信號與系統(tǒng) 課件 朱剛 第4-7章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析-離散時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析

信號與系統(tǒng)第四章

連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析主要內(nèi)容

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析引言123拉普拉斯變換系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)45系統(tǒng)的方框圖和信號流圖主要內(nèi)容

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析引言123拉普拉斯變換系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)45系統(tǒng)的方框圖和信號流圖4.1

引言在第三章中，我們學(xué)習(xí)了傅里葉級數(shù)、傅

里葉變換和頻域分析，并引入了信號頻譜和系統(tǒng)頻率響應(yīng)的概念，具有清晰的物理含義。信心·恒心·責(zé)任心4.1

引言在第三章中，我們學(xué)習(xí)了傅里葉級數(shù)、傅

里葉變換和頻域分析，并引入了信號頻譜和系統(tǒng)頻率響應(yīng)的概念，具有清晰的物理含義。然而，如果函數(shù)不滿足絕對可積條件，那么它的傅里葉變換不一定存在。信心·恒心·責(zé)任心4.1

引言在本章中，我們將傅里葉變換從頻域推廣到復(fù)頻域，建立在此基礎(chǔ)上的系統(tǒng)分析方法稱為復(fù)頻域分析。信心·恒心·責(zé)任心主要內(nèi)容

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析引言123拉普拉斯變換系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)4系統(tǒng)的方框圖和信號流圖5信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換拉普拉斯變換在數(shù)學(xué)中是從積分變換的觀點定義的，是求解線性微分方程的有效數(shù)學(xué)工具。下面，我們將從信號分析的角度出發(fā)，有傅里葉變換推廣到拉普拉斯變換。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換一、雙邊拉氏變換和單邊拉氏變換函數(shù)

若不滿足絕對可積條件，往往是由于隨著時間的增長，函數(shù)不衰減造成的。為此，如果乘上一個“衰減因子”

，則構(gòu)成的新函數(shù)

就可能符合絕對可積條件。信心·恒心·責(zé)任心· ·4.2

拉普拉斯變換一、雙邊拉氏變換和單邊拉氏變換函數(shù)

若不滿足絕對可積條件，往往是由于隨著時間的增長，函數(shù)不衰減造成的。為此，如果乘上一個“衰減因子”

，則構(gòu)成的新函數(shù)

就可能符合絕對可積條件。假如這個因子乘得合適，則 絕對可積，從而信心

恒心

責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換一、雙邊拉氏變換和單邊拉氏變換令，顯然上式積分的結(jié)果就是s的函數(shù)，于是有：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換一、雙邊拉氏變換和單邊拉氏變換令，顯然上式積分的結(jié)果就是s的函數(shù)，于是有：反之，我們有：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換一、雙邊拉氏變換和單邊拉氏變換由于 ，從而 ，可得：這樣就得到了雙邊拉普拉斯變換和雙邊拉普拉斯反變換：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換一、雙邊拉氏變換和單邊拉氏變換在實際的系統(tǒng)分析中，更常用的是單邊拉普拉斯變換，定義為：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換一、雙邊拉氏變換和單邊拉氏變換可以看出，單邊拉普拉斯變換與雙邊拉普拉斯變換的區(qū)別僅僅在于兩者積分下限的不同。原因在于，實際中物理可實現(xiàn)的系統(tǒng)是因果的，加入到系統(tǒng)的激勵信號通常也是有始的，即

時

。當(dāng)，信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換一、雙邊拉氏變換和單邊拉氏變換函數(shù) 與 是一對拉普拉斯變換對，它們是同一信號在時域和復(fù)頻域的不同表示，且兩者是一一對應(yīng)的：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換二、拉普拉斯變換的收斂域函數(shù) 是否可積，要看取得是否合適。拉普拉斯變換的收斂域是指使?jié)M足絕對可積的

的取值范圍。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換二、拉普拉斯變換的收斂域函數(shù) 是否可積，要看取得是否合適。拉普拉斯變換的收斂域是指使?jié)M足絕對可積的

的取值范圍。例如，，當(dāng)

取不同值時，函數(shù)是否滿足絕對可積也會發(fā)生變化。當(dāng)時，滿足絕對可積，因此，該函數(shù)拉普拉斯變換的收斂域為。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換二、拉普拉斯變換的收斂域這個區(qū)域可更為直觀地在一個稱為s平面的復(fù)平面中表示出來：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換二、拉普拉斯變換的收斂域這個區(qū)域可更為直觀地在一個稱為s平面的復(fù)平面中表示出來：收斂軸信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換二、拉普拉斯變換的收斂域這個區(qū)域可更為直觀地在一個稱為s平面的復(fù)平面中表示出來：收斂軸收斂坐標(biāo)信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換二、拉普拉斯變換的收斂域例4.1：求下列函數(shù)的拉普拉斯變換及其收斂域：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換二、拉普拉斯變換的收斂域解：（1），只要 ，即可保證本身就滿足絕對可積條件，因此絕對可積。收斂域可分為三種情況：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換二、拉普拉斯變換的收斂域解：（1）這個函數(shù)是持續(xù)時間有限的信號，它的收斂域幾乎是整個s平面，三種情況的主要區(qū)別在于收斂域是否包含負(fù)無窮和正無窮。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換二、拉普拉斯變換的收斂域解：（2）這個函數(shù)是一個有始信號，或稱右邊信號，它的收斂域位于收斂軸的右邊。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換二、拉普拉斯變換的收斂域解：（2）信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換二、拉普拉斯變換的收斂域解：（3）這個函數(shù)是一個左邊信號，它的收斂域位于收斂軸的左邊。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換二、拉普拉斯變換的收斂域解：（3）信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換二、拉普拉斯變換的收斂域解：（4）參數(shù)需滿足，否則就沒有收斂域，其拉普拉斯變換也就不存在。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換二、拉普拉斯變換的收斂域解：（4）信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換二、拉普拉斯變換的收斂域使得 的點稱為極點，如果是一個有理分式，那么極點就是分母多項式的根。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換二、拉普拉斯變換的收斂域使得 的點稱為極點，如果是一個有理分式，那么極點就是分母多項式的根。

只有在它的收斂域內(nèi)才有意義，在收斂域外是沒有意義的。因此，在收斂域中不應(yīng)該包含極點。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換二、拉普拉斯變換的收斂域嚴(yán)格地說，給出一個函數(shù)的拉普拉斯變換，必須同時給出它的收斂域。但是，在系統(tǒng)分析中，通常只用單邊拉普拉斯變換，單邊拉普拉斯變換的收斂域比較簡單，總是在收斂軸的右邊。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換二、拉普拉斯變換的收斂域下面，總結(jié)單邊拉普拉斯變換的收斂域如下：1、對于持續(xù)時間有限且絕對可積的函數(shù)，其拉普拉斯變換的收斂域是幾乎整個s平面；2、單邊拉普拉斯變換的收斂域總是在收斂軸的右邊；3、在收斂域中不包含極點。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換二、拉普拉斯變換的收斂域課堂練習(xí)：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換三、拉普拉斯變換的物理意義與傅里葉變換類似，將改寫為：上式表明，拉普拉斯變換是將信號在s平面沿收斂域中 的路徑分解成無窮多的分量，這些分量的系數(shù)即 。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換三、拉普拉斯變換的物理意義而傅里葉變換則是沿虛軸的分解與合成，如下圖所示：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換三、拉普拉斯變換的物理意義因此，傅里葉變換是拉普拉斯變換的特

例，即

時的拉普拉斯變換，或虛軸上的拉普拉斯變換。，信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換三、拉普拉斯變換的物理意義因此，傅里葉變換是拉普拉斯變換的特

例，即

時的拉普拉斯變換，或虛軸上的拉普拉斯變換。（1）如果函數(shù)拉普拉斯變換的收斂域包

含虛軸，說明這個函數(shù)的傅里葉變換一定存在，并且它的拉普拉斯變換和傅里葉變換可以相互轉(zhuǎn)化，只要將 改成 即可。，信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換三、拉普拉斯變換的物理意義（2）如果函數(shù)拉普拉斯變換的收斂域不

包含虛軸，則這個函數(shù)的傅里葉變換不一定

存在，它的拉普拉斯變換和傅里葉變換就不能相互轉(zhuǎn)化。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換四、復(fù)指數(shù)信號的含義拉普拉斯變換將信號在s平面沿收斂域中信號 ，其中，的路徑分解成無窮多復(fù)指數(shù)稱復(fù)頻率。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換四、復(fù)指數(shù)信號的含義拉普拉斯變換將信號在s平面沿收斂域中信號 ，其中，的路徑分解成無窮多復(fù)指數(shù)稱復(fù)頻率。一般情況下，表達(dá)一個實信號需要一對共軛的復(fù)頻率，于是信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換四、復(fù)指數(shù)信號的含義下圖畫出了復(fù)頻率在s平面中不同位置時對應(yīng)的不同信號形式。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換四、復(fù)指數(shù)信號的含義信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換五、常用函數(shù)的拉普拉斯變換與傅里葉變換類似，在實際計算拉普拉斯變換和反變換時，一般并不用定義式直接計算，而是熟記下面介紹的幾個常用的變換對，再結(jié)合拉普拉斯變換的性質(zhì)來推演得到結(jié)果。記憶時，應(yīng)同時記住原函數(shù)和其拉普拉斯變換，以用于求解拉普拉斯變換與反變換。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換五、常用函數(shù)的拉普拉斯變換1、單邊指數(shù)函數(shù)單邊指數(shù)函數(shù)記為 ，其變換對為：參數(shù)

既可以是實數(shù)，也可以是復(fù)數(shù)，實數(shù)時收斂域為 ，復(fù)數(shù)時收斂域為信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換五、常用函數(shù)的拉普拉斯變換1、單邊指數(shù)函數(shù)單邊指數(shù)函數(shù)記為 ，其變換對為：參數(shù)

既可以是實數(shù)，也可以是復(fù)數(shù)，實數(shù)時收斂域為 ，復(fù)數(shù)時收斂域為當(dāng)

0時，單邊指數(shù)函數(shù)就變成單位階躍函數(shù)，于是：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換五、常用函數(shù)的拉普拉斯變換1、單邊指數(shù)函數(shù)

s

00022e sin

tt u t

信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換五、常用函數(shù)的拉普拉斯變換2、t的正冪函數(shù)t的正冪函數(shù)記為如下：，它的變換對推演信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換五、常用函數(shù)的拉普拉斯變換

2、t的正冪函數(shù)當(dāng)n=0時，原函數(shù)就變?yōu)閱挝浑A躍函數(shù)，由這個變換對即可推出 等等的拉普拉斯變換。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換五、常用函數(shù)的拉普拉斯變換3、單位沖激函數(shù)信心·恒心·責(zé)任心信4.2

拉普拉斯變換五、常用函數(shù)的拉普拉斯變換

0心·恒心·責(zé)任心220s

4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)由于拉普拉斯變換是傅里葉變換的推廣，許多性質(zhì)是相似的，在學(xué)習(xí)時應(yīng)注意其相同之處和不同之處。拉普拉斯變換性質(zhì)的證明也與傅里葉變換類似，因此，我們只對部分性質(zhì)做出證明。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)1、線性性質(zhì)信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)2、尺度變換注：由于是單邊拉普拉斯變換，常數(shù)a應(yīng)大于0。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

2、尺度變換

課堂練習(xí)：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

2、尺度變換

課堂練習(xí)：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

3、移位性質(zhì)

時域移位：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

3、移位性質(zhì)

課堂練習(xí)：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

3、移位性質(zhì)

時域移位：復(fù)頻域移位：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

3、移位性質(zhì)

時域移位：復(fù)頻域移位：注：時域移位對應(yīng)復(fù)頻域中乘以一個復(fù)指數(shù)，而復(fù)頻域移位對應(yīng)時域中乘以復(fù)指數(shù)。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

3、移位性質(zhì)

課堂練習(xí)：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

3、移位性質(zhì)

課堂練習(xí)：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)3、移位性質(zhì)

例4.3：兩函數(shù)如下所示，且有拉普拉斯變換關(guān)系 ，求兩函數(shù)的拉普拉斯變換，并指出收斂域。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)3、移位性質(zhì)解：由于質(zhì)和時域移位性質(zhì)，可得：，利用線性性其中收斂域為，是絕對可積的單個脈沖，因而其。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)3、移位性質(zhì)解：斯變換為：為一個有始周期信號，其拉普拉信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)3、移位性質(zhì)

從這個例子，我們可以得出以下結(jié)論：1、對于周期為T的有始周期函數(shù)，求其拉普拉斯變換，只要求出第一個周期的變換，然后再乘以

即可。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)3、移位性質(zhì)

從這個例子，我們可以得出以下結(jié)論：2、如果的分母含有類似 的因子，則原函數(shù)為有始周期函數(shù)。做反變換時，需要先將

分母中的這個因子去掉，然后再

求拉普拉斯反變換，最后以T為周期延拓即可。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)3、移位性質(zhì)

下面，我們再舉一個類似的例子。例4.4：已知，求原函數(shù)。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)3、移位性質(zhì)解：由于

F

s

1

e

sT

1

e

2sT

，令則有：11

e

sT信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)3、移位性質(zhì)

解：根據(jù)下圖，可寫成更為簡潔的形式：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

3、移位性質(zhì)

課堂練習(xí)：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

4、微分性質(zhì)

時域微分：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

4、微分性質(zhì)

時域微分：證明：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

4、微分性質(zhì)

時域微分：如果該函數(shù)存在n階導(dǎo)數(shù)，這個性質(zhì)可推廣到n階導(dǎo)數(shù)的情形：.信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

4、微分性質(zhì)

時域微分：如果該函數(shù)存在n階導(dǎo)數(shù)，這個性質(zhì)可推廣到n階導(dǎo)數(shù)的情形：對于單邊拉普拉斯變換，則有.信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

4、微分性質(zhì)

時域微分：于是，也就是說，時域信號微分一次，對應(yīng)在

復(fù)頻域中乘以一個s。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

4、微分性質(zhì)

復(fù)頻域微分：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)4、微分性質(zhì)

對參變量的微分：如果，則有：，其中

為一個參變量信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

4、微分性質(zhì)

例4.5：已知：普拉斯變換。，求該函數(shù)的拉信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)4、微分性質(zhì)例4.5：已知：普拉斯變換。，求該函數(shù)的拉解：1、利用時域微分性質(zhì)；信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)4、微分性質(zhì)例4.5：已知：普拉斯變換。，求該函數(shù)的拉解：1、利用時域微分性質(zhì)；2、利用復(fù)頻域移位性質(zhì)；信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)4、微分性質(zhì)例4.5：已知：普拉斯變換。，求該函數(shù)的拉解：1、利用時域微分性質(zhì)；2、利用復(fù)頻域移位性質(zhì)；3、利用參變量微分性質(zhì)。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

5、積分性質(zhì)

時域積分：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

5、積分性質(zhì)

時域積分：證明：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

5、積分性質(zhì)

復(fù)頻域積分：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

5、積分性質(zhì)

復(fù)頻域積分：證明：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)5、積分性質(zhì)

對參變量積分：如果，則有：，其中

為一個參變量信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

5、積分性質(zhì)

課堂練習(xí)：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

5、積分性質(zhì)

課堂練習(xí)：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

6、卷積定理

時域卷積：這個性質(zhì)與傅里葉變換的卷積定理是類似的，時域卷積對應(yīng)復(fù)頻域乘積。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

6、卷積定理

復(fù)頻域卷積：這個性質(zhì)與傅里葉變換的卷積定理也是類似的，時域乘積對應(yīng)復(fù)頻域卷積，還有一個

常數(shù)

。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

7、初值定理和終值定理

初值定理：如果函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)及其拉普拉斯變換存在，則該函數(shù)的初值為：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

7、初值定理和終值定理

初值定理：如果函數(shù)在t=0處有沖激且其導(dǎo)數(shù)存在，則該函數(shù)的拉普拉斯變換必可分解為一個多項式和另一個真分式之和：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

7、初值定理和終值定理

初值定理：如果函數(shù)在t=0處有沖激且其導(dǎo)數(shù)存在，則該函數(shù)的拉普拉斯變換必可分解為一個多項式和另一個真分式之和：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

7、初值定理和終值定理

初值定理：如果函數(shù)在t=0處有沖激且其導(dǎo)數(shù)存在，則該函數(shù)的拉普拉斯變換必可分解為一個多項式和另一個真分式之和：這時，初值定理應(yīng)修正為：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

7、初值定理和終值定理

終值定理：如果函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)及其拉普拉斯變換存在，并且該函數(shù)拉普拉斯變換的所有極點位

于s平面的左半平面內(nèi)，或僅在原點處存在單極點，則該函數(shù)的終值為：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

7、初值定理和終值定理

使用初值定理和終值定理時，應(yīng)注意它們的適用條件。（1）如果函數(shù)在t=0處存在沖激及其導(dǎo)數(shù)，表現(xiàn)為該函數(shù)的拉普拉斯變換是一個假分式，需要將其化成多項式和真分式之和，然后求初值。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

7、初值定理和終值定理

使用初值定理和終值定理時，應(yīng)注意它們的適用條件。（2）終值定理應(yīng)注意函數(shù)拉普拉斯變換的極點分布，只有它的極點全部位于s平面的

左半平面，或者僅在原點處有一個單極點時，才能求終值；否則，終值就不存在。信心·恒心·責(zé)任心信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換拉普拉斯變換對是同一信號在時域和復(fù)頻域中的不同表示，是一一對應(yīng)的。在已知某函數(shù)拉普拉斯變換的情況下，求出原函數(shù)，就是拉普拉斯反變換。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換拉普拉斯變換對是同一信號在時域和復(fù)頻域中的不同表示，是一一對應(yīng)的。在已知某函數(shù)拉普拉斯變換的情況下，求出原函數(shù)，就是拉普拉斯反變換。求解拉普拉斯反變換：（1）可直接代入定義式進行求解，是一個復(fù)變函數(shù)的積分問題。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換求解拉普拉斯反變換：（2）依靠常用變換對，再結(jié)合性質(zhì)和典

型例子，通過將拉普拉斯變換化成認(rèn)識的變換對，然后直接寫出原函數(shù)。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法

部分分式分解法又稱為部分分式展開法，如果

是有理分式，可以通過部分分式分解將它寫成一些簡單的分式之和，然后根據(jù)拉普拉斯變換對直接寫出原函數(shù)

。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法當(dāng)n>m時，上式為真分式，反之，上式為假分式。當(dāng)

為假分式時，可用長除法將它

化成一個多項式和一個真分式之和，分別求出其拉普拉斯反變換。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（1）單極點當(dāng)有n個單極點時，可以得到：其中，稱為部分分式的系數(shù)：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（1）單極點也可由下式求得：由單邊指數(shù)函數(shù)的拉普拉斯變換對，有信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（1）單極點于是：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（1）單極點例4.8：已知分別求拉普拉斯反變換。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（1）單極點解：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（1）單極點解：由于 是假分式，用長除法化為多項式和真分式之和，利用前面的結(jié)論有：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（1）單極點課堂練習(xí)：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（2）多重極點設(shè)有1個p階極點 ，而其他的n-p個極點仍是單極點，這時，只需考慮以下有理分式的分解：信心·恒心·責(zé)任心信心·恒心·責(zé)任4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（2）多重極點設(shè)有1個p階極點 ，而其他的n-p個極點仍是單極點，這時，只需考慮以下有理分式的分解：心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（2）多重極點部分分式系數(shù)信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（2）多重極點根據(jù)t的正冪函數(shù)的變換對及復(fù)頻域移位性質(zhì)，有：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（2）多重極點于是，可得：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（2）多重極點例4.9：已知，求原函數(shù)。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（2）多重極點例4.9：已知，求原函數(shù)。解：根據(jù)該函數(shù)的極點，可將其分解為信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（2）多重極點解：其中，信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（2）多重極點解：于是，信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（2）多重極點解：于是，信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（2）多重極點課堂練習(xí)：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（3）極點是共軛復(fù)數(shù)極點是共軛復(fù)數(shù)時仍為單極點，因此，仍然可以用單極點的方法進行部分分式分解，但這樣運算比較復(fù)雜。下面先看一個簡單的例子。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（3）極點是共軛復(fù)數(shù)例4.10：已知數(shù)。，求其原函解：對于該拉普拉斯變換，可以將它的分

母寫成一個完全平方加一個常數(shù)的形式，然后利用常用拉普拉斯變換對寫出其反變換。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（3）極點是共軛復(fù)數(shù)解：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（3）極點是共軛復(fù)數(shù)對于比較復(fù)雜的有理分式，仍然需要分解。但如果其分母多項式存在某些二次多項式且具有一對共軛復(fù)根時，應(yīng)使分母中的二次多項式保持整體，將

分解成一些二次分式。這時，二次分式的分子不是一個常數(shù)，而是一個一次多項式。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（3）極點是共軛復(fù)數(shù)例4.12：已知求原函數(shù)。，信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（3）極點是共軛復(fù)數(shù)解：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（3）極點是共軛復(fù)數(shù)解：信心·恒心·責(zé)任心信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（3）極點是共軛復(fù)數(shù)解：4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（3）極點是共軛復(fù)數(shù)解：于是，有：4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（3）極點是共軛復(fù)數(shù)解：因此，得到：4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換

1、部分分式分解法

課堂練習(xí)：4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換

1、部分分式分解法

課堂練習(xí)：4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換2、圍線積分法拉普拉斯反變換是復(fù)變函數(shù)的積分問題。因此，可根據(jù)復(fù)變函數(shù)中的留數(shù)定理，求解原函數(shù)。4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換2、圍線積分法4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換2、圍線積分法被積函數(shù)的極點4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換2、圍線積分法不經(jīng)過極點的閉合路徑4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換2、圍線積分法各個極點上的留數(shù)4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換2、圍線積分法拉普拉斯反變換中的積

分路徑是其收斂域中的

一條直線，

而非閉合路

徑4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換2、圍線積分法4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換2、圍線積分法4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換2、圍線積分法4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換2、圍線積分法4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換2、圍線積分法1.

如果拉普拉斯變換是

有理分式，

只要是真分

式，

則第一個條件滿足；4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換2、圍線積分法2.

對于單邊拉普拉斯變

換，

t>0

，

第

二

個條

件滿足，補左邊圓弧。4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換2、圍線積分法4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換2、圍線積分法拉普拉斯反變換是復(fù)變函數(shù)的積分問題。因此，可根據(jù)復(fù)變函數(shù)中的留數(shù)定理，求解原函數(shù)。對于單邊拉普拉斯變換，總是取左邊的圓弧，其留數(shù)計算可以分為兩種情況：1、對于一階極點，有4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換2、圍線積分法拉普拉斯反變換是復(fù)變函數(shù)的積分問題。因此，可根據(jù)復(fù)變函數(shù)中的留數(shù)定理，求解原函數(shù)。對于單邊拉普拉斯變換，其留數(shù)計算可以分為兩種情況：2、對于p階極點，有4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換2、圍線積分法

現(xiàn)在將圍線積分計算拉普拉斯反變換的方法歸納如下：1、拉普拉斯反變換中的被積函數(shù)是，被積函數(shù)的極點就是 的極點；2、對于單邊拉普拉斯變換，的收斂域在收斂軸的右邊，因而積分路徑取左半圓??；4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換2、圍線積分法3、因左半圓弧的半徑為無窮大，從而圍線中包含了 的所有極點；4、在滿足約當(dāng)引理的情況下，左半圓弧上的積分等于0，所以拉普拉斯反變換就等于的所有極點上的留數(shù)之和。4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換

2、圍線積分法

例4.13：已知積分法求原函數(shù)。，用圍線4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換

2、圍線積分法

例4.13：已知積分法求原函數(shù)。，用圍線解：由于是真分式，滿足約當(dāng)引理，且有三個單極點，信心·恒心·責(zé)4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換

2、圍線積分法

例4.13：已知積分法求原函數(shù)。，用圍線解：由于 是真分式，滿足約當(dāng)引理，且有三個極點，各極點上的留數(shù)分別為：任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換

2、圍線積分法

例4.13：已知積分法求原函數(shù)。解：，用圍線信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換

2、圍線積分法

例4.14：已知積分法求原函數(shù)。，用圍線解：件，但是假分式，不滿足約當(dāng)引理的條可寫成：上式的第二項有兩個單極點，因此，信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換

2、圍線積分法

例4.14：已知積分法求原函數(shù)。解：，用圍線信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換部分分式分解法和圍線積分法是求解拉普拉斯反變換的兩種基本方法。在工程實際中，更常用的是部分分式法。對于一些復(fù)雜的 ，還需要結(jié)合拉普拉斯變換的性質(zhì)來簡化計算。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換課堂練習(xí)：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換課堂練習(xí)：信心·恒心·責(zé)任心主要內(nèi)容

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析引言123拉普拉斯變換系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)4系統(tǒng)的方框圖和信號流圖5信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析拉普拉斯變換是求解線性常系數(shù)微分方程的有效數(shù)學(xué)工具，而線性時不變連續(xù)時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型正是一個線性常系數(shù)微分方程，當(dāng)已知系統(tǒng)的微分方程時，這種方法簡單又直接。信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析一、已知系統(tǒng)微分方程的系統(tǒng)分析當(dāng)已知系統(tǒng)的微分方程時，可以利用性質(zhì)對方程做拉普拉斯變換，從而將微分方程變成一個代數(shù)方程。下面，用一個簡單的例子說明這種分析方法。信心·恒心·責(zé)任心，激勵為單4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析一、已知系統(tǒng)微分方程的系統(tǒng)分析例4.16：已知二階系統(tǒng)的微分方程為系統(tǒng)的初始條件為位階躍函數(shù)，求系統(tǒng)的全響應(yīng)。信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析一、已知系統(tǒng)微分方程的系統(tǒng)分析解：利用拉普拉斯變換的微分性質(zhì)，直接對方程兩邊做拉普拉斯變換得：信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析一、已知系統(tǒng)微分方程的系統(tǒng)分析解：利用拉普拉斯變換的微分性質(zhì)，直接對方程兩邊做拉普拉斯變換得：代入初始條件，可得：信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析一、已知系統(tǒng)微分方程的系統(tǒng)分析解：對上式做部分分式分解，得到系統(tǒng)的全響應(yīng)為：信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析一、已知系統(tǒng)微分方程的系統(tǒng)分析注：由于在求解過程中同時計入了初始條件和激勵，因而直接求得了全響應(yīng)。這種方法的實質(zhì)是：已知微分方程，對方程做拉普拉斯變換，得到代數(shù)方程，求解代數(shù)方程，最后求拉普拉斯反變換，直接得到全響應(yīng)。信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析一、已知系統(tǒng)微分方程的系統(tǒng)分析課堂練習(xí)：信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析二、已知電路的系統(tǒng)分析若已知系統(tǒng)的電路，則可以先根據(jù)電路列出微分方程，然后再由上節(jié)的方法求解。信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析二、已知電路的系統(tǒng)分析若已知系統(tǒng)的電路，則可以先根據(jù)電路列出微分方程，然后再由上節(jié)的方法求解。然而，更為簡潔的方法是：將電路等效到

復(fù)頻域中，然后列方程，這樣列出的方程就是代數(shù)方程。信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析二、已知電路的系統(tǒng)分析

復(fù)頻域中的等效電路稱為運算等效電路。通常的電路是時域中的電路模型，為將電路等效到復(fù)頻域中，首先要將組成電路的元件等效。線性電路的元件有三個，分別是電阻、電感、電容。信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析二、已知電路的系統(tǒng)分析1、電阻信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析二、已知電路的系統(tǒng)分析1、電阻信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析二、已知電路的系統(tǒng)分析1、電阻信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析二、已知電路的系統(tǒng)分析1、電阻注：電阻的時域和復(fù)頻域表示相同。信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析二、已知電路的系統(tǒng)分析2、電感信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析二、已知電路的系統(tǒng)分析2、電感信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析二、已知電路的系統(tǒng)分析2、電感信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析二、已知電路的系統(tǒng)分析2、電感在兩個等效模型中，一個是將電感初始電流等效為電壓源，另一個則是等效為電流源。其中，參數(shù) 是電感在復(fù)頻域中的元件參數(shù)，稱為運算感抗。信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析二、已知電路的系統(tǒng)分析3、電容信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析二、已知電路的系統(tǒng)分析3、電容信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析二、已知電路的系統(tǒng)分析3、電容信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析二、已知電路的系統(tǒng)分析3、電容兩個等效模型中一個是將電容初始電壓等效為電壓源，另一個則是等效為電流源。其中，參數(shù)

是電容在復(fù)頻域中的元件參數(shù)，稱為運算容抗。信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析二、已知電路的系統(tǒng)分析有了這些元件的等效模型，就可以將整個電路等效到復(fù)頻域中，時域中的基爾霍夫定律在復(fù)頻域中同樣成立，然后根據(jù)基爾霍夫定律列出回路方程或節(jié)點方程。信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析二、已知電路的系統(tǒng)分析有了這些元件的等效模型，就可以將整個電路等效到復(fù)頻域中，時域中的基爾霍夫定律在復(fù)頻域中同樣成立，然后根據(jù)基爾霍夫定律列出回路方程或節(jié)點方程。下面舉一個例子。信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析二、已知電路的系統(tǒng)分析例4.17：電路如下圖所示，求回路電流信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析二、已知電路的系統(tǒng)分析解：首先，根據(jù)時域電路模型畫出等效電路：信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析二、已知電路的系統(tǒng)分析解：然后，列出回路方程并求解：信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析二、已知電路的系統(tǒng)分析解：然后，列出回路方程并求解：信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析二、已知電路的系統(tǒng)分析解：最后，求拉普拉斯反變換，得到回路電路的全響應(yīng)：信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析二、已知電路的系統(tǒng)分析注：這種求法的實質(zhì)是：已知電路，做運算等效電路；根據(jù)等效電路列方程直接得到代數(shù)方程；求解代數(shù)方程；最后求拉普拉斯反變換，直接得到全響應(yīng)。信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析二、已知電路的系統(tǒng)分析課堂練習(xí)：信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析前面介紹的方法，可以一步直接求出系統(tǒng)的全響應(yīng)，稱為一步到位法。然而，這種方法不能看出系統(tǒng)其他方面的特性，因此，下面將系統(tǒng)的全響應(yīng)分為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)來求解。信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析拉普拉斯變換是將信號在復(fù)頻域中分解成無窮多的

分量，對于信號

，如果已知它的拉普拉斯變換，那么，信心·恒心·責(zé)任心。4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析拉普拉斯變換是將信號在復(fù)頻域中分解成無窮多的

分量，對于信號

，如果已知它的拉普拉斯變換，那么，設(shè)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為，對于因果系統(tǒng)有信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析因此，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為：其中：信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析因此，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為：其中：系統(tǒng)函數(shù)信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析因此，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為：其中：系統(tǒng)函數(shù)信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析因此，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為：其中：系統(tǒng)函數(shù)信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析在復(fù)頻域中求系統(tǒng)對激勵 的零狀態(tài)響應(yīng)步驟如下：信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析在復(fù)頻域中求系統(tǒng)對激勵 的零狀態(tài)響應(yīng)步驟如下：1、計算激勵的拉普拉斯變換 ；信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析在復(fù)頻域中求系統(tǒng)對激勵 的零狀態(tài)響應(yīng)步驟如下：1、計算激勵2、求系統(tǒng)函數(shù)的拉普拉斯變換 ；；信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析在復(fù)頻域中求系統(tǒng)對激勵 的零狀態(tài)響應(yīng)步驟如下：1、計算激勵2、求系統(tǒng)函數(shù)的拉普拉斯變換 ；；3、將斯變換 ；與相乘得到響應(yīng)的拉普拉信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析在復(fù)頻域中求系統(tǒng)對激勵 的零狀態(tài)響應(yīng)步驟如下：1、計算激勵2、求系統(tǒng)函數(shù)的拉普拉斯變換 ；；3、將斯變換 ；與相乘得到響應(yīng)的拉普拉4、計算的零狀態(tài)響應(yīng)的拉普拉斯反變換，得到系統(tǒng)。信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析在復(fù)頻域中求系統(tǒng)對激勵 的零狀態(tài)響應(yīng)步驟如下：1、計算激勵2、求系統(tǒng)函數(shù)的拉普拉斯變換 ；；（關(guān)鍵）3、將斯變換 ；與相乘得到響應(yīng)的拉普拉4、計算的零狀態(tài)響應(yīng)的拉普拉斯反變換，得到系統(tǒng)。信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析系統(tǒng)函數(shù)是反映系統(tǒng)本身特性的一個重要函數(shù)，它由構(gòu)成電路系統(tǒng)的元件參數(shù)決定。信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析系統(tǒng)函數(shù)是反映系統(tǒng)本身特性的一個重要函數(shù)，它由構(gòu)成電路系統(tǒng)的元件參數(shù)決定。系統(tǒng)函數(shù)可寫成：信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析如果已知系統(tǒng)的微分方程：利用拉普拉斯變換的微分性質(zhì)對上式兩邊做拉普拉斯變換，得：信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析于是，信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析于是，如果已知具體的電路，可以先列出方程，然后根據(jù)上式寫出系統(tǒng)函數(shù)。還可以將電容

和電感用運算容抗和運算感抗代替，然后根據(jù)電路求出系統(tǒng)函數(shù)。信心·恒心·責(zé)任心，4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析

下面，舉一個例子來說明。例4.18：下圖的電路中，以回路電流作為響應(yīng) 為激勵，求系統(tǒng)函數(shù)及沖激響應(yīng)。信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析解：根據(jù)電路列方程，分別將電容和電感用運算容抗和運算感抗代替：信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析解：根據(jù)電路列方程，分別將電容和電感用運算容抗和運算感抗代替：求出：信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析解：從而，信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析系統(tǒng)函數(shù)的分母多項式就是系統(tǒng)的特征方程。因此，系統(tǒng)函數(shù)的極點就是特征根。那么，在已知系統(tǒng)激勵和初始條件的情況下，根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)，既可以求出零狀態(tài)響應(yīng)，也可以求出零輸入響應(yīng)。信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析系統(tǒng)函數(shù)的分母多項式就是系統(tǒng)的特征方程。因此，系統(tǒng)函數(shù)的極點就是特征根。那么，在已知系統(tǒng)激勵和初始條件的情況下，根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)，既可以求出零狀態(tài)響應(yīng)，也可以求出零輸入響應(yīng)。下面，再舉一個例子。信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析例4.19：如下圖電路，開關(guān)S在t=0時打開，求t>0時電容兩端的電壓。信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析解：利用分壓公式容易寫出系統(tǒng)函數(shù)：信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析解：利用分壓公式容易寫出系統(tǒng)函數(shù)：由于，于是：信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析解：信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析

解：

零輸入響應(yīng)的一般形式為：代入初始條件，可得：信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析

解：

零輸入響應(yīng)的一般形式為：代入初始條件，可得：因此，全響應(yīng)為：信心·恒心·責(zé)任心信心·恒4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析

解：

零輸入響應(yīng)的一般形式為：代入初始條件，可得：因此，全響應(yīng)為：心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析課堂練習(xí)：信心·恒心·責(zé)任心4.3

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析課堂練習(xí)：信心·恒心·責(zé)任心主要內(nèi)容

線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析引言123拉普拉斯變換系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)4系統(tǒng)的方框圖和信號流圖5信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)是反映系統(tǒng)本身特性的一個重要函數(shù)，它包含了系統(tǒng)的一些信息。信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)是反映系統(tǒng)本身特性的一個重要函數(shù)，它包含了系統(tǒng)的一些信息。一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件實際中，總是希望系統(tǒng)能夠穩(wěn)定可靠地工作，那么，怎樣的系統(tǒng)才是穩(wěn)定的呢？如何判定一個系統(tǒng)是否穩(wěn)定呢？信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件1、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件

系統(tǒng)穩(wěn)定是指系統(tǒng)輸入有限（有界）的激勵，只能產(chǎn)生有限（有界）的響應(yīng)，這種穩(wěn)定通常稱為BIBO穩(wěn)定。信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件1、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件

系統(tǒng)穩(wěn)定是指系統(tǒng)輸入有限（有界）的激勵，只能產(chǎn)生有限（有界）的響應(yīng)，這種穩(wěn)定通常稱為BIBO穩(wěn)定。其中，有限的激勵也包括激勵為零的情況。信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件1、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件

系統(tǒng)穩(wěn)定是指系統(tǒng)輸入有限（有界）的激勵，只能產(chǎn)生有限（有界）的響應(yīng)，這種穩(wěn)定通常稱為BIBO穩(wěn)定。其中，有限的激勵也包括激勵為零的情況。用數(shù)學(xué)表述為：如果，則響應(yīng)為，且A、B都是有限正實數(shù)。信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件1、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件

線性時不變系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是單位沖激響應(yīng)絕對可積，即：（證明可參見書154-155頁）信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件2、系統(tǒng)穩(wěn)定的判別

工程中，可根據(jù)沖激響應(yīng)的形式來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。信心·恒心·責(zé)任心信心·恒心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)·責(zé)任心信心·恒心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)穩(wěn)定穩(wěn)定·責(zé)任心信心·恒心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)穩(wěn)定穩(wěn)定臨界穩(wěn)定臨界穩(wěn)定·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)不穩(wěn)定不穩(wěn)定信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件2、系統(tǒng)穩(wěn)定的判別

沖激響應(yīng)是系統(tǒng)函數(shù)的拉普拉斯反變換，時域函數(shù)的形式與復(fù)頻域函數(shù)的極點是密切相關(guān)的。系統(tǒng)函數(shù)分子多項式的根稱為零點，分母多項式的根稱為極點。只要求出系統(tǒng)函數(shù)的極點，然后根據(jù)這些極點在復(fù)平面中的位置，即可對系統(tǒng)的穩(wěn)定性作出判斷。信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件2、系統(tǒng)穩(wěn)定的判別

歸納起來，有三種情況：1、極點全部在左半平面，系統(tǒng)穩(wěn)定；2、在右半平面存在極點，或在虛軸上存在多階極點，系統(tǒng)不穩(wěn)定；3、在原點或虛軸上只存在單階極點，而其他的極點都在左半平面，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3、羅斯-霍維茨判據(jù)判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定，只要求出系統(tǒng)函數(shù)的極點，即系統(tǒng)函數(shù)分母多項式的根即可：若所有極點在復(fù)平面的左半平面，或者說這些

極點的實部小于0，那么系統(tǒng)穩(wěn)定。否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定或臨界穩(wěn)定。信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3、羅斯-霍維茨判據(jù)然而，當(dāng)系統(tǒng)函數(shù)分母多項式是一個高次多項式時，它的根是不容易求得的，這時可用羅斯-霍維茨判據(jù)來判斷它的根在復(fù)平面中的位置。信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3、羅斯-霍維茨判據(jù)然而，當(dāng)系統(tǒng)函數(shù)分母多項式是一個高次多項式時，它的根是不容易求得的，這時可用羅斯-霍維茨判據(jù)來判斷它的根在復(fù)平面中的位置。由系統(tǒng)函數(shù)分母多項式構(gòu)成的一個n次方程，即系統(tǒng)的特征方程：信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3、羅斯-霍維茨判據(jù)假設(shè)特征方程的n個根為，則有其中，信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3、羅斯-霍維茨判據(jù)根據(jù)根與特征方程的關(guān)系，可得出以下結(jié)論：1、如果所有的根在左半平面，即所有根的實部小于0，則特征多項式的系數(shù)都大于且

不等于0；信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3、羅斯-霍維茨判據(jù)根據(jù)根與特征方程的關(guān)系，可得出以下結(jié)論：1、如果所有的根在左半平面，即所有根的實部小于0，則特征多項式的系數(shù)都大于且

不等于0；2、如果

，其他系數(shù)不等于0，則必有一個根等于0；信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3、羅斯-霍維茨判據(jù)根據(jù)根與特征方程的關(guān)系，可得出以下結(jié)論：3、如果特征多項式所有奇次項的系數(shù)或所有偶次項的系數(shù)等于0，并且沒有右半平面的根，則所有根的實部都等于0。說明所有的根都在虛軸上，如果這些根都是單根，則系統(tǒng)臨界穩(wěn)定；否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3、羅斯-霍維茨判據(jù)用羅斯-霍維茨判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，分為兩個步驟：信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3、羅斯-霍維茨判據(jù)用羅斯-霍維茨判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，分為兩個步驟：第一步：考察特征多項式的系數(shù)，如果存在小于或等于0的系數(shù)，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。另外，在寫系統(tǒng)函數(shù)時，通常將分母多項式最高次的系數(shù)歸一化為1，且將方程的系數(shù)盡可能地化為整數(shù)。信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3、羅斯-霍維茨判據(jù)第二步：如果特征多項式的系數(shù)都大于且不等于0，就不能立即做出判斷，需要計算羅斯-霍維茨陣列，具體過程可分為三步。（1）將特征多項式的系數(shù)如下排列：信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3、羅斯-霍維茨判據(jù)（2）根據(jù)系數(shù)計算出如下的陣列，其中的前兩行就是多項式的系數(shù)：信心·恒心·責(zé)任心信心·恒心·責(zé)4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3、羅斯-霍維茨判據(jù)（3）最后得到的最左邊的一列數(shù)，稱為羅斯-霍維茨數(shù)列，數(shù)列中符號變化的次數(shù)就

是實部為正的根的個數(shù)；若羅斯-霍維茨數(shù)列中的數(shù)有符號變化，就可判定系統(tǒng)不穩(wěn)定。任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3、羅斯-霍維茨判據(jù)例4.20：已知系統(tǒng)的特征方程如下，試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性：信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3、羅斯-霍維茨判據(jù)解：（1）信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3、羅斯-霍維茨判據(jù)解：（1）信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3、羅斯-霍維茨判據(jù)解：（1）不穩(wěn)定信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3、羅斯-霍維茨判據(jù)解：（2）信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3、羅斯-霍維茨判據(jù)解：（2）信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3、羅斯-霍維茨判據(jù)解：（2）不穩(wěn)定信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3、羅斯-霍維茨判據(jù)解：（3）信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3、羅斯-霍維茨判據(jù)解：（3）信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3、羅斯-霍維茨判據(jù)解：（3）穩(wěn)定信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3、羅斯-霍維茨判據(jù)課堂練習(xí)：信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3、羅斯-霍維茨判據(jù)課堂練習(xí)：信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3、羅