新教材蘇教版必修第一冊(cè)8 .2 .2函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

8.2.2函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

課程?.收集、閱讀一些現(xiàn)實(shí)上活、牛.產(chǎn)實(shí)際或昔經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的數(shù)學(xué)模型.體會(huì)人行是如何借助函數(shù)刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題

標(biāo)準(zhǔn)2.感悟數(shù)學(xué)模型中參數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義

偽學(xué)情診斷?課時(shí)測(cè)評(píng)《

基礎(chǔ)全面練

一、選擇題

1?埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇跡之一，其

中較為著名的是胡夫金字塔.令人吃驚的并不僅僅是胡夫金字塔的雄

壯身姿，還有發(fā)生在胡夫金字塔上的數(shù)字“巧合”.如胡夫金字塔的底

部周長(zhǎng)如果除以其高度的兩倍，得到的商為3.14159,這就是圓周率

較為精確的近似值.金字塔底部形為正方形，整個(gè)塔形為正四棱錐，

經(jīng)古代能工巧匠建設(shè)完成后，底座邊長(zhǎng)大約230米.因年久風(fēng)化，頂

端剝落10米，則胡夫金字塔現(xiàn)高大約為（）

【解析】選C.胡夫金字塔原高為h,

230x4

則2h=3.14159,

即h=2X"：59=146.4米，

則胡夫金字塔現(xiàn)高大約為136.4米.

2.某網(wǎng)站開(kāi)展了以核心價(jià)值觀為主題的系列宣傳活動(dòng)，并將“社會(huì)主

義核心價(jià)值觀”作為關(guān)鍵詞便于網(wǎng)民搜索.此后，該網(wǎng)站的點(diǎn)擊量每

月都比上月增長(zhǎng)50%，那么4個(gè)月后，該網(wǎng)站的點(diǎn)擊量和原來(lái)相比,

增長(zhǎng)為原來(lái)的（）

A.2倍以上，但不超過(guò)3倍

B.3倍以上，但不超過(guò)4倍

C.4倍以上，但不超過(guò)5倍

D.5倍以上，但不超過(guò)6倍

【解析】選D.4個(gè)月后網(wǎng)站點(diǎn)擊量變?yōu)樵瓉?lái)的11+34=果，所以是

5倍以上，但不超過(guò)6倍.

3.據(jù)報(bào)道，全球變暖使北冰洋冬季冰雪覆蓋面積在最近50年內(nèi)減少

了5%,如果按此速度，設(shè)2018年北冰洋冬季冰雪覆蓋面積為m,則

從2018年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆蓋面積y與x的函數(shù)關(guān)系式

是（）

5O

A.y=0-95.m

B.y=1-0.05而-m

k7

50-x.m

50-x>m

【解析】選A.設(shè)北冰洋每年冬季冰雪覆蓋面積為上一年的q%.由題意

可知（q%>°=0.95,所以q%=。-95濟(jì)，所以從2018年起，x年后北冰

洋冬季冰雪覆蓋面積y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=0.95^.m.

4.某特種冰箱的食物保鮮時(shí)間y（單位：小時(shí)）與設(shè)置儲(chǔ)存溫度x（單

位:℃）近似滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系y=3收+口,b為常數(shù)）若設(shè)置儲(chǔ)存溫度0℃

的保鮮時(shí)間是288小時(shí)，設(shè)置儲(chǔ)存溫度5℃的保鮮時(shí)間是144小時(shí)，

則設(shè)置儲(chǔ)存溫度15℃的保鮮時(shí)間近似是（）

A.36小時(shí)B.48小時(shí)

C.60小時(shí)D.72小時(shí)

3b=288

一’

{35k+b=144,

所以35k+b=35kx3b=144,所以35卜=14募4=yI,

ZooZ

所以當(dāng)x=15時(shí)，y=315k+b=315kx3b

=（35k）3x3b=（I]3x288=|x288=36,故設(shè)置儲(chǔ)存溫度15℃的保鮮

時(shí)間近似是36小時(shí).

5.世界人口在過(guò)去40年內(nèi)翻了一番，則每年人口平均增長(zhǎng)率是（參

考數(shù)據(jù)lg2M）.3Ol0,IO00075-1.017）（）

A.1.5%B.1.6%C.1.7%D.1.8%

【解析】選c設(shè)每年世界人口平均增長(zhǎng)率為X,則（1+x）4。=2,兩邊

取以10為底的對(duì)數(shù)則401g（1+x）=lg2所以lg（1+X）=嚅-0.007

5,所以10。。。75=1+*,

得1+x=1.017,所以x=1.7%.

6.已知樣本中碳14的質(zhì)量N隨時(shí)間t（年）的衰變規(guī)律滿(mǎn)足：N=

No-2^（No表示碳14原來(lái)的質(zhì)量），經(jīng)過(guò)測(cè)定，良渚古城某文物樣本

中碳14的質(zhì)量是原來(lái)的0.6倍，據(jù)此推測(cè)良渚古城遺址存在的時(shí)期

距今大約是（）

（參考數(shù)據(jù):log23-1.6,log25-2.3）

A.3440年B.4010年

C.4580年D.5160年

【解析】選B.o=No-2W,

即2^;=0.6=1,兩邊取以2為底數(shù)的又?jǐn)\,

_t

可得?7^5=10§23Tog25H.6-2.3=-0.7,

所以供0.7x5730=4011年.

7.已知火箭的最大速度v（單位：km/s）和燃料質(zhì)量M（單位：kg）,火

M

箭質(zhì)量m（單位：kg）的函數(shù)關(guān)系是：v=2OOOln（1+—）,若已知火箭

的質(zhì)量為3100公斤，燃料質(zhì)量為310噸，則此時(shí)v的值為多少（參考

數(shù)值為In2-0.69；In101-4.62)()

A.13.8B.9240C.9.24D.1380

【解析】選B.由題意火箭的最大速度v（單位：km/s）和燃料質(zhì)量M（單

位：kg）,火箭質(zhì)量m（單位：kg）的函數(shù)關(guān)系是：v=2OOOln（1+黑，

火箭的質(zhì)量為3100公斤，燃料質(zhì)量為310噸，

-rmr310000、

可得（）

v=2OOOxln[1+-3j00I=2000xln101=2000x4.62=9240

km/s.

8.（多選）某食品的保鮮時(shí)間t（單位：小時(shí)）與存儲(chǔ)溫度x（單位：℃）滿(mǎn)

[64,x<0

足函數(shù)關(guān)系t=<且該食品在4℃的保鮮時(shí)間是16小時(shí).

I2kx+6,x>0

O89101112131415時(shí)間

已知甲在某日上午10時(shí)購(gòu)買(mǎi)了該食品，并將其遺放在室外，且此日

的室外溫度隨時(shí)間變化如圖所示，則以下四個(gè)結(jié)論正確的是（）

A.該食品在6℃的保鮮時(shí)間是8小時(shí)

B.當(dāng)x$[-6,6]時(shí)，該食品的保鮮時(shí)間t隨著x的增大而逐漸減

少

C.到了此日13時(shí)，甲所購(gòu)買(mǎi)的食品還在保鮮時(shí)間內(nèi)

D.到了此日14時(shí)，甲所購(gòu)買(mǎi)的食品已然過(guò)了保鮮時(shí)間

【解析】選AD.因?yàn)槭称返谋ｕr時(shí)間t與儲(chǔ)藏溫度x滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系式

[64,x<0

t=i,且該食品在4℃時(shí)保鮮時(shí)間是16小時(shí).

[2kx+6,X>0

所以24k+6=16,即4k+6=4,解得k=-；.

[64,x<0

所以t?

2-1+6,x>o

A.當(dāng)x=6時(shí)，t=8,所以該食品在6℃的保鮮時(shí)間是8小時(shí)，故A

正確；

B.當(dāng)-6,0）時(shí)，時(shí)間t不變，故B錯(cuò)誤；

C.由圖象可知，當(dāng)?shù)酱巳?2小時(shí)，溫度超過(guò)12度，此時(shí)的保鮮時(shí)

間不超過(guò)1小時(shí)，所以到了此日13時(shí)，甲所購(gòu)買(mǎi)的食品不在保鮮時(shí)

間內(nèi)，故C錯(cuò)誤；D由C知，D正確.

二、填空題

9.喬經(jīng)理到老陳的果園里一次性采購(gòu)一種水果，他倆商定：?jiǎn)探?jīng)理

的采購(gòu)價(jià)y（元/噸）與采購(gòu)量x（噸）之間函數(shù)關(guān)系的圖象如圖中的折線(xiàn)

段ABC所示（不包含端點(diǎn)A，但包含端點(diǎn)C.已知老陳種植水果的成本

是2800元/噸，那么喬經(jīng)理的采購(gòu)量為噸時(shí)，老陳在這次買(mǎi)

賣(mài)中所獲的利潤(rùn)W最大.

【解析】由題意，可得y與x函數(shù)解析式為

[8000,0<x<20

y=i；

[12000-200x,20<x<40

又由W=x(y-2800),

[5200x,0<x<20

知：w"；

[9200x-200x2,20<x<40

所以在0<x<20時(shí)，x=20有Wmax=104000元;

在20<x<40時(shí)，x=23有Wmax=105800元；

所以采購(gòu)量為23噸時(shí)，所獲的利潤(rùn)W最大

答案：23

10.2020年春季蝗災(zāi)波及印度和巴基斯坦，假設(shè)蝗蟲(chóng)的日增長(zhǎng)率為

5%,最初有No只.則經(jīng)過(guò)_______天能達(dá)到最初的16000倍(參考

數(shù)據(jù)：ln1.05-0.0488,ln1.5-0.4055,ln1600-7.3778,ln16000~9.680

3).

【解析】設(shè)過(guò)x天能達(dá)到最初的16000倍，

x

由已知N0(l+0.05)=16OOONo,

x=16000,所以x=黑；罌-198.4,

又x￡N,所以過(guò)199天能達(dá)到最初的16000倍.

答案：199

三、解答題

11.李莊村某社區(qū)電費(fèi)收取有以下兩種方案供農(nóng)戶(hù)選擇：

方案一：每戶(hù)每月收管理費(fèi)2元，月用電不超過(guò)30度，每度0.4元,

超過(guò)30度時(shí)，超過(guò)部分按每度0.5元.

方案二：不收管理費(fèi)，每度0.48元.

⑴求方案一收費(fèi)L(x)元與用電量x(度)間的函數(shù)關(guān)系；

⑵小李家九月份按方案一交費(fèi)34元，問(wèn)小李家該月用電多少度？

(3)小李家月用電量在什么范圍時(shí)，選擇方案一比選擇方案二更好？

【解析】⑴當(dāng)0<x<30時(shí),L(x)=2+0.4x；

=0.5x-1,

f2+0.4x,0<x<30,

所以L(x)=

[0.5x-1,x>30.

(2)當(dāng)0<x<30時(shí),由L(x)=2+0.4x=34,解得x=80,舍去；

當(dāng)x>30時(shí)，由L(x)=0.5x-1=34,解得x=70,所以小李家該月用

電70度.

(3)設(shè)按第二方案收費(fèi)為F(x)元,則F(x)=0.48x,當(dāng)0<x<30時(shí),由

L(x)<F(x),

解得2+0.4x<0.48x,解得x>25,

所以25<x<30；

當(dāng)x>30時(shí)，由L(x)<F(x),

得0.5x-l<0,48x,解得x<50,

所以30<x<50,綜上25Vx<50.

故小李家月用電量在25度到50度范圍內(nèi)(不含25度、50度)時(shí)，選

擇方案一比方案二更好.

12.因新冠肺炎疫情影響，呼吸機(jī)成為緊缺商品，某呼吸機(jī)生產(chǎn)企業(yè)

為了提產(chǎn)品的產(chǎn)量，投入90萬(wàn)兀安裝了一臺(tái)新設(shè)備，并立即進(jìn)行

生產(chǎn)，預(yù)計(jì)使用該設(shè)備前n(n￡N+)年的材料費(fèi)、維修費(fèi)、人工工資

等共為+5nl萬(wàn)元,每年的銷(xiāo)售收入55萬(wàn)元.設(shè)使用該設(shè)備前n

年的總盈利額為f(n)萬(wàn)元.

⑴寫(xiě)出f(n)關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式，并估計(jì)該設(shè)備從第幾年開(kāi)始盈利；

(2)使用若干年后，對(duì)該設(shè)備處理的方案有兩種：

方案一：當(dāng)總盈利額達(dá)到最大值時(shí)，該設(shè)備以10萬(wàn)元的價(jià)格處理；

方案二：當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時(shí)，該設(shè)備以50萬(wàn)元的價(jià)格處

理；

問(wèn)哪種方案處理較為合理？并說(shuō)明理由.

【解析】(1)由題意得：f(n)=55n-90-1|n2+5n)=-|n2+50n-90.

由f(n)>0,得-|1?+5011-90>0,即n2-20n+36<0,解得2<n

<18.

由于n￡N+,故該企業(yè)從第3年開(kāi)始盈利；

2

⑵方案一：總盈利額f(n)=-|(n-10)+160,當(dāng)n=10時(shí)，f(n)max

=160.

故方案一總利潤(rùn)160+10=170,此時(shí)n=10；

f(n)5(36、5?—

方案二：每年平均利潤(rùn)丁一二50-5n+:<50-5X2V36=

20,當(dāng)且僅當(dāng)n=6時(shí)等號(hào)成立.

故方案二總利潤(rùn)6x20+50=170,此時(shí)n=6.比較兩種方案，獲利都

是170萬(wàn)元，但由于第一種方案需要10年，而第二種方案需要6年,

故選擇第二種方案更合適.

綜合突破練

一、選擇題

1,2020年8月到11月這四個(gè)月的某產(chǎn)品價(jià)格的市場(chǎng)平均價(jià)f(x)(單

位:元/千克)與時(shí)間x(單位：月份)的數(shù)據(jù)如表

X891011

f(x)

現(xiàn)有三種函數(shù)模型：①f(x)=bx+a；②f(x)=ax?+bx+c；③f(x)=⑸

X-

+a,找出你認(rèn)為最適合的函數(shù)模型，并估計(jì)2020年12月份的該

產(chǎn)品市場(chǎng)平均價(jià)()

A.②，28元/千克B.①，25元/千克

C.②，23元/千克D.③，21元/千克

【解析】選A.因?yàn)閒(x)的值隨x的值先增后減，

所以選f(x)=ax2+bx+c最合適.

第二組數(shù)據(jù)近似為(9,34),第四組近似為(11,34),

得f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x=10,

故f(12)=f⑻=28.

2.某企業(yè)今年3月份產(chǎn)值為a萬(wàn)元，4月份比3月份減少了10%,5

月份比4月份增加了15%,則5月份的產(chǎn)值是()

A.(a-10%)(a+15%)萬(wàn)元

B.a(l-10%)(1+15%)萬(wàn)元

C.(a-10%+15%)萬(wàn)元

D.2(1-10%+15%)萬(wàn)元

【解析】選B.由題意,5月份的產(chǎn)值為a(l-10%)(1+15%)萬(wàn)元.

3.某種熱飲需用開(kāi)水沖泡，其基本操作流程如下：①先將水加熱到

100℃,水溫y(℃)與時(shí)間t(min)近似滿(mǎn)足一次函數(shù)關(guān)系；②用開(kāi)水將

熱飲沖泡后在室溫下放置,溫度y(℃)與時(shí)間t(min)近似滿(mǎn)足函數(shù)的

關(guān)系式為y=80()？+b(a,b為常數(shù))，通常這種熱飲在40c時(shí)，口

感最佳，某天室溫為20C時(shí)，沖泡熱飲的部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示，那么

按上述流程沖泡一杯熱飲，并在口感最佳時(shí)飲用，最少需要的時(shí)間為

)

A.35minB.30min

C.25minD.20min

【解析】選C.由題意，當(dāng)0<t<5時(shí)，函數(shù)圖象是一個(gè)線(xiàn)段,

當(dāng)t>5時(shí)，函數(shù)的解析式為y=

80冏京+b,將點(diǎn)(5,100)和點(diǎn)(15,60)

"5-a

100=80-+b

代入解析式，有

<1W

60=80—+b

解得a=5,b=20,

故函數(shù)的解析式為y=80&~+20,t>5.

令y=40,解得t=25,

所以最少需要的時(shí)間為25min.

二、填空題

4.一家報(bào)刊推銷(xiāo)員從報(bào)社買(mǎi)進(jìn)報(bào)紙的價(jià)格是每份2元，賣(mài)出的價(jià)格

是每份3元，賣(mài)不完的還可以以每份0.8元的價(jià)格退回報(bào)社.在一個(gè)

月(以30天計(jì)算)內(nèi)有20天每天可賣(mài)出400份，其余10天每天只能

賣(mài)出250份,且每天從報(bào)社買(mǎi)進(jìn)報(bào)紙的份數(shù)都相同，要使推銷(xiāo)員每月

所獲得的利潤(rùn)最大，則應(yīng)該每天從報(bào)社買(mǎi)進(jìn)報(bào)紙份

【解析】設(shè)每天從報(bào)社買(mǎi)進(jìn)x(250<x<400,x￡N)份報(bào)紙時(shí)，每月所

獲利潤(rùn)為y元，具體情況如下表.

數(shù)量/份單價(jià)/元金額/元

買(mǎi)進(jìn)30x260x

20x+60x+7

賣(mài)出3

10x250500

退回10(x-250)8x-2000

則推銷(xiāo)員每月所獲得的利潤(rùn)y=［(60x+7500)+(8x-2000)J-60x=

8x+5500(250<x<400,x￡N)

又由y=8x+5500在［250,400］上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=400時(shí)，y取得最大值8700.

答案：400

5.要制作一個(gè)容積為4n?,高為1m的無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器，已知該容

器的底面造價(jià)為20元/n?，側(cè)面造價(jià)為10元/n?,則該容器的最低造

價(jià)是______元.

【解析】設(shè)容器底的長(zhǎng)和寬分別為am,bm,成本為y元，

所以S底=ab=4,y=20S底+10[2(a+b)J

=20(a+b)+80>20x2A/ab+80=160,

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)，y取最小值160,則該容器的最低造價(jià)為160

元.

答案：160

6.某制造商制造并出售圓柱形瓶裝的某種飲料，瓶子的底面半徑是

4

r,高h(yuǎn)=Q2分，已知每出售1mL(注：1mL=1cn?)的飲料，制造商

可獲利02分，目制造商能制造的瓶子底面的最大半徑為6cm.記每

瓶飲料的利潤(rùn)為f(r),則f(3)=其實(shí)際意義是________.

4

【解析】f(r)=0.2-7tr2-22

故f(3)=7.2K-7.2JT=0.

表示當(dāng)瓶子底面半徑為3cm時(shí)，利潤(rùn)為0.

答案：0當(dāng)瓶子底面半徑為3cm時(shí)，利潤(rùn)為0

7.碳14的衰變極有規(guī)律,其精確性可以稱(chēng)為自然界的“標(biāo)準(zhǔn)時(shí)鐘”.碳

14的殘余量占原始含量的比值P與生物體死亡年數(shù)t滿(mǎn)足P=al（a為

正數(shù)）.已知碳14的“半衰期”是5730年，即碳14大約每經(jīng)過(guò)5730年

就衰變?yōu)樵瓉?lái)的一半.則a=；2020年1月10日，中國(guó)社

會(huì)科學(xué)院考古研究所發(fā)布了“2019年中國(guó)考古新發(fā)現(xiàn)”六大考古項(xiàng)目,

位于滕州市官橋鎮(zhèn)大韓村東的“大韓墓地”成功入選.考古人員發(fā)現(xiàn)墓

地中某一尸體內(nèi)碳14的殘余量占原始含量的73%,則“大韓墓地”距

測(cè)算之時(shí)約年.（參考數(shù)據(jù)：1g73句.86,1g2=0.3）

【解析】根據(jù)題意令P=1,t=5730,

則有:=a573。，解得a=（j六；

令P=73%,將a=（曠"代入P=小得

（O5730MD京

-=73%,即目=0.73,

t1g0.73坨73-27

nil=

則向一1限0-73=-lg2=-下，

7

解得t下x5730=2674.

答案：停尸2674

三、解答題

8.某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線(xiàn)生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成

x2

本y（萬(wàn)元）與年產(chǎn)量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為y=y

-48x+8000,已知此生產(chǎn)線(xiàn)年產(chǎn)量最大為230噸.

⑴求年產(chǎn)量為多少?lài)崟r(shí)，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本P（年總成本除以

年產(chǎn)量）最低，并求最低成本；

（2）若每噸產(chǎn)品平均出廠價(jià)為40萬(wàn)元，且生產(chǎn)的產(chǎn)品全部售完，那么

當(dāng)年產(chǎn)量為多少?lài)崟r(shí)，年總利潤(rùn)可以獲得最大？最大利潤(rùn)是多少？

X2

【解析】(l)y=y-48x+8000,0<x<230.

uuzcYx8000-48平/華-48=32,當(dāng)且僅當(dāng)x=

所以P=1=-+—

200時(shí)取等號(hào).

所以年產(chǎn)量為200噸時(shí)，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本P最低，最低成本

為32萬(wàn)兀.

⑵設(shè)^1」?jié)櫈閦萬(wàn)元，

則z=40x-y

X2

二40x-y+48x-8000

=-1x2+88x-8000

-1(x-220>+i680,

即年產(chǎn)量為220噸時(shí)，利潤(rùn)最大為1680萬(wàn)元.

9.銷(xiāo)售甲、乙兩種商品所得利潤(rùn)分別是y-丫2萬(wàn)元，它們與投入資

金x萬(wàn)元的關(guān)系分別為yi=m\jx+1+a,y2=bx(其中m,a,b都

為常數(shù))，函數(shù)y-y2對(duì)應(yīng)的曲線(xiàn)C-C2如圖所示.

⑴求函數(shù)yi與y2的解析式;

⑵若該商場(chǎng)一共投資10萬(wàn)元經(jīng)銷(xiāo)甲、乙兩種商品，求該商場(chǎng)所獲利

潤(rùn)的最大值.

m+a=0

【解析】(1)由題意《，解得m=2,a=-2,故yi=2^x+1

I3m+a=4

-2(x>0).

又由題意8b=4得b=g，故y2=；x(x>0).

(2)設(shè)銷(xiāo)售甲商品投入資金x萬(wàn)兀，利潤(rùn)為y萬(wàn)兀，則乙投入(10-x)

萬(wàn)兀.

由(1)得y=2巾+1-2+1(10-x)=

2\Jx+1-g[x+1=t,

貝!Jx=t2-1,

171n

故

心-2-

+3=-++--+

2.2t22ft2)2

、

i<t<vn,

當(dāng)t=2即x=3時(shí),y取最大值苗.

答：該商場(chǎng)所獲利潤(rùn)的最大值為3萬(wàn)元.

》素養(yǎng)培優(yōu)練《

（60分鐘100分）

一、選擇題（每小題5分，共45分，多選題全部選對(duì)得5分，選對(duì)但

不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分）

1?在固定電壓差（電壓為常數(shù)）的前提下，當(dāng)電流通過(guò)圓柱形的電線(xiàn)

時(shí)，其電流強(qiáng)度1（單位：安）與電線(xiàn)半徑r（單位：毫米）的三次方成正

比，若已知電流通過(guò)半徑為4毫米的電線(xiàn)時(shí)，電流強(qiáng)度為320安，則

電流通過(guò)半徑為3毫米的電線(xiàn)時(shí)，電流強(qiáng)度為（）

A.60安B.240安C.75安D.135安

【解析】選D.由已知，設(shè)比例常數(shù)為k,則I=k/.

由題意，當(dāng)r=4時(shí)，1=320,故有320=kx43,

解得k=*320=5,所以1=5”

故當(dāng)r=3時(shí)，1=5x33=135（安）.

2.衣柜里的樟腦丸隨著時(shí)間揮發(fā)而體積縮小，剛放進(jìn)的新丸的體積

為a，經(jīng)過(guò)t天后體積V與天數(shù)t的關(guān)系式為V=a-e-9已知新丸經(jīng)過(guò)

50天后，體積變?yōu)?8a,則需經(jīng)過(guò)的天數(shù)為（）

A.125B.100C.75D.50

50k

【解析】選C由已知得'a=a.e-50k,gpe-=1=修「?所以捺a

=停1?a=（e-so*a=e-75k.a，所以t=75，

3.某公司一年購(gòu)買(mǎi)某種貨物600噸，每次購(gòu)買(mǎi)x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬(wàn)元/

次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元，則一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用和

最小為（）

A.60萬(wàn)元B.160萬(wàn)元C.200萬(wàn)元D.240萬(wàn)元

【解析】選D.由題意可得:一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和為呼x6

.^l1o^

+4x2x=240（萬(wàn)元）.當(dāng)且僅當(dāng)x=30時(shí)取等號(hào).

4.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過(guò)過(guò)濾后排放，在過(guò)濾過(guò)程中，污染物的數(shù)

量p（單位：毫克/升）不斷減少，已知p與時(shí)間t（單位：小時(shí)）滿(mǎn)足p（t）

=p°2%，其中po為t=0時(shí)的污染物數(shù)量.又測(cè)得當(dāng)t=30時(shí)，污染

物數(shù)量的平均變化率是-101n2,則p（60）=（）

A.150毫克/升B.300毫克/升

C.1501n2毫克/升D.3001n2毫克/升

【解析】選C.因?yàn)楫?dāng)t=30時(shí)，污染物數(shù)量的平均變化率是-101n2,

1

2?o-po

所以-101n2=,所以p()=6001n2.

30-0

2

因?yàn)閜(t)=p02-^,所以p(60)=6001n2x2-

=1501n2(毫克/升).

5.《擲鐵餅者》取材于希臘的現(xiàn)實(shí)生活中的體育競(jìng)技活動(dòng)，刻畫(huà)的是

一名強(qiáng)健的男子在擲鐵餅過(guò)程中最具有表現(xiàn)力的瞬間.現(xiàn)在把擲鐵餅

者張開(kāi)的雙臂近似看成一張拉滿(mǎn)弦的“弓”，擲鐵餅者的手臂長(zhǎng)約為全

米，肩寬約為1米「弓”所在圓的半徑約為L(zhǎng)25米，你估測(cè)一下擲鐵

餅者雙手之間的距離約為(參考數(shù)據(jù)：也力.414,小力.732)()

A.1.012米

C.2.043米

【解析】選B.由題得：弓所在的弧長(zhǎng)為+1+1=Y;

44oo

5兀

所以其所對(duì)的圓心角a*所以?xún)墒种g的距離d=2Rs峙=

2x1.25-1.768.

6.果農(nóng)采摘水果，采摘下來(lái)的水果會(huì)慢慢失去新鮮度.已知某種水

果失去新鮮度h與其采摘后時(shí)間t（天）滿(mǎn)足的函數(shù)關(guān)系式為h（t）=mR.

若采摘后10天，這種水果失去的新鮮度為10%,采摘后20天，這種

水果失去的新鮮度為20%.那么采摘下來(lái)的這種水果在多長(zhǎng)時(shí)間后失

去50%新鮮度（已知1g2=0.3，結(jié)果取整數(shù)）（）

A.23天B.33天C.43天D.50天

10

[ma=0.1,1a」軻

【解析】選B.由題意可知所以，，所以h（t）=

lma=。2，[m=0.05

005x（1/匕當(dāng)h（t）=0.5時(shí)，0.05x（l細(xì)），=0.5,解得t=哉R3.

7.（多選）據(jù)美國(guó)學(xué)者詹姆斯?馬丁的測(cè)算，近十年，人類(lèi)知識(shí)總量已

達(dá)到每三年翻一番，到2020年甚至要達(dá)到每73天翻一番的空前速

度.因此，基礎(chǔ)教育的任務(wù)已不是教會(huì)一切人一切知識(shí)，而是讓一切

人學(xué)會(huì)學(xué)習(xí).已知2000年底，人類(lèi)知識(shí)總量為a，假如從2000年底

到2009年底是每三年翻一番，從2009年底到2019年底是每一年翻

一番，2020年（按365天計(jì)算）是每73天翻一番，則下列說(shuō)法正確的

是（）

A.2006年底人類(lèi)知識(shí)總量是2a

B.2009年底人類(lèi)知識(shí)總量是8a

c.2019年底人類(lèi)知識(shí)總量是213a

D.2020年底人類(lèi)知識(shí)總量是218a

【解析】選BCD.選項(xiàng)A：2006年底人類(lèi)知識(shí)總量為ax2x2=4a,故

A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B：2009年底人類(lèi)知識(shí)總量為ax2x2x2=8a，故B正確,

選項(xiàng)C：2019年底人類(lèi)知識(shí)總量為8ax21。=2,，故C正確，選項(xiàng)D：

2020年底人類(lèi)知識(shí)總量為213ax25=218a,故D正確.

8.(多選)“雙11”購(gòu)物節(jié)中，某電商對(duì)顧客實(shí)行購(gòu)物優(yōu)惠活動(dòng)，規(guī)定

一次購(gòu)物付款總額滿(mǎn)一定額度，可以給予優(yōu)惠：

(1)如果購(gòu)物總額不超過(guò)50元，則不給予優(yōu)惠；

(2)如果購(gòu)物總額超過(guò)50元但不超過(guò)100元，可以使用一張5元優(yōu)惠

券；

⑶如果購(gòu)物總額超過(guò)100元但不超過(guò)300元，則按標(biāo)價(jià)給予9折優(yōu)

惠；

(4)如果購(gòu)物總額超過(guò)300元,其中300元內(nèi)的按第(3)條給予優(yōu)惠，

超過(guò)300元的部分給予8折優(yōu)惠.

某人購(gòu)買(mǎi)了部分商品，則下列說(shuō)法正確的是()

A.如果購(gòu)物總額為78元，則應(yīng)付款為73元

D.如果購(gòu)物時(shí)一次性全部付款442.8元，則購(gòu)物總額為516元

【解析】選ABD.如果購(gòu)物總額為78元，滿(mǎn)足超過(guò)50元但不超過(guò)100

元，可以使用一張5元優(yōu)惠券，則應(yīng)付款為73元，故A正確；如果

購(gòu)物總額為228元，超過(guò)100元但不超過(guò)300元，則應(yīng)付款為228x0.9

=205.2元，故B正確；如果購(gòu)物總額為368元，購(gòu)物總額超過(guò)300

元，則應(yīng)付款為300x0.9+68x0.8=324.4元，故C錯(cuò)誤；如果購(gòu)物時(shí)

一次性全部付款442.8元，說(shuō)明購(gòu)物總額超過(guò)300元，設(shè)購(gòu)物總額為

x元，則300x0.9+（x-300）x0.8=442.8,解得x=516元，故D正確.

9.（多選）某單位準(zhǔn)備印制一批證書(shū)，現(xiàn)有兩個(gè)印刷廠可供選擇，甲

廠費(fèi)用分為制版費(fèi)和印刷費(fèi)兩部分，先收取固定的制版費(fèi)，再按印刷

數(shù)量收取印刷費(fèi)，乙廠直接按印刷數(shù)量收取印刷費(fèi)，甲廠的總費(fèi)用

yi（千元）,乙廠的總費(fèi)用

yM千元）與印制證書(shū)數(shù)量x（千個(gè)）的函數(shù)關(guān)系圖分別如圖中甲、乙所

示，則下列說(shuō)法正確的是（）

B.甲廠的總費(fèi)用y.與證書(shū)數(shù)量x之間的函數(shù)關(guān)系式為Y1=0.5x+1

C.若該單位需印制證書(shū)數(shù)量為8千個(gè)，則該單位選擇甲廠更節(jié)省費(fèi)

用

D.當(dāng)印制證書(shū)數(shù)量超過(guò)2千個(gè)時(shí)，乙廠的總費(fèi)用y2與證書(shū)數(shù)量x之

15

-X+-

42

間的函數(shù)關(guān)系式為y2

【解析】選ABD.對(duì)于選項(xiàng)A：由圖可知甲廠制版費(fèi)為1千元，印刷

2-1

費(fèi)平均每個(gè)為亍=0.5(元)，所以選項(xiàng)A正確，

對(duì)于選項(xiàng)B：設(shè)甲廠的總費(fèi)用yi與證書(shū)數(shù)量x之間的函數(shù)關(guān)系式為

yi=kx+b(kr0),

fb=1,[k=1,

則<解得2

[2k+b=2,[b=1,

所以yi=0.5x+1,所以選項(xiàng)B正確，

對(duì)于選項(xiàng)C：由圖象可知，當(dāng)印制證書(shū)數(shù)量超過(guò)6千個(gè)時(shí)，乙廠費(fèi)用

少于甲廠費(fèi)用，

所以若該單位需印制證書(shū)數(shù)量為8千個(gè)，則該單位選擇乙廠更節(jié)省費(fèi)

用,所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，

對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)印制證書(shū)數(shù)量超過(guò)2千個(gè)時(shí)，

設(shè)乙廠的總費(fèi)用y2與證書(shū)數(shù)量x之間的函數(shù)關(guān)系式為y2=ax+

c(aWO),

代入點(diǎn)(2,3)和點(diǎn)(6,4)得

2a+c=3,a=4，

解得j5

6a+c=4,

c=2,

15

-X+-

所以y242,所以選項(xiàng)D正確.

二、填空題(每小題5分，共15分)

10.2020年是全國(guó)決勝脫貧攻堅(jiān)之年「一幫一扶”工作組進(jìn)駐某山區(qū)

幫助農(nóng)民脫貧，發(fā)現(xiàn)該山區(qū)盛產(chǎn)蘋(píng)果、梨子、曲猴桃，工作人員艾明

在線(xiàn)上進(jìn)行直播帶貨活動(dòng)，促銷(xiāo)方案如下：若一次購(gòu)買(mǎi)水果總價(jià)不低

于200元，則顧客少付款m元，每次訂單付款成功后，農(nóng)民會(huì)收到

支付款的80%在促銷(xiāo)活動(dòng)中，為了使得農(nóng)民收入不低于總價(jià)的70%,

則m的最大值為.

【解析】設(shè)每筆訂單促銷(xiāo)前的總價(jià)為x元，根據(jù)題意有(x-

m)x80%>xx70%,即m<|恒成立，由題意得x>200,所以標(biāo)=

25,所以m<25,所以m的最大值為25.

答案：25

11某公司建造一間背面靠墻的房屋地面是一個(gè)矩形,面積為60n?,

房屋正面每平方米的造價(jià)為1500元，房屋側(cè)面每平方米的造價(jià)為1

000元，屋頂?shù)脑靸r(jià)為6000元.如果墻高為3m,且不計(jì)房屋背面

和地面的費(fèi)用，那么把地面矩形較長(zhǎng)的一邊設(shè)計(jì)為m時(shí)，能

使房屋的總造價(jià)最低(結(jié)果用根式表示).

【解析】設(shè)底面的長(zhǎng)為Xm,寬為ym,則xy=60,

設(shè)房屋總造價(jià)為f(x),則f(x)=3x-l500+2-3-v-1000+6000

=4500X+3+6000>

X-

2y4500X?36°X0°°+6000=36000\/5+6000(元).當(dāng)且僅當(dāng)4500x

3600

=°x°，即x=4小時(shí)，上式等號(hào)成立，此時(shí)y==3于.

故把地面矩形較長(zhǎng)的一邊設(shè)計(jì)為4小m時(shí)，能使房屋的總造價(jià)最

低.

答案：4小

12.設(shè)矩形ABCD(AB>AD)的周長(zhǎng)為8cm才巴△ADC沿AC向^ABC

折疊，CD折過(guò)去后交AB于點(diǎn)M.設(shè)AB=xcm,則^ADM面積的最

大值為cm2.

【解析】如圖，易證△ADM^ACBM,

則DM=BM,

因?yàn)榫匦蜛BCD(AB>AD)的周長(zhǎng)為8cm,

設(shè)AB=xcm（2<x<4）,

所以AD=（4-x）cm.

設(shè)DM=ycm,則AM=（x-y）cm,

Q

222

則有（4-x）+y=（x-y）,解得y=4--A.

SAADM=IADDM=1（4-X）（4-'||

=12-（^+2x）<12-8^2（cm2）,

當(dāng)且僅當(dāng)x=2啦時(shí)，等號(hào)成立.

所以△ADM面積的最大值為（12-8媳）cm2.

答案：12-8^2

三、解答題（每小題10分，共40分）

13.某工廠生產(chǎn)一新款智能迷你音箱，每日的成本C（單位：萬(wàn)元）與

日產(chǎn)量x（x￡N*,單位：千只）的關(guān)系滿(mǎn)足C=x+2.每日的銷(xiāo)售額S（單

16x

位:萬(wàn)元）與日產(chǎn)量X的關(guān)系滿(mǎn)足：當(dāng)1<X<7時(shí)，S=+X；當(dāng)7

x4-1

<x<16時(shí)，S=3x+—--+2；當(dāng)xN16時(shí)，S=28.已知每日的利潤(rùn)

x-16

L=S-C（單位：萬(wàn)元）.

⑴求k的值，并將該產(chǎn)品每日的利潤(rùn)L（萬(wàn)元）表示為日產(chǎn)量x（千只）

的函數(shù);

⑵當(dāng)日產(chǎn)量為多少千只時(shí)，每日的利潤(rùn)可以達(dá)到最大，并求出最大

值.

【解析】⑴當(dāng)x=7時(shí)，S=3+7=3x7+」一+2,解得k=18,

7+17-16

所以L

-^-2,l<x<7,x￡N*,

x+1

=I2x+-,7<x<16,xeN*,

x-16

、26-x,x>16,x《N".

(2)當(dāng)13x07,x￡N*時(shí)，L='^^-2=14-*-，在口，7]上單調(diào)

x+1x+1

遞增，所以當(dāng)X=7時(shí)，Lmax=12,

1Q1O

當(dāng)7<x<16,x￡N*時(shí)，L=2x+-------=32-[2(16-x)+-------]<

x-1616-x

32-2A/2(16-X)x—=20,

V16-x

1Q

當(dāng)且僅當(dāng)2(16-x)=，即X=13時(shí)，Lmax=20,

16-x

當(dāng)x>16,X0N時(shí)，L=26-x在[16,+8)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x=

16時(shí)，Lmax=26-16=10,綜上，

當(dāng)X=13時(shí)，L取得最大值為20,所以日產(chǎn)量為13千只時(shí)，每日的

利潤(rùn)可以達(dá)到最大，且最大值為20萬(wàn)元.

14.經(jīng)調(diào)查，某產(chǎn)品在過(guò)去兩周內(nèi)的日銷(xiāo)售量(單位：千克)與日銷(xiāo)售

單價(jià)(單位：元)均為時(shí)間t(天)的函數(shù).其中日銷(xiāo)售量為時(shí)間t的一次

函數(shù)，且t=l時(shí)，日銷(xiāo)售量為34千克，t=10時(shí)，日銷(xiāo)售量為25千

f250

25-------,l<t<8gteN

克.日銷(xiāo)售單價(jià)滿(mǎn)足函數(shù)f(t)=t+1

14+t,8<t<14SteN

⑴寫(xiě)出該商品日銷(xiāo)售額y關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)(日銷(xiāo)售額=日銷(xiāo)售量x銷(xiāo)

售單價(jià))；

⑵求過(guò)去兩周內(nèi)該商品日銷(xiāo)售額的最大值.

【解析】⑴設(shè)日銷(xiāo)售量g(t)(千克)關(guān)于時(shí)間t(天)的函數(shù)為g(t)=kt+b,

[k+b=34,[k=-1,

則解得

[10k+b=25,[b=35,

所以g(t)=35-t,

f25

(25-——)(35-t),l<t<8,teN,

所以y=jt+1

(14+t)(35-t),8<t<14,teN.

or

⑵①當(dāng)10<8時(shí)，y=25[37-(t+1)-——]<(37-2^36)x25=625,

t+1

當(dāng)且僅當(dāng)(t+=36,即t=5時(shí),等號(hào)成立,

②當(dāng)此區(qū)14時(shí),y