內(nèi)蒙古呼和浩特市英華學(xué)校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（文）試題

內(nèi)蒙古呼和浩特市賽罕區(qū)英華學(xué)校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（文）試題一、選擇題，本題共12小題，每題5分，總計(jì)60分，每題有且只有一個(gè)最符合題意的選項(xiàng)，請(qǐng)?jiān)诖痤}紙上，按要求作答。1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{y|y＝2x}，則A∩B＝（）A．（﹣1，2） B．（﹣2，1） C．（0，1） D．（0，2）2．（5分）下列命題中是假命題的是（）A．?x0∈R，lgx0＝0 B．?x0∈R，tanx0＝1 C．?x∈R，x2＞0 D．?x∈R，2x＞03．（5分）已知集合A＝{3，4，2a﹣4}，B＝{a}，若A∩B≠?，則a＝（）A．3 B．4 C．5 D．64．（5分）已知復(fù)數(shù)z＝為虛數(shù)單位），則的虛部為（）A． B． C． D．5．（5分）下列式子不正確的是（）A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′＝ln2 C．（2sin2x）′＝2cos2x D．（）′＝6．（5分）已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣，則f'（2）＝（）A． B． C． D．7．（5分）在同一平面直角坐標(biāo)系中，曲線C：x2+y2＝1經(jīng)過(guò)伸縮變換后所得曲線方程為（）A．x2+4y2＝1 B．4x2+y2＝4 C．2x2+y2＝2 D．x2+2y2＝18．（5分）極坐標(biāo)方程4ρ?cos2＝5表示的曲線是（）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線的一支 D．拋物線（多選）9．（5分）將一枚質(zhì)地均勻的骰子拋擲兩次，記事件A＝“第一次出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，事件B＝“兩次點(diǎn)數(shù)之積為偶數(shù)”，事件C＝“兩次點(diǎn)數(shù)之和為5”，則（）A．事件A∪B是必然事件 B．事件A與事件B是互斥事件 C．事件B包含事件C D．事件A與事件C是相互獨(dú)立事件10．（5分）已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（1﹣x）＝f（1+x），且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）＝x2，則f（﹣3）的值為（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．311．（5分）函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)y＝f'（x）的圖像如圖所示，則函數(shù)y＝f（x）的圖像可能是（）A． B． C． D．12．（5分）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且xf′（x）+f（x）＞0，則不等式（x+2）f（x+2）＞x2f（x2）的解集是（）A．（﹣2，1） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D．（﹣1，2）二、填空題，本題共4小題，每題5分，總計(jì)20分，請(qǐng)將正確答案寫(xiě)在答題紙上，按要求作答。13．（5分）命題“?x＞0，x2+x﹣1＞0”的否定為．14．（5分）若函數(shù)沒(méi)有極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．15．（5分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則＝．16．（5分）若定義域?yàn)閇a﹣2，a+4]的函數(shù)f（x）＝﹣（a+2）x2+（k﹣1）x﹣a是偶函數(shù)，則y＝|f（x）|的遞減區(qū)間是．三、解答題，本題共6小題，第17小題10分，18-22小題每題12分，請(qǐng)?jiān)诖痤}紙相應(yīng)位置作答。17．（10分）設(shè)全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣6x+5≤0}，集合B＝{x|﹣1﹣2a≤x≤a﹣2}．（1）若A∩?RB＝A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若“?x∈B”是“x∈A”的充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．18．（12分）已知函數(shù)f（x）＝lg（1+x）﹣lg（1﹣x）．（1）求函數(shù)f（x）的定義域；（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說(shuō)明理由；（3）若f（x）＞0，求x的取值范圍．19．（12分）李先生是一名上班族，為了比較上下班的通勤時(shí)間，記錄了20天個(gè)工作日內(nèi)，家里到單位的上班時(shí)間以及同路線返程的下班時(shí)間（單位：分鐘），如下莖葉圖顯示兩類(lèi)時(shí)間的共40個(gè)記錄：（1）求出這40個(gè)通勤記錄的中位數(shù)M，并完成下列2×2列聯(lián)表：超過(guò)M不超過(guò)M上班時(shí)間下班時(shí)間（2）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，請(qǐng)問(wèn)上下班的通勤時(shí)間是否有顯著差異？并說(shuō)明理由．附：，P（χ2≥3.841）≈0.0520．（12分）已知函數(shù)f（x）＝x3+ax2+x+1在x＝﹣1時(shí)取得極值．（1）求f（x）在（0，f（0））處的切線方程；（2）求f（x）在區(qū)間[﹣2，0]上的最大值與最小值．21．（12分）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線C1的方程為x2+（y﹣1）2＝1．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求直線l和曲線C1的極坐標(biāo)方程；（2）曲線分別交直線l和曲線C1于點(diǎn)A，B，求的最大值及相應(yīng)α的值．22．（12分）函數(shù)f（x）＝（x﹣2）ex﹣ax2+2ax，a∈R．（1）當(dāng)a＝0時(shí)，證明：f（x）+e≥0；（2）若x＝1是f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案與試題解析一、選擇題，本題共12小題，每題5分，總計(jì)60分，每題有且只有一個(gè)最符合題意的選項(xiàng)，請(qǐng)?jiān)诖痤}紙上，按要求作答。1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{y|y＝2x}，則A∩B＝（）A．（﹣1，2） B．（﹣2，1） C．（0，1） D．（0，2）【解答】解：A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{y|y＞0}；∴A∩B＝（0，2）．故選：D．2．（5分）下列命題中是假命題的是（）A．?x0∈R，lgx0＝0 B．?x0∈R，tanx0＝1 C．?x∈R，x2＞0 D．?x∈R，2x＞0【解答】解：當(dāng)x0＝1時(shí)，lgx0＝0，所以?x0∈R，lgx0＝0，正確；當(dāng)x0＝時(shí)，tanx0＝1，所以?x0∈R，tanx0＝1，正確；當(dāng)x＝0時(shí)，x2＝0，所以?x∈R，x2＞0不正確；由指數(shù)函數(shù)y＝2x＞0，可知?x∈R，2x＞0，正確；故選：C．3．（5分）已知集合A＝{3，4，2a﹣4}，B＝{a}，若A∩B≠?，則a＝（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：因?yàn)锳∩B≠?，所以a＝3，a＝4或a＝2a﹣4，當(dāng)a＝3時(shí)，2a﹣4＝2，符合題意，當(dāng)a＝2a﹣4時(shí)，a＝4，與集合元素的互異性矛盾，舍去；當(dāng)a＝4時(shí)，2a﹣4＝4，與集合元素的互異性矛盾，舍去．故選：A．4．（5分）已知復(fù)數(shù)z＝為虛數(shù)單位），則的虛部為（）A． B． C． D．【解答】解：復(fù)數(shù)z＝﹣2i＝﹣2i＝﹣2i＝﹣i，所以＝+i，所以的虛部為．故選：B．5．（5分）下列式子不正確的是（）A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′＝ln2 C．（2sin2x）′＝2cos2x D．（）′＝【解答】解：由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則對(duì)于選項(xiàng)A，（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx成立，故A正確對(duì)于選項(xiàng)B，成立，故B正確對(duì)于選項(xiàng)C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C不正確對(duì)于選項(xiàng)D，成立，故D正確故選：C．6．（5分）已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣，則f'（2）＝（）A． B． C． D．【解答】解：已知f（x）＝lnx﹣，函數(shù)定義域?yàn)椋?，+∞），可得f′（x）＝﹣x＝，則f′（2）＝＝﹣．故選：B．7．（5分）在同一平面直角坐標(biāo)系中，曲線C：x2+y2＝1經(jīng)過(guò)伸縮變換后所得曲線方程為（）A．x2+4y2＝1 B．4x2+y2＝4 C．2x2+y2＝2 D．x2+2y2＝1【解答】解：伸縮變換轉(zhuǎn)換為代入曲線C：x2+y2＝1得到，整理得4x2+y2＝4．故選：B．8．（5分）極坐標(biāo)方程4ρ?cos2＝5表示的曲線是（）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線的一支 D．拋物線【解答】解：極坐標(biāo)方程4ρ?cos2＝5，化為2ρ（cosθ+1）＝5，即，化為，兩邊平方可得：4（x2+y2）＝25﹣20x+4x2，化為，此方程表示拋物線．故選：D．（多選）9．（5分）將一枚質(zhì)地均勻的骰子拋擲兩次，記事件A＝“第一次出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，事件B＝“兩次點(diǎn)數(shù)之積為偶數(shù)”，事件C＝“兩次點(diǎn)數(shù)之和為5”，則（）A．事件A∪B是必然事件 B．事件A與事件B是互斥事件 C．事件B包含事件C D．事件A與事件C是相互獨(dú)立事件【解答】解：事件A的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），事件B的基本事件有：（1，2），（1，4），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，2），（3，4），（3，6）（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，2），（5，4），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），事件C的基本事件有：（1，4），（4，1），（2，3），（3，2），事件AC的基本事件有：（1，4），（3，2），A：事件A∪B是必然事件，故正確；B：因?yàn)锳∩B≠?，所以事件A與事件B不是互斥事件，故錯(cuò)誤；C．因?yàn)镃?B，所以事件B包含事件C，故正確；D．因?yàn)?，，，所以P（A）?P（C）＝P（AC），所以事件A與事件C是相互獨(dú)立事件，故正確；故選：ACD．10．（5分）已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（1﹣x）＝f（1+x），且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）＝x2，則f（﹣3）的值為（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）為奇函數(shù)，且滿(mǎn)足f（1﹣x）＝f（1+x），所以f（﹣3）＝﹣f（3）＝﹣f（1+2）＝﹣f（1﹣2）＝f（1），又因?yàn)閤∈[0，1]時(shí)，f（x）＝x2，所以f（﹣3）＝f（1）＝1．故選：C．11．（5分）函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)y＝f'（x）的圖像如圖所示，則函數(shù)y＝f（x）的圖像可能是（）A． B． C． D．【解答】解：由導(dǎo)函數(shù)圖像可知原函數(shù)在（﹣∞，a）單調(diào)遞減，（a，b）單調(diào)遞增，（b，c）單調(diào)遞減，（c，+∞）單調(diào)遞增，其中a＜0＜b＜c，由圖可知A，C選項(xiàng)f（x）先遞增，故不滿(mǎn)足題意，其中B選項(xiàng)，f（x）的增區(qū)間為（a，b），（c，+∞），且a＜b＜0＜c，故不滿(mǎn)足題意，故選：D．12．（5分）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且xf′（x）+f（x）＞0，則不等式（x+2）f（x+2）＞x2f（x2）的解集是（）A．（﹣2，1） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D．（﹣1，2）【解答】解：根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)g（x）＝xf（x），則g′（x）＝xf′（x）+f（x）＞0，所以函數(shù)g（x）在R上單調(diào)遞增，又（x+2）f（x+2）＞x2f（x2），即g（x+2）＞g（x2），所以x+2＞x2，即x2﹣x﹣2＜0，解得﹣1＜x＜2．故選：D．二、填空題，本題共4小題，每題5分，總計(jì)20分，請(qǐng)將正確答案寫(xiě)在答題紙上，按要求作答。13．（5分）命題“?x＞0，x2+x﹣1＞0”的否定為?x＞0，x2+x﹣1≤0．【解答】解：命題“?x＞0，x2+x﹣1＞0”的否定為?x＞0，x2+x﹣1≤0，故答案為：?x＞0，x2+x﹣1≤0．14．（5分）若函數(shù)沒(méi)有極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，2]．【解答】解：f′（x）＝x2+2（a﹣1）x+1，因?yàn)闆](méi)有極值，f′（x）≥0，所以Δ＝4（a﹣1）2﹣4≤0，解得0≤a≤2．故答案為：[0，2]．15．（5分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則＝．【解答】解：∵在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，∴，∴，∴＝＝＝．故答案為：．16．（5分）若定義域?yàn)閇a﹣2，a+4]的函數(shù)f（x）＝﹣（a+2）x2+（k﹣1）x﹣a是偶函數(shù)，則y＝|f（x）|的遞減區(qū)間是（﹣3，﹣1），（0，1）．【解答】解：∵定義域?yàn)閇a﹣2，a+4]的函數(shù)f（x）＝﹣（a+2）x2+（k﹣1）x﹣a是偶函數(shù)，∴a﹣2+a+4＝0，k＝1，∴a＝﹣1，∴f（x）＝﹣x2+1（x∈[﹣3，3]）∴y＝|f（x）|的遞減區(qū)間是（﹣3，﹣1），（0，1）．故答案為（﹣3，﹣1），（0，1）．三、解答題，本題共6小題，第17小題10分，18-22小題每題12分，請(qǐng)?jiān)诖痤}紙相應(yīng)位置作答。17．（10分）設(shè)全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣6x+5≤0}，集合B＝{x|﹣1﹣2a≤x≤a﹣2}．（1）若A∩?RB＝A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若“?x∈B”是“x∈A”的充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（1）A＝{x|x2﹣6x+5≤0}＝{x|1≤x≤5}，∵B＝{x|﹣1﹣2a≤x≤a﹣2}，∴?RB＝{x|x＜﹣1﹣2a或x＞a﹣2}，∵A∩?RB＝A，∴A??RB，∴﹣1﹣2a＞5或a﹣2＜1，∴a＜3，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（﹣∞，3）．（2）∵?x∈B是x∈A的充分條件，∴B?A，①當(dāng)B＝?時(shí)，﹣1﹣2a＞a﹣2，解得a＜，②當(dāng)B≠?時(shí)，，∴a不存在，綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（﹣∞，）．18．（12分）已知函數(shù)f（x）＝lg（1+x）﹣lg（1﹣x）．（1）求函數(shù)f（x）的定義域；（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說(shuō)明理由；（3）若f（x）＞0，求x的取值范圍．【解答】解：（1）∵，∴﹣1＜x＜1，∴函數(shù)f（x）的定義域（﹣1，1）；（2）函數(shù)f（x）＝lg（1+x）﹣lg（1﹣x）．∵f（﹣x）＝lg（1﹣x）﹣lg（1+x）＝﹣f（x）．∴f（x）為奇函數(shù)（3）∵f（x）＞0，∴，求解得出：0＜x＜1故x的取值范圍：（0，1）．19．（12分）李先生是一名上班族，為了比較上下班的通勤時(shí)間，記錄了20天個(gè)工作日內(nèi)，家里到單位的上班時(shí)間以及同路線返程的下班時(shí)間（單位：分鐘），如下莖葉圖顯示兩類(lèi)時(shí)間的共40個(gè)記錄：（1）求出這40個(gè)通勤記錄的中位數(shù)M，并完成下列2×2列聯(lián)表：超過(guò)M不超過(guò)M上班時(shí)間下班時(shí)間（2）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，請(qǐng)問(wèn)上下班的通勤時(shí)間是否有顯著差異？并說(shuō)明理由．附：，P（χ2≥3.841）≈0.05【解答】解：（1）根據(jù)莖葉圖可知，這40個(gè)通勤記錄的中位數(shù)是，故M＝43，2×2列聯(lián)表：超過(guò)M不超過(guò)M上班時(shí)間812下班時(shí)間713（2）根據(jù)題意，由，則，故上下班的通勤時(shí)間沒(méi)有顯著差異．20．（12分）已知函數(shù)f（x）＝x3+ax2+x+1在x＝﹣1時(shí)取得極值．（1）求f（x）在（0，f（0））處的切線方程；（2）求f（x）在區(qū)間[﹣2，0]上的最大值與最小值．【解答】解：（1）已知f（x）＝x3+ax2+x+1，函數(shù)定義域?yàn)镽，可得f'（x）＝3x2+2ax+1，因?yàn)閒（x）在x＝﹣1處取得極值，所以f'（﹣1）＝3﹣2a+1＝0，解得a＝2，當(dāng)a＝2時(shí)，f'（x）＝3x2+4x+1＝（3x+1）（x+1），當(dāng)x＜﹣1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)﹣1＜x＜﹣時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)f（x）在x＝﹣1時(shí)取得極值，所以a＝2，此時(shí)f′（0）＝1，又f（0）＝1，所以f（x）在（0，f（0））處的切線方程為y﹣1＝x﹣0，即x﹣y+1＝0；（2）由（1）知f（x）＝x3+2x2+x+1，當(dāng)﹣2≤x＜﹣1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)﹣1＜x＜﹣時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)﹣＜x≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，所以f（x）極大值＝f（﹣1）＝1，f（x）極小值＝f（﹣）＝，又f（0）＝1，f（﹣2）＝﹣8+8﹣2+1＝﹣1，所以f（x）在區(qū)間[﹣2，0]上的最大值為1，最小值為﹣1．21．（12分）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線C1的方程為x2+（y﹣1）2＝1．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求直線l和曲線C1的極坐標(biāo)方程；（2）曲線分別交直線l和曲線C1于點(diǎn)A，B，求的最大值及相應(yīng)α的值．【解答】解：（1）由（t為參數(shù)），得y﹣4＝﹣x，∴直線l的普通方程為x+y﹣4＝0，∴直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ+ρsinθ﹣4＝0，∵曲線C1的普通方程為x2+y2＝2y，∴由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得C1的參數(shù)方程為ρ＝2sinθ．（2）直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ+ρsinθ﹣4＝0，令θ＝a，則|OA|＝，又|OB|＝2sinα，∴＝＝，∵，∴，∴當(dāng)，即時(shí)，取得最大值．