福建省“超級(jí)全能生”2025屆數(shù)學(xué)高一下期末聯(lián)考模擬試題含解析

福建省“超級(jí)全能生”2025屆數(shù)學(xué)高一下期末聯(lián)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在中，邊，，分別是角，，的對(duì)邊，且滿足，若，則的值為A． B． C． D．2．如圖為某班35名學(xué)生的投籃成績(jī)（每人投一次）的條形統(tǒng)計(jì)圖，其中上面部分?jǐn)?shù)據(jù)破損導(dǎo)致數(shù)據(jù)不完全。已知該班學(xué)生投籃成績(jī)的中位數(shù)是5，則根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．3球以下（含3球）的人數(shù)為10B．4球以下（含4球）的人數(shù)為17C．5球以下（含5球）的人數(shù)無(wú)法確定D．5球的人數(shù)和6球的人數(shù)一樣多3．某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x與銷售額y（單位：百萬(wàn)元）之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：x24568y3040t5070根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸直線方程為y=6.5x+17.5，則tA．40 B．50 C．60 D．704．設(shè)的內(nèi)角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為，若,則角=（）A． B．C． D．5．在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x、y軸分別交于點(diǎn)、，記以點(diǎn)為圓心，半徑為r的圓與三角形的邊的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為M.對(duì)于下列說(shuō)法：①當(dāng)時(shí)，若，則；②當(dāng)時(shí)，若，則；③當(dāng)時(shí)，M不可能等于3；④M的值可以為0，1，2，3，4，5.其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．46．已知函數(shù)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) B．在上恰有一個(gè)零點(diǎn)C．是周期函數(shù) D．在上是增函數(shù)7．對(duì)于空間中的兩條直線，和一個(gè)平面，下列結(jié)論正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則8．若一個(gè)人下半身長(zhǎng)（肚臍至足底）與全身長(zhǎng)的比近似為5-12（5-12≈0.618A．身材完美，無(wú)需改善 B．可以戴一頂合適高度的帽子C．可以穿一雙合適高度的增高鞋 D．同時(shí)穿戴同樣高度的增高鞋與帽子9．已知、是圓：上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，，若是線段的中點(diǎn)，則的值為（）A． B． C． D．10．sincos＋cos20°sin40°的值等于A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，．則數(shù)列的前項(xiàng)和是_____.12．若x、y滿足約束條件，則的最大值為________.13．體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球面的表面積為__________.14．把“五進(jìn)制”數(shù)轉(zhuǎn)化為“十進(jìn)制”數(shù)是_____________15．已知關(guān)于實(shí)數(shù)x，y的不等式組構(gòu)成的平面區(qū)域?yàn)?，若，使得恒成立，則實(shí)數(shù)m的最小值是______．16．已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，若，則________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．某質(zhì)檢機(jī)構(gòu)檢測(cè)某產(chǎn)品的質(zhì)量是否合格，在甲、乙兩廠勻速運(yùn)行的自動(dòng)包裝傳送帶上每隔10分鐘抽一包產(chǎn)品，稱其質(zhì)量（單位：克），分別記錄抽查數(shù)據(jù)，獲得質(zhì)量數(shù)據(jù)莖葉圖（如圖）.（1）該質(zhì)檢機(jī)構(gòu)采用了哪種抽樣方法抽取的產(chǎn)品？根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，求甲、乙兩廠產(chǎn)品質(zhì)量的平均數(shù)和中位數(shù)；（2）若從甲廠6件樣品中隨機(jī)抽取兩件.①列舉出所有可能的抽取結(jié)果；②記它們的質(zhì)量分別是克，克，求的概率.18．如圖，在三棱錐中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，，．求證：⑴平面；⑵．19．在直三棱柱中，，，，分別是，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.20．如圖，漁船甲位于島嶼的南偏西方向的處，且與島嶼相距12海里，漁船乙以10海里/小時(shí)的速度從島嶼出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時(shí)從處出發(fā)沿北偏東的方向追趕漁船乙，剛好用2小時(shí)追上．（1）求漁船甲的速度；（2）求的值．21．如圖，四棱錐中，，平面平面，，為的中點(diǎn).（1）求證://平面；（2）求點(diǎn)到面的距離（3）求二面角平面角的正弦值

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

利用正弦定理把題設(shè)等式中的邊換成角的正弦，進(jìn)而利用兩角和公式化簡(jiǎn)整理可得的值，由可得的值【詳解】在中，由正弦定理可得化為：即在中，，故,可得，即故選【點(diǎn)睛】本題以三角形為載體，主要考查了正弦定理，向量的數(shù)量積的運(yùn)用，考查了兩角和公式，考查了分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題。2、D【解析】

據(jù)投籃成績(jī)的條形統(tǒng)計(jì)圖，結(jié)合中位數(shù)的定義，對(duì)選項(xiàng)中的命題分析、判斷即可．【詳解】根據(jù)投籃成績(jī)的條形統(tǒng)計(jì)圖，3球以下（含3球）的人數(shù)為，6球以下（含6球）的人數(shù)為，結(jié)合中位數(shù)是5知4球以下（含4球）的人數(shù)為不多于17，而由條形統(tǒng)計(jì)圖得4球以下（含4球）的人數(shù)不少于，因此4球以下（含4球）的人數(shù)為17所以5球的人數(shù)和6球的人數(shù)一共是17，顯然5球的人數(shù)和6球的人數(shù)不一樣多，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，考查條形統(tǒng)計(jì)圖、中位數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．3、C【解析】分析：由題意，求得這組熟記的樣本中心(x詳解：由題意，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得x=2+4+5+6+85把(x,y)代入回歸直線的方程，得點(diǎn)睛：本題主要考查了回歸分析的初步應(yīng)用，其中熟記回歸直線的基本特征——回歸直線方程經(jīng)過(guò)樣本中心點(diǎn)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.4、B【解析】

試題分析：，由正弦定理可得即；因?yàn)?，所以，所以，而，所以，故選B.考點(diǎn)：1.正弦定理；2.余弦定理.5、B【解析】

作出直線，可得，，，分別考慮圓心和半徑的變化，結(jié)合圖形，即可得到所求結(jié)論．【詳解】作出直線，可得，，，①當(dāng)時(shí)，若，當(dāng)圓與直線相切，可得；當(dāng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，即，則或，故①錯(cuò)誤；②當(dāng)時(shí)，若，圓，當(dāng)圓經(jīng)過(guò)O時(shí)，，交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，則，故②正確；③當(dāng)時(shí)，圓，隨著的變化可得交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，2，0，不可能等于3，故③正確；④的值可以為0，1，2，3，4，不可以為5，故④錯(cuò)誤.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查直線和圓的位置關(guān)系，考查分析能力和計(jì)算能力.6、B【解析】

將函數(shù)利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，化成，再對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行一一驗(yàn)證，即可得答案.【詳解】∵，對(duì)A，∵，∴既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故A命題正確；對(duì)B，令，解關(guān)于的一元二次方程得：，∵，∴方程存在兩個(gè)根，∴在上有兩個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，顯然是函數(shù)的一個(gè)周期，故C正確；對(duì)D，令，則，∵在單調(diào)遞減，且，又∵在單調(diào)遞減，∴在上是增函數(shù)，故D正確；故選：B【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、零點(diǎn)，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意復(fù)合函數(shù)周增異減原則.7、C【解析】

依次分析每個(gè)選項(xiàng)中兩條直線與平面的位置關(guān)系，確定兩條直線的位置關(guān)系即可.【詳解】平行于同一平面的兩條直線不一定相互平行，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，平行于平面的直線不一定與該平面內(nèi)的直線平行，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，垂直于平面的直線，垂直于與該平面平行的所有線，故選項(xiàng)C正確，垂直于同一平面的兩條直線相互平行，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與平面位置關(guān)系的辨析，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)逐一分析研究得解.【詳解】A.103103+72B.假設(shè)她需要戴上高度為x厘米的帽子，則103175C．假設(shè)她可以穿一雙合適高度為y的增高鞋，則103+D.假設(shè)同時(shí)穿戴同樣高度z的增高鞋與帽子,則103+故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生對(duì)新定義的理解和應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】由題意得,所以，選A.10、B【解析】由題可得，.故選B.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

先利用累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后將數(shù)列的通項(xiàng)裂開，利用裂項(xiàng)求和法求出數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】當(dāng)時(shí)，．所以，，，，，.上述等式全部相加得，.，因此，數(shù)列的前項(xiàng)和為，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查累加法求數(shù)列通項(xiàng)和裂項(xiàng)法求和，解題時(shí)要注意累加法求通項(xiàng)和裂項(xiàng)法求和對(duì)數(shù)列遞推公式和通項(xiàng)公式的要求，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.12、18【解析】

先作出不等式組所表示的平面區(qū)域，再觀察圖像即可得解.【詳解】解：作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖所示，由圖可得：目標(biāo)函數(shù)所在直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，取最大值，即，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題，重點(diǎn)考查了作圖能力，屬基礎(chǔ)題.13、【解析】正方體體積為8，可知其邊長(zhǎng)為2，正方體的體對(duì)角線為=2，即為球的直徑，所以半徑為，所以球的表面積為=12π．故答案為：12π．點(diǎn)睛：設(shè)幾何體底面外接圓半徑為,常見的圖形有正三角形,直角三角形,矩形,它們的外心可用其幾何性質(zhì)求;而其它不規(guī)則圖形的外心,可利用正弦定理來(lái)求.若長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高分別為則其體對(duì)角線長(zhǎng)為;長(zhǎng)方體的外接球球心是其體對(duì)角線中點(diǎn).找?guī)缀误w外接球球心的一般方法:過(guò)幾何體各個(gè)面的外心分別做這個(gè)面的垂線,交點(diǎn)即為球心.三棱錐三條側(cè)棱兩兩垂直,且棱長(zhǎng)分別為，則其外接球半徑公式為:.14、194【解析】由.故答案為：194.15、【解析】

由，使得恒成立可知，只需求出的最大值即可，再由表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與定點(diǎn)距離的平方，因此結(jié)合平面區(qū)域即可求出結(jié)果.【詳解】作出約束條件所表示的可行域如下：由，使得恒成立可知，只需求出的最大值即可；令目標(biāo)函數(shù)，則目標(biāo)函數(shù)表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與定點(diǎn)距離的平方，由圖像易知，點(diǎn)到的距離最大.由得，所以.因此，即的最小值為37.故答案為37【點(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題，只需分析清楚目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，即可結(jié)合可行域來(lái)求解，屬于?？碱}型.16、【解析】

設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)已知條件列方程組解出和的值，可求出的表達(dá)式，再由可解出的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，，，因此，，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的求和，對(duì)于等差數(shù)列的問題，通常建立關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組求解，考查方程思想，屬于中等題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）系統(tǒng)抽樣；乙廠產(chǎn)品質(zhì)量的平均數(shù)，乙廠質(zhì)量的中位數(shù)是113；甲廠質(zhì)量的平均數(shù)，甲廠質(zhì)量的中位數(shù)是113（2）①詳見解析②【解析】

（1）根據(jù)抽樣方式即可確定抽樣方法；根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，即可分別求得兩組的平均數(shù)與中位數(shù)；（2）由甲廠的樣品數(shù)據(jù)，即可由列舉法得所有可能；根據(jù)列舉的數(shù)據(jù)，即可得滿足的情況，即可求得復(fù)合要求的概率.【詳解】（1）由題意該質(zhì)檢機(jī)構(gòu)抽取產(chǎn)品采用的抽樣方法為系統(tǒng)抽樣，甲廠質(zhì)量的平均數(shù)，甲廠質(zhì)量的中位數(shù)是113，乙廠產(chǎn)品質(zhì)量的平均數(shù)，乙廠質(zhì)量的中位數(shù)是113.（2）①?gòu)募讖S6件樣品中隨機(jī)抽取兩件，分別為：，，，共15個(gè).②設(shè)“”為事件，則事件共有5個(gè)結(jié)果：.所以的概率.【點(diǎn)睛】本題考查了莖葉圖的簡(jiǎn)單應(yīng)用，由莖葉圖求平均值與中位數(shù)，列舉法求古典概型概率的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.18、(1)見證明；(2)見證明【解析】

（1）由中位線定理即可說(shuō)明，由此證明平面；（2）首先證明平面，由線面垂直的性質(zhì)即可證明【詳解】證明：⑴因?yàn)樵谥?，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)所以又因平面,平面從而平面⑵因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，且所以又因,平面,平面,故平面因?yàn)槠矫嫠浴军c(diǎn)睛】本題考查線面平行、線面垂直的判定以及線面垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．19、（1）證明見解析。（2）【解析】

（1）首先根據(jù)已知得到，再根據(jù)線面平行的判定即可得到平面.（2）首先根據(jù)線面垂直的判定證明平面，即可找到為與平面所成角，在計(jì)算其正弦值即可.【詳解】（1）因?yàn)榉謩e是，的中點(diǎn)，所以四邊形為平行四邊形，即.平面，所以平面.（2）因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以.平面.所以為與平面所成角.在中，，，所以，.在中，，，所以.【點(diǎn)睛】本題第一問考查線面平行的判定，本題第二問考查線面成角，屬于中檔題.20、（1）14海里/小時(shí)；（2）.【解析】

（1）,∴∴,∴V甲海里/小時(shí)；（2）在中，由正弦定理得∴∴.點(diǎn)評(píng)：主要是考查了正弦定理和余弦定理的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）見詳解；（2）；（3）【解析】

（1）通過(guò)取中點(diǎn)，利用中位線定理可得四變形為平行四邊形，然后利用線面平行的判定定理，可得結(jié)果.（2）根據(jù),可得平面，可得結(jié)果.（3）作，作，可得二面角平面角為，然后計(jì)算，可得結(jié)果.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，如圖由為的中點(diǎn)，所以//且又，且