高等數(shù)學(xué)上泰勒公式

二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的應(yīng)用—應(yīng)用用多項式近似表示函數(shù)理論分析近似計算§5.3泰勒(Taylor)公式

2021/5/91特點:一、泰勒公式的建立以直代曲在微分應(yīng)用中已知近似公式:需要解決的問題如何提高精度?如何估計誤差?x

的一次多項式2021/5/921.求n次近似多項式要求:故令則2021/5/932.余項估計令(稱為余項),則有2021/5/942021/5/95公式①稱為的n

階泰勒公式

.公式②稱為n

階泰勒公式的拉格朗日余項

.泰勒中值定理:階的導(dǎo)數(shù),時,有①其中②則當(dāng)2021/5/96公式③稱為n

階泰勒公式的佩亞諾(Peano)余項

.在不需要余項的精確表達(dá)式時,泰勒公式可寫為注意到③④*

可以證明:④式成立2021/5/97特例:(1)當(dāng)n=0

時,泰勒公式變?yōu)?2)當(dāng)n=1

時,泰勒公式變?yōu)榻o出拉格朗日中值定理可見誤差2021/5/98稱為麥克勞林（Maclaurin）公式.則有在泰勒公式中若取則有誤差估計式若在公式成立的區(qū)間上由此得近似公式2021/5/99二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式其中2021/5/910其中2021/5/911類似可得其中2021/5/912其中2021/5/913已知其中類似可得2021/5/914三、泰勒公式的應(yīng)用1.在近似計算中的應(yīng)用誤差M

為在包含0,x

的某區(qū)間上的上界.需解問題的類型:1)已知x和誤差限,要求確定項數(shù)n;2)已知項數(shù)

n

和x,計算近似值并估計誤差;3)已知項數(shù)

n

和誤差限,確定公式中x

的適用范圍.2021/5/915已知例1.

計算無理數(shù)e

的近似值,使誤差不超過解:令x=1,得由于欲使由計算可知當(dāng)n=9

時上式成立,因此的麥克勞林公式為2021/5/916說明:

注意舍入誤差對計算結(jié)果的影響.本例若每項四舍五入到小數(shù)點后6位,則各項舍入誤差之和不超過總誤差為這時得到的近似值不能保證誤差不超過因此計算時中間結(jié)果應(yīng)比精度要求多取一位.2021/5/917例2.

用近似公式計算cosx

的近似值,使其精確到0.005,試確定x

的適用范圍.解:近似公式的誤差令解得即當(dāng)時,由給定的近似公式計算的結(jié)果能準(zhǔn)確到0.005.2021/5/9182.利用泰勒公式求極限例3.

求解:由于用洛必塔法則不方便!用泰勒公式將分子展到項,2021/5/9193.利用泰勒公式證明不等式例4.證明證:2021/5/920內(nèi)容小結(jié)1.泰勒公式其中余項當(dāng)時為麥克勞林公式.2021/5/9212.常用函數(shù)的麥克勞林公式3.泰勒公式的應(yīng)用(1)近似計算(3)其他應(yīng)用求極限,證明不等式等.(2)利用多項式逼近函數(shù),2021/5/92242246420246泰勒多項式逼近2021/5/92342246420246泰勒多項式逼近2021/5/924思考與練習(xí)

計算解:原式2021/5/925由題設(shè)對證:備用題1.有且2021/5/926下式減上式,得令2021/5/927兩邊同乘n!=整數(shù)+假設(shè)e

為有理數(shù)(p,q

為正整數(shù)),則當(dāng)

時