新八年級(jí)數(shù)學(xué)講義第2講全等三角形-滿分班(學(xué)生版+解析)

第2講全等三角形

1全等三角形一、全等形形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合.能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形.要點(diǎn)詮釋：一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變化了，但形狀、大小都沒(méi)有改變，即平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等.兩個(gè)全等形的周長(zhǎng)相等，面積相等.二、全等三角形

能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形.三、對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角1.對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角定義兩個(gè)全等三角形重合在一起，重合的頂點(diǎn)叫對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫對(duì)應(yīng)邊，重合的角叫對(duì)應(yīng)角.要點(diǎn)詮釋：在寫(xiě)兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)位置上，這樣容易找出對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角.如下圖，△ABC與△DEF全等，記作△ABC≌△DEF，其中點(diǎn)A和點(diǎn)D，點(diǎn)B和點(diǎn)E，點(diǎn)C和點(diǎn)F是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)；AB和DE，BC和EF，AC和DF是對(duì)應(yīng)邊；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是對(duì)應(yīng)角.2.找對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的方法（1）全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊；（2）全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角；（3）有公共邊的，公共邊是對(duì)應(yīng)邊；（4）有公共角的，公共角是對(duì)應(yīng)角；（5）有對(duì)頂角的，對(duì)頂角一定是對(duì)應(yīng)角；（6）兩個(gè)全等三角形中一對(duì)最長(zhǎng)的邊（或最大的角）是對(duì)應(yīng)邊（或角），一對(duì)最短的邊（或最小的角）是對(duì)應(yīng)邊（或角），等等.四、全等三角形的性質(zhì)

全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.要點(diǎn)詮釋：全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線相等，周長(zhǎng)相等，面積相等.全等三角形的性質(zhì)是今后研究其它全等圖形的重要工具.【例題精選】例1(2023秋?松滋市期中）已知△ABC的三邊分別是6，8，10，△DEF的三邊分別是6，6x﹣4，4x+2，若兩個(gè)三角形全等，則x的值為_(kāi)_______．例2(2023秋?諸暨市期末）如圖，點(diǎn)P在BC上，AB⊥BC于點(diǎn)B，DC⊥BC于點(diǎn)C，△ABP≌△PCD，其中BP＝CD，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤是（）A．∠APB＝∠D B．∠A+∠CPD＝90° C．AP＝PD D．AB＝PC【隨堂練習(xí)】1．(2023秋?梁園區(qū)期中）如圖，已知△ABO≌△CDO，則下列結(jié)論不正確的是（）A．AB＝OD B．∠A＝∠C C．AD＝BC D．∠AOB＝∠COD2全等三角形的判定與性質(zhì)全等三角形的判定方法有SAS,ASA,AAS,SSS【例題精選】例1(2023秋?西寧期末）如圖，△ABC≌△DBC，連接AD，延長(zhǎng)CB交AD于點(diǎn)E．（1）若∠CAB＝35°，∠ACD＝76°，求∠CBD的度數(shù)；（2）求證：△ABE≌△DBE．例2(2023秋?江津區(qū)期末）如圖，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF．求證：△ABC≌△DEF．【隨堂練習(xí)】1．(2023秋?黑河期末）下列所給的四組條件，能作出唯一三角形的是（）A．AB＝4cm，BC＝3cm，AC＝5cm B．AB＝2cm，BC＝6cm，AC＝4cm C．∠A＝∠B＝∠C＝60° D．∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°2．(2023秋?曾都區(qū)期末）如圖，已知△ABC，下面甲、乙、丙、丁四個(gè)三角形中，與△ABC全等的是（）A． B． C． D．3．(2023秋?東阿縣期末）如圖，A，B，C三點(diǎn)在同一條直線上，∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，添加下列條件，不能判定△EAB≌△BCD的是（）A．EB＝BD B．∠E+∠D＝90° C．AC＝AE+CD D．∠EBD＝60°4．(2023秋?鯉城區(qū)校級(jí)期末）如圖，AB＝AC，若要使△ABE≌△ACD．則添加的一個(gè)條件不能是（）A．∠B＝∠C B．∠ADC＝∠AEB C．BD＝CE D．BE＝CD3直角三角形全等除了前面所學(xué)的全等條件外，直角三角形還有一種判定是HL即兩個(gè)直角三角形中，有一組斜邊和直角邊對(duì)應(yīng)相等，則這兩個(gè)直角三角形也全等?！纠}精選】例1(2023春?合浦縣期中）如圖所示，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F(xiàn)為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，且AE＝CF．求證：Rt△ABE≌Rt△CBF．例2(2023秋?勃利縣期末）如圖，AB⊥BC、DC⊥BC，垂足分別為B、C，AB＝6，BC＝8，CD＝2，點(diǎn)P為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)BP＝_______時(shí)，形成的Rt△ABP與Rt△PCD全等．【隨堂練習(xí)】1．(2023春?來(lái)賓期末）如圖，在Rt△ABC與Rt△DEF中，∠B＝∠E＝90°，AC＝DF，AB＝DE，∠A＝50°，則∠DFE＝_________．2．(2023春?漢壽縣期中）如圖，在Rt△ABC與Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，若利用“HL”證明Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的條件是_________________________．（不添加字母和輔助線）4全等三角形的應(yīng)用會(huì)利用三角形全等的判定與性質(zhì)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題【例題精選】例1(2023春?鄭州期中）如圖，小明站在堤岸的A點(diǎn)處，正對(duì)他的S點(diǎn)停有一艘游艇，他想知道這艘游艇距離他多遠(yuǎn)，于是他沿堤岸走到電線桿B旁，接著再往前走相同的距離，到達(dá)C點(diǎn)，然后他向左直行，當(dāng)看到電線桿與游艇在一條直線上時(shí)停下來(lái)．此時(shí)他位于D點(diǎn)．那么C、D兩點(diǎn)間的距離就是在A點(diǎn)處小明與游艇的距離，你知道這是為什么嗎？例2(2023春?雁塔區(qū)校級(jí)期末）如圖，平安路與幸福路是兩條平行的道路，且都與新興大街垂直，老街與小米胡同垂直，書(shū)店位于老街與小米胡同的交口處．如果小強(qiáng)同學(xué)站在平安路與新興大街交叉路口，準(zhǔn)備去書(shū)店，按圖中的街道行走，最近的路程為（）A．300m B．400m C．500m D．700m【隨堂練習(xí)】1．(2023秋?陵川縣期末）如圖所示，為了測(cè)量出A，B兩點(diǎn)之間的距離，在地面上找到一點(diǎn)C，連接BC，AC，使∠ACB＝90°，然后在BC的延長(zhǎng)線上確定D，使CD＝BC，那么只要測(cè)量出AD的長(zhǎng)度也就得到了A，B兩點(diǎn)之間的距離，這樣測(cè)量的依據(jù)是（）A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS2．(2023秋?大荔縣期末）如圖，要測(cè)量河兩岸相對(duì)兩點(diǎn)A、B間的距離，先在過(guò)點(diǎn)B的AB的垂線上取兩點(diǎn)C、D，使得CD＝BC，再在過(guò)點(diǎn)D的垂線上取點(diǎn)E，使A、C、E三點(diǎn)在一條直線上，可以證明△EDC≌△ABC，所以測(cè)得ED的長(zhǎng)就是A、B兩點(diǎn)間的距離，這里判定△EDC≌△ABC的理由是（）A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS綜合練習(xí)一．選擇題（共3小題）1．如圖，用直尺和圓規(guī)作射線OC，使它平分∠AOB，則△ODC≌△OEC的理由是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL2．如圖，AB＝DB，∠ABD＝∠CBE，①BE＝BC，②∠D＝∠A，③∠B＝∠E，④AC＝DE，能使△ABC≌△DBE的條件有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．43．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，AD與BE相交于點(diǎn)F，若BF＝AC，∠CAD＝25°，則∠ABE的度數(shù)為（）A．30° B．15° C．25° D．20°二．填空題4．如圖，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中點(diǎn)，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，則∠MAB＝．三．解答題（共3小題）5．如圖，∠A＝∠B，AE＝BE，點(diǎn)D在AC邊上，∠1＝∠2．求證：∠EDC＝∠C．6．已知銳角△ABC，∠ABC＝45°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，交AD于F．（1）求證：△BDF≌△ADC；（2）若BD＝4，DC＝3，求線段BE的長(zhǎng)度．7．問(wèn)題情境：小明和小麗共同探究一道數(shù)學(xué)題：如圖①，在△ABC中，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，∠BAD＝65°，∠DAC＝50°，AD＝2，求AC的長(zhǎng)為多少．探索發(fā)現(xiàn)；小明的思路是：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使DE＝AD，構(gòu)造全等三角形．小麗的思路是：過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，構(gòu)造全等三角形．選擇小明、小麗其中一人的方法解決問(wèn)題情境中的問(wèn)題．類比應(yīng)用：如圖②，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，AB⊥AC．若∠CAD＝45°，∠ADC＝67.5°，AO＝2，則BC的長(zhǎng)為．第2講全等三角形

1全等三角形一、全等形形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合.能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形.要點(diǎn)詮釋：一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變化了，但形狀、大小都沒(méi)有改變，即平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等.兩個(gè)全等形的周長(zhǎng)相等，面積相等.二、全等三角形

能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形.三、對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角1.對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角定義兩個(gè)全等三角形重合在一起，重合的頂點(diǎn)叫對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫對(duì)應(yīng)邊，重合的角叫對(duì)應(yīng)角.要點(diǎn)詮釋：在寫(xiě)兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)位置上，這樣容易找出對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角.如下圖，△ABC與△DEF全等，記作△ABC≌△DEF，其中點(diǎn)A和點(diǎn)D，點(diǎn)B和點(diǎn)E，點(diǎn)C和點(diǎn)F是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)；AB和DE，BC和EF，AC和DF是對(duì)應(yīng)邊；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是對(duì)應(yīng)角.2.找對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的方法（1）全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊；（2）全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角；（3）有公共邊的，公共邊是對(duì)應(yīng)邊；（4）有公共角的，公共角是對(duì)應(yīng)角；（5）有對(duì)頂角的，對(duì)頂角一定是對(duì)應(yīng)角；（6）兩個(gè)全等三角形中一對(duì)最長(zhǎng)的邊（或最大的角）是對(duì)應(yīng)邊（或角），一對(duì)最短的邊（或最小的角）是對(duì)應(yīng)邊（或角），等等.四、全等三角形的性質(zhì)

全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.要點(diǎn)詮釋：全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線相等，周長(zhǎng)相等，面積相等.全等三角形的性質(zhì)是今后研究其它全等圖形的重要工具.【例題精選】例1(2023秋?松滋市期中）已知△ABC的三邊分別是6，8，10，△DEF的三邊分別是6，6x﹣4，4x+2，若兩個(gè)三角形全等，則x的值為_(kāi)_______．分析：根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，分兩種情況求出x的值，再根據(jù)x的值作出判斷即可．【解答】解：由全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得，①4x+2＝10，解得x＝2，6x﹣4＝8，解得x＝2，由于2＝2，所以，此種情況成立；②4x+2＝8，解得x＝，6x﹣4＝10，解得x＝，由于≠，所以該情況不成立綜上所述，x的值為2．故答案是：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，要注意兩個(gè)方程求出的x的值必須相同．例2(2023秋?諸暨市期末）如圖，點(diǎn)P在BC上，AB⊥BC于點(diǎn)B，DC⊥BC于點(diǎn)C，△ABP≌△PCD，其中BP＝CD，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤是（）A．∠APB＝∠D B．∠A+∠CPD＝90° C．AP＝PD D．AB＝PC分析：根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵△ABP≌△PCD，∴∠APB＝∠D，AP＝PD，AB＝PC，∠A＝∠CPD，∴∠A+∠CPD＝90°是錯(cuò)誤的，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．【隨堂練習(xí)】1．(2023秋?梁園區(qū)期中）如圖，已知△ABO≌△CDO，則下列結(jié)論不正確的是（）A．AB＝OD B．∠A＝∠C C．AD＝BC D．∠AOB＝∠COD【解答】解：∵△ABO≌△CDO，∴AO＝OC，AB＝CD，OB＝OD，∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠AOB＝∠COD，故選：A．2全等三角形的判定與性質(zhì)全等三角形的判定方法有SAS,ASA,AAS,SSS【例題精選】例1(2023秋?西寧期末）如圖，△ABC≌△DBC，連接AD，延長(zhǎng)CB交AD于點(diǎn)E．（1）若∠CAB＝35°，∠ACD＝76°，求∠CBD的度數(shù)；（2）求證：△ABE≌△DBE．分析：（1）直接利用全等三角形的性質(zhì)得出∠ACB＝∠DCB＝38°，進(jìn)而得出答案；（2）利用全等三角形的判定方法分析得出答案．【解答】（1）解：∵△ABC≌△DBC，∠CAB＝35°，∴∠CAB＝∠CDB＝35°，∠ACB＝∠DCB（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等），∵∠ACD＝76°，∴∠ACB＝∠DCB＝38°，∴∠CBD＝180°﹣35°﹣38°＝107°（三角形的內(nèi)角和是180°）．（2）證明：∵△ABC≌△DBC，∴AC＝DC，AB＝DB（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等），∴△ACD是等腰三角形，又∵∠ACB＝∠DCB，∴CE是AD邊上的中線（三線合一），即AE＝DE，在△ABE與△DBE中，，∴△ABE≌△DBE（SSS）．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，正確掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．例2(2023秋?江津區(qū)期末）如圖，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF．求證：△ABC≌△DEF．分析：由平行線得出∠CBA＝∠FED，證出BC＝EF，由SAS即可得出△ABC≌△DEF．【解答】證明：∵AB∥DE，∴∠CBA＝∠FED，∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定、平行線的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．【隨堂練習(xí)】1．(2023秋?黑河期末）下列所給的四組條件，能作出唯一三角形的是（）A．AB＝4cm，BC＝3cm，AC＝5cm B．AB＝2cm，BC＝6cm，AC＝4cm C．∠A＝∠B＝∠C＝60° D．∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°【解答】解：A、符合三角形的三邊關(guān)系定理，能作出唯一的三角形，故本選項(xiàng)符合題意；B、不符合三角形的三邊關(guān)系定理，不能作出三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；C、能作出多個(gè)等邊三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；D、能作出多個(gè)直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：A．2．(2023秋?曾都區(qū)期末）如圖，已知△ABC，下面甲、乙、丙、丁四個(gè)三角形中，與△ABC全等的是（）A． B． C． D．【解答】解：在△ABC中，∠B＝180°﹣58°﹣72°＝50°，根據(jù)“SAS”可判斷圖甲的三角形與△ABC全等．故選：A．3．(2023秋?東阿縣期末）如圖，A，B，C三點(diǎn)在同一條直線上，∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，添加下列條件，不能判定△EAB≌△BCD的是（）A．EB＝BD B．∠E+∠D＝90° C．AC＝AE+CD D．∠EBD＝60°【解答】解：∵∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，∴當(dāng)添加EB＝BD時(shí)，則可根據(jù)“HL”判定△EAB≌△BCD；當(dāng)添加AE＝BC，即AC＝AE+CD，則可根據(jù)“SAS”判定△EAB≌△BCD；當(dāng)添加∠ABE＝∠D時(shí)，此時(shí)∠D+∠E＝90°，∠EBD＝90°，則可根據(jù)“SAS”判定△EAB≌△BCD，．故選：D．4．(2023秋?鯉城區(qū)校級(jí)期末）如圖，AB＝AC，若要使△ABE≌△ACD．則添加的一個(gè)條件不能是（）A．∠B＝∠C B．∠ADC＝∠AEB C．BD＝CE D．BE＝CD【解答】解：A、添加∠B＝∠C可利用ASA定理判定△ABE≌△ACD，故此選項(xiàng)不合題意；B、添加∠ADC＝∠AEB可利用AAS定理判定△ABE≌△ACD，故此選項(xiàng)不合題意；C、添加BD＝CE可得AD＝AE，可利用利用SAS定理判定△ABE≌△ACD，故此選項(xiàng)不合題意；D、添加BE＝CD不能判定△ABE≌△ACD，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．3直角三角形全等除了前面所學(xué)的全等條件外，直角三角形還有一種判定是HL即兩個(gè)直角三角形中，有一組斜邊和直角邊對(duì)應(yīng)相等，則這兩個(gè)直角三角形也全等?！纠}精選】例1(2023春?合浦縣期中）如圖所示，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F(xiàn)為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，且AE＝CF．求證：Rt△ABE≌Rt△CBF．分析：在Rt△ABE和Rt△CBF中，由于AB＝CB，AE＝CF，利用HL可證Rt△ABE≌Rt△CBF．【解答】證明：在Rt△ABE和Rt△CBF中，∵，∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握HL．例2(2023秋?勃利縣期末）如圖，AB⊥BC、DC⊥BC，垂足分別為B、C，AB＝6，BC＝8，CD＝2，點(diǎn)P為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)BP＝_______時(shí)，形成的Rt△ABP與Rt△PCD全等．分析：當(dāng)BP＝2時(shí)，Rt△ABP≌Rt△PCD，由BC＝8可得CP＝6，進(jìn)而可得AB＝CP，BP＝CD，再結(jié)合AB⊥BC、DC⊥BC可得∠B＝∠C＝90°，可利用SAS判定△ABP≌△PCD．【解答】解：當(dāng)BP＝2時(shí)，Rt△ABP≌Rt△PCD，∵BC＝8，BP＝2，∴PC＝6，∵AB⊥BC、DC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，在△ABP和△PCD中，∴△ABP≌△PCD（SAS），故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形全等的判定方法，關(guān)鍵是掌握SAS定理．【隨堂練習(xí)】1．(2023春?來(lái)賓期末）如圖，在Rt△ABC與Rt△DEF中，∠B＝∠E＝90°，AC＝DF，AB＝DE，∠A＝50°，則∠DFE＝_________．【解答】解：在Rt△ABC與Rt△DEF中，∵∠B＝∠E＝90°，AC＝DF，AB＝DE，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）∴∠D＝∠A＝50°，∴∠DFE＝90°﹣∠D＝90°﹣50°＝40°．故填40．2．(2023春?漢壽縣期中）如圖，在Rt△ABC與Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，若利用“HL”證明Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的條件是_________________________．（不添加字母和輔助線）【解答】解：∵斜邊與直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，∴在Rt△ABC與Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，使Rt△ABC≌Rt△DCB，添加的條件是：AB＝DC．故答案為：AB＝DC（答案不唯一）4全等三角形的應(yīng)用會(huì)利用三角形全等的判定與性質(zhì)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題【例題精選】例1(2023春?鄭州期中）如圖，小明站在堤岸的A點(diǎn)處，正對(duì)他的S點(diǎn)停有一艘游艇，他想知道這艘游艇距離他多遠(yuǎn)，于是他沿堤岸走到電線桿B旁，接著再往前走相同的距離，到達(dá)C點(diǎn)，然后他向左直行，當(dāng)看到電線桿與游艇在一條直線上時(shí)停下來(lái)．此時(shí)他位于D點(diǎn)．那么C、D兩點(diǎn)間的距離就是在A點(diǎn)處小明與游艇的距離，你知道這是為什么嗎？分析：根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：在△ABS與△CBD中，，∴△ABS≌△CBD（AAS），∴AS＝CD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是全等三角形在實(shí)際生活中的運(yùn)用，能根據(jù)題意畫(huà)出圖形是解答此題的關(guān)鍵．例2(2023春?雁塔區(qū)校級(jí)期末）如圖，平安路與幸福路是兩條平行的道路，且都與新興大街垂直，老街與小米胡同垂直，書(shū)店位于老街與小米胡同的交口處．如果小強(qiáng)同學(xué)站在平安路與新興大街交叉路口，準(zhǔn)備去書(shū)店，按圖中的街道行走，最近的路程為（）A．300m B．400m C．500m D．700m分析：由于BC∥AD，那么有∠DAE＝∠ACB，由題意可知∠ABC＝∠DEA＝90°，BA＝ED，利用AAS可證△ABC≌△DEA，于是AE＝BC＝300，再利用勾股定理可求AC，即可求CE，根據(jù)圖可知從B到E的走法有兩種，分別計(jì)算比較即可．【解答】解：如圖所示，設(shè)老街與平安路的交點(diǎn)為C．∵BC∥AD，∴∠DAE＝∠ACB，又∵BC⊥AB，DE⊥AC，∴∠ABC＝∠DEA＝90°，在△ABC和△DEA中，∴△ABC≌△DEA（AAS），∴EA＝BC＝300m，在Rt△ABC中，AC＝＝500m，∴CE＝AC﹣AE＝200m，從B到E有兩種走法：①BA+AE＝700m；②BC+CE＝500m，∴最近的路程是500m．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理．解題的關(guān)鍵是證明△ABC≌△DEA，并能比較從B到E有兩種走法．【隨堂練習(xí)】1．(2023秋?陵川縣期末）如圖所示，為了測(cè)量出A，B兩點(diǎn)之間的距離，在地面上找到一點(diǎn)C，連接BC，AC，使∠ACB＝90°，然后在BC的延長(zhǎng)線上確定D，使CD＝BC，那么只要測(cè)量出AD的長(zhǎng)度也就得到了A，B兩點(diǎn)之間的距離，這樣測(cè)量的依據(jù)是（）A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS【解答】解：∵AC⊥BD，∴∠ACB＝∠ACD＝90°，在△ACB和△ACD中，，∴△ACB≌△ACD（SAS），∴AB＝AD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）．故選：B．2．(2023秋?大荔縣期末）如圖，要測(cè)量河兩岸相對(duì)兩點(diǎn)A、B間的距離，先在過(guò)點(diǎn)B的AB的垂線上取兩點(diǎn)C、D，使得CD＝BC，再在過(guò)點(diǎn)D的垂線上取點(diǎn)E，使A、C、E三點(diǎn)在一條直線上，可以證明△EDC≌△ABC，所以測(cè)得ED的長(zhǎng)就是A、B兩點(diǎn)間的距離，這里判定△EDC≌△ABC的理由是（）A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS【解答】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠ABD＝∠EDC＝90°，在△EDC和△ABC中，，∴△EDC≌△ABC（ASA）故選：C．綜合練習(xí)一．選擇題（共3小題）1．如圖，用直尺和圓規(guī)作射線OC，使它平分∠AOB，則△ODC≌△OEC的理由是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL【解答】解：由作圖可知，OE＝OD，DC＝EC，在△ODC與△OEC中，∴△ODC≌△OEC（SSS），故選：A．2．如圖，AB＝DB，∠ABD＝∠CBE，①BE＝BC，②∠D＝∠A，③∠B＝∠E，④AC＝DE，能使△ABC≌△DBE的條件有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵AB＝DB，∠ABD＝∠CBE，∴∠ABC＝∠DBE，∵BE＝BC，利用SAS可得△ABC≌△DBE；∵∠D＝∠A，利用ASA可得△ABC≌△DBE；∵∠B＝∠E，利用AAS可得△ABC≌△DBE；故選：C．3．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，AD與BE相交于點(diǎn)F，若BF＝AC，∠CAD＝25°，則∠ABE的度數(shù)為（）A．30° B．15° C．25° D．20°【解答】解：證明：∵AD⊥BC，∴∠BDF＝∠ADC，又∵∠BFD＝∠AFE，∴∠CAD＝∠FBD，在△BDF和△ACD中，∴△BDF≌△ACD（AAS）∴∠DBF＝∠CAD＝25°，∵DB＝DA，∠ADB＝90°，∴∠ABD＝45°，∴∠ABE＝∠ABD﹣∠DBF＝20°故選：D．二．填空題（共1小題）4．如圖，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中點(diǎn)，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，則∠MAB＝35°．【解答】解：作MN⊥AD于N，∵∠B＝∠C＝90°，∴AB∥CD，∴∠DAB＝180°﹣∠ADC＝70°，∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，∴MN＝MC，∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴MC＝MB，∴MN＝MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，∴∠MAB＝∠DAB＝35°，故答案為：35三．解答題（共3小題）5．如圖，∠A＝∠B，AE＝BE，點(diǎn)D在AC邊上，∠1＝∠2．求證：∠EDC＝∠C．【解答】證明：∵∠ADE＝∠1+∠DCE＝∠2+∠BDE，且∠1＝∠2，∴∠DCE＝∠BDE，且∠A＝∠B，