函數(shù)的概念及其表示講義-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

基礎(chǔ)課06函數(shù)的概念及其表示考點(diǎn)考向課標(biāo)要求真題印證考頻熱度核心素養(yǎng)函數(shù)的概念及表示了解2023年上海卷T2022年北京卷T★☆☆數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理分段函數(shù)理解2023年北京卷T2022年浙江卷T2022年北京卷T★★★數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理命題分析預(yù)測(cè)從近幾年高考的情況來(lái)看，函數(shù)的概念及其表示是高考?？純?nèi)容，一般以選擇題的形式出現(xiàn)，試題較為簡(jiǎn)單.命題熱點(diǎn)為函數(shù)解析式的應(yīng)用，預(yù)計(jì)2025年高考命題情況變化不大一、函數(shù)的有關(guān)概念1.函數(shù)的概念前提集合A,B是兩個(gè)①非空數(shù)集對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)于集合A中的②任意一個(gè)數(shù)x，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有③唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)名稱稱f：A→B為從集合記法④y=f2.構(gòu)成函數(shù)的三要素定義域在函數(shù)y=fx,x∈A中，x叫作⑤自變量，值域與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫作函數(shù)值，函數(shù)值的集合{fx三要素⑧定義域、⑨對(duì)應(yīng)關(guān)系、⑩值域是構(gòu)成函數(shù)的三要素3.表示函數(shù)的常用方法解析法一般情況下，必須注明函數(shù)的定義域列表法選取的自變量要有代表性，能反映定義域的特征圖象法注意定義域?qū)D象的影響：與x軸垂直的直線與函數(shù)圖象最多有一個(gè)公共點(diǎn)二、分段函數(shù)定義若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?對(duì)應(yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來(lái)表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)相關(guān)概念分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)定義域的?并集，其值域等于各段函數(shù)值域的?并集，分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示同一個(gè)函數(shù)注意以下幾個(gè)特殊函數(shù)的定義域：（1）分式型函數(shù)：分母不為零的實(shí)數(shù)集合.（2）偶次方根型函數(shù)：被開(kāi)方式非負(fù)的實(shí)數(shù)集合.（3）當(dāng)fx（4）若fx=x（5）正切函數(shù)y=tanx題組1走出誤區(qū)1.判一判.（對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”）（1）函數(shù)y=1與y=（2）函數(shù)fx=x?1（3）對(duì)于函數(shù)f：A→B，其值域是集合（4）分段函數(shù)是由兩個(gè)或幾個(gè)函數(shù)組成的.(×)2.（易錯(cuò)題）已知fx=x【易錯(cuò)點(diǎn)】本題容易忽視新元的取值范圍.[解析]令t=x，則t≥0，x=題組2走進(jìn)教材3.（人教A版必修①P65·例2（1）改編）函數(shù)fx=x[解析]使根式x?5有意義的實(shí)數(shù)x的取值集合是{x|x≥5}，使分式18?x4.（人教A版必修①P65·例2（2）改編）已知fx=x+3+1[解析]因?yàn)閒a=133,所以a+3+題組3走向高考5.[2023·新高考Ⅱ卷改編]函數(shù)fx=x[解析]若函數(shù)fx=x+a?ln2x?1考點(diǎn)一函數(shù)的概念［自主練透］1.在下列四個(gè)圖象中，是函數(shù)圖象的所有序號(hào)為(C).A.12 B.123 C.1[解析]根據(jù)函數(shù)的定義，一個(gè)自變量的值對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)函數(shù)值或者多個(gè)自變量的值對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)函數(shù)值，顯然只有（2）不滿足.故選C.2.下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的所有序號(hào)為(C).①fx=②fx=③fx=④fx=A.①② B.①③ C.③④ D.①④[解析]對(duì)于①，fx=?2x3的定義域?yàn)?∞,0，gx=對(duì)于②,gx=x2x=x，所以fx=x與對(duì)于③,fx=x0的定義域?yàn)閧x|x≠0}，gx對(duì)于④,fx=x2+2x+1的定義域?yàn)镽，gt1.函數(shù)的定義要求非空數(shù)集A中任何一個(gè)元素在非空數(shù)集B中有且只有一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，即可以“多對(duì)一”，但不能“一對(duì)多”，因此B中有可能存在與A中元素不對(duì)應(yīng)的元素.2.判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)，就是看構(gòu)成函數(shù)的三要素是否完全相同，而在構(gòu)成函數(shù)的三要素中，若定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，則值域一定相同.考點(diǎn)二函數(shù)的定義域［多維探究］具體函數(shù)的定義域典例1函數(shù)fx=2x+1[解析]由題意可知5x?3>0,x?1≠抽象函數(shù)的定義域典例2已知函數(shù)y=fx的定義域?yàn)閇?1,[解析]因?yàn)閥=fx的定義域?yàn)閇?1,5]，所以2x變式設(shè)問(wèn)1若將例2中的條件“函數(shù)y=fx的定義域?yàn)閇?1,5]”改為“函數(shù)y[解析]因?yàn)閥=f2x+1的定義域?yàn)閇?1,變式設(shè)問(wèn)2若將例2中的條件“函數(shù)y=fx的定義域?yàn)閇?1,5]”改為“函數(shù)y[解析]由變式設(shè)問(wèn)1可知函數(shù)y=fx的定義域?yàn)閇?1,11]，所以1?3x求函數(shù)定義域的類型及解題策略求具體函數(shù)的定義域（1）求給定函數(shù)的定義域：已知解析式的函數(shù)，其定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合，根據(jù)函數(shù)的解析式列出自變量滿足的不等式（組），再求解即可.（2）實(shí)際問(wèn)題：由實(shí)際意義及函數(shù)解析式存在的意義列出自變量滿足的不等式（組），再求解即可求抽象函數(shù)的定義域若已知函數(shù)fx的定義域?yàn)閇a,b]若已知函數(shù)fgx的定義域?yàn)閇a,b]，則1.[2024·安徽模擬]函數(shù)y=?xA.(?1,3] B.?1,[解析]要使函數(shù)有意義，則x需要滿足?x2+2x+3≥0,2.若函數(shù)fx的定義域?yàn)閇?1,2]A.[1,4] B.(1,[解析]若函數(shù)fx的定義域?yàn)閇?1,2]，則對(duì)于函數(shù)gx=fx?2考點(diǎn)三函數(shù)的解析式［多維探究］配湊法典例3已知fx?1x=[解析]因?yàn)閒x?1換元法典例4已知fx+1=ln[解析]因?yàn)閒x+1=lnx2，設(shè)x+1=t待定系數(shù)法典例5已知函數(shù)fx是一次函數(shù)，滿足ffx=9x+8[解析]設(shè)fx=kx所以k2=9,kb+b=8方程組法典例6已知函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，且fx+2f?[解析]用?x代換x，則f?x+2f求函數(shù)解析式的四種方法配湊法由已知條件fgx=Fx，可將Fx改寫(xiě)成關(guān)于gx換元法已知復(fù)合函數(shù)fg待定系數(shù)法若已知函數(shù)的類型（如一次函數(shù)、二次函數(shù)），則可用待定系數(shù)法方程組法已知關(guān)于fx與f1x或求下列函數(shù)的解析式：（1）已知fx+1[解析]（配湊法）因?yàn)閒x+1（2）已知f2x+[解析]（換元法）令2x+1所以ft=lg（3）已知y=fx是二次函數(shù)，若方程fx=[解析]（待定系數(shù)法）設(shè)fx=ax2+bx+ca≠0,b,c∈R，則（4）已知fx滿足fx?[解析]（方程組法）因?yàn)閒x?2f1用1x替換x得，f1x?由①+2×②得，?3f考點(diǎn)四分段函數(shù)［多維探究］分段函數(shù)求值典例7（1）已知函數(shù)fx=2x+A.1 B.2 C.3 D.4[解析]由題意得f1則ff13（2）已知函數(shù)fx=ex[解析]當(dāng)x>0時(shí)，fx因?yàn)閒0=e分段函數(shù)求值問(wèn)題的解題策略先確定要求的值的自變量的取值屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段函數(shù)的解析式求值.當(dāng)出現(xiàn)ff分段函數(shù)與方程結(jié)合典例8已知函數(shù)fx=2x,x≥A.?1 B.0 C.1 [解析]由fx=2由fa+f若a<1，則fa若a≥1，則fa綜上，a=1.故選分段函數(shù)與方程結(jié)合問(wèn)題的解題策略1.若分段函數(shù)中含有參數(shù)，則直接根據(jù)條件選擇相應(yīng)的解析式代入求參.2.若是求自變量的值，則需要結(jié)合分段區(qū)間的范圍對(duì)自變量進(jìn)行分類討論，再求值.分段函數(shù)與不等式結(jié)合典例9設(shè)函數(shù)fx=x+1,x[解析]當(dāng)x>1,x?1>1,即x>2時(shí)，fx=當(dāng)x>1,x?1≤1,即1<x≤2時(shí)，f當(dāng)x≤1,x?1≤1,即x≤1時(shí)，f綜上所述，x的取值范圍是12分段函數(shù)與不等式結(jié)合問(wèn)題的解題策略1.當(dāng)自變量取值不確定時(shí)，往往需要分類討論.2.當(dāng)自變量取值確定，但分段函數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，只需依據(jù)自變量的情況，直接代入相應(yīng)解析式.1.已知函數(shù)f