人教A版選擇性必修第二冊5.2.3簡單復合函數的導數

5.2.3簡單復合函數的導數

學習目標

1.了解復合函數的概念,達成數學抽象的核心素養(yǎng).

2.理解復合函數的求導法則，并能求簡單的復合函數的導數,發(fā)展學

生的數學運算素養(yǎng).

［問題1］假設某商品的利潤y是銷售量u的函數,銷售量u是銷售價

格x的函數，且y=f(u)=60u-u2,u=g(x)=60-3x,那么，不難看出，利潤y

是銷售價格x的函數,且有y=60u-u=60(60-3x)-(60-3x)=180x-9x2,

上式也可這樣得到f(g(x))=60g(x)-［g(x)］2=180X-9X2.

函數f(g(x))與f(x)和g(x)是什么關系？

提示:f(g(x))是f(x)與g(x)的復合函數.

1.復合函數的概念

一般地,對于兩個函數y=f(u)和u=g(x),如果通過中間變量u,y可以

表示成x的函數,那么稱這個函數為函數y=f(u)和u=g(x)的復合函數,

記作y=f(g(x)).

［做一做1］函數y=cosnx可由(C)

A.y=u"和u=cosx"復合而成

B.y=u和u=cos"x復合而成

C.y=u"和u=cosx復合而成

D.y=cosu和u=x"復合而成

解析：y=cos"x,中間變量為u=cosx.故選C.

［問題2］求問題1中函數f(u)=60u-u2的導數f'(u)和函數

u=g(x)=60-3x的導數u'=g'(x).設y=f(g(x))=180x-9x；求y',

伊(u)和u'=g'(x),那么y'與f'(u),u'=g'(x)之間有什么關

系呢？

提示：#(u)=60-2u=60-2(60-3x)=6x-60,u'=g'(x)=-3,y'

=180T8x,易知y'=f'(u)u'.

2.復合函數的求導法則

一般地,對于由函數y=f(u)和u=g(x)復合而成的函數y=f(g(x)),它

的導數與函數y=f(u),u=g(x)的導數間的關系為y'x=y'u?u，x,即y

對x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積.

［做一做2］(1)設f(x)=Ln(2x+l),則(x)等于()

A.-B.—

2X+12x4-1

(2)曲線y=e2x+x在x=0處的切線的斜率是.

解析：(l)f'(x)=［ln(2x+l)］'(2x+l)'=三故選B.

2x+l

⑵因為y=e%x,

所以y'=2e2x+l,

所以y'Ix=o=3,

由導數的幾何意義可得曲線y=e2x+x在x=0處的切線的斜率是3.

答案：⑴B(2)3

依探究點一復合函數的導數

［例1］求下列函數的導數.

(l)y=-7=;(2)y=log2(2x+l);

⑶y=e嗎⑷y=sin(2x+?

1

解：(l)y=(l-2x)5,

1

設y=u2,u=l-2x,

1

-

則y'x=y'uU'x=(u2)'(l-2x)

13_3

=(--u~2)?(-2)=(l-2x)2,

_3

即y'=(l-2x)2.

⑵設y=log2u,u=2x+l,

;

貝(Jy'x=y'uU'x=(log2u)(2x+l)'

_ix2~2

uln2(2x+l)ln2，

即y，=一?一.

y(2x+l)ln2

(3)設y=e",u=3x+2,

則y'x=y'uu'x=(e?(3x+2)'=3eu=3e3x+2,

即y'=3*2.

(4)設y=sinu,u=2x+p

貝Uy'x=y'/x=(sinu)'(2x+f'

=cosuX2=2cos(2x+-),

即y'=2cos(2x+g).

(1)求復合函數的導數的步驟.

⑵求復合函數的導數的注意點:①分解的函數通常為基本初等函數;

②求導時分清是對哪個變量求導;③計算結果盡量簡潔.

［針對訓練］求下列函數的導數.

(l)y=(4-3x)2;(2)y=cos(2x-7);

(3)y=ln(4x-l);(4)y=e2xl.

解：⑴y—[(4-3x)2「=2(4—3x)?(4-3x)'

=2(4-3x)?(-3)=18x-24.

(2)y'=[cos(2x-^)]'=~sin(2x-^),(2x-^)'=-2sin(2x-；).

(3)yz=[ln(4x-l)]'=-^—?(4x-l)'=-^—.

4%-l4%-l

2xH2x',

(4)y，=3與，=e?(2xT)'=2e.

⑨探究點二復合函數與導數的運算法則的

綜合應用

［例2］求下列函數的導數.

ln3x

⑴y二

(2)y=xVl+2%;

(3)y=xcos(2x+1)sin(2x+^).

解：(1)因為(In3x)'=；X(3x)'

3xx

rrpiI(In3x),ex-(ln3x)(ex),

所以y二------f------

(ex)

ex

_l-xln3x

xex*

(2)y'二(xHF)‘

=(x)'V1+2x+x(V1+2x)

="+2%+x?|(1+2%)2?(l+2x)

V1+2x+X

Vl+2x

l+3x

Vl+2x'

(3)因為y=xcos(2x+/)sin(2x+1)

=x(-sin2x)cos2x

=—ixsi.n4.x,

2

所以丫'=(-，5打4x)'

1X

=—sin4x—?4?cos4x

22

1

=—sin4x-2xcos4x.

2

復合函數求導應注意的問題

(1)在對函數求導時，應仔細觀察及分析函數的結構特征，緊扣求導法

則,聯系學過的求導公式,對不易用求導法則求導的函數,可適當地進

行等價變形，以達到化異求同、化繁為簡的目的.

(2)復合函數的求導熟練后，中間步驟可以省略，即不必再寫出函數的

復合過程,直接運用公式，由外及內逐層求導.

[針對訓練]求下列函數的導數.

(l)y=ln(x-l)+e3x;

(2)y=xln(l+2x);

(3)y=(x+l)2+xsin'

解：⑴y—(In(x-L))'+(e)二+3此

x-1

(2)y'=(x)'In(l+2x)+x[In(l+2x)]'

=ln(l+2x)+—.

l+2x

⑶y'=[(x+l)丁+(xsin)

=2(x+l),(x+1)'+(x)'sin-+x(sin-)'

33

=2(x+1)+sing+xcos''

二2(x+l)+sin-+-cos

333

8探究點三導數運算法則的綜合應用

[例3](1)曲線y=ln(2xT)上的點到直線2x-y+3=0的最短距離是

()

A.V5B.2V5C.3V5D.0

(2)(2021?山東膠州高二期中)在平面直角坐標系中，曲線y=x2在A

點處的切線1與直線y=—x垂直,則A點的坐標為;切線1上的動點P

到曲線y=e?i上的點的最小距離為.

解析：(1)設曲線y=ln(2xT)在點(Xo,y0)處的切線與直線2x-y+3=0平

行.

所以y'I

解得Xo=l,

所以yo=ln(2-l)=O,

即切點坐標為(1,0).

所以切點(1,0)到直線2x-y+3=0的距離為

V4+1

即曲線y=ln(2x-l)上的點到直線2x-y+3=0的最短距離是V5.故選

A.

(2)由y=x：得y'=2x,設A(x0,y0),

則曲線y=x?在A點處的切線1的斜率為k=2x0.

因為切線1與直線y=《x垂直，

所以2xo?(~1)=-1,得Xo=l,k=2,

=

所以y0=%ot

所以A點的坐標為(1,1),

所以切線1的方程為y-l=2(x-1),即2x-yT=O.

由y=e?匕得y'=2e2E

設曲線y=e"T上的點BLyJ到切線1的距離最小，

則2e2X1-1=2,得x,=p則力=1,

所以1),

所以點B?1)到切線1的距離為d上當

2V4+1V55

答案：(1)A⑵(1,1)Y

變式探究1:本例⑴變?yōu)椤扒€y=ln(2x-1)上的點到直線2x-y+m=O

的最小距離為2遍”，求實數m的值.

解:設切點P(x。,y。)，則

y，|x%_久x=―--=2,

-o2x0-l

所以x0=l,即切點P(1,O),

所所2-。等一=2而,解得m=8或T2.

當m=-12時,直線2x-y-12=0與曲線y=ln(2x-l)相交,不符合題意,舍

去.

所以實數m的值為8.

變式探究2:若本例⑴改為“曲線y=ln(2x-l)上的任一點為P,曲線

丫=子上的任一點為Q”，求|PQ|的最小值.

解：因為函數y=ln(2xT)與函數丫=可互為反函數,所以它們的圖象

關于直線y=x對稱.

設點P到直線y=x的距離為d,

設曲線y=ln(2xT)在點(xo,y0)處的切線與直線y=x平行.

==1

所以y'Ix=x0^77^

解得x°=|,

所以yo=ln(2x|T)=ln2,

即切點坐標為(|,In2).

3

所以切點?In2)到直線y=x的距離為誓,

2V2

日口」_lrln2l

艮din7=—,

mV2

所以|PQ%n=2(U=2xWM=￥(3-21n2).

V22

解此類問題的關鍵有兩個：

(1)求復合函數的導數,這是正確解答的前提條件,要注意把復合函數

逐層分解,求導時不要有遺漏；

(2)求切線方程,注意切線所過的點是否為切點.

［例1］已知f(x)為偶函數,當xWO時,f(x)=e'E-x,則曲線y=f(x)在

點(1,2)處的切線方程是.

解析：設x>0,則-x<0,f(-x)=ex'+x.

又f(x)為偶函數,f(x)=f(-x)=e*、x,

所以當x>0時，f(x)=ex'+x,f(1)=2.

因此，當x>0時,

fz(x-#⑴=e°+l=2,

則曲線y=f(x)在點(1,2)處的切線的斜率為

伊(1)=2,

所以切線方程為y-2=2(x-l),即2x-y=0.

答案：2x-y=0

［例2］某港口在一天24小時內潮水的高度近似滿足關系式

s(t)=3sin*t+爭(0WtW24),其中s的單位是m,t的單位是h,求函

數在t=18h時的導數，并解釋它的實際意義.

解：設f(x)=3sinx,x=°⑴:三+臺，

126

所以s'(t)=f，(x)(p'(t)=3cosX,

三cos*t+爭,

將t=18h代入s'(t),得s'(18)=-cos—=-(m/h).

438

s'(18)表示當t=18h時，潮水的高度上升的速度為三m/h.

o

導數與數列的綜合應用

典例探究:設fn(x)=x+x?+…+xn-l,xNO,n￡N,n》2.

⑴求(2);

⑵證明：f?(x)在(0,|)內有且僅有一個零點(記為a)且0<a「3磊.

⑴解：由題得fn'(x)=l+2x+…+nx;

所以f」(2)=l+2X2+-+(n-l)2'1-2+n?27①

貝!J2f/(2)=2+2X22+-+(n-l)2n-'+n?2",②

①一②得—f,(2)=l+2+22+-+2nH-n?2n

=--n?2n=(l-n)?2-1,

1-2

所以f/(2)=(n-l)?2n+l.

⑵證明:因為fn(0)=-l<0,

fn(|)=i[1n1-l=l-2?(|)n^l-2X(|)i2>0,

3W33

因為x20,n>2,

所以fn(x)在(0,|)內單調遞增，

因止匕fn(x)在(0,|)內有且僅有一個零點an.

v-v-n+l

由于f(x)=———-1,

n1-x

-n+l

所以0=fn(a")=竽nnJ-1,

l-an

由此可得故？〈aWj.

所以0<4—|4嗎+]《?(|嚴=孤，

即0<a-1<^-.

應用探究：(2022?山東萊西高三期末)記函數f(x)音x+lnx(n￡N*)

的圖象在點(-,f(-))處的切線的斜率為a“,則數列｛」一｝的前n項和

TtTt

為.

解析:對函數f(x)=9+lnx求導可得f'(x)W+3由題意可得