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文檔簡介

吉林省白城十四中高三(最后沖刺)新高考數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位),則z的虛部為()A.2 B. C.4 D.2.若為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如圖所示,圓柱表面上的點(diǎn)在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為,圓柱表面上的點(diǎn)在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為,則在此圓柱側(cè)面上,從到的路徑中,最短路徑的長度為()A. B. C. D.24.已知若(1-ai)(3+2i)為純虛數(shù),則a的值為()A. B. C. D.5.已知正方體的棱長為2,點(diǎn)在線段上,且,平面經(jīng)過點(diǎn),則正方體被平面截得的截面面積為()A. B. C. D.6.已知集合,,若,則()A.或 B.或 C.或 D.或7.已知復(fù)數(shù)z滿足i?z=2+i,則z的共軛復(fù)數(shù)是()A.﹣1﹣2i B.﹣1+2i C.1﹣2i D.1+2i8.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z=i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z,將向量繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A. B. C. D.9.已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和,,,則()A.85 B. C.35 D.10.已知函數(shù)f(x)=,若關(guān)于x的方程f(x)=kx-恰有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A. B.C. D.11.集合,則()A. B. C. D.12.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別是且,若為最大邊,則的取值范圍是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某地區(qū)連續(xù)5天的最低氣溫(單位:℃)依次為8,,,0,2,則該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為_______.14.請(qǐng)列舉用0,1,2,3這4個(gè)數(shù)字所組成的無重復(fù)數(shù)字且比210大的所有三位奇數(shù):___________.15.已知點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn),兩點(diǎn)在雙曲線上,且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,若,設(shè),且,則該雙曲線的焦距的取值范圍是________.16.若在上單調(diào)遞減,則的取值范圍是_______三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.(Ⅰ)求直線的直角坐標(biāo)方程與曲線的普通方程;(Ⅱ)已知點(diǎn)設(shè)直線與曲線相交于兩點(diǎn),求的值.18.(12分)設(shè)函數(shù)其中(Ⅰ)若曲線在點(diǎn)處切線的傾斜角為,求的值;(Ⅱ)已知導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn),證明:當(dāng)時(shí),.19.(12分)已知函數(shù).(1)若對(duì)任意x0,f(x)0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2(x1x2),證明:.20.(12分)心形線是由一個(gè)圓上的一個(gè)定點(diǎn),當(dāng)該圓在繞著與其相切且半徑相同的另外一個(gè)圓周上滾動(dòng)時(shí),這個(gè)定點(diǎn)的軌跡,因其形狀像心形而得名,在極坐標(biāo)系中,方程()表示的曲線就是一條心形線,如圖,以極軸所在的直線為軸,極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中.已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(1)求曲線的極坐標(biāo)方程;(2)若曲線與相交于、、三點(diǎn),求線段的長.21.(12分)圖1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°,將其沿AB,BC折起使得BE與BF重合,連結(jié)DG,如圖2.(1)證明:圖2中的A,C,G,D四點(diǎn)共面,且平面ABC⊥平面BCGE;(2)求圖2中的二面角B?CG?A的大小.22.(10分)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=4,.(1)求A的余弦值;(2)求△ABC面積的最大值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行乘法運(yùn)算,并計(jì)算得到,從而得到虛部為2.【詳解】因?yàn)?,所以z的虛部為2.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及虛部的概念,計(jì)算過程要注意.2、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算,化簡得到,再結(jié)合復(fù)數(shù)的表示,即可求解,得到答案.【詳解】由題意,根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算,可得,所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為位于第四象限.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算,以及復(fù)數(shù)的幾何意義,其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則,準(zhǔn)確化簡復(fù)數(shù)為代數(shù)形式是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

首先根據(jù)題中所給的三視圖,得到點(diǎn)M和點(diǎn)N在圓柱上所處的位置,將圓柱的側(cè)面展開圖平鋪,點(diǎn)M、N在其四分之一的矩形的對(duì)角線的端點(diǎn)處,根據(jù)平面上兩點(diǎn)間直線段最短,利用勾股定理,求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)圓柱的三視圖以及其本身的特征,將圓柱的側(cè)面展開圖平鋪,可以確定點(diǎn)M和點(diǎn)N分別在以圓柱的高為長方形的寬,圓柱底面圓周長的四分之一為長的長方形的對(duì)角線的端點(diǎn)處,所以所求的最短路徑的長度為,故選B.點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)幾何體的表面上兩點(diǎn)之間的最短距離的求解問題,在解題的過程中,需要明確兩個(gè)點(diǎn)在幾何體上所處的位置,再利用平面上兩點(diǎn)間直線段最短,所以處理方法就是將面切開平鋪,利用平面圖形的相關(guān)特征求得結(jié)果.4、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則化簡可得,根據(jù)純虛數(shù)的概念可得結(jié)果.【詳解】由題可知原式為,該復(fù)數(shù)為純虛數(shù),所以.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的分類,屬基礎(chǔ)題.5、B【解析】

先根據(jù)平面的基本性質(zhì)確定平面,然后利用面面平行的性質(zhì)定理,得到截面的形狀再求解.【詳解】如圖所示:確定一個(gè)平面,因?yàn)槠矫嫫矫妫?,同理,所以四邊形是平行四邊?即正方體被平面截的截面.因?yàn)?,所以,即所以由余弦定理得:所以所以四邊形故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查平面的基本性質(zhì),面面平行的性質(zhì)定理及截面面積的求法,還考查了空間想象和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.6、B【解析】

因?yàn)?所以,所以或.若,則,滿足.若,解得或.若,則,滿足.若,顯然不成立,綜上或,選B.7、D【解析】

兩邊同乘-i,化簡即可得出答案.【詳解】i?z=2+i兩邊同乘-i得z=1-2i,共軛復(fù)數(shù)為1+2i,選D.【點(diǎn)睛】的共軛復(fù)數(shù)為8、A【解析】

由復(fù)數(shù)z求得點(diǎn)Z的坐標(biāo),得到向量的坐標(biāo),逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到向量的坐標(biāo),則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)可求.【詳解】解:∵復(fù)數(shù)z=i(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z(0,1),

∴=(0,1),將繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,

設(shè)=(a,b),,則,即,

又,解得:,∴,對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,是基礎(chǔ)題.9、B【解析】

將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式,求得,由此求得.【詳解】設(shè)公差為,則,所以,,,.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算,考查等差數(shù)列前項(xiàng)和的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

由已知可將問題轉(zhuǎn)化為:y=f(x)的圖象和直線y=kx-有4個(gè)交點(diǎn),作出圖象,由圖可得:點(diǎn)(1,0)必須在直線y=kx-的下方,即可求得:k>;再求得直線y=kx-和y=lnx相切時(shí),k=;結(jié)合圖象即可得解.【詳解】若關(guān)于x的方程f(x)=kx-恰有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則y=f(x)的圖象和直線y=kx-有4個(gè)交點(diǎn).作出函數(shù)y=f(x)的圖象,如圖,故點(diǎn)(1,0)在直線y=kx-的下方.∴k×1->0,解得k>.當(dāng)直線y=kx-和y=lnx相切時(shí),設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為m,則k==,∴m=.此時(shí),k==,f(x)的圖象和直線y=kx-有3個(gè)交點(diǎn),不滿足條件,故所求k的取值范圍是,故選D..【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)與方程思想及轉(zhuǎn)化能力,還考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及計(jì)算能力、觀察能力,屬于難題.11、D【解析】

利用交集的定義直接計(jì)算即可.【詳解】,故,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交運(yùn)算,注意常見集合的符號(hào)表示,本題屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

由,化簡得到的值,根據(jù)余弦定理和基本不等式,即可求解.【詳解】由,可得,可得,通分得,整理得,所以,因?yàn)闉槿切蔚淖畲蠼?,所以,又由余弦定理,?dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,所以,即,又由,所以的取值范圍是.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式的化簡,余弦定理,以及基本不等式的綜合應(yīng)用,試題難度較大,屬于中檔試題,著重考查了推理與運(yùn)算能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

先求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù),再求出這組數(shù)據(jù)的方差,由此能求出該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.【詳解】解:某地區(qū)連續(xù)5天的最低氣溫(單位:依次為8,,,0,2,平均數(shù)為:,該組數(shù)據(jù)的方差為:,該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查一組數(shù)據(jù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差的求法,考查平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.14、231,321,301,1【解析】

分個(gè)位數(shù)字是1、3兩種情況討論,即得解【詳解】0,1,2,3這4個(gè)數(shù)字所組成的無重復(fù)數(shù)字比210大的所有三位奇數(shù)有:(1)當(dāng)個(gè)位數(shù)字是1時(shí),數(shù)字可以是231,321,301;(2)當(dāng)個(gè)位數(shù)字是3時(shí)數(shù)字可以是1.故答案為:231,321,301,1【點(diǎn)睛】本題考查了分類計(jì)數(shù)法的應(yīng)用,考查了學(xué)生分類討論,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為,連接,由于.所以四邊形為矩形,故,由雙曲線定義可得,再求的值域即可.【詳解】如圖,設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為,連接,由于.所以四邊形為矩形,故.在中,由雙曲線的定義可得,.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線定義及其性質(zhì),涉及到求余弦型函數(shù)的值域,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,是一道中檔題.16、【解析】

由題意可得導(dǎo)數(shù)在恒成立,解出即可.【詳解】解:由題意,,當(dāng)時(shí),顯然,符合題意;當(dāng)時(shí),在恒成立,∴,∴,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)直線的直角坐標(biāo)方程為;曲線的普通方程為;(Ⅱ).【解析】

(I)利用參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程間的互化公式即可;(II)將直線參數(shù)方程代入拋物線的普通方程,可得,而根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義,知,代入即可解決.【詳解】由可得直線的直角坐標(biāo)方程為由曲線的參數(shù)方程,消去參數(shù)可得曲線的普通方程為.易知點(diǎn)在直線上,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程,并整理得.設(shè)是方程的兩根,則有.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程間的互化,直線參數(shù)方程的幾何意義,是一道容易題.18、(Ⅰ);(Ⅱ)證明見解析【解析】

(Ⅰ)求導(dǎo)得到,,解得答案.(Ⅱ),故,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,,設(shè),證明函數(shù)單調(diào)遞減,故,得到證明.【詳解】(Ⅰ),故,,故.(Ⅱ),即,存在唯一零點(diǎn),設(shè)零點(diǎn)為,故,即,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故,設(shè),則,設(shè),則,單調(diào)遞減,,故恒成立,故單調(diào)遞減.,故當(dāng)時(shí),.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的切線問題,利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵.19、(1);(2)證明見解析.【解析】

(1)求出,判斷函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最大值,即求的范圍;(2)由(1)可知,.對(duì)分和兩種情況討論,構(gòu)造函數(shù),利用放縮法和基本不等式證明結(jié)論.【詳解】(1)由,得.令.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,.對(duì)任意恒成立,.(2)證明:由(1)可知,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,.若,則,令在上單調(diào)遞增,,.又,在上單調(diào)遞減,.若,則顯然成立.綜上,.又以上兩式左右兩端分別相加,得,即,所以.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題,利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,屬于難題.20、(1)();(2).【解析】

(1)化簡得到直線方程為,再利用極坐標(biāo)公式計(jì)算得到答案.(2)聯(lián)立方程計(jì)算得到,,計(jì)算得到答案.【詳解】(1)由消得,即,是過原點(diǎn)且傾斜角為的直線,∴的極坐標(biāo)方程為().(2)由得,∴,由得∴,∴.【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程,極坐標(biāo)方程,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.21、(1)見詳解;(2).【解析】

(1)因?yàn)檎奂埡驼澈喜桓淖兙匦?,和菱形?nèi)部的夾角,所以,依然成立,又因和粘在一起,所以得證.因?yàn)槭瞧矫娲咕€,所以易證.(2)在圖中找到對(duì)應(yīng)的平面角,再求此平面角即可.于是考慮關(guān)于的垂線,發(fā)現(xiàn)此垂足與的連線也垂直于.按照此思路即證.【詳解】(1)證:,,又因?yàn)楹驼吃谝黄?,A,C,G,D四點(diǎn)共面.又.平面BCGE,平面ABC,平面ABC平面BCGE,得證.(2)過B作延長線于H,連結(jié)AH,因?yàn)锳B平面BCGE,所以而又,故平面,所以.又因?yàn)樗允嵌娼堑钠矫娼?/p>

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