2024年廣東省河源市龍川縣登云中學(xué)中考數(shù)學(xué)一模試卷

第1頁（共1頁）2024年廣東省河源市龍川縣登云中學(xué)中考數(shù)學(xué)一模試卷一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）如果收入3萬元，記作+3萬元，那么﹣2萬元表示（）A．收入2萬元 B．支出﹣2萬元 C．支出2萬元 D．利潤(rùn)是2萬元2．（3分）體育是一個(gè)鍛煉身體，增強(qiáng)體質(zhì)，培養(yǎng)道德和意志品質(zhì)的教育過程，是培養(yǎng)全面發(fā)展的人的一個(gè)重要方面，下列體育圖標(biāo)是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（3分）下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)2+a3＝a5 B．（﹣2ab）2＝﹣4a2b2 C．a(chǎn)8÷a4＝a4 D．（a+b）2＝a2+b24．（3分）如圖所示，直線a∥b，直角△ABC的頂點(diǎn)C在直線b上．若∠1＝33°，則∠2的度數(shù)為（）A．57° B．47° C．67° D．33°5．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，則下列三角函數(shù)值不正確的是（）A． B． C． D．6．（3分）將拋物線y＝2（x+1）2向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后拋物線的表達(dá)式是（）A．y＝2（x+2）2﹣1 B．y＝2x2﹣1 C．y＝2（x+2）2+1 D．y＝2（x﹣1）2﹣17．（3分）一組數(shù)據(jù)0，1，1，2，若添加一個(gè)數(shù)1后得到一組新數(shù)據(jù)，則前后兩組數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)量會(huì)變小的是（）A．平均數(shù) B．中位數(shù) C．眾數(shù) D．方差8．（3分）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有“雞兔同籠”問題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何”，你能用二元一次方程組表示題中的數(shù)量關(guān)系嗎？設(shè)籠中雞有x只，兔有y只，則下面方程組正確的是（）A． B． C． D．9．（3分）某幾何體由若干個(gè)大小相同的小正方體組成，其主視圖、左視圖和俯視圖都如圖所示．則組成該幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)最少為（）A．4個(gè) B．6個(gè) C．7個(gè) D．8個(gè)10．（3分）下列關(guān)于等邊三角形的說法不成立的是（）A．等邊三角形的三條邊相等，三個(gè)角相等 B．等邊三角形三條高線所在的直線是它的三條對(duì)稱軸 C．角的平分線與對(duì)邊上的中線或高重合的三角形是等邊三角形 D．有兩邊相等且有一個(gè)角為60°的三角形是等邊三角形二．填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）11．（3分）若一個(gè)正數(shù)的平方根是3a+1和a﹣5，那么a＝．12．（3分）已知直角三角形斜邊長(zhǎng)為16，則這個(gè)直角三角形斜邊上的中線長(zhǎng)為．13．（3分）一個(gè)布袋中放有4個(gè)黑球和6個(gè)黃球，除顏色外其余均相同，從布袋中任取一個(gè)球，取出黃球的概率為．14．（3分）如圖所示，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點(diǎn)，∠APB＝40°，點(diǎn)C是⊙O上不同于A、B的任意一點(diǎn)，則∠ACB的度數(shù)為．15．（3分）如圖，量筒的液面A﹣C﹣B呈凹形，近似看成圓弧，讀數(shù)時(shí)視線要與液面相切于最低點(diǎn)C（即弧中點(diǎn)）．小溫想探究仰視、俯視對(duì)讀數(shù)的影響，當(dāng)他俯視點(diǎn)C時(shí)，記錄量筒上點(diǎn)D的高度為37mm；仰視點(diǎn)C（點(diǎn)E、C、B在同一直線），記錄量筒上點(diǎn)E的高度為23mm，若點(diǎn)D在液面圓弧所在圓上，量筒直徑為10mm，則平視點(diǎn)C，點(diǎn)C的高度為mm．三．解答題（共8小題，滿分75分）16．（8分）先化簡(jiǎn)，再求值：（5a2﹣3b2）+2（2b2﹣3a2），其中a＝﹣1，b＝2．17．（8分）已知關(guān)于x的方程x2+ax+a﹣3＝0．若該方程的一個(gè)根為1，求a的值及另一個(gè)根．18．（8分）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，E為AD的中點(diǎn)，僅用無刻度的直尺作圖：（1）在BC上取點(diǎn)M，使四邊形ABME為平行四邊形；（2）在CD的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)F，使四邊形BDFA為平行四邊形．19．（9分）為落實(shí)“雙減”政策，優(yōu)化作業(yè)管理，某中學(xué)從全體學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生，調(diào)查他們每天完成書面作業(yè)的時(shí)間t（單位：分鐘），按照完成時(shí)間分成五組：A組“t≤45”，B組“45＜t≤60”，C組“60＜t≤75”，D組“75＜t≤90”，E組“t＞90”．將收集的數(shù)據(jù)整理后，繪制成如圖所示兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）這次調(diào)查的樣本容量是，請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，B組的圓心角是度；（3）若該校有1800名學(xué)生，請(qǐng)你估計(jì)該校每天完成書面作業(yè)不超過90分鐘的學(xué)生人數(shù)．20．（9分）某銷售商準(zhǔn)備采購一批兒童玩具，有A，B兩種品牌可供選擇，其進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下：A品牌B品牌進(jìn)價(jià)（元/件）150120售價(jià)（元/件）200150銷售商購進(jìn)A，B兩種品牌的兒童玩具共30件．（1）若銷售商購進(jìn)A品牌的兒童玩具為x（件），求銷售商售完這30件兒童玩具獲得的總利潤(rùn)y（元）與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若想使得銷售完這30件兒童玩具獲得的總利潤(rùn)為1300元，則應(yīng)購進(jìn)A品牌的兒童玩具多少件？21．（9分）如圖，已知點(diǎn)C是以AB為直徑的半圓上一點(diǎn)，D是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作BD的垂線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連結(jié)CD，且CD＝ED．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若tan∠DCE＝2，BD＝1，求⊙O的半徑．22．（12分）綜合實(shí)踐問題背景：借助三角形的中位線可構(gòu)造一組相似三角形，若將它們繞公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線的長(zhǎng)度存在特殊的數(shù)量關(guān)系，數(shù)學(xué)小組對(duì)此進(jìn)行了研究，如圖1，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，分別取AB，AC的中點(diǎn)D，E，作△ADE．如圖2所示，將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接BD，CE．（1）探究發(fā)現(xiàn)：旋轉(zhuǎn)過程中，線段BD和CE的長(zhǎng)度存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并證明．（2）性質(zhì)應(yīng)用：如圖3，當(dāng)DE所在直線首次經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，求CE的長(zhǎng)．23．（12分）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）求△ABC的面積；（3）若P是第四象限內(nèi)拋物線上任意一點(diǎn)，PH⊥x軸于點(diǎn)H，與BC交于點(diǎn)M．求線段PM的最大值．

參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．解：收入和支出是互為相反意義的量．若收入記作“+”，那么支出用“﹣”表示．﹣2萬元表示支出2萬元．故選：C．2．解：A．圖形不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；B．圖形不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；C．圖形是軸對(duì)稱圖形，符合題意；D．圖形不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意．故選：C．3．解：A、a2+a3，無法合并，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、（﹣2ab）2＝4a2b2，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、a8÷a4＝a4，正確；D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．4．解：在直角△ABC中，∠ACB＝90°，∵∠1＝33°，∴∠3＝180°﹣90°﹣33°＝57°，∵a∥b，∴∠2＝∠3＝57°，故選：A．5．解：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，∴，，，．觀察四個(gè)選項(xiàng)，選項(xiàng)C符合題意，故選：C．6．解：拋物線y＝2（x+l）2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），把點(diǎn)（﹣1，0）向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度所得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，﹣1），所以平移后的拋物線解析式為y＝2（x+2）2﹣1．故選：A．7．解：原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為＝1，中位數(shù)為＝1，眾數(shù)為1，方差為×[（0﹣1）2+2×（1﹣1）2+（2﹣1）2]＝0.5；新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為＝1，中位數(shù)為1，眾數(shù)為1，方差為×[（0﹣1）2+3×（1﹣1）2+（2﹣1）2]＝0.4；所以前后兩組數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)量會(huì)變小的是方差，故選：D．8．解：根據(jù)題意，可列方程組為．故選：C．9．解：如圖所示：或，故組成該幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)最少為：2+2+1+1＝6（個(gè)）．故選：B．10．解：等邊三角形的三條邊相等，三個(gè)角相等，A不符合題意；等邊三角形三條高線所在的直線是它的三條對(duì)稱軸，B不符合題意；角的平分線與對(duì)邊上的中線或高重合的三角形是等邊三角形或者等腰三角形，C符合題意；有兩邊相等且有一個(gè)角為60°的三角形是等邊三角形，D不符合題意；故選：C．二．填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）11．解：∵一個(gè)正數(shù)的平方根是3a+1和a﹣5，∴3a+1+a﹣5＝0，解得：a＝1，故答案為：1．12．解：∵在△ACB中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線，AB＝16，∴CD＝AB＝8，故答案為：8．13．解：∵一個(gè)布袋中放有4個(gè)黑球和6個(gè)黃球，它們除了顏色外其余都相同，∴從布袋中任意摸出一個(gè)球是黃球的概率為：＝．故答案為：．14．解：連接OA、OB，在AB弧上任取一點(diǎn)C，連接AC、BC，∵PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點(diǎn)，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠APB＝40°，∴在四邊形OAPB中，∠AOB＝360°﹣∠APB﹣∠OAP﹣∠OBP＝140°．①若C點(diǎn)在優(yōu)弧AB上，則∠ACB＝∠AOB＝70°；②若C點(diǎn)在劣弧AB上，則∠ACB＝180°﹣70°＝110°，故答案為：70°或110°．15．解：如圖，連接BD、OA、OB、OC，OC交AB于點(diǎn)G，∵∠DAB＝90°，∴BD是⊙O的直徑，由垂徑定理得AG＝BG，∴OG是△BAD的中位線，∴OC∥DE，∴，∴BC＝CE，∴，∴⊙O的直徑為14，∵AB＝10，∴，∴，∵CF∥AB，∴，∴，∴點(diǎn)F的高度即點(diǎn)C的高度為，故答案為：．三．解答題（共8小題，滿分75分）16．解：原式＝5a2﹣3b2+4b2﹣6a2＝b2﹣a2；當(dāng)a＝﹣1，b＝2時(shí)，原式＝22﹣（﹣1）2＝4﹣1＝3．17．解：把x＝1代入x2+ax+a﹣3＝0，得12+a+a﹣3＝0．解得a＝1．設(shè)該方程的另一根為x2，則1?x2＝﹣3．故x2＝﹣3．綜上所述，a的值為1，另一個(gè)根是﹣3．18．解：（1）如圖，點(diǎn)M即為所求．（2）如圖，點(diǎn)F即為所求．19．解：（1）這次調(diào)查的樣本容量是：25÷25%＝100，D組的人數(shù)為：100﹣10﹣20﹣25﹣5＝40，補(bǔ)全的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示：故答案為：100；（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，B組的圓心角是：360°×＝72°，故答案為：72；（3）1800×＝1710（人），答：估計(jì)該校每天完成書面作業(yè)不超過90分鐘的學(xué)生有1710人．20．解：（1）由題意可得：y＝（200﹣150）x+（150﹣120）（30﹣x）＝20x+900，∴銷售商售完這30件兒童玩具獲得的總利潤(rùn)y（元）與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝20x+900；（2）當(dāng)y＝1300，則1300＝20x+900，解得x＝20，答：應(yīng)購進(jìn)A品牌的兒童玩具20件．21．解：（1）連接OC，如圖：∵CD＝DE，OC＝OA，∴∠DCE＝∠E，∠OCA＝∠OAC，∵ED⊥AD，∴∠ADE＝90°，∠OAC+∠E＝90°，∴∠OCA+∠DCE＝90°，∴∠DCO＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切線；（2）連接BC，如圖：∵CD＝DE，∴∠DCE＝∠E，∵tan∠DCE＝2，∴tanE＝2，∵ED⊥AD，Rt△EDA中，＝2，設(shè)⊙O的半徑為x，則OA＝OB＝x，∵BD＝1，∴AD＝2x+1，∴＝2，∴ED＝x+＝CD，∵CD是⊙O的切線，∴CD2＝BD?AD，∴（x+）2＝1×（2x+1），解得x＝或x＝﹣（舍去），∴⊙O的半徑為．22．解：（1）猜想，證明如下：∵在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，AB，AC的中點(diǎn)分別為D，E，∴，，∴，則，∵∠B＝90°，AB＝BC＝4，∴∠BAC＝45°，∴，∴，將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接BD，CE，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠BAD＝∠CAE，∵，∴△ABD∽△ACE，∴，∴；（2）∵AB＝BC＝4，分別取AB，AC的中點(diǎn)D，E，∴DE∥BC，，∴△ABC∽△ADE，∴∠ADE＝∠ABC＝90°，∴當(dāng)DE所在直線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，AD⊥BE，∴∠ADB＝90°，在Rt△ADB中，根據(jù)勾股定理可得：，由（1）可得：，∵，解得：．23．解：（