專題3-1利用基本不等式求最值（6大題型）（原卷版）

利用基本不等式求最值一、基本不等式常用的結(jié)論1、如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)“=”）推論：（）2、如果，,則，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)“=”）.推論：（，）；3、二、利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.三、利用基本不等式求最值的方法1、直接法：條件和問(wèn)題間存在基本不等式的關(guān)系2、配湊法：湊出“和為定值”或“積為定值”，直接使用基本不等式。3、代換法：代換法適用于條件最值中，出現(xiàn)分式的情況類型1：分母為單項(xiàng)式，利用“1”的代換運(yùn)算，也稱乘“1”法；類型2：分母為多項(xiàng)式時(shí)方法1：觀察法適合與簡(jiǎn)單型，可以讓兩個(gè)分母相加看是否與給的分子型成倍數(shù)關(guān)系；方法2：待定系數(shù)法，適用于所有的形式，如分母為與，分子為，設(shè)∴，解得：4、消元法：當(dāng)題目中的變?cè)容^多的時(shí)候，可以考慮削減變?cè)D(zhuǎn)化為雙變量或者單變量問(wèn)題。5、構(gòu)造不等式法：尋找條件和問(wèn)題之間的關(guān)系，通過(guò)重新分配，使用基本不等式得到含有問(wèn)題代數(shù)式的不等式，通過(guò)解不等式得出范圍，從而求得最值。題型一直接法求最值【例1】（2023秋·新疆昌吉·高一校考期末）已知，且，則的最大值為（）A．B．25C．36D．49【變式11】（2023秋·四川綿陽(yáng)·高三?？茧A段練習(xí)）若，，，則的最小值為（）A．B．C．D．【變式12】（2022秋·陜西漢中·高一校聯(lián)考期末）若滿足，則的最大值是.【變式13】（2022秋·福建三明·高一?？茧A段練習(xí)）若，則的最大值為（）A．9B．16C．49D．64【變式14】（2022秋·吉林長(zhǎng)春·高一?？计谥校┮阎瑒t的最大值為（）A．2B．4C．5D．6【變式15】（2022秋·重慶·高一?？茧A段練習(xí)）已知正數(shù)滿足，則的最小值為（）A．16B．12C．8D．4題型二配湊法求最值【例2】（2023秋·廣東廣州·高一?？茧A段練習(xí)）若，則的最小值是（）A．B．1C．D．【變式21】（2023秋·廣東廣州·高一?？茧A段練習(xí)）若，則的最大值是【變式22】（2023秋·四川綿陽(yáng)·高三?？茧A段練習(xí)）已知，，且，則xy的最大值為（）A．B．C．1D．2【變式23】（2023·海南·高三模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，則函數(shù)，的最小值為（）A．7B．8C．14D．15題型三消元法求最值【例3】（2023秋·遼寧·高一?？茧A段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（）A．B．C．D．【變式31】（2023秋·浙江·高一?？茧A段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，滿足，且，則的最小值是（）A．33B．26C．25D．21【變式32】（2023秋·四川瀘州·高一校考階段練習(xí)）若正數(shù)滿足，則的最小值是（）A．2B．C．4D．【變式33】（2023秋·山東棗莊·高一校考期末）負(fù)實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（）A．1B．0C．D．【變式34】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最大值是.題型四乘“1”法求最值【例4】（2023春·廣東汕頭·高一?？计谥校┮阎龑?shí)數(shù)滿足，則的最小值為.【變式41】（2023秋·江蘇·高三10月聯(lián)考）若滿足，則的最小值為（）A．B．C．12D．16【變式42】（2023秋·遼寧朝陽(yáng)·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）若，，且滿足，則的最小值是（）A．10B．12C．14D．16【變式43】（2023秋·廣東廣州·高一?？茧A段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值．題型五雙換元法求最值【例5】（2022秋·四川成都·高一校聯(lián)考期中）若實(shí)數(shù)、滿足，則的最大值為（）A．B．C．D．【變式51】（2023秋·浙江杭州·高一?？计谀┤?，，且，則的最小值為（）A．4B．C．D．【變式52】（2023春·浙江衢州·高一校考階段練習(xí)）設(shè)x，y是正實(shí)數(shù)，且，則的最大值是.【變式53】（2022秋·廣東惠州·高一?？茧A段練習(xí)）已知正數(shù)滿足，則的最小值為.【變式54】（2023秋·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）已知，，則最小值為．題型六構(gòu)造不等式法求最值【例6】（2023秋·河南新鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）若正數(shù)滿足，則的最大值為（）A．B．C．D．【變式61】（2022秋·廣東惠州·高一校考階段練習(xí)）已知，且，則的最大值為（）A．B．C．3D．4【變式62】（2023秋·天津東麗·高一?？茧A段練習(xí)）已知，且，則的最小值是（）A．B．C．