綜合訓(xùn)練（8）大題訓(xùn)練-2022屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

2022屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題訓(xùn)練（綜合訓(xùn)練（8））1．如圖，中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且．（1）求角的大小；（2）已知，若為外接圓劣弧上一點(diǎn)，求的最大值．2．為了研究注射某種抗病毒疫苗后是否產(chǎn)生抗體與某項(xiàng)指標(biāo)值的相關(guān)性，研究人員從某地區(qū)10萬(wàn)人中隨機(jī)抽取了200人，對(duì)其注射疫苗后的該項(xiàng)指標(biāo)值進(jìn)行測(cè)量，按，，，，，，，，，分組，得到該項(xiàng)指標(biāo)值頻率分布直方圖如圖所示．同時(shí)發(fā)現(xiàn)這200人中有120人在體內(nèi)產(chǎn)生了抗體，其中該項(xiàng)指標(biāo)值不小于60的有80人．（1）填寫(xiě)下面的列聯(lián)表，判斷是否有的把握認(rèn)為“注射疫苗后產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60有關(guān)”．指標(biāo)值小于60指標(biāo)值不小于60合計(jì)有抗體沒(méi)有抗體合計(jì)（2）以注射疫苗后產(chǎn)生抗體的頻率作為注射疫苗后產(chǎn)生抗體的概率，若從該地區(qū)注射疫苗的人群中隨機(jī)抽取4人，求產(chǎn)生抗體的人數(shù)的分布列及期望．附：，其中．0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8283．已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列，滿(mǎn)足，且是，的等差中項(xiàng)．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，，對(duì)任意正整數(shù)，總有成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍．4．如圖，三棱柱的底面是等邊三角形，平面平面，，，，為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）試問(wèn)線(xiàn)段是否存在點(diǎn)，使得二面角的平面角的余弦值為，若存在，請(qǐng)計(jì)算的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．5．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，過(guò)動(dòng)點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)，，記的軌跡為曲線(xiàn)．（1）求曲線(xiàn)的方程；（2）若，，，均在上，直線(xiàn)，的交點(diǎn)為，，，求四邊形面積的最小值．6．已知函數(shù)，，．（1）若存在唯一的零點(diǎn)，求的取值范圍；（2）若有兩個(gè)不同的解，，求證：．2022屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題訓(xùn)練（綜合訓(xùn)練（8））1．如圖，中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且．（1）求角的大??；（2）已知，若為外接圓劣弧上一點(diǎn)，求的最大值．【解答】（1）由，整理得，，由余弦定理得，，由為三角形內(nèi)角得；（2）由圓內(nèi)角四邊形性質(zhì)可得，，設(shè)，則，在中，由正弦定理得，所以，，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值．2．為了研究注射某種抗病毒疫苗后是否產(chǎn)生抗體與某項(xiàng)指標(biāo)值的相關(guān)性，研究人員從某地區(qū)10萬(wàn)人中隨機(jī)抽取了200人，對(duì)其注射疫苗后的該項(xiàng)指標(biāo)值進(jìn)行測(cè)量，按，，，，，，，，，分組，得到該項(xiàng)指標(biāo)值頻率分布直方圖如圖所示．同時(shí)發(fā)現(xiàn)這200人中有120人在體內(nèi)產(chǎn)生了抗體，其中該項(xiàng)指標(biāo)值不小于60的有80人．（1）填寫(xiě)下面的列聯(lián)表，判斷是否有的把握認(rèn)為“注射疫苗后產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60有關(guān)”．指標(biāo)值小于60指標(biāo)值不小于60合計(jì)有抗體沒(méi)有抗體合計(jì)（2）以注射疫苗后產(chǎn)生抗體的頻率作為注射疫苗后產(chǎn)生抗體的概率，若從該地區(qū)注射疫苗的人群中隨機(jī)抽取4人，求產(chǎn)生抗體的人數(shù)的分布列及期望．附：，其中．0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【解答】（1）由該項(xiàng)指標(biāo)值頻率分布直方圖，可得該項(xiàng)指標(biāo)值不小于60的人共有，填寫(xiě)下面的列聯(lián)表，指標(biāo)值小于60指標(biāo)值不小于60合計(jì)有抗體4080120沒(méi)有抗體404080合計(jì)80120200，有的把握認(rèn)為“注射疫苗后產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60有關(guān)”．（2）以注射疫苗后產(chǎn)生抗體的頻率作為注射疫苗后產(chǎn)生抗體的概率，則概率．若從該地區(qū)注射疫苗的人群中隨機(jī)抽取4人，產(chǎn)生抗體的人數(shù)的可能取值為0，1，2，3，4，則，，，1，2，3，4，，同理可得：，，，，的分布列，01234則的數(shù)學(xué)期望．3．已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列，滿(mǎn)足，且是，的等差中項(xiàng)．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，，對(duì)任意正整數(shù)，總有成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】（1）設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為．依題意是，的等差中項(xiàng)，有，代入，得．．，解之得或，，又單調(diào)遞增，，，；（2）∵，①②①②得，，由，即對(duì)任意正整數(shù)恒成立，．對(duì)任意正整數(shù)，恒成立．，．即的取值范圍是，．4．如圖，三棱柱的底面是等邊三角形，平面平面，，，，為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）試問(wèn)線(xiàn)段是否存在點(diǎn)，使得二面角的平面角的余弦值為，若存在，請(qǐng)計(jì)算的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】（1）證明：是等邊三角形，是的中點(diǎn)，，平面平面，平面平面，，平面，平面，，，，平面．（2）存在線(xiàn)段的中點(diǎn)滿(mǎn)足題意．理由如下：面，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸，所在直線(xiàn)為軸，所在直線(xiàn)為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，，，，0，，，0，，，，，設(shè)，，，其中，，則，平面的一個(gè)法向量，0，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，則，0，，由題意得，，解得，線(xiàn)段上存在點(diǎn)，使得二面角的平面角的余弦值為，．5．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，過(guò)動(dòng)點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)，，記的軌跡為曲線(xiàn)．（1）求曲線(xiàn)的方程；（2）若，，，均在上，直線(xiàn)，的交點(diǎn)為，，，求四邊形面積的最小值．【解答】（1）設(shè)，則，所以，，所以，所以的軌跡的方程為：．（2）由題知直線(xiàn)，斜率必存在，且不為0，設(shè)，，，，，，，，設(shè)，代入拋物線(xiàn)方程中得：，整理得，，所以，，因?yàn)椋O(shè)，代入拋物線(xiàn)方程中得：，整理得：，，所以，，所以四邊形的面積為：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)四邊形的面積最小，最小值為2，綜上，四邊形的面積最小值為2．6．已知函數(shù)，，．（1）若存在唯一的零點(diǎn)，求的取值范圍；（2）若有兩個(gè)不同的解，，求證：．【解答】（1）∵的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，（1），所以存在唯一的零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以在處取得極大值也是最大值，最大值為（a），若存在唯一的零點(diǎn)，則（a），解得．綜上可得：的取值范圍是，．（2）證明：令，，①當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上為增函數(shù)，不符合題意；