲乙兩人分別從相距20千米的兩地同時出發(fā)相向而行，甲每小時走6千米，乙每小時走

4千米。兩人幾小時后相遇？

【思路導航】這是一道相遇問題。所謂相遇問題就是指兩個運動物體以不同的地點作為

出發(fā)地作相向運動的問題。根據題意，出發(fā)時甲乙兩人相距20千米，以后兩人的距離每小時

縮短6+4=10千米，這也是兩人的速度和。所以，求兩人幾小時相遇，就是求20千米里面有

幾個10千米。因此，兩人20：(6+4)=2小時后相遇。

試一試

甲乙兩艘輪船分別從A、B兩港同時出發(fā)相向而行，甲船每小時行駛18千米，乙船每小

時行駛15千米，經過6小時兩船在途中相遇。兩地間的水路長多少千米？

例2

王欣和陸亮兩人同時從相距2000米的兩地相向而行，王欣每分鐘行110米，陸亮每分鐘

行90米。如果一只狗與王欣同時同向而行，每分鐘行500米，遇到陸亮后，立即回頭向王欣

跑去；遇到王欣后再回頭向陸亮跑去。這樣不斷來回，直到王欣和陸亮相遇為止，狗共行了

多少米？

【思路導航】要求狗共行了多少米，一般栗知道狗的速度和狗所行的時間。根據題意可

知，狗的速度是每分鐘行500米，關鍵是要求出狗所行的時間，根據題意可知：狗與主人是

同時行走的，狗不斷來回所行的時間就是王欣和陸亮同時出發(fā)到兩人相遇的時間，即20004-

(110+90)=10分鐘。所以狗共行了500X10=5000米。

試一試

甲乙兩隊學生從相隔18千米的兩地同時出發(fā)相向而行。一個同學騎自行車以每小時15

千米的速度在兩隊之間不停地往返聯(lián)絡。甲隊每小時行5千米，乙隊每小時行4千米。兩隊

相遇時，騎自行車的同學共行多少千米？

24

例3

甲每小時行7千米，乙每小時行5千米，兩人于相隔18千米的兩地同時相背而行，幾小

時后兩人相隔54千米？

【思路導航】這是一道相背問題。所謂相背問題是指兩個運動的物體作背向運動的問題。

在相背問題中，相遇問題的基本數量關系仍然成立，根據題意，甲乙兩人共行的路程應該是

54—18=36千米，而兩人每小時共行7+5=12千米。要求幾小時能行完36千米，就是求36

千米里面有幾個12千米。所以，36:12=3小時。

試一試

甲車每小時行6千米，乙車每小時行5千米，兩車于相隔10千米的兩地同時相背而行，

幾小時后兩人相隔65千米？

例4

甲乙兩人分別從相距24千米的兩地同時向東而行，甲騎自行車每小時行13千米，乙步

行每小時走5千米。幾小時后甲可以追上乙？

【思路導航】這是一道追及問題。根據題意，甲追上乙時，比乙多行了24千米（路程差）。

甲騎自行車每小時行13千米，乙步行每小時走5千米，甲每小時比乙多行13—5=8千米（速

度差），即甲每小時可以追上乙8千米，所以要求追上乙所用的時間，就是求24千米里面有

幾個8千米。因此，24+8=3小時甲可以追上乙。

試一試

甲乙兩人同時從相距36千米的A、B兩城同向而行，乙在前甲在后，甲每小時行15千米，

乙每小時行6千米。幾小時后甲可追上乙？

25

例5

甲、乙兩沿運動場的跑道跑步，甲每分鐘跑290米，乙每分鐘跑270米，跑道一圈長400

米。如果兩人同時從起跑線上同方向跑，那么甲經過多長時間才能第一次追上乙？

【思路導航】這是一道封閉線路上的追及問題。甲和乙同時同地起跑，方向一致。因此，

當甲第一次追上乙時，比乙多跑了一圈，也就是甲與乙的路程差是400米。根據''路程差：

速度差=追及時間”即可求出甲追上乙所需的時間：4004-(290-270)=20分鐘。

試一試

一條環(huán)形跑道長400米，小強每分鐘跑300米，小星每分鐘跑250米，兩人同時同地同

向出發(fā)，經過多長時間小強第一次追上小星？

練習題

1、一輛汽車和一輛摩托車同時分別從相距900千米的甲、乙兩地出發(fā)，汽車每小時行40千

米，摩托車每小時行50千米。8小時后兩車相距多少千米？

2、甲乙兩車分別從相距480千米的A、B兩城同時出發(fā)，相向而行，已知甲車從A城到B城

需6小時，乙車從B城到A城需12小時。兩車出發(fā)后多少小時相遇？

3、A、B兩地相距400千米，甲、乙兩車同時從兩地相對開出，甲車每小時行38千米，乙車

每小時行42千米。一只燕子以每小時50千米的速度和甲車同時出發(fā)向乙車飛去，遇到乙車

又折回向甲車飛去。這樣一直飛下去，燕子飛了多少千米，兩車才能相遇？

26

4、甲、乙兩個車隊同時從相隔330千米的兩地相向而行，甲隊每小時行60千米，乙隊每小

時行50千米。一個人騎摩托車以每小時行80千米的速度在兩車隊中間往返聯(lián)絡，問兩車隊

相遇時，摩托車行駛了多少千米？

5、甲每小時行9千米，乙每小時行7千米，甲從南莊向南行，同時乙從北莊向北行。經過3

小時后，兩人相隔60千米。南北兩莊相距多少千米？

6、東西兩鎮(zhèn)相距20千米，甲、乙兩人分別從兩鎮(zhèn)同時出發(fā)相背而行，甲每小時的路程是乙

的2倍，3小時后兩人相距56千米。兩人的速度各是多少？

7、解放軍某部從營地出發(fā)，以每小時6千米的速度向目的地前進，8小時后部隊有急事，派

通訊員耐?摩托車以每小時54千米的速度前去聯(lián)絡。多長時間后，通訊員能趕上隊伍？

8、小華和小亮的家相距380米，兩人同時從家中出發(fā)，在同一條筆直的路上行走，小華每分

鐘走65米，小亮每分鐘走55米。3分鐘后兩人相距多少米？

9、光明小學有一條長200米的環(huán)形跑道，亮亮和晶晶同時從起跑線起跑。亮亮每秒跑6米,

晶晶每秒跑4米，問：亮亮第一次追上晶晶時兩人各跑了多少米？

10、甲、乙兩人繞周長1000米的環(huán)形廣場競走，已知甲每分鐘走125米，乙的速度是甲的2

倍?，F(xiàn)在甲在乙后面250米，乙追上甲需要多少分鐘？

27