高等數(shù)學中重要平面曲線

附錄Ⅱ重要平面曲線

(1)三次拋物線(3)概率曲線(5)蔓葉線(7)星形線(9)心形線(11)對數(shù)螺線(13)伯努利雙紐線(15)四葉玫瑰線(2)半立方拋物線(4)箕舌線(6)笛卡兒葉形線(8)擺線(12)阿基米德螺線(10)雙曲螺線(14)三葉玫瑰線2021/5/91三次拋物線

拐點:(0,0)

關于原點對稱

尖點:(0,0)

在尖點處與x

軸相切

關于x

軸對稱半立方拋物線結(jié)束2021/5/92概率曲線

拐點:

拐點處切線斜率:

漸近線:

與x

軸之間的面積:

關于y

軸對稱設服從標準正態(tài)分布,則其概率密度函數(shù)為

拐點:

與x

軸之間的面積:1結(jié)束2021/5/93箕舌線或點擊圖中任意點動畫開始或暫停

漸近線:y=0

曲線與漸近線之間的面積:M是直徑為a的圓上的動點,Q是射線OM與y=a

的交點,QP⊥x

軸,MP∥x

軸P點軌跡即為箕舌線.

軌跡:結(jié)束2021/5/94蔓葉線或M是半徑為a的母圓上的動點,滿足OM=PQ之點P

的軌跡即為

漸近線:

曲線與漸近線之間的面積:點擊圖片任意處播放開始或暫停

軌跡:蔓葉線結(jié)束2021/5/95笛卡兒葉形線參數(shù)的幾何意義:圖形在第四象限圖形在第二象限圖形在第一象限動畫走向:－∞→－1

－1→+∞結(jié)束點擊圖中任意點動畫開始或暫停2021/5/96笛卡兒葉形線(續(xù))

結(jié)點:在該點與x

軸y

軸相切,曲率半徑為

頂點:

漸近線:

圈套所圍面積:

曲線與漸近線之間的面積:結(jié)束2021/5/97或星形線(內(nèi)擺線的一種)

弧長:

所圍面積:

軌跡:半徑為半徑為a

的定圓滾動時,其上定點M的軌跡即為星形線的動圓圓周沿結(jié)束點擊圖片任意處播放開始或暫停2021/5/98擺線點擊圖中任意點動畫開始或暫停半徑為a

的圓周沿直線無滑動地滾動時,其上定點M的軌跡即為擺線.

軌跡:結(jié)束2021/5/99擺線(續(xù))

周期:

極大點:

曲率半徑:

一拱長:

一拱面積:

漸屈線:仍為擺線與原擺線一致結(jié)束2021/5/910心形線或

尖點:(0,0)

面積:

弧長:

軌跡:外擺線的一種點擊圖中任意點動畫開始或暫停動圓直徑=定圓直徑=a結(jié)束2021/5/911心形線的另一種形式即

尖點:(0,0)

面積:

弧長:點擊圖中任意點動畫開始或暫停結(jié)束2021/5/912外擺線(圓外旋輪線)族定圓圓心為(0,0),半徑為a,動圓半徑為b,m=1為心形線點擊圖中任意點動畫開始或暫停結(jié)束2021/5/913阿基米德螺線

物理意義:

動點M

以常速v

沿一射線運動,該射線又以定速

繞極點轉(zhuǎn)動時,

點M

的軌跡即為阿基米德螺線結(jié)束2021/5/914阿基米德螺線(續(xù))

等距性:過極點的射線與曲線

弧長:

曲率半徑:

扇形結(jié)束它們之間的間隔都是2021/5/915對數(shù)螺線的交角

都相等:(等角螺線)

等比性:過極點的射線與曲線交于各線段成等比級數(shù),公比為

弧長:

曲率半徑:曲線與所有過極點的射線動畫走向為

等角性:點擊圖中任意點動畫開始或暫停結(jié)束2021/5/916雙曲螺線

漸近點:極點O

漸近線:

曲率半徑:

扇形

曲線由兩支組成,它們關于

y

軸對稱動畫走向為點擊圖中任意點動畫開始或暫停結(jié)束2021/5/917伯努利雙紐線或點擊圖中任意點動畫開始或暫停

結(jié)點(同拐點):在該點的切線斜率為±1

頂點:

極值點:

曲率半徑:

雙紐面積:極值:對應點:結(jié)束2021/5/918伯努利雙紐線的軌跡特點

雙紐線上的點M

滿足:

以為圓心,為半徑作圓,自O

作射線交圓于P,Q則雙紐線右支上的點滿足:由對稱性,左支也有類似結(jié)果結(jié)束2021/5/919伯努利雙紐線點擊圖中任意點動畫開始或暫停

結(jié)點(同拐點):在該點的切線為

x,y

軸

頂點:

極值點:

曲率半徑: