新教材2024高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)分冊(cè)一專題四立體幾何第一講空間幾何體的表面積與體積截面與交線-小題備考微專題1空間幾何體的表面積和體積

微專題1空間幾何體的表面積和體積常考常用結(jié)論1．柱體、錐體、臺(tái)體的表面積公式：①圓柱的表面積S＝2πr(r＋l)；②圓錐的表面積S＝πr(r＋l)；③圓臺(tái)的表面積S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)．2．柱體、錐體的體積公式：①V柱體＝Sh(S為底面面積，h為高)；1．端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗．地區(qū)不同，制作的粽子形態(tài)也不同，圖中的粽子接近于正三棱錐．經(jīng)測(cè)算，煮熟的粽子的密度為1.8g/cm3，若圖中粽子的底面邊長(zhǎng)為8cm，高為4cm，則該粽子的重量大約是()A．105gB．110gC．115gD．120g2．[2023·安徽亳州一中模擬]若正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為1，2，高為3，則該正四棱臺(tái)的體積為()A．5B．7C．D．3．[2023·江蘇鹽城三模]已知底面半徑為r的圓錐SO，其軸截面是正三角形，它的一個(gè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為，則此圓柱與圓錐的側(cè)面積的比值為()A．B．C．D．1.(1)[2023·新高考Ⅱ卷](多選)已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，∠APB＝120°，PA＝2，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角PACO為45°，則()A．該圓錐的體積為πB．該圓錐的側(cè)面積為4πC．AC＝2D．△PAC的面積為(2)如圖所示，直三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)都是a，截面AB1C和截面A1BC1相交于DE，則四面體BB1DE的體積為_(kāi)_______．技法領(lǐng)悟1．求幾何體的表面積及體積問(wèn)題，可以多角度、多方位地考慮，熟記公式是關(guān)鍵．求三棱錐的體積，等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)化原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上．2．求空間幾何體的體積，還常用分割或補(bǔ)形的方法，將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體，易于求解．[鞏固訓(xùn)練1](1)[2023·全國(guó)乙卷]已知圓錐PO的底面半徑為，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，∠AOB＝120°，若△PAB的面積等于，則該圓錐的體積為()A．πB．πC．3πD．3π(2)[2023·遼寧鞍山模擬]如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝CA＝AA1，點(diǎn)D是棱AA1上的點(diǎn)，AD＝AA1，若截面BDC1分這個(gè)棱柱為兩部分，則這兩部分的體積比為()A．1∶2B．4∶5C．4∶9D．5∶7微專題1空間幾何體的表面積和體積保分題1．解析：由題知，粽子的體積V＝Sh＝×82×4＝64(cm3)，依據(jù)ρ＝可得，該粽子重量大約為1.8×64＝115.2(g)，與C選項(xiàng)最為接近．故選C.答案：C2．解析：V棱臺(tái)＝(S上＋＋S下)h＝×(1＋＋4)×3＝7.故選B.答案：B3．解析：圓錐的高為r，如圖，由△SO1M∽△SOB可得：＝＝，∴SO1＝SO，∴OO1＝SO＝r，圓柱側(cè)面積S1＝2π·r·r＝πr2，圓錐側(cè)面積S2＝·2πr·2r＝2πr2，＝·＝.故選D.答案：D提分題[例1]解析：(1)依題意，∠APB＝120°，PA＝2，所以O(shè)P＝1，OA＝OB＝，圓錐的體積為×π×()2×1＝π，A選項(xiàng)正確；圓錐的側(cè)面積為π××2＝2π，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)D是AC的中點(diǎn)，連接OD，PD，則AC⊥OD，AC⊥PD，所以∠PDO是二面角PACO的平面角，則∠PDO＝45°，所以O(shè)P＝OD＝1，故AD＝CD＝＝，則AC＝2，C選項(xiàng)正確；PD＝＝，所以S△PAC＝×2＝2，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選AC.(2)解析：方法一取BB1中點(diǎn)F，連結(jié)DF，EF，則V四面體BB1ED＝V錐B1DEF＋V錐BDEF＝B1F·S△DEF＋BF·S△DEF＝BB1·S△DEF＝a·×()2＝a3.方法二取BB1中點(diǎn)F，連結(jié)DF，EF，則V四面體BB1DE＝2V錐B1DEF＝2··V錐B1ABC＝2×a3＝a3.方法三設(shè)A、D兩點(diǎn)到平面BCC1B1的距離分別為h、h′，則h′＝h＝a.V錐DBB1E＝h′·S△BB1E＝h′×S正方形BB1C1C＝a×a2＝a3.答案：AC(2)a3[鞏固訓(xùn)練1](1)解析：在△AOB中，∠AOB＝120°，而OA＝OB＝，取AB中點(diǎn)C，連接OC，PC，有OC⊥AB，PC⊥AB，如圖，∠ABO＝30°，OC＝，AB＝2BC＝3，由△PAB的面積為，得×3×PC＝，解得PC＝，于是PO＝＝＝，所以圓錐的體積V＝π×OA2×PO＝π×()2×＝π.故選B.(2)解析：不妨令A(yù)B＝BC＝CA＝AA1＝4，且上下底面是等邊三角形，又AA1⊥底面ABC，易知ABCA1B1C1為直三棱柱，即側(cè)面為矩形，所以三棱柱ABCA1B1C1體積V＝AA1·S△ABC＝4××42