人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)奧數(shù)培訓(xùn)教材

第一講植樹(shù)問(wèn)題

(2課時(shí))

【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】

在實(shí)際植樹(shù)中，我們研究總距離、間隔距離和棵數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，稱(chēng)為植樹(shù)問(wèn)題。植

樹(shù)問(wèn)題我們一般分為不封閉路線(xiàn)植樹(shù)和封閉路線(xiàn)植樹(shù)。

1.不封閉路線(xiàn)的植樹(shù)問(wèn)題又可以分為以下三種情況：

(1)如果在植樹(shù)的線(xiàn)路兩端都要植樹(shù)：

棵數(shù)=段數(shù)+1

(2)如果植樹(shù)線(xiàn)路的一■端植樹(shù)，另一■端不植樹(shù)；

棵數(shù)二段數(shù)

(3)如果植樹(shù)線(xiàn)路兩端都不植樹(shù)：

棵數(shù)=段數(shù)7

2.在封閉的路線(xiàn)上植數(shù)，棵數(shù)與段數(shù)相等，即：

棵數(shù)=段數(shù)

注意：這類(lèi)問(wèn)題，題中會(huì)明確告訴我們每段間隔長(zhǎng)是相等的。

段數(shù)二總距離+間隔長(zhǎng)

總距離二間隔長(zhǎng)X段數(shù)

間隔長(zhǎng)=總距離+段數(shù)

例1

城中小學(xué)在一條大路邊從頭至尾栽樹(shù)28棵，每隔6米栽一棵。這條路長(zhǎng)多少米？

【思路導(dǎo)航】題中已知栽樹(shù)28棵，且線(xiàn)路兩端都栽了樹(shù)，故28棵樹(shù)之間有28—1=27段,

每隔6米為一段，所以這條大路長(zhǎng)6X27=162米。

試一試

在一條馬路一邊從頭至尾植樹(shù)36棵，每相鄰兩棵樹(shù)之間隔8米，這長(zhǎng)馬路有多長(zhǎng)？

例2

在一個(gè)周長(zhǎng)是240米的游泳池周?chē)詷?shù)，每隔5米栽一棵，一共要栽多少棵樹(shù)？

【思路導(dǎo)航】這道題是封閉線(xiàn)路上的植樹(shù)問(wèn)題，植樹(shù)的棵數(shù)和段數(shù)相等。240+5=48(棵)

1

試一試

一個(gè)魚(yú)塘的周長(zhǎng)是1500米，沿魚(yú)塘周?chē)扛?米栽一棵楊樹(shù)，需要種多少棵楊樹(shù)？

例3

在一座長(zhǎng)800米的大橋兩邊掛彩燈，起點(diǎn)和終點(diǎn)都掛，一共掛了202盞，相鄰兩盞之間

的距離都相等。求相鄰兩盞彩燈之間的距離。

【思路導(dǎo)航】大橋兩邊一共掛了202盞彩燈，每邊各掛202+2=101盞，101盞彩燈把800

米長(zhǎng)的大橋分成101—1=100段，所以，相鄰兩盞彩燈之間的距離是800:100=8米。

試一試

在一條長(zhǎng)100米的大路兩旁各栽一行樹(shù)，起點(diǎn)和終點(diǎn)都栽，一共栽52棵，相鄰的兩棵樹(shù)

之間的距離相等。求相鄰兩棵樹(shù)之間的距離。

例4

一個(gè)木工鋸一根19米的木料，他先把一頭損壞部分鋸下來(lái)1米，然后鋸了5次，鋸成同

樣長(zhǎng)的短木條。每根短木條長(zhǎng)多少米？

【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意，把長(zhǎng)19—1=18米的木條鋸了5次，可以鋸成5+1=6段，所以

每根短木條長(zhǎng)184-6=3米。

試一試

一個(gè)木工鋸一根長(zhǎng)17米的木料，他先把一頭損壞的部分鋸下來(lái)2米，然后鋸了4次，鋸

成同樣長(zhǎng)的短木條，每根短木條長(zhǎng)幾米？

例5

有一幢10層的大樓，由于停電電梯停開(kāi)。某人從1層走到3層需栗30秒，照這樣計(jì)算，

他從3層走到10需要多少秒？

【思路導(dǎo)航】把每一層樓所需要的時(shí)間看作一個(gè)間隔，1層至3層有兩個(gè)時(shí)間間隔，所

以每個(gè)間隔用去的時(shí)間是30：(3—1)=15秒，3層到10層經(jīng)過(guò)了10—3=7個(gè)時(shí)間間隔，所

以，他從3層到10層需栗15X7=105秒。

2

試一試

把6米長(zhǎng)的木料平均鋸成3段要6分鐘，照這樣計(jì)算，如果鋸成6段，需要多少分鐘？

例6

有一個(gè)池塘，它的周長(zhǎng)是450米，在池塘四周每隔15米種一棵柳樹(shù)，再在兩棵柳樹(shù)之間，

間隔相等距離種2棵桃樹(shù)，求共種了幾棵桃樹(shù)？相鄰的兩棵桃樹(shù)相隔多少米？

【思路導(dǎo)航】池塘是封閉線(xiàn)路，所以柳樹(shù)的棵樹(shù)和段數(shù)相等，是450:15=30（段），在

兩棵柳樹(shù)之間，間隔相等距離的種2棵桃樹(shù)，那么桃樹(shù)一共種了2X30=60（棵）。在兩棵柳

樹(shù)之間種了2棵桃樹(shù)，一共有4棵，4棵樹(shù)之間有3個(gè)間隔，3個(gè)間隔是15米，那么每個(gè)間

隔是154-3=5米，也就是相鄰的兩棵桃樹(shù)間的距離是5米。

2X（4504-15）=60（棵）

154-（2+2-1）=5（米）

答：一共種了60棵桃樹(shù)，相鄰的兩棵桃樹(shù)相隔5米。

試一試

有一個(gè)圓形草地，它的周長(zhǎng)是480米，沿著它的四周，每隔6米種一棵樹(shù)，再在兩棵樹(shù)

之間，間隔相等距離放5盆茶花，求一共放了多少盆茶花？

練習(xí)題

1、同學(xué)們做早操，21個(gè)同學(xué)排成一排，每相鄰兩個(gè)同學(xué)之間的距離相等，第一個(gè)人到最后

一個(gè)人的距離是40米，相鄰兩個(gè)人隔多少米？

2、一條路長(zhǎng)200米，在路的一旁從頭至尾每隔5米植一棵樹(shù)，一共栗植多少棵？

3

3、在圓形的水池邊，每隔3米種一棵樹(shù)，共種樹(shù)60棵，這個(gè)水池的周長(zhǎng)是多少米？

4、在一塊長(zhǎng)80米，寬60米的長(zhǎng)方形地的周?chē)N樹(shù)，每隔4米種一棵，一共要種多少棵？

5、一座長(zhǎng)400米的大橋兩旁?huà)觳薀?，每?jī)蓚€(gè)相隔4米，從橋頭到橋尾一共裝了多少盞燈？

6、六年級(jí)學(xué)生參加廣播操比賽，排了5路縱隊(duì)，隊(duì)伍長(zhǎng)20米，相鄰的前后兩排距離均為1

米。六年級(jí)有學(xué)生多少人？

7、有一根圓鋼長(zhǎng)22米，先鋸下2米，剩下的鋸成每根都是4米的小段，又鋸了幾次？

8、有一個(gè)工人把長(zhǎng)12米的圓鋼鋸成了3米長(zhǎng)的小段，鋸斷一次票5分鐘。共需栗多少分鐘？

9、一游人以等速在一條小路上散步，路邊相鄰兩棵樹(shù)的距離都相等，他從第一棵樹(shù)走到第

10棵樹(shù)用了11分鐘，如果這個(gè)游人走22分鐘，應(yīng)走到第幾棵樹(shù)？

4

10、時(shí)鐘4點(diǎn)敲4下，6秒鐘敲完。那么12點(diǎn)鐘敲12下，多少秒鐘敲完？

11、有一塊三角形草地，三條邊的長(zhǎng)度分別為42米、54米、63米，現(xiàn)在在每邊上植樹(shù)，棵

距是3米，三個(gè)角上都要植一棵，一共需要多少棵樹(shù)？

12、某小學(xué)五、六年級(jí)有學(xué)生400人，進(jìn)行隊(duì)列訓(xùn)練?，F(xiàn)在排成四路縱隊(duì)，也就是四個(gè)人一

排。已知相鄰兩排之間都相距1米，這支隊(duì)伍長(zhǎng)多少米？

13、木匠師傅鋸一根長(zhǎng)17米的木條，他先鋸下一段壞的部分1米長(zhǎng)，然后鋸了7次，鋸成一

樣長(zhǎng)的木條。求每段木條長(zhǎng)多少米？

14、兩棵樹(shù)相隔160米，在其間再等距離的栽上19棵樹(shù)后，求第一棵與第十五棵相離是多少

米？

15、有一排電線(xiàn)桿共61根，每相鄰的兩根電線(xiàn)桿之間的距離是20米，現(xiàn)在計(jì)劃除兩端2根

電線(xiàn)桿外，其余的全部拆除，重新在中間等距離的豎49根。求相鄰的兩根電線(xiàn)桿之間的距離

是多少米？

16、一條公路長(zhǎng)2450米，中間有一條公路橫穿，計(jì)劃在這條公路的兩旁各種一行樹(shù)，棵距是

3米，兩端都要植1棵樹(shù)，中間十字路口的兩棵樹(shù)相距50米，一共要植樹(shù)多少棵？

5

第二講周期問(wèn)題

（2課時(shí)）

【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】

在日常生活中，有一些現(xiàn)象按照一定的規(guī)律不斷重復(fù)出現(xiàn)，例如，人的生肖、每周的七

天等等。我們把這種特殊的規(guī)律性問(wèn)題稱(chēng)為周期問(wèn)題。

解答周期問(wèn)題的關(guān)鍵是找規(guī)律，找出周期。確定周期后，用總量除以周期，如果正好有

整數(shù)個(gè)周期，結(jié)果為周期里的最后一個(gè)；如果比整數(shù)個(gè)周期多n個(gè)，那么為下個(gè)周期里的第

n個(gè)；如果不是從第一個(gè)開(kāi)始循環(huán)，可以從總量里減掉不是循環(huán)的個(gè)數(shù)后，再繼續(xù)算。

例1

你能找出下面每組圖形的排列規(guī)律嗎？根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，算出每組第20個(gè)圖形分別是什

么。

（1）

（2）.....

【思路導(dǎo)航】第（1）題排列規(guī)律是“口△”兩個(gè)圖形重復(fù)出現(xiàn)，204-2=10,即“口△”

重復(fù)出現(xiàn)10次，所以第20個(gè)圖形是第（2）題的排列規(guī)律是“△”三個(gè)圖形重復(fù)出

現(xiàn)，20+3=6…2,即“△”重復(fù)出現(xiàn)6次后又出現(xiàn)了兩個(gè)圖形“□△”，所以第20個(gè)圖

形是

試一試

□……第28個(gè)圖形是什么？

例2

有一列數(shù)，按5、6、2、4、5、6、2、4…排列。（1）第129個(gè)數(shù)是多少？（2）這129

個(gè)數(shù)相加的和是多少？

【思路導(dǎo)航】（1）從排列可以看出，這組數(shù)是按“5、6、4、2”一個(gè)循環(huán)依次重復(fù)出現(xiàn)

進(jìn)行排列，那么一個(gè)循環(huán)就是4個(gè)數(shù)，則129+4=32-1,可知有32個(gè)“5、6、4、2”還剩

一個(gè)。所以第129個(gè)數(shù)是5。（2）每組四個(gè)數(shù)之和是5+6+4+2=17,所以，這129個(gè)數(shù)相加的

和是17X32+5=549o

試一試

有一列數(shù)：1,4,2,8,5,7,1,4,2,8,5,7…

（1）第58個(gè)數(shù)是多少？（2）這58個(gè)數(shù)的和是多少？

6

例3

假設(shè)所有的自然數(shù)排列起來(lái)，如下所示39應(yīng)該排在哪個(gè)字母下面？88應(yīng)該排在哪個(gè)字

母下面？

ABCD

1234

5678

9…

【思路導(dǎo)航】從排列情況可以知道，這些自然數(shù)是按從小到大4個(gè)數(shù)一個(gè)循環(huán)，我們可

以根據(jù)這些數(shù)除以4所得的余數(shù)來(lái)分析。

394-4=9-3884-4=22

所以，39應(yīng)排在第10個(gè)循環(huán)的第三個(gè)字母C下面，88應(yīng)排在第22個(gè)循環(huán)的第四個(gè)字

母D下面。

試一試

有a、b、c三條直線(xiàn)，從a線(xiàn)開(kāi)始，從1起依次在三條直線(xiàn)上寫(xiě)數(shù)（如下圖），22、59、

2001各在哪一條線(xiàn)上？

cb

例4

1991年1月1日是星期二，（1）該月的22日是星期幾？該月28日是星期幾？（2）1994

年1月1日是星期幾？

【思路導(dǎo)航】（1）一個(gè)星期是7天，因此，7天為一個(gè)循環(huán)，這類(lèi)題在計(jì)算天數(shù)時(shí)，可

以采用“算尾不算頭”的方法。（22—1）：7=3,沒(méi)有余數(shù)，該月22日仍是星期二；（28—1）

4-7=3-6,從星期三開(kāi)始（包括星期三）往后數(shù)6天，28日是星期一。

（2）1991年、1993年是平年，1992年是閏年，從1991年1月2日到1994年1月1日

共1096天，1096+7=156…4,從星期三開(kāi)始往后數(shù)4天，1994年1月1日是星期六。

試一試

1990年9月22日是星期六，1991年元旦是星期幾？

7

例5

我國(guó)農(nóng)歷用鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬12種動(dòng)物按順序輪流代

表年號(hào)，例如，第一年如果屬鼠年，第二年就屬牛年，第三年就是虎年…。如果公元1年屬

雞年，那么公元2001年屬什么年？

【思路導(dǎo)航】一共有12種動(dòng)物，因此12為一個(gè)循環(huán)，為了便于思考，我們把“狗、豬、

鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞”看作一個(gè)循環(huán)，從公元2年到公元2001年共經(jīng)

歷了2000年（算頭不算尾），20004-12=166-8,從狗年開(kāi)始往后數(shù)8年，公元2001年是蛇

年。

試一試

我國(guó)農(nóng)歷用鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬12種動(dòng)物按順序輪流代

表年號(hào)。

1,如果公元3年屬豬年，那么公元2000年屬什么年？

2,如果公元6年屬虎年，那么公元21世紀(jì)的第一個(gè)虎年是哪一年？

3,公元2001年屬蛇年，公元2年屬什么年？

練習(xí)題

1、盼望祖國(guó)早日統(tǒng)一盼望祖國(guó)早日統(tǒng)一盼望祖國(guó)早日統(tǒng)---第2001個(gè)字是什么字？

2、公園門(mén)口掛了一排彩燈泡按“二紅三黃四藍(lán)”重復(fù)排列，第63只燈泡是什么顏色？第112

只呢？

3、小青把積存下來(lái)的硬幣按先四個(gè)1分，再三個(gè)2分，最后兩個(gè)5分這樣的順序一直往下排。

（1）他排到第111個(gè)是幾分硬幣？（2）這111個(gè)硬幣加起來(lái)是多少元錢(qián)？

8

4、河岸上種了100棵桃樹(shù)，第一棵是蟠桃，后面兩棵是水蜜桃，再后面三棵是大青桃。接下

去一直這樣排列。問(wèn)：第100棵是什么桃樹(shù)？三種樹(shù)各有多少棵？

5、假設(shè)所有自然數(shù)如下圖排列起來(lái)，36、43、78、2000應(yīng)分別排在哪個(gè)字母下面？

ABCD

1234

8765

9101112

6、2001個(gè)學(xué)生按下列方法編號(hào)排成五列:

-二三四五

12345

9876

10111213

17161514

18192021

問(wèn)：最后一個(gè)學(xué)生應(yīng)該排在第幾列？

7、1989年12月5日是星期二，那么再過(guò)10年的12月5日是星期幾？

8、1996年8月1日是星期四，1996年的元旦是星期幾？

9、某部84集的電視連續(xù)劇在某星期日開(kāi)播，從星期一到星期五以及星期天每天都要播出1

集，星期六停播。問(wèn)：最后一集在星期幾播出？

10、某個(gè)月的星期二的天數(shù)比星期一的天數(shù)多，星期三的天數(shù)比星期四的天數(shù)多，那么這個(gè)

月的第一個(gè)星期天是幾號(hào)？

9

第三講用假設(shè)法解題

（2課時(shí)）

【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】

假設(shè)法是一種常用的解題方法。“假設(shè)法”就是根據(jù)題目中的已知條件或結(jié)論作出某種

假設(shè)，然后按已知條件進(jìn)行推算，根據(jù)數(shù)量上出現(xiàn)的矛盾作適當(dāng)調(diào)整，從而找到正確答案。

運(yùn)用假設(shè)法的思路解應(yīng)用題，先要根據(jù)題意假設(shè)未知的兩個(gè)量是同一種量，或者假設(shè)要

求的兩個(gè)未知量相等；其次，要根據(jù)所作的假設(shè)，注意到數(shù)量關(guān)系發(fā)生了什么變化并作出適

當(dāng)?shù)恼{(diào)整。

例1

今有雞、兔共居一籠，已知雞頭和兔頭共35個(gè)，雞腳與兔腳共94只。問(wèn)雞、兔各有多

少只？

【思路導(dǎo)航】雞兔同籠問(wèn)題往往用假設(shè)法來(lái)解答，即假設(shè)全是雞或全是兔，腳的總數(shù)必

然與條件矛盾，根據(jù)數(shù)量上出現(xiàn)的矛盾適當(dāng)調(diào)整，從而找到正確答案。

假設(shè)全是雞，那么相應(yīng)的腳的總數(shù)應(yīng)是2X35=70只，與實(shí)際相比，減少了94—70=24只。

減少的原因是把一只兔當(dāng)作一只雞時(shí)，要減少4—2=2只腳。所以兔有24+2=12只，雞有35

-12=23只。

試一試

雞與兔共有30只，共有腳70只。雞與兔各有多少只？

例2

面值是2元、5元的人民幣共27張，全計(jì)99元。面值是2元、5元的人民幣各有多少?gòu)垼?/p>

【思路導(dǎo)航】這道題類(lèi)似于“雞兔同籠”問(wèn)題。假設(shè)全是面值2元的人民幣，那么27張

人民幣是2X27=54元，與實(shí)際相比減少了99—54=45元，減少的原因是每把一張面值2元的

人民幣當(dāng)作一張面5元的人民幣，要減少5—2=3元，所以，面值是5元的人民幣有45+3=15

張，面值2元的人民幣有27—15=12張。

試一試

孫佳有2分、5分硬幣共40枚，一共是1元7角。兩種硬幣各有多少枚？

10

例3

一批水泥，用小車(chē)裝載，要用45輛；用大車(chē)裝載，只要36輛。每輛大車(chē)比小車(chē)多裝4

噸，這批水泥有多少?lài)崳?/p>

【思路導(dǎo)航】求出大車(chē)每輛各裝多少?lài)?，是解題關(guān)鍵。如果用36輛小車(chē)來(lái)運(yùn)，則剩4X

36=144噸，需45—36=9輛小車(chē)來(lái)運(yùn)，這樣可以求出每輛小車(chē)的裝載量是144+9=16噸，所

以，這批水泥共有16X45=720噸。

試一試

一批貨物用大卡車(chē)裝栗16輛，如果用小卡車(chē)裝要48輛。已知大卡車(chē)比小卡車(chē)每輛多裝

4噸，問(wèn)這批貨物有多少?lài)崳?/p>

例4

某玻璃杯廠要為商場(chǎng)運(yùn)送1000個(gè)玻璃杯，雙方商定每個(gè)運(yùn)費(fèi)為1元，如果打碎一個(gè)，這

個(gè)不但不給運(yùn)費(fèi)，而且要賠償3元。結(jié)果運(yùn)到目的地后結(jié)算時(shí)，玻璃杯廠共得運(yùn)費(fèi)920元。

求打碎了幾個(gè)玻璃杯？

【思路導(dǎo)航】假設(shè)1000個(gè)玻璃杯全部運(yùn)到并完好無(wú)損，應(yīng)得運(yùn)費(fèi)1X1000=1000元，實(shí)

際上少得1000—920=80元，這說(shuō)明運(yùn)輸過(guò)程中打碎了玻璃杯。每打碎一個(gè)，不但不給運(yùn)費(fèi)還

要賠償3元，這樣玻璃杯廠就少收入1+3=4元。又已求出共少收入80元，所以打碎的玻璃

杯數(shù)為804-4=20個(gè)。

試一試

搬運(yùn)1000玻璃瓶，規(guī)定安全運(yùn)到一只可得搬運(yùn)費(fèi)3角。但打碎一只，不僅不給搬運(yùn)費(fèi)還

要賠5角。如果運(yùn)完后共得運(yùn)費(fèi)260元，那么，搬運(yùn)中打碎了多少只？

例5

某場(chǎng)乒乓球比賽售出30元、40元、50元的門(mén)票共200張，收入7800元。其中40元和

50元的張數(shù)相等，每種票各售出多少?gòu)垼?/p>

【思路導(dǎo)航】因?yàn)椤?0元和50元的張數(shù)相等“，所以可以把40元和50元的門(mén)票都看作

45元的門(mén)票，假設(shè)這200張門(mén)票都是45元的，應(yīng)收入45X200=9000元，比實(shí)際多收入9000

-7800=1200元，這是因?yàn)榘?0元的門(mén)票都當(dāng)作45元來(lái)計(jì)算了。因此30元的門(mén)票有1200

4-(45-30)=80張，40元和50元的門(mén)票各有(200-80)+2=60張。

11

試一■試

某場(chǎng)球賽售出40元、30元、50元的門(mén)票共400張，收入15600元。其中40元和50元

的張數(shù)相等，每種門(mén)票各售出多少?gòu)垼?/p>

練習(xí)題

1、雞與兔共有20只，共有腳50只。雞與兔各有多少只？

2、雞與兔共有100只，雞腳比兔腳多80只。雞與兔各有多少只？

3、50名同學(xué)去劃船，一共乘坐11只船，其中每條大船坐6人，每條小船坐4人。問(wèn)大船和

小船各幾只？

4、小明參加猜謎比賽，共20道題，規(guī)定猜對(duì)一道得5分，猜錯(cuò)一道倒扣3分（不猜按錯(cuò)算）。

小明共得60分，他猜對(duì)了幾道？

12

5、有一堆黃沙，用大汽車(chē)運(yùn)需運(yùn)50次，如果用小汽車(chē)運(yùn)，栗運(yùn)80次。每輛大汽車(chē)比小汽車(chē)

多運(yùn)3噸，這堆黃沙有多少?lài)崳?/p>

6、一批鋼材，用小車(chē)裝，要用35輛，用大車(chē)裝只用30輛，每輛小車(chē)比大車(chē)少裝3噸，這批

鋼材有多少?lài)崳?/p>

7、某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽共20道題，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)是每做對(duì)一題得5分，每做錯(cuò)一題倒扣1分。劉亮參

加了這次競(jìng)賽，得了64分。劉亮做對(duì)了多少道題？

8、某校舉行化學(xué)競(jìng)賽共有15道題，規(guī)定每做對(duì)一題得10分，每做錯(cuò)一道或不做倒扣4分。

小華在這次競(jìng)賽中共得66分，他做對(duì)了幾道題？

9、數(shù)學(xué)測(cè)試卷有20道題，做對(duì)一題得7分，做錯(cuò)一題倒扣4分，不做得0分。紅紅得了100

分，她幾道題沒(méi)做？

10、有甲、乙、丙三種練習(xí)簿，價(jià)錢(qián)分別為7角、3角和2角，三種練習(xí)簿一共買(mǎi)了47本,

付了21元2角。買(mǎi)乙種練習(xí)簿的本數(shù)是丙種練習(xí)簿的2倍，三種練習(xí)簿各買(mǎi)了多少本？

13

第四講還原問(wèn)題

（2課時(shí)）

【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】

已知某個(gè)數(shù)經(jīng)過(guò)加、減、乘、除運(yùn)算后所得的結(jié)果，要求原數(shù)，這類(lèi)問(wèn)題叫做還原問(wèn)題,

還原問(wèn)題又叫逆運(yùn)算問(wèn)題。解決這類(lèi)問(wèn)題通常運(yùn)用倒推法。

遇到比較復(fù)雜的還原問(wèn)題，可以借助畫(huà)圖和列表從后面往前推來(lái)解決這些問(wèn)題。

例1

小剛的奶奶今年年齡減去7后，縮小9倍，再加上2之后，擴(kuò)大10倍，恰好是100歲。

小剛的奶奶今年多少歲？

【思路導(dǎo)航】從最后一個(gè)條件恰好是100歲向前推算，擴(kuò)大10倍后是100歲，沒(méi)有擴(kuò)大

10倍之前應(yīng)是100+10=10歲；加上2之后是10歲，沒(méi)有加2之前應(yīng)是10—2=8歲；沒(méi)有縮

小9倍之前應(yīng)是8X9=72歲；減去7之后是72歲，沒(méi)有減去7前應(yīng)是72+7=79歲。所以，

小剛的奶奶今年是79歲。

試一試

在□里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。

20XQ4-8+16=26

例2

某商場(chǎng)出售洗衣機(jī)，上午售出總數(shù)的一半多10臺(tái)，下午售出剩下的一半多20臺(tái)，還剩

95臺(tái)。這個(gè)商場(chǎng)原來(lái)有洗衣機(jī)多少臺(tái)？

【思路導(dǎo)航】從“下午售出剩下的一半還多20臺(tái)”和“還剩95臺(tái)”向前倒推，從圖中

可以看出，剩下的95臺(tái)和下午多賣(mài)的20臺(tái)合起來(lái)，即95+20=115臺(tái)正好是上午售后剩下的

一半，那么115X2=230臺(tái)就是上午售出后剩下的臺(tái)數(shù)。而230臺(tái)和10臺(tái)合起來(lái)，即230+

10=240臺(tái)又正好是總數(shù)的一半。那么，240X2=480臺(tái)就是原有洗衣機(jī)的臺(tái)數(shù)。

試一試

糧庫(kù)內(nèi)有一批大米，第一次運(yùn)出總數(shù)的一半多3噸，第二次運(yùn)出剩下的一半多5噸，還

剩下4噸。糧庫(kù)原有大米多少?lài)崳?/p>

14

例3

小明、小強(qiáng)和小勇三個(gè)人共有故事書(shū)60本。如果小強(qiáng)向小明借3本后，又借給小勇5本，

結(jié)果三個(gè)人有的故事書(shū)的本數(shù)正好相等。這三個(gè)人原來(lái)各有故事書(shū)多少本？

【思路導(dǎo)航】不管這三個(gè)人如何借來(lái)借去，故事書(shū)的總本數(shù)是60本，根據(jù)結(jié)果三個(gè)人故

事書(shū)本數(shù)相同，可以求最后三個(gè)人每人都有故事書(shū)603=20本。如果小強(qiáng)不借給小勇5本，

那么小強(qiáng)有20+5=25本，小勇有20—5=15本；如果小強(qiáng)不向小明借3本，那么小強(qiáng)有25—

3=22本,小明有20+3=23本。

試一試

甲、乙、丙三個(gè)小朋友共有賀年卡90張。如果甲給乙3張后，乙又送給丙5張，那么三

個(gè)人的賀年卡張數(shù)剛好相同。問(wèn)三人原來(lái)各有賀年卡多少?gòu)垼?/p>

例4

甲乙兩桶油各有若干千克，如果要從甲桶中倒出和乙桶同樣多的油放入乙桶，再?gòu)囊彝?/p>

倒出和甲桶同樣多的油放入甲桶，這時(shí)兩桶油恰好都是36千克。問(wèn)兩桶油原來(lái)各有多少千

克？

【思路導(dǎo)航】如果后來(lái)乙桶不倒出和甲桶同樣多的油放入甲桶，甲桶內(nèi)應(yīng)有油36?2=18

千克，乙桶應(yīng)有油36+18=54千克；如果開(kāi)始不從甲桶倒出和乙桶同樣多的油倒入乙桶，乙

桶原有油應(yīng)為542=27千克，甲桶原有油18+27=45千克。你會(huì)用列表格法來(lái)做嗎？

試一試

王亮和李強(qiáng)各有畫(huà)片若干張，如果王亮拿出和李強(qiáng)同樣多的畫(huà)片送給李強(qiáng)，李強(qiáng)再拿出

和王亮同樣多的畫(huà)片給王亮，這時(shí)兩個(gè)人都有24張。問(wèn)王亮和李強(qiáng)原來(lái)各有畫(huà)片多少?gòu)垼?/p>

例5

兩只猴子拿26個(gè)桃，甲猴眼急手快，搶先得到，乙看甲猴拿得太多，就搶去一半；甲猴

不服，又從乙猴那兒搶走一半；乙猴不服，甲猴就還給乙猴5個(gè)，這時(shí)乙猴比甲猴多2個(gè)。

問(wèn)甲猴最初準(zhǔn)備拿幾個(gè)？

【思路導(dǎo)航】先求出兩只猴現(xiàn)在各拿多少，然后采用倒退法，結(jié)合表格，將會(huì)更加清晰。

甲猴的桃子數(shù)乙猴的桃子數(shù)

甲猴還給乙猴5個(gè)后，乙猴比甲猴多2個(gè)1214

若甲不還給乙5個(gè)呢？179

甲猴從乙猴那兒搶走一半179

若甲猴不從乙猴那兒搶走一半呢？818

乙看甲猴拿得太多，就搶去一半818

若乙猴不搶去甲猴的一半1610

15

試一試

學(xué)校運(yùn)來(lái)36棵樹(shù)苗，小強(qiáng)和小萍兩人爭(zhēng)著去栽。小強(qiáng)先拿了樹(shù)苗若干棵，小萍看到小強(qiáng)

拿太多了就搶了10棵，小強(qiáng)不肯，又從小萍那里搶了6棵，這時(shí)小強(qiáng)拿的棵數(shù)是小萍的2倍。

問(wèn)最初小強(qiáng)準(zhǔn)備拿多少棵？

練習(xí)題

1、一個(gè)數(shù)的3倍加上6,再減去9,最后乘上2,結(jié)果得60。這個(gè)數(shù)是多少？

2、小紅問(wèn)王老師今年多大年紀(jì)，王老師說(shuō)：''把我的年紀(jì)加上9,除以4,減去2,再乘上3,

恰好是30歲?！蓖趵蠋熃衲甓嗌贇q？

3、爸爸買(mǎi)了一些橘子，全家人第一天吃了這些橘子的一半多1個(gè)，第二天吃了剩下的一半多

1個(gè)，第三天又吃掉了剩下的一半多1個(gè)，還剩下1個(gè)。爸爸買(mǎi)了多少個(gè)橘子？

4、某水果店賣(mài)菠蘿，第一次賣(mài)掉總數(shù)的一半多2個(gè)，第二次賣(mài)掉了剩下的一半多1個(gè)，第三

次賣(mài)掉第二次賣(mài)后剩下的一半多1個(gè)，這時(shí)只剩下一外菠蘿。三次共賣(mài)得48元，求每個(gè)菠蘿

多少元？

16

5、小紅、小麗、小敏三個(gè)人各有年歷片若干張。如果小紅給小麗13張，小麗給小敏23張,

小敏給小紅3張，那么他們每人各有40張。原來(lái)三個(gè)人各有年歷片多少?gòu)垼?/p>

6、甲、乙、丙、丁四個(gè)小朋友有彩色玻璃彈子10顆，甲給乙13顆，乙給丙18顆，丙給丁

16顆，四人的個(gè)數(shù)相等。他們?cè)瓉?lái)各有彈子多少顆？

7、甲、乙、丙三個(gè)小朋友各有玻璃球若干個(gè)，如果甲按乙現(xiàn)有的玻璃球個(gè)數(shù)給乙，再按丙現(xiàn)

有的個(gè)數(shù)給丙之后，乙也按甲、丙現(xiàn)有的個(gè)數(shù)分別給甲、丙。最后，丙也按同樣的方法給甲、

乙，這時(shí)，他們?nèi)齻€(gè)人都有32個(gè)玻璃球。原來(lái)每人各有多少個(gè)？

8、書(shū)架上分上、中、下三層，共放192本書(shū)?，F(xiàn)從上層出與中層同樣多的書(shū)放到中層，再?gòu)?/p>

中層取出與下層同樣多的書(shū)放到下層，最后從下層取出與上層剩下的同樣多的書(shū)放到上層，

這時(shí)三書(shū)架所放的書(shū)本數(shù)相等。這個(gè)書(shū)架上中下各層原來(lái)各放多少本書(shū)？

9、李輝和張新各搬60本圖書(shū)，李輝搶先拿了若干本，張新看李輝拿了太多，就搶了一半;

李輝不肯，張新就給了他10本。這時(shí)李輝比張新多4本。問(wèn)最初李輝拿了多少本？

10、有甲、乙、丙三個(gè)數(shù)，從甲數(shù)中拿出15加到乙數(shù)，再?gòu)囊覕?shù)中拿出18加到丙數(shù)，最后

從丙數(shù)拿出12加到甲數(shù)，這時(shí)三個(gè)數(shù)都是180。問(wèn)甲、乙、丙三個(gè)數(shù)原來(lái)各是多少？

17

第五講邏輯推理

（2課時(shí)）

【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】

解答推理問(wèn)題常用的方法有：排除法、假設(shè)法、反證法。一般可以從以下幾方面考慮：

1,選準(zhǔn)突破口，分析時(shí)綜合幾個(gè)條件進(jìn)行判斷；

2,根據(jù)題中條件，在推理過(guò)程中，不斷排除不可能的情況，從而得出要求的結(jié)論；

3,對(duì)可能出現(xiàn)的情況作出假設(shè)，然后再根據(jù)條件推理，如果得到的結(jié)論和條件不矛盾,

說(shuō)明假設(shè)是正確的；

4,遇到比較復(fù)雜的推理問(wèn)題，可以借助圖表進(jìn)行分析。

5.列表格解題時(shí)，應(yīng)先將基本條件填寫(xiě)在表格中，然后再進(jìn)行假設(shè)推理。

例1

有三個(gè)小朋友們?cè)谡務(wù)撜l(shuí)做的好事多。冬冬說(shuō)：“蘭蘭做的比靜靜多?！碧m蘭說(shuō)：“冬冬做

的比靜靜多?！膘o靜說(shuō)：“蘭蘭做的比冬冬少。”這三位小朋友中，誰(shuí)做的好事最多？誰(shuí)做的好

事最少？

【思路導(dǎo)航】我們用“>”來(lái)表示每個(gè)小朋友之間做好事多少的關(guān)系。

蘭蘭〉靜靜冬冬〉靜靜冬冬〉蘭蘭

所以，冬冬〉蘭蘭〉靜靜，冬冬做的好事最多，靜靜做的最少。

試一試

盧剛、丁飛和陳瑜一位是工程師，一位是醫(yī)生，一位是飛行員。現(xiàn)在只知道：盧剛和醫(yī)

生不同歲；醫(yī)生比丁飛年齡小，陳瑜比飛行員年齡大。問(wèn)：誰(shuí)是工程師、誰(shuí)是醫(yī)生、誰(shuí)是飛

行員？

例2

有一個(gè)正方體，每個(gè)面分別寫(xiě)上漢字：數(shù)學(xué)奧林匹克。三個(gè)人從不同角度觀察的結(jié)果如

下圖所示。這個(gè)正方體的每個(gè)漢字的對(duì)面各是什么字？

/克

匹奧數(shù)

(2)

【思路導(dǎo)航】如果直接思考某個(gè)漢字的對(duì)面是什么字比較困難，可以換一種思維方式，

想想某個(gè)漢字的對(duì)面不是什么字。

從圖（1）可知，“奧”的對(duì)面不是“林”、“匹”，從圖（2）可知，“奧”的對(duì)面不是“數(shù)”、

“學(xué)所以，“奧”的對(duì)面一定是“克

18

從圖(2)可知，“數(shù)”的對(duì)面不是“奧”、“學(xué)從圖(3)可知，“數(shù)”的對(duì)面不是“克”、

“林”，所以“數(shù)”的對(duì)面一定是“匹”，剩下“學(xué)”的對(duì)面一定是“林

試一試

下面三塊正方體的六個(gè)面都是按相同的規(guī)律涂有紅、黃、藍(lán)、白、綠、黑六種顏色。請(qǐng)

判斷黃色的對(duì)面是什么顏色？白色的對(duì)面是什么顏色？紅色的對(duì)面是什么顏色？

(A)(B)(C)

例3

甲、乙、丙三個(gè)孩子踢球打碎了玻璃，甲說(shuō)：“是丙打碎的。”乙說(shuō)：“我沒(méi)有打碎破璃?！?/p>

丙說(shuō)：“是乙打碎的?！彼麄儺?dāng)中有一個(gè)人說(shuō)了謊話(huà)，到底是誰(shuí)打碎了玻璃？

【思路導(dǎo)航】由題意推出結(jié)論，必須符合他們中只有一個(gè)人說(shuō)了謊，推理時(shí)可先假設(shè)，

看結(jié)論和條件是否矛盾。

如果是甲打碎的，那么甲說(shuō)謊話(huà)，乙說(shuō)的是真話(huà)，丙說(shuō)的是謊話(huà)。這樣兩人說(shuō)的是謊話(huà)，

與他們中只有一人說(shuō)謊相矛盾，所以不是甲打碎的。

如果是乙打碎的，那么甲說(shuō)的是謊話(huà)，乙說(shuō)的是謊話(huà)，丙說(shuō)的是真話(huà)，與他們中只有一

人說(shuō)謊相矛盾，所以不是乙打碎的。

如果是丙打碎的，那么甲說(shuō)的是真話(huà)，乙說(shuō)的是真話(huà)，而丙說(shuō)的是謊話(huà)。這樣有兩個(gè)說(shuō)

的是真話(huà)，符合條件中只有一個(gè)人說(shuō)的是謊話(huà)，所以玻璃是丙打碎的。

你有沒(méi)有更好的方法？

試一試

已知甲、乙、丙三人中，只有一人會(huì)開(kāi)汽車(chē)。甲說(shuō)：“我會(huì)開(kāi)汽車(chē)?！币艺f(shuō)：“我不會(huì)開(kāi)。

丙說(shuō)：“甲不會(huì)開(kāi)汽車(chē)?！比绻酥兄挥幸蝗酥v的是真話(huà)，那么誰(shuí)會(huì)開(kāi)汽車(chē)？

例4

甲、乙、丙、丁四個(gè)人同時(shí)參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽。賽后：甲說(shuō)：“丙是第一名，我是第三名。”

乙說(shuō)：“我是第一名，丁是第四名?！北f(shuō)：“丁是第二名，我是第三名?！倍](méi)有說(shuō)話(huà)。成績(jī)

19

揭曉時(shí)，大家發(fā)現(xiàn)甲、乙、丙三個(gè)人各說(shuō)對(duì)了一半。你能說(shuō)出他們的名次嗎？

【思路導(dǎo)航】推理時(shí)，必須以“他們都只說(shuō)對(duì)了一半”為前提。為了幫助分析，我們先

將基本條件填寫(xiě)在表格中，然后利用假設(shè)法進(jìn)行分析。

從甲的觀點(diǎn)開(kāi)始分析：假設(shè)丙是第一名是正確的，則甲是第三名就是錯(cuò)誤的，由此我們

可以得出如下圖表：

試一試

甲、乙、丙、丁四個(gè)人進(jìn)行游泳比賽，賽前名次眾說(shuō)不一。有的說(shuō)：“甲是第二名，丁是

第三名?！庇械恼f(shuō)：“甲是第一名，丁是第二名?！庇械恼f(shuō)：“丙是第二名，丁是第四名?！睂?shí)際

上，上面三種說(shuō)法各說(shuō)對(duì)了一半。甲、乙、丙、丁各是第幾名？

例5

A、B、C、D與小強(qiáng)五個(gè)同學(xué)一起參加象棋比賽，每?jī)扇硕假愐槐P(pán)，比賽一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)：

A賽了4盤(pán)，B賽了3盤(pán)，C賽了2盤(pán)，D賽了一盤(pán)。問(wèn)小強(qiáng)已經(jīng)賽了幾盤(pán)？

【思路導(dǎo)航】用五個(gè)點(diǎn)表示這5個(gè)人，如果某兩個(gè)人之間已經(jīng)進(jìn)行了比賽，就在表示這

兩個(gè)人的點(diǎn)之間畫(huà)一條線(xiàn)?，F(xiàn)在A賽4盤(pán)，所以A應(yīng)該與其余4個(gè)點(diǎn)都連線(xiàn)。B賽了3盤(pán)，

由于D只賽了1盤(pán)，是和A賽的，所以B應(yīng)該與C連。（B、A已連線(xiàn)）C已連了2條線(xiàn)，小強(qiáng)

也連了2條線(xiàn)，所以小強(qiáng)已賽了2盤(pán)。

小強(qiáng)A

D

CB

試一試

上海、遼寧、北京、山東四個(gè)足球隊(duì)進(jìn)行循環(huán)賽，到現(xiàn)在為止，上海隊(duì)賽了3場(chǎng)，遼寧

隊(duì)賽了2場(chǎng)，山東隊(duì)賽了1場(chǎng)。問(wèn)北京隊(duì)賽了幾場(chǎng)？

練習(xí)題

1、小李、小徐和小張是同學(xué)，大學(xué)畢業(yè)后分別當(dāng)了教師、數(shù)學(xué)家和工程師。小張年齡比工程

師大；小李和數(shù)學(xué)家不同歲；數(shù)學(xué)家比小徐年齡小。誰(shuí)是教師、誰(shuí)是數(shù)學(xué)家、誰(shuí)是工程師？

2、江波、劉曉、吳萌三個(gè)老師，其中一位教語(yǔ)文，一位教數(shù)學(xué)，一位教英語(yǔ)。已知：江波和

語(yǔ)文老師是鄰居；吳萌和語(yǔ)文老師不是鄰居；吳萌和數(shù)學(xué)老師是同學(xué)。請(qǐng)問(wèn)：三個(gè)老師分別

教什么科目？

3、一個(gè)正方體，六個(gè)面分別寫(xiě)上A、B、C、D、E、F,你能根據(jù)這個(gè)正方體不同的擺法，求

出相對(duì)的兩個(gè)面的字母是什么嗎？

21

4、五個(gè)相同的正方體木塊，按相同的順序在上面寫(xiě)上數(shù)字1—6,把木塊疊成下圖，那么，2

的對(duì)面是幾？4的對(duì)面是幾？5的對(duì)面是幾？

5、某學(xué)校為表?yè)P(yáng)好人好事核實(shí)一件事，老師找了A、B、C三個(gè)學(xué)生。A說(shuō)：“是B做的。"B

說(shuō)：“不是我做的。"C說(shuō)：“不是我做的。”這三個(gè)學(xué)生中只有一人說(shuō)了實(shí)話(huà)，這件好事是誰(shuí)

做的？

6、A、B、C、D四個(gè)孩子踢球打碎了玻璃。A說(shuō)：“是C或D打碎的。"B說(shuō)：“是D打碎的?！?/p>

C說(shuō)：“我沒(méi)有打碎玻璃。”D說(shuō)：“不是我打碎的o”他們中只有一個(gè)人說(shuō)了謊，到底是誰(shuí)打碎

了玻璃？

7、紅、黃、藍(lán)、白、紫五種顏色的珠子各一顆，用紙包著放在桌子上一排。甲、乙、丙、丁、

戌五個(gè)人猜各包里的珠子的顏色。甲猜：“第二包紫色，第三包黃色?！币也拢骸暗诙{(lán)色，

第四包紅色?！北拢骸暗谝话t色，第五包白色?！倍〔拢骸暗谌{(lán)色，第四包白色。"戌猜:

“第二包黃色，第五包紫色。”結(jié)果每個(gè)人都猜對(duì)了一半，他們各猜對(duì)了哪種顏色的珠子？

22

8、張老師要五個(gè)同學(xué)給鄱陽(yáng)湖、洞庭湖、太湖、巢湖和洪澤湖每個(gè)湖泊寫(xiě)上號(hào)碼，這五個(gè)同

學(xué)只認(rèn)對(duì)了一半。他們是這樣回答的：

甲：2是巢湖，3是洞庭湖；

乙：4是鄱陽(yáng)湖，2是洪澤湖；

丙：1是鄱陽(yáng)湖，5是太湖；

T:4是太湖，3是洪澤湖；

戌：2是洞庭湖，5是巢湖。請(qǐng)寫(xiě)出各個(gè)號(hào)碼所代表的湖泊。

9、明明、冬冬、蘭蘭、靜靜、思思和毛毛六人參加一次會(huì)議，見(jiàn)面時(shí)每?jī)蓚€(gè)人都要握一次手。

明明已握了5次手，冬冬握了4次手，蘭蘭握了3次手，靜靜握了2次，思思握了1次手。

問(wèn)毛毛握了幾次手？

10、甲、乙、丙、丁比賽乒乓球，每?jī)扇硕家愐粓?chǎng)。結(jié)果甲勝了丁，并且甲、乙、丙三人

勝的場(chǎng)數(shù)相同。問(wèn)丁勝了幾場(chǎng)

23

第六講行程問(wèn)題(一)

(2課時(shí))

【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】

我們把研究路程、速度、時(shí)間這三者之間關(guān)系的問(wèn)題稱(chēng)為行程問(wèn)題。行程問(wèn)題主要包括

相遇問(wèn)題、相背問(wèn)題和追及問(wèn)題。這一周我們來(lái)學(xué)習(xí)一些常用的、基本的行程問(wèn)題。

解答行程問(wèn)題時(shí)，要理清路程、速度和時(shí)間之間的關(guān)系，緊扣基本數(shù)關(guān)系“路程=速度

X時(shí)間”來(lái)思考，對(duì)具體問(wèn)題栗作仔細(xì)分析，弄清出發(fā)地點(diǎn)、時(shí)間和運(yùn)動(dòng)結(jié)果。

例1

甲乙兩人分別從相距20千米的兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲每小時(shí)走6千米，乙每小時(shí)走

4千米。兩人幾小時(shí)后相遇？

【思路導(dǎo)航】這是一道相遇問(wèn)題。所謂相遇問(wèn)題就是指兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體以不同的地點(diǎn)作為

出發(fā)地作相向運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題。根據(jù)題意，出發(fā)時(shí)甲乙兩人相距20千米，以后兩人的距離每小時(shí)

縮短6+4=10千米，這也是兩人的速度和。所以，求兩人幾小時(shí)相遇，就是求20千米里面有

幾個(gè)10千米。因此，兩人20：(6+4)=2小時(shí)后相遇。

試一試

甲乙兩艘輪船分別從A、B兩港同時(shí)出發(fā)相向而行，甲船每小時(shí)行駛18千米，乙船每小

時(shí)行駛15千米，經(jīng)過(guò)6小時(shí)兩船在途中相遇。兩地間的水路長(zhǎng)多少千米？

例2

王欣和陸亮兩人同時(shí)從相距2000米的兩地相向而行，王欣每分鐘行110米，陸亮每分鐘

行90米。如果一只狗與王欣同時(shí)同向而行，每分鐘行500米，遇到陸亮后，立即回頭向王欣

跑去；遇到王欣后再回頭向陸亮跑去。這樣不斷來(lái)回，直到王欣和陸亮相遇為止，狗共行了

多少米？

【思路導(dǎo)航】要求狗共行了多少米，一般栗知道狗的速度和狗所行的時(shí)間。根據(jù)題意可

知，狗的速度是每分鐘行500米，關(guān)鍵是要求出狗所行的時(shí)間，根據(jù)題意可知：狗與主人是

同時(shí)行走的，狗不斷來(lái)回所行的時(shí)間就是王欣和陸亮同時(shí)出發(fā)到兩人相遇的時(shí)間，即20004-

(110+90)=10分鐘。所以狗共行了500X10=5000米。

試一試

甲乙兩隊(duì)學(xué)生從相隔18千米的兩地同時(shí)出發(fā)相向而行。一個(gè)同學(xué)騎自行車(chē)以每小時(shí)15

千米的速度在兩隊(duì)之間不停地往返聯(lián)絡(luò)。甲隊(duì)每小時(shí)行5千米，乙隊(duì)每小時(shí)行4千米。兩隊(duì)

相遇時(shí)，騎自行車(chē)的同學(xué)共行多少千米？

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例3

甲每小時(shí)行7千米，乙每小時(shí)行5千米，兩人于相隔18千米的兩地同時(shí)相背而行，幾小

時(shí)后兩人相隔54千米？

【思路導(dǎo)航】這是一道相背問(wèn)題。所謂相背問(wèn)題是指兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的物體作背向運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題。

在相背問(wèn)題中，相遇問(wèn)題的基本數(shù)量關(guān)系仍然成立，根據(jù)題意，甲乙兩人共行的路程應(yīng)該是

54—18=36千米，而兩人每小時(shí)共行7+5=12千米。要求幾小時(shí)能行完36千米，就是求36

千米里面有幾個(gè)12千米。所以，36:12=3小時(shí)。

試一試

甲車(chē)每小時(shí)行6千米，乙車(chē)每小時(shí)行5千米，兩車(chē)于相隔10千米的兩地同時(shí)相背而行，

幾小時(shí)后兩人相隔65千米？

例4

甲乙兩人分別從相距24千米的兩地同時(shí)向東而行，甲騎自行車(chē)每小時(shí)行13千米，乙步

行每小時(shí)走5千米。幾小時(shí)后甲可以追上乙？

【思路導(dǎo)航】這是一道追及問(wèn)題。根據(jù)題意，甲追上乙時(shí)，比乙多行了24千米（路程差）。

甲騎自行車(chē)每小時(shí)行13千米，乙步行每小時(shí)走5千米，甲每小時(shí)比乙多行13—5=8千米（速

度差），即甲每小時(shí)可以追上乙8千米，所以要求追上乙所用的時(shí)間，就是求24千米里面有

幾個(gè)8千米。因此，24+8=3小時(shí)甲可以追上乙。

試一試

甲乙兩人同時(shí)從相距36千米的A、B兩城同向而行，乙在前甲在后，甲每小時(shí)行15千米，

乙每小時(shí)行6千米。幾小時(shí)后甲可追上乙？

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例5

甲、乙兩沿運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的跑道跑步，甲每分鐘跑290米，乙每分鐘跑270米，跑道一圈長(zhǎng)400

米。如果兩人同時(shí)從起跑線(xiàn)上同方向跑，那么甲經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間才能第一次追上乙？

【思路導(dǎo)航】這是一道封閉線(xiàn)路上的追及問(wèn)題。甲和乙同時(shí)同地起跑，方向一致。因此，

當(dāng)甲第一次追上乙時(shí)，比乙多跑了一圈，也就是甲與乙的路程差是400米。根據(jù)''路程差：

速度差=追及時(shí)間”即可求出甲追上乙所需的時(shí)間：4004-(290-270)=20分鐘。

試一試

一條環(huán)形跑道長(zhǎng)400米，小強(qiáng)每分鐘跑300米，小星每分鐘跑250米，兩人同時(shí)同地同

向出發(fā)，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間小強(qiáng)第一次追上小星？

練習(xí)題

1、一輛汽車(chē)和一輛摩托車(chē)同時(shí)分別從相距900千米的甲、乙兩地出發(fā)，汽車(chē)每小時(shí)行40千

米，摩托車(chē)每小時(shí)行50千米。8小時(shí)后兩車(chē)相距多少千米？

2、甲乙兩車(chē)分別從相距480千米的A、B兩城同時(shí)出發(fā)，相向而行，已知甲車(chē)從A城到B城

需6小時(shí)，乙車(chē)從B城到A城需12小時(shí)。兩車(chē)出發(fā)后多少小時(shí)相遇？

3、A、B兩地相距400千米，甲、乙兩車(chē)同時(shí)從兩地相對(duì)開(kāi)出，甲車(chē)每小時(shí)行38千米，乙車(chē)

每小時(shí)行42千米。一只燕子以每小時(shí)50千米的速度和甲車(chē)同時(shí)出發(fā)向乙車(chē)飛去，遇到乙車(chē)

又折回向甲車(chē)飛去。這樣一直飛下去，燕子飛了多少千米，兩車(chē)才能相遇？

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4、甲、乙兩個(gè)車(chē)隊(duì)同時(shí)從相隔330千米的兩地相向而行，甲隊(duì)每小時(shí)行60千米，乙隊(duì)每小

時(shí)行50千米。一個(gè)人騎摩托車(chē)以每小時(shí)行80千米的速度在兩車(chē)隊(duì)中間往返聯(lián)絡(luò)，問(wèn)兩車(chē)隊(duì)

相遇時(shí)，摩托車(chē)行駛了多少千米？

5、甲每小時(shí)行9千米，乙每小時(shí)行7千米，甲從南莊向南行，同時(shí)乙從北莊向北行。經(jīng)過(guò)3

小時(shí)后，兩人相隔60千米。南北兩莊相距多少千米？

6、東西兩鎮(zhèn)相距20千米，甲、乙兩人分別從兩鎮(zhèn)同時(shí)出發(fā)相背而行，甲每小時(shí)的路程是乙

的2倍，3小時(shí)后兩人相距56千米。兩人的速度各是多少？

7、解放軍某部從營(yíng)地出發(fā)，以每小時(shí)6千米的速度向目的地前進(jìn)，8小時(shí)后部隊(duì)有急事，派

通訊員耐?摩托車(chē)以每小時(shí)54千米的速度前去聯(lián)絡(luò)。多長(zhǎng)時(shí)間后，通訊員能趕上隊(duì)伍？

8、小華和小亮的家相距380米，兩人同時(shí)從家中出發(fā)，在同一條筆直的路上行走，小華每分

鐘走65米，小亮每分鐘走55米。3分鐘后兩人相距多少米？

9、光明小學(xué)有一條長(zhǎng)200米的環(huán)形跑道，亮亮和晶晶同時(shí)從起跑線(xiàn)起跑。亮亮每秒跑6米,

晶晶每秒跑4米，問(wèn)：亮亮第一次追上晶晶時(shí)兩人各跑了多少米？

10、甲、乙兩人繞周長(zhǎng)1000米的環(huán)形廣場(chǎng)競(jìng)走，已知甲每分鐘走125米，乙的速度是甲的2

倍?，F(xiàn)在甲在乙后面250米，乙追上甲需要多少分鐘？

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