人教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué) 第十七章 勾股定理 導(dǎo)學(xué)案（全章）（無答案）

第十七章勾股定理導(dǎo)學(xué)案(全章)

§17.1勾股定理(1)

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.了解勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程，掌握勾股定理的內(nèi)容,會(huì)用面積法證明勾股定理。

2.培養(yǎng)在實(shí)際生活中發(fā)現(xiàn)問題總結(jié)規(guī)律的意識(shí)和能力。了解我國(guó)古代在勾股定

理研究方面所取得的成就。

3.經(jīng)歷觀察與發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊關(guān)系的過程，感受勾股定理的應(yīng)用意識(shí)。

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：勾股定理的內(nèi)容及證明。

學(xué)習(xí)難點(diǎn)：勾股定理的證明。人

二、教學(xué)過程：

㈠、自助探究

1、2002年北京召開了被譽(yù)為數(shù)學(xué)界“奧運(yùn)會(huì)”的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)，

這就是當(dāng)時(shí)采用的會(huì)徽.你知道這個(gè)圖案的名字嗎？你知道它

的背景嗎？你知道為什么會(huì)用它作為會(huì)徽嗎？

2、相傳2500年前，古希臘的數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯在朋友家做客時(shí)，發(fā)現(xiàn)朋友家用地磚鋪成

的地面中反映了直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系.請(qǐng)同學(xué)們也觀察一下，看看能發(fā)現(xiàn)什

么？'小小一不/

(1)引導(dǎo)學(xué)生觀察三個(gè)正方形之間的面積的關(guān)系；

(2)引導(dǎo)學(xué)生把面積的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系.

結(jié)論：等腰直角三角形三邊的特殊關(guān)系：斜邊的平方等于兩直角邊的平方和.

3、等腰直角三角形有上述性質(zhì)，

其它直角三角形也有這個(gè)性質(zhì)嗎？

4、猜想：由此，我們得出直角三角形ABC的三邊長(zhǎng)度之間存在的關(guān)系是:

㈡、自助提升

1、定理證明

(1)趙爽利用弦圖證明。

顯然4個(gè)的面積+中間小正方形的面積=該圖案的面積.

即4X,X+()2=c；化簡(jiǎn)后得到

2

概括：

由上面的探索可以發(fā)現(xiàn)：對(duì)于任意的直角三角形，如果它的兩條直角邊分別為

a,b,斜邊為c,那么一定有

a2+,b72=c2

這個(gè)關(guān)系我們稱為勾股定理。

勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

(2)其他證明方法：教材101頁做一做。

應(yīng)用:

例題分析:

(1)己知RSA8C中，ZC=90°,BC=6,AC=8,求4A

(2)己知RtA4BC中，ZA=90°,AB=5,BC=6,求AC.

(3)已知RtAABC中,ZB=90°,a,b,c分別是NA,ZB,

/C的對(duì)邊，c：a=3：4,6=15,求a,c及斜邊高九

㈢、自助檢測(cè)

1.一個(gè)直角三角形，兩直角邊長(zhǎng)分別為3和4,下列說法正確的是（）

A、斜邊長(zhǎng)為25B.三角形的周長(zhǎng)為25

C.斜邊長(zhǎng)為5D.三角形面積為20

2、如圖，在/ABC中，ZACB=90°,AB=5cm,BC=3cm,CD_LAB與D。

求：（1）AC的長(zhǎng)；（2）/ABC的面積；（3）CD的長(zhǎng)。

3.一直角三角形的斜邊長(zhǎng)比一條直角邊長(zhǎng)多2,另一直角邊長(zhǎng)為6,則斜邊長(zhǎng)

為（）

A.4B.8C.10D.12

4.直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)分別是5和12,則其斜邊上的高的長(zhǎng)為（）

A.6B.8C.—D.—

1313

5、已知，如圖1-1-5,折疊長(zhǎng)方形（四個(gè)角都是直角，對(duì)邊相等）的一邊AD

使點(diǎn)。落在BC邊的點(diǎn)尸處，已知A8=8cm,BC=10cm,求CFCE

6、一個(gè)大樹高8米，折斷后大樹頂端落在離大樹底端2米處，折斷處離地面的高度是多

少？

7、13=9+4,BP（713/=（79）?+（）3；若以_和_為直角三角形的兩直角邊

長(zhǎng)，則斜邊長(zhǎng)為“3。

同理以和—為直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)，則斜邊長(zhǎng)為舊

8、如圖1-1-4,所有的四邊形都是正方形，所有的三角

形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長(zhǎng)為7cm,

則正方形A,B,C,。的面積之和是多少？

三、小結(jié)與反思

這節(jié)課你學(xué)到了一些什么？你想進(jìn)一步探究的問題是什么？

§17.1勾股定理(2)

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

通過經(jīng)歷和體驗(yàn)，運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問題的過程，進(jìn)一步掌握勾股定理。

重點(diǎn)：勾股定理的應(yīng)用。

難點(diǎn)：實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化。

二教學(xué)過程

㈠、自助探究

1、一個(gè)門框的尺寸如圖所示：

DC

(1)若有一塊長(zhǎng)3米，寬0.8米的薄木板，能否從門框內(nèi)通過？―7

/2m

AImB

(2)若有一塊長(zhǎng)3米，寬1.5米的薄木板，能否從門框內(nèi)通過？

(3)若有一塊長(zhǎng)3米，寬2.2米的薄木板，能否從門框內(nèi)通過？

分析：(3)木板的寬2.2米大于1米，所以橫著不能從門框內(nèi)通過.

木板的寬2.2米大于2米，所以豎著不能從門框內(nèi)通過.

因?yàn)閷?duì)角線4c的長(zhǎng)度最大，所以只能試試斜著能否通過.

所以將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.

小結(jié)：此題是將實(shí)際為題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，從中抽象出RSA8C,并求出斜邊AC的

2、例2、如圖，一個(gè)3米長(zhǎng)的梯子4B,斜靠在一豎直的墻A。上，這時(shí)A。的距離為2.5

米.如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5米，那么梯子底端B也外移0.5米嗎？

(計(jì)算結(jié)果保留兩位小數(shù))

分析：要求出梯子的底端B是否也外移0.5米，實(shí)際就是求BD的長(zhǎng)，而BD=OD-OB

3、一個(gè)大樹高8米，折斷后大樹頂端落在離大樹底端2米處，折斷處離地面的高度是多

少？

自助提升

1、已知：△ABC為等邊三角形，AO_LBC于D,AD=6.求4c

的長(zhǎng).

2、如果直角三角形的三邊分別為3,5,a試求滿足條件a的值?

3、以知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a,求aABC的面積？

自助檢測(cè)

1、若等腰三角形中相等的兩邊長(zhǎng)為10cm,第三邊長(zhǎng)為16cm,那么第三邊上

的高為（）

A、12cmB、10cmC、8cmD、6cm

2、如圖，在/ABC中，ZACB=90°,AB=5cm,BC=3cm,CD_LAB與D。

求：（1）AC的長(zhǎng)；（2）/ABC的面積；（3）CD的長(zhǎng)。

3、如圖，-圓柱高8cm,底面半徑、2cm,一只螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)

A

B處吃食，要爬行的最短路程（萬取3）是（）J

D

A、20cm;B、10cm;C、14cm;D、無法確定.

4、若等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)為2,則它的直角邊的長(zhǎng)為,斜邊上的高的長(zhǎng)為o

5、要登上8m高的建筑物，為了安全需要，需使梯子底端離建筑物6m,至少需要多長(zhǎng)的梯

子？（畫出示意圖）

6、小明的叔叔家承包了一個(gè)矩形魚池，已知其面積為48m°,其對(duì)角線長(zhǎng)為10m,為建柵

欄，要計(jì)算這個(gè)矩形魚池的周長(zhǎng)，你能幫助小明算一算嗎？

7、有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水

面1尺。如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面。誰的深度

和這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度分別是多少？

小結(jié)與反思

教后記

§17.1勾股定理（3）

學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、熟練掌握勾股定理的內(nèi)容

2、會(huì)用勾股定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題

3、利用勾股定理，能在數(shù)軸上表示無理數(shù)的點(diǎn)

重點(diǎn)：會(huì)在數(shù)軸上表示新（〃為正整數(shù)）

難點(diǎn)：綜合運(yùn)用

自助探究

1、勾股定理的內(nèi)容______________________________________________

2、如圖，已知長(zhǎng)方形ABCD中,AB=3cm,10cm"D、12cm2

AD=9cm,將此長(zhǎng)方形折

疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF,則

△ABE的面積為（）

AN6cmB、8cmC、

即（jlj）2=（j可2+（）1若以—和—為直角三角形的兩直角邊

3、13=9+4,

長(zhǎng)，則斜邊長(zhǎng)為舊。同理以和—為直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)，則斜邊長(zhǎng)為J行

自助提升

1、探究：我們知道數(shù)軸上的點(diǎn)有的表示有理數(shù)，有的表示無理數(shù)，你能在數(shù)軸上畫出表

示舊的點(diǎn)嗎？

分析：（1）若能畫出長(zhǎng)為J萬的線段，就能在數(shù)軸上畫出表示月的點(diǎn).

（2）由勾股定理知，直角邊為1的等腰RS,斜邊為0.因此在數(shù)軸上能表示血的

點(diǎn).那么長(zhǎng)為曲的線段能否是直角邊為正整數(shù)的直角三角形的斜邊呢？

012345

在數(shù)軸上畫出表示舊的點(diǎn)？（尺規(guī)作圖）

012345

2、如圖：螺旋狀圖形是由若干個(gè)直角

三角形所組成的，其中①是直角邊長(zhǎng)為1的

等腰直角三角形。那么0A產(chǎn),0A尸,0A尸___,0A尸,

0As=,0A（；=,0A；=，…,0AH=,…，0A?=.

思考：怎樣在數(shù)軸上畫出表示冊(cè)（〃為正整數(shù)）的點(diǎn)？

自助檢測(cè)：

1、在數(shù)軸上找出表示店和-廂的點(diǎn)

2、已知：如圖，在△4BC中，AO1BC于。，AB=6,AC=4,BC=8,求B。，0c的長(zhǎng).

A

3、已知矩形ABC。沿直線3。折疊，使點(diǎn)C落在同一平面內(nèi)C'處，8C'與AO交于點(diǎn)E,

AD=6,AB=4,求QE的長(zhǎng).

4、已知：如圖，四邊形ABC。中，AB=2,CD=\,ZA=60°,ZB=ZD=90°.求四邊形ABC。

§17.2勾股定理的逆定理（1）

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.掌握勾股定理的逆定理，并會(huì)用它判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形.

2.探究勾股定理的逆定理的證明方法.并能應(yīng)用它進(jìn)行計(jì)算和證明。

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：勾股定理的逆定理及其實(shí)際應(yīng)用.

學(xué)習(xí)難點(diǎn)：勾股定理逆定理的證明.

二教學(xué)過程

㈠、自助探究：

1、引入新課見教材U2頁，古埃及人問題

2、做一做

畫以線段a,b,C,為邊的三角形并判斷分別以上述“、b、C為邊的三角形的形狀.

2a=3,b=4c-5⑵。=5,b=12c=13⑶a=7,b=24c=25

3、思考你畫的三角形的三邊a,b,c有什么的關(guān)系?

概括：勾股定理的逆定理

幾何語言：

CB

㈡、自助提升：

1、命題證明：如果三角形的三邊長(zhǎng)。、b、c滿足/+從=c2,那么這個(gè)三角形是直

角三角形.

己知：在△A8C中，AB=c,BC=a,CA=b,fia2+b2=c2

求證：ZO90°

思路：構(gòu)造法一一構(gòu)造一個(gè)直角三角形，使它與原三角形全等，利用對(duì)應(yīng)角相等來證明.

通過證明，我發(fā)現(xiàn)勾股定理的逆題是的，它也是一個(gè)，我們把它叫做勾

股定理的.

2、例2、判斷由線段小b,c組成的△ABC是不是直角三角形.

⑴〃=40,力=41,c=9

(2)。=13,/?=14,c=15

⑶〃：b：c=V13：3：2

22

(4)a=n+1fb=n-1,c=2n(〃>1且〃為整數(shù))

分析：①首先確定最大邊;

②驗(yàn)證最大邊的平方與最短的兩邊平方和是否相等

3、勾股數(shù)（114頁）

能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整婺，稱為勾股數(shù).

3,4,56,8,10

㈢、自助檢測(cè)：

1、分別以下列四組數(shù)為一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)：（1）3,4,5；（2）5,12,13；

（3）8,15,17；（4）4,5,6.其中能構(gòu)成直角三角形的有（）

A.4組B.3組C.2組D.1組

2、三角形的三邊長(zhǎng)分別為7+/、2浦、/一/（“、b都是正整數(shù)），則這個(gè)三角形

是（）

A.直角三角形B.鈍角三角形C.銳角三角形D.不能確定

3、已知兩條線段的長(zhǎng)為5cm和12cm,當(dāng)?shù)谌龡l線段的長(zhǎng)為cm時(shí)，這三條線段

能組成一個(gè)直角三角形。

4、一個(gè)零件的形狀如左圖所示，按規(guī)定這個(gè)零件中NA

和NQBC都應(yīng)為直角.工人師傅量得這個(gè)零件各邊尺寸如右

圖所示，這個(gè)零件符合要求嗎？

4、一根24米繩子，折成三邊為三個(gè)連續(xù)偶數(shù)的三角形，則三邊長(zhǎng)

分別為，此三角形的形狀為?

5、己知：如圖，四邊形ABC。中，AB=3,BC=4,CD=5,AD=50,

NB=90。，求四邊形的面積.

小結(jié)與反思

目前判定三角形是直角三角形的方法有哪些？

§17.2勾股定理的逆定理（2）

學(xué)習(xí)目標(biāo):

1、進(jìn)一步掌握勾股定理的逆定理，并能運(yùn)用勾股定理的逆定理解決有關(guān)問題。

2、在探究活動(dòng)過程中，經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展與形成的過程.培養(yǎng)敢于實(shí)踐、勇于發(fā)現(xiàn)、

大膽探索、合作創(chuàng)新的精神，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué)的信心和勇氣.

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：勾股定理的逆定理及其實(shí)際應(yīng)用.

學(xué)習(xí)難點(diǎn)：勾股定理逆定理的靈活應(yīng)用.

自助探究：

1、勾股定理是直角三角形的定理；它的逆定理是直角三角形的定理.

2、請(qǐng)寫出三組不同的勾股數(shù)：、、.

3、測(cè)得一塊三角形麥田三邊長(zhǎng)分別為9m,12m,15m,則這塊麥田的面積為

4、借助三角板畫出如下方位角所確定的射線：

①南偏東30°；②西南方向；③北偏西60°.

①②③

自助提升:

1、例1,某港口位于東西方向的海岸線上.“遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開港口，

各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行16海里，“海天”號(hào)每小時(shí)航行12

海里，它們離開港口一個(gè)半小時(shí)后相距30海里.如果知道“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航

行，能知道“海天”號(hào)沿哪個(gè)方向航行嗎？

分析：“遠(yuǎn)航”號(hào)航行方向已知，只要求出“海天”號(hào)與它的航向的夾角就可以知

道“海天”號(hào)的航行方向.

Q遠(yuǎn)航號(hào)

海天號(hào)R

海岸線

2、例2、已知在△ABC中，。是BC邊上的一點(diǎn)，若AB=10,BD=6,AO=8,AC=