山東省濟(jì)寧市學(xué)而優(yōu)教育咨詢有限公司高中數(shù)學(xué) 1-3-2柱體、錐體、臺(tái)體、球的體積與球的表面積學(xué)案 新人教版必修

山東省濟(jì)寧市學(xué)而優(yōu)教育咨詢有限公司高中數(shù)學(xué)必修二學(xué)案：1-3-2

柱體、錐體、臺(tái)體、球的體積與球的表面積

［學(xué)習(xí)要求］

1.掌握柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式，會(huì)利用它們求有關(guān)幾何體的體積；

2.了解球的表面積與體積公式，并能應(yīng)用它們求球的表面積及體積；

3.會(huì)求簡單組合體的體積及表面積.

［學(xué)法指導(dǎo)］

通過對幾何體的體積及球的體積和面積公式的推導(dǎo)，提高空間思維能力和空間想象能

力，增強(qiáng)探索問題和解決問題的信心.

注意：1.空間幾何體的表面積、體積是高考的熱點(diǎn)，多與三視圖相結(jié)合命題.

2.主要考查由三視圖還原幾何體并求表面積或體積，同時(shí)考查空間想象能力及運(yùn)算能力.題

型多為選擇、填空題.

填一填?知識(shí)要點(diǎn)、記下疑難點(diǎn)

1.柱體、錐體、臺(tái)體的體積

幾何體體積

匕叫=____（S為底面面積，方為高），

柱體

vm=_____（r為底面半徑）

/推體=___（S為底面面積，力為高），

錐體

，砸=________（r為底面半徑）

%體=__________________________

（S',S分別為上、下底面面積，A為高），

臺(tái)體

y圓臺(tái)=_____________________________

（/,r分別為上、下底面半徑）

2.球的體積：球的半徑為此那么它的體積「=.

3.球的表面積：球的半徑為此那么它的表面積5=

一般地，面積是相對平面圖形來說的，對于空間圖形需要研究它們的體積,

問題1我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了正方體、長方體、圓柱、圓錐的體積計(jì)算公式，它們的體積公式如

何表示？

答/正方體=/,P長方體=abc,心柱=”產(chǎn)2,?/?.

問題2根據(jù)正方體、長方體、圓柱的體積公式，推測柱體的體積計(jì)算公式？

答如果設(shè)S為底面面積，方為高，一般柱體的體積公式為入年=S上

問題3等底、等高的圓柱與圓錐之間的體積關(guān)系如何？等底等高的圓錐、棱錐之間的體積

關(guān)系如何？

答從圓柱和圓錐的體積公式，得等底、等高的圓柱的體積是圓錐的3倍；等底等高的圓

錐、棱錐之間的體積相等.

問題4根據(jù)圓錐的體積公式，推測錐體的體積計(jì)算公式？

答，御*=，S/?(S為底面面積，方為高).

問題5臺(tái)體的上底面積S',下底面積S,高力，則臺(tái)體的體積是怎樣的？圓臺(tái)的體積公

式如何用上下底面半徑及高表示？

答匕=:(￡+小，+S4

O

JW=4(S'+y[s^+5)JTA(?+>?).(r、月分別為圓臺(tái)上底、下底半徑)

一、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

幾何體的表面積及體積的計(jì)算是現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常能夠遇到的問題，

在計(jì)算中應(yīng)注意各數(shù)量之間的關(guān)系及各元素之間的位置關(guān)系，特別

是特殊的柱、錐、臺(tái)體，要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重

要的平面圖形的應(yīng)用.

1.己知長方體的過一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長的比是1：2：3,對角線的長是25,則這個(gè)長

方體的體積是（）.

A.6B.12C.24D.48

解析設(shè)長方體的過一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長分別為x、2x、3”,又對角線長為2，逋，

則x+（2A）2+（3x）z=（2V14）2,解得x=2.

.?.三條棱長分別為2、4、6.長方體=2X4X6=48.

答案D

2.直三棱柱ABC—A1B1C1的體積為V,點(diǎn)P、Q分別在側(cè)棱AA1和CC1上如圖,AP=C1Q,則

四棱錐B—APQC的體積為（）

A.V/2B.V/3C.V/4D.V/5

答案：B；解析：取P、Q分別為AAi、CCi的中點(diǎn)，設(shè)矩形AAiSC的面積為S,點(diǎn)B

到底面AAiCiC的距離為h,則k呼=1.；.h=T酬）=1（%.兒時(shí)）=1（網(wǎng)與酎）=?.

32323233

3.正三棱錐的底面邊長為2,側(cè)面均為直角三角形，則此三棱錐的體積為

答案半

O

解析本題考查幾何體體積的求法，易知正三棱錐的側(cè)棱長為則其體積為（（啦）3

—3,

（若一個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相互垂直且側(cè)棱長分別為a、b、c,則其體積為,a6c）.

4.如圖所示，E、尸分別是邊長為1的正方形4?切邊8G切的中點(diǎn)，沿線"；AE,

跖折起來，則所圍成的三棱錐的體積為（）

11

A，3B,6

C±D±

1224

答案D解析設(shè)6、D、C重合于a

5.（2012上海文數(shù)）已知四棱椎P—A8C￡＞的底面是邊長為6的正方形，側(cè)棱PA_L底面

ABCD,且PA=8,則該四棱椎的體積是96。

解析：考查棱錐體積公式丫=,x36x8=96

3

6.（2012?新課標(biāo)）已知三棱錐-Z18C的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，△?（a1是邊長為

1的正三角形，SC為球。的直徑，且SC=2,則此棱鏈的體積為

A亞

O

【解析】是球。的直徑,

：.ZCAS^ZCBS=WQ.

?：BA=BC=AC=1,SC=2,：.AS=BS=y[i.

取四的中點(diǎn)。，顯然4員LG9,ABLCS.

從L平面CDS.

在aWS中，加坐〃S=卑，SC=2,利用余弦定理可得cos/CDS」"累二

/乙/tz〃OZz

1

Q4J2

^sinZCDS=~f=.

733

..隊(duì)「X2%2%疝-2'

=

**-V%_您+VA-CO$

1.1

=鼻?S^CDS?BD~\--S^a）s?AD

0J

=J&c夢?BA

1mJ2

-3XTX1=T-

【答案】A

0

7.（2012江西理數(shù)）如圖，在三棱錐O—ABC中，三條棱OA

OC兩兩垂直，且0A>08>0C,分別經(jīng)過三條棱。4,0B,

一個(gè)截面平分三棱錐的體積，截面面積依次為，，S2,S3,則S-S2,S3的大小關(guān)系

為。

【答案】S3Vs2<R

【解析】考查立體圖形的空間感和數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用能力，通過補(bǔ)形，借助長方體驗(yàn)證

結(jié)論，特殊化，令邊長為1,2,3得邑<52<5。

8.已知高為3的棱柱的底面是邊長為1的正三角形（如圖），則三

棱錐5—4%的體積為（）

11

CV63V43

一

4一B.2D.

解析眸;仍=Jx理X3=羋.答案：D

9.如圖，正方體48c4的棱長為1,E,尸分別為線段44”&C上

的點(diǎn)，則三棱錐〃一&*的體積為.

解析利用三棱錐的體積公式直接求解.

/3=憶必，=/'XD'DEX^|x|x1X1X1=1.

10.（2011山東文數(shù)）如圖，正方體ABC。-4801.的棱長為1,

E為線段BQ上的一點(diǎn)，則三棱錐A-。的的體積為.

【解析】以△ADR為底面，則易知三棱錐的高為1,故V='L-lil=L.【答

326

案】

6

11.如圖所示的三棱錐―/比1的三條側(cè)棱兩兩垂直，且必=1,為=小,

PC=#，求其體積.（一直線和一平面內(nèi)兩相交直線垂直，則直線與平面垂

4

直）

解由題意知必_L陽，PALPC,PBCPC=P,所以為垂直平面小

所以為是三棱錐4一月弘的底面如C上的高，

?1,\/6.

且S^=~?PB?P<7=悌-（z因mPB1P0,

手等,即三棱錐I始的體積為

12.在棱長為a的正方體ABCD-A|B|C1%中，P、Q是對角線A】C上的點(diǎn)，若PQ=］，則三棱

錐P-BDQ的體積為（）

.6a3V336a3n才晶4

A.-----B.---ciC.-----D.不確Til

361824

答案：A

13..四面體的棱長中，有兩條為直及其余全為1時(shí)，它的體積（）

D.以上全不正確

答案：A

14.（2008四川文，12）若三棱柱的一個(gè)側(cè)面是邊長為2的正方形，另外兩個(gè)側(cè)面都是有一

個(gè)內(nèi)角為60°的菱形，則該棱柱的體積等于（B）

(A)VI(B)2>/2(03V2(D)4V2

【解】：如圖在三棱柱ABC-中，設(shè)=NA4|G=600,

由條件有NG=60°，作A。_L面A/iG于點(diǎn)O,

mncosNA41Mcos60°1

則COSZAAO---------=----------==——

cosNgA。cos30V33

sinZAAjO=/.AO=AA^?sinZA4(0=~~~

1)rz

Vjox-.?c=SMRC?AO=—x2x2xsin60°x------=2-\/2故選B

-A23

【點(diǎn)評(píng)】：此題重點(diǎn)考察立體幾何中的最小角定理和柱體體積公式，同時(shí)考察空間想象能力;

【突破】：具有較強(qiáng)的空間想象能力，準(zhǔn)確地畫出圖形是解決此題的前提，熟悉最小角定理

并能準(zhǔn)確應(yīng)用是解決此題的關(guān)鍵;

15.如圖，三棱柱ABC—48'。'中，P為A4'上一點(diǎn)，求V-叱一："，”，，

解法一：設(shè)與B，C，C=S,44倒平面83'OC的距離為h,則心

把三棱柱ABC-4"。接補(bǔ)成以。DCC和8"CC為相

此平行六面體體積為原三棱柱體積的兩倍.

1

1

32

=S/7=

?^ABC-A'R'C=、Sh；.Vp-BB，CC，1-

1S/23

2^ABC-A'B'C-

2

^P-ABC-^P-A'B'C

解法二：VP_BB.C.C

設(shè)SM)C="?，棱柱的高為"，則三棱柱的體積=m-n

12

P-BB'C'C=^ABC-AtB'C~P-ABC~^P-A'B'C'=一Q祖，〃（尸到兩底距.離，和為0="見，

2

??^P-AB'C'C^ABC-A^'C

3

小結(jié)：把三棱柱接補(bǔ)成平行六面體是重要的變換方法，平行六面體的每一個(gè)面都可以當(dāng)作

柱體的底，有利于體積變換.

例設(shè)正六棱錐的底面邊長為1,側(cè)棱長為乖，那么它的體積為（）

A.673B.A/3C.2mD.2

解析因正六棱錐的高為"7=2,所以r=15A=1x6X^X2=V3.

OOq

例如圖所示，已知高為3的棱柱49G-/'B'C的底面是邊長為1的正三角形,

則三棱錐夕一力陽的體積為（）

1

A-4

C.爽亞

64

［答案］D

［解析］:棱柱的高為3,到底面1回的距離，即棱錐"一/緲的高為3,

二體積，=3X乎X/X3=*.

例（09?10學(xué)年棗莊模擬）一個(gè)空間幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖為全等的等

腰直角三角形，直角邊長為1,則這個(gè)幾何體的體積為（）

A.1

正視圖側(cè)視圖

佛視圖

1

B.~

C-3

1

D.-

6

［答案］D

［解析］由三視圖知，該幾何體是三棱錐.

A3111

體積K=-X-X1X1X1=-

326

例一密閉正三棱柱容器內(nèi)裝有液體，該三棱柱容器內(nèi)底面正三角形邊長為2,棱柱

的內(nèi)高為3,將一側(cè)面置于水平桌面上，測得液體高度為手，現(xiàn)將容器底面放于水平桌面

上，則容器內(nèi)液面高度為（）

3373

A.~B.~~~

C.,D.3-\/3

［答案］C

［解析］由題意可知，側(cè)面置水平桌面上時(shí)，容器內(nèi)的液體是一個(gè)四棱柱，高為3,底

面是一梯形，梯形的下底是2,高是半，可求得上底長為1,

24

設(shè)直立正放于桌面上時(shí)，液面高度為X,則乎X2'Xx=￥，.?“=*

例，已知正六棱臺(tái)的上、下底面邊長分別為2和4,高為2,則體積為（）

A.324B.2873

C.2473D.20y［3

［答案］B

［解析］上底面積S=6X*X22=6小，

下底面積S=6X,X4?=24M，

體積O="（S+W+!SS）?h

o

=J（6^3+24小+y）6y［3?24-73）義2=28m.

O

例已知三棱柱力4AG的體積為匕P、。分別在側(cè)棱44和GC上，且力戶=6。

則四棱錐6—4尸究的體積是（）

11

A.-KB-r

o

21

cK

5-D.4-

［答案］B

［解析］VB-APQC="XVii-AcaA\—Vs-Aca

1

=Va-ABC=TV.

o

例（2010?天津理，12）一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為

［答案］V

0

［解析］由三視圖知I,該幾何體由一個(gè)高為2,底面邊長為2的正四棱錐和一個(gè)高為2,

底面邊長為1的正四棱柱組成，則體積為2X2X1X《+1X1X2=￥.

OJ

例（08?江西理）如圖1,一個(gè)正四棱柱形的密閉容器水平放置，其底部鑲嵌了同底

的正四棱錐形實(shí)心裝飾塊，容器內(nèi)盛有a升水時(shí)，水面恰好經(jīng)過正四棱錐的頂點(diǎn)A如果將

容器倒置，水面也恰好過點(diǎn)?（圖2）.有下列四個(gè)命題:

圖1圖2

①正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半

②將容器側(cè)面水平放置時(shí)，水面也恰好過點(diǎn)〃

③任意擺放該容器，當(dāng)水面靜止時(shí)，水面都恰好經(jīng)過點(diǎn)P

④若往容器內(nèi)再注入a升水，則容器恰好能裝滿

其中真命題的代號(hào)是：（寫出所有真命題的代號(hào)）.

［答案］②④

［解析］???正放時(shí)，里邊有一個(gè)正四棱錐實(shí)心裝飾塊，正放與倒置時(shí)，水面都經(jīng)過正

四棱錐頂，容器內(nèi)水的體積一定，

，①錯(cuò)，④對.

側(cè)面水平放置時(shí)，正四棱錐的體積，在水面上、下各一半，容器的容積上、下各一半，

...水面恰好過點(diǎn)只但任意擺放時(shí)，水面上、下部分正四棱錐體積不等，故水面不過。

點(diǎn)，②對，③錯(cuò).

例（09?天津文）如圖是一個(gè)幾何體的三視圖.若它的體積是隊(duì)「，求a的值.

正視圖側(cè)視圖

［解析］由三視圖知，幾何體為底面邊長為2,高為3的正三棱柱.

r=^X2XaX3=3-^3,；.a=小.

例（07?寧夏、海南）已知某個(gè)幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位:

cm）,可得這個(gè)幾何體的體積是（）

4000380003

A.~~-cmB.-7T-cm3

O

C.2000cm3D.4000cm3

［答案］B

［解析］由俯視圖知此幾何體的底面為一個(gè)邊長為20的正方形，結(jié)合正視圖、側(cè)視圖

知，此幾何體為四棱錐，高為20,所以其體積為1x20X20X20=^2^,故選B.

*5*5

例如圖，三棱柱ABC—ABG中，若E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，平

面EBC將三棱柱分成體積為修、V2的兩部分，那么％:V2=。

解：設(shè)三棱柱的高為h,上下底的面積為S,體積為V,則V=%+5=Sh。

：E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，

5

V2=Sh-V1=—Sh,

12

.?.%:V2=7：5o

點(diǎn)評(píng)：解題的關(guān)鍵是棱柱、棱臺(tái)間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，建立起求解體積的幾何元素之間的對

應(yīng)關(guān)系。最后用統(tǒng)一的量建立比值得到結(jié)論即可。

例己知四面體各棱長是1或2,且該四面體不是正四面體，求這個(gè)四面體體積的所有可

能的值。

解：根據(jù)已知條件及構(gòu)成三角形的條件滿足要求的四面體應(yīng)分為三類。

AA

cCc

AB=AC=AD=2AC=AD=BC=BD=2AB=AC=AD=BC=BD=2

BC=CD=DB=1AB=CD=1CD=1

則A0=122-(2.9l)2=但，所

(1)如圖1,四面體各棱AB=AC=AD=2,BC=CD=BD=1,

V32V3

以四面體的體積V=；SAfi8.AO=(xTxl2x孚x聘hVTT

IT°

(2)如圖2,四面體各棱AC=AD=2,AB=1,BC=BD=2,CD=1,t①M(fèi)、N分別為AB、CD的中點(diǎn)，

AM=S=與SsBM=gAB.MN=gxlx照

11J14J14

四面體的體積為V--SMB,w-CD=-x^-xl=3-?

(3)如圖形,四面體各棱AB=AC=AD=2,BD=BC=2,CD=1,設(shè)M、N分別為AB、CD的中點(diǎn)，

L-1=如，四面體的體積為

AM=2_g)2=,SAABM=；■?MN=；X2X4

卜2

v_ic51VHlVTT

V—5?CD=-x----x1=----.

3MA4BM326

故四面體的所有可能的體積為VT葉T■或Vi力4或V少TT

12126

二、旋轉(zhuǎn)體的體積

1.（2012?上海）若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2H的半圓面，則該圓錐的體積為

【解析】如圖，由題意知;貝丁=2n,，/=2.

又展開圖為半圓，.?.n/=2兀r.

.?.r=l,故圓錐的高為巾，體積

12,#31

2.已知圓臺(tái)上、下底面面積分別是"、4n,側(cè)面積是6n則這個(gè)

圓臺(tái)的體積是（）.

A.平“B.2^3C.羋nD.羋“

J0o

解析S=兀，S=4n,

r=1,R=2,S=6兀=n(r+必/,

：.1=2,:.仁小.

；"/=；JI(1+4+2)X^3=^3n.

答案D

3.把由曲線y=|x|和y=2圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)360。，所得旋轉(zhuǎn)體的體積為—

解析由題意，y=和y=2圍成圖中陰影部分的圖形，旋轉(zhuǎn)體為一個(gè)圓柱挖去兩個(gè)相同

的共頂點(diǎn)的圓錐.

21216n

:唳柱=nX22X4=16n,2K=2X-nX2JX2=^-

m?Jo

所求幾何體體積為16n一”:=?.

Oo

答案等

4.已知一個(gè)圓錐的展開圖如圖所示，其中扇形的圓心角為120°,底面

圓的半徑為1,則該圓錐的體積為

解析因?yàn)樯刃位￠L為2n“所以圓錐母線長為3,高為24，所求體積

=|xJI義1?*2*==當(dāng)A

答案警

5.若直角梯形的一個(gè)底角為45°,下底長為上底長的|,這個(gè)梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一

周所成的旋轉(zhuǎn)體的表面積是（5+鏡）n,求這個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積.

解如圖所示，在梯形48繆中，AB//CD,//=90°,/6=45°,繞48邊旋轉(zhuǎn)一周后形

成一圓柱和一圓錐的組合體.

3x、歷

設(shè)C9=x,AB=~x,則49=44—09=5，BC=~~x.

S去=5圓柱底+5圈柱惻+5圓錐側(cè)

9

=n?JZ/+2TI?ADCD+冗?AD,BC

x,xxy[2

=JI?~+2n?5?x+n?5X個(gè)x

Lt乙乙

5+12

根據(jù)題設(shè)，%且口/=(5+*)口，則x=2.

所以旋轉(zhuǎn)體體積『=m-AO?CD*?Alf-{AB-CD)

J

=nX12X2+-7X12X(3-2)

o

7

例圓柱有一個(gè)內(nèi)接長方體4G,長方體對角線長是l(h「cm,圓柱的側(cè)面展開平面圖為

矩形，此矩形的面積是100"cm2,求圓柱的體積.

解設(shè)圓柱底面半徑為rcm,高為hcm.

如圖所示，則圓柱軸截面長方形的對角線長等于它的內(nèi)接長方體的體對角線長，則

f2r2+A210j2:

[2nrA=100n,

.?.尸.

/./圓柱=S/?=叮rh=nX52X10=250n(cm3).

.??圓柱體積為250ncm3.

例若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2n的半圓面，則該圓錐的體積為

n1=2nr,

設(shè)圓錐底面半徑為八母線長為/,高為A,則〈"=2”,

1=2,

：.h=木.

r=l,

例若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2n的半圓面，則該圓錐的體積為

*n7=2nr,

設(shè)圓錐底面半徑為r,母線長為/,高為力，則＜

19

-n7=2n,

7=2,

；.h=p

r=lf

例已知圓柱的側(cè)面展開圖矩形面積為S,底面周長為C,它的體積是（）

A.￡4BS

4ns

「CSSC

C.--D."~

2n4n

［答案］D

Ch=S

［解析］設(shè)圓柱底面半徑為r,高為啟則

C=2nr

C.S

片方b=~C

SSC

K=JIr?h=叮?=I7-

例體積為52cm3的圓臺(tái)，一個(gè)底面面積是另一個(gè)底面面積的9倍，那么截得這個(gè)圓

臺(tái)的圓錐的體積為（)

A.54cm3B.54ncm'

C.58cm-D.58ncm'

［答案］A

［解析］由底面積之比為1:9知，體積之比為1:27,截得小圓錐與圓臺(tái)體積比為1:26,

小圓錐體積為2cm）故原來圓錐的體積為54cm3,故選A.

例（09?10學(xué)年泰安高模）下圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾

何體的體積為（）

側(cè)視圖

A.8B.2n

C.4nD.n

［答案］D

［解析］由三視圖可知，該幾何體是底半徑為1,高為2的圓柱，沿經(jīng)過軸的截面分割

開的半個(gè)圓柱，故其體積X：P）X2=八

例圓錐的過高的中點(diǎn)且與底面平行的截面把圓錐分成兩部分的體積之比是（）

A.1:1B.1:6C.1:7D.1:8

［答案］C

［解析］如圖，設(shè)圓錐底半徑仍=吊高PO=h,

h

VO'為P0中點(diǎn),：.P0'=-,

=如欣.

h1

+"+加5=亦加.

,夠1

故選C.

**加臺(tái)。o7'

［點(diǎn)評(píng)］由圓錐的平行于底面的截面性質(zhì)，截得小圓錐與原來圓錐的高的比為1:2,故

體積比為1:8,因而上、下兩部分體積比為1:7.

例用平行于圓錐底面的平面截圓錐，所得截面面積與底面面積的比是1:3,這截面

把圓錐母線分為兩段的比是（）

A.1:3B.1:（小一1）

C.1:9D.y/3:2

［答案］B

［解析］由面積比為1:3,知小圓錐母線與原圓錐母線長之比為1:43,故截面把圓錐

母線分為1：（第—1）兩部分，故選B.

例圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是10cm和20cm,它的側(cè)面展開圖扇環(huán)的圓心角是

180°（如圖），那么圓臺(tái)的體積是

7000Hr-

r［答案?］-\/3cm3

0

「/TiLLr石20—10°

［解析］180°=---X360°,A7=20

r—1/2?2?\7000\/3n/3、

/?=10y］3,勺.n(zi+r^+riZ2)?h=----手---(cm).

oo

例已知圓臺(tái)上、下底面半徑分別為1,2,高為3,則圓臺(tái)體積為

［答案］7幾

［解析］由已知圓臺(tái)上、下底面積分別為

S上=n,SH=4n.

則P圓臺(tái)?（兀+、/叮?47+4兀）?3=7兀.

o

例底半徑為1,高為1的圓柱，內(nèi)接長方體如圖，設(shè)矩形/優(yōu)。的面

積為S,長方體4644一/版的體積為力設(shè)矩形46徵的一邊長4Hx.

(1)將S表達(dá)為x的函數(shù)；

(2)求，的最大值.

［解析］(1r?矩形4版內(nèi)接于圓0,為。。的直徑，

"."AC—2,AB—x,BC—\l4—x~,

：.S=AB?6C=A/4-X2(0<A<2).

(2)；長方體的高44=1,

勺S?44=川4-、

="^/(4—%)—yj—(z—2)2+4,

V0<K2,/.0</<4,

二當(dāng)V=2,即X=M時(shí)，Kax—2,

故長方體體積的最大值為2.

例,在△49C中，AB=2,3C=1.5,N4?C=120°,若將△4坑?繞直線8C旋轉(zhuǎn)一周,

則所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是()

9753

A.>B.-n喘口D.5n

［答案］D

［解析］本題是旋轉(zhuǎn)問題，考查錐體的體積公式和空間想像能力.如圖所示，該旋轉(zhuǎn)

體的體積為圓錐切與圓錐劭體積之差.

在△/劭中，AB=2,/月砌=60。，

AD=鄧,

.?.勺/—JtX(V3)2X(1+1.5)-1XJT

o。乙

例（14分）已知：一個(gè)圓錐的底面半徑為此高為〃，在其中有一個(gè)高為x的內(nèi)接圓柱.

（1）求圓柱的側(cè)面積；

（2）x為何值時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大.

解：（1）設(shè)內(nèi)接圓柱底面半徑為工

、小

rH-xRzrr

S圓柱網(wǎng)=2".x①'：——=-------r-——(H-x)②

RHH

R

②代入①

S圓柱惻=(//-x)=——x2+HA)(O<X<H)

HH

+---

??.x=良時(shí)

圓柱側(cè)最大-

2s

三、球的表面積和體積

問題球既沒有底面，也無法像柱、錐、臺(tái)體一樣展成平面圖形，怎樣求球的表面積和體

積呢？就目前我們學(xué)過的知識(shí)還不能解決，我們不妨先記住公式.設(shè)球的半徑為此那么

4

它的體積：，=勺”上它的表面積S=4""，現(xiàn)在請大家觀察這兩個(gè)公式，思考它們都有

什么特點(diǎn)？

答這兩個(gè)公式說明球的體積和表面積都由球的半徑火唯一確定.其中球的體積是半徑火

的三次函數(shù)，球的表面積是半徑"的二次函數(shù)，并且表面積為半徑為〃的圓面積的4倍.

例兩個(gè)球的體積之比為8：27,則它的表面積之比為（）

A.2：3B.4：9

C.1：2D.1：3

［答案］B

［解析］由體積比知半徑之比為2:3,

二面積之比為4：9,故選B.

例兩個(gè)球的體積之和是12%大圓周長之和是6%則兩球半徑之差是（）

A.1B.2

「3

C.3D.~

［答案］A

［解析］設(shè)兩球半徑為小八及次,則

4n

=12n,2五（介+八）=6幾

O

解得力=1,12=2,/.r2—ri=l,故選A.

例兩個(gè)半徑為1的鐵球，熔化成一個(gè)大球，這個(gè)大球的半徑為（）

A.2B.^/2

C.y/2D.1^/4

44JI

［答案］C.［解析］設(shè)大球半徑為r,則/"=2義彳，

<3<5

.,._r=般，故選C.

例若一個(gè)圓錐的底面半徑和一個(gè)半球的半徑相等，體積也相等，則它們的高度之

比為（）

A.2：1B.2：3

C.2：nD.2：5

［答案］A

141

［解析］r3X-:?h=2r,故選A.

oJ/

例湖面上漂著一個(gè)球，湖面結(jié)冰后將球取出，冰面上留下了一個(gè)面直徑為24,深

為8的空穴，則球的半徑為()

A.8B.12

C.13D.8小

［答案］C

［解析］122+(k-8)2="，.?.斤=13.故選C.

例已知某球體的體積與其表面積的數(shù)值相等，則此球體的半徑為________.

［答案］3

4.

［解析］-n7?=4n:.R=3.

例在球心同側(cè)有相距9cm的兩個(gè)平行截面,，它們的面積分別為49Jtcm?和400ncm2.

求球的表面積.

［解析］如圖為球的過球心的截面，由球的截面性質(zhì)知，AOJ/BO,,且。、“分別為兩

截面圓的圓心，則。OO,LBO>,設(shè)球的半徑為

?.?JI?a4=49JT,Aft5=7cm,

同理n。4=400n,/.。力=20cm.

設(shè)0Q=xcm,則O(h=(-Y+9)cm.

在入△%力中，/f=x+20\

在Rt△。睡中,^=a+9)2+72,

.\x+202=72+(X+9)2,解得x=15,

：./^=X+202=25\A/?=25cm.

，S球=4兀*=2500ncm.

???球的表面積為2500ncm2.

例,如圖9-9,一個(gè)底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水.若放入一個(gè)半徑

D

為r的實(shí)心鐵球，水面高度恰好升高r,則一=。

r

解析：水面高度升高八則圓柱體積增加"川?八恰好是半徑為r的實(shí)心鐵球的體積,

因此有"不封="好八故0=冬3。答案為西。

3r33

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查旋轉(zhuǎn)體的基礎(chǔ)知識(shí)以及計(jì)算能力和分析、解決問題的能力。

例體積相等的正方體、球、等邊圓柱的全面積分別是$、&、S,試比較它們的大

小.

［解析］設(shè)正方體的棱長為a,球的半徑為凡等邊圓柱的底面半徑為八則5=6提

S=4“/，S=6Jtr.

4

由題意知，1頁〃=a'="產(chǎn)?2r,

又6a。>3牛2口a?=勺54na',即S>W.

.??S、S、S的大小關(guān)系是S<S<S.

1.(2012遼寧文數(shù))已知S,A,8,C是球。表面上的點(diǎn)，SAJ_平面ABC,AB±BC,

S4=AB=1,BC=及，則球。的表面積等于

(A)4〃(B)3乃(C)24(D)71

解析：選A.由已知，球。的直徑為2R=SC=2,.?.表面積為4IR2=44

2.（2012湖北文數(shù)）圓柱形容器內(nèi)盛有高度為3cm的水，若放入三個(gè)相同的珠（球的半么

與圓柱的底面半徑相同）后，水恰好淹沒最上面的球（如圖所示），則球的半徑是cm.

【答案】4

4

【解析】設(shè)球半徑為r,則由3%+匕卜=%可得3xy/+勿/x8”產(chǎn)x6廠，解得r=4.

3.已知過球面上三點(diǎn)/、8、C的截面到球心0的距離等于球半徑的一半，且48=18cm,

BC=24cm,4c=30cm,求球的體積和表面積.

【答案】華

O

【解析】

...△/6C是直角三角形，N/6C=90°,...過爾6、C三點(diǎn)的截面圓的半徑為，C=15cm.

設(shè)球的半徑為R,則#=(軟+應(yīng)

4=300,'./f—lOyficm.

；?，理=3n『=400(h/3ncm3.

5?=4Ji1^=1200Jicm2.

4.用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為力，則球的體積為

8乃

C.8岳327

3

答案：B

點(diǎn)評(píng)：本小題重點(diǎn)考查線面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱錐的體積。在能

力方面主要考查空間想象能力。

5.已知過球面上A,鼠。三點(diǎn)的截面和球心的距離為球半徑的一半，且

AB=BC=C4=2,求球的表面積。

解：設(shè)截面圓心為0',連結(jié)0'4,設(shè)球半徑為R,

則。N=2x立乂2=氈，

323

在RtbOOA中，CM?=O'A2+O'O2,

，心苧+*

/.S-4萬R?=--71o

9

點(diǎn)評(píng)：正確應(yīng)用球的表面積公式，建立平面圓與球的半徑之間的關(guān)系。

6.(2008四川理，8)設(shè)M,N是球心。的半徑0P上的兩點(diǎn)，且NP=MN=0M,分別

過N,M,O作垂線于OP的面截球得三個(gè)圓，則這三個(gè)圓的面積之比為：()

(A)3,5,6(B)3,6,8(C)5,7,9(D)5,8,9

【解工設(shè)分別過N,M,。作垂線于。尸的面截球得三個(gè)圓的半徑為4,公q,球半徑為R,

2Z1\48Z2\4

22222/222/2

則RA■RR

------------

3I39H3/?

V7V7

...1他22=54：9.?.這三個(gè)圓的面積之比為：5,8,9故選D

【點(diǎn)評(píng)工此題重點(diǎn)考察球中截面圓半徑，球半徑之間的關(guān)系;

【突破】：畫圖數(shù)形結(jié)合，提高空間想象能力，利用勾股定理；

7.（2012四川理數(shù)）（1D半徑為R的球0的直徑A5垂直于平面a,垂足為B,|BCD

是平面a內(nèi)邊長為R的正三角形，線段AC、A￡）分別與球面交于點(diǎn)弘/V,那么

/I\

/II

風(fēng)/V兩點(diǎn)間的球面距離是，一一一?

(/)Rarccos—Rarccos—

2525

91兀R

解析：由已知，A42R,BC=R，故tan/BAgL

2

cosABAC—-

連結(jié)0M,則△物也為等腰三角形

4754A/5

AQ2A0cosNBAC=R,同理4V=二一R,旦MN"C