對(duì)數(shù)（九大題型）（原卷版）

4．2對(duì)數(shù)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1、了解對(duì)數(shù)的概念．2、會(huì)進(jìn)行對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化．3、掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，并能理解推導(dǎo)這些法則的依據(jù)和過程．4、通過對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的探素及推導(dǎo)過程，培養(yǎng)學(xué)生的“合情推理能力”、“等價(jià)轉(zhuǎn)化”和“演繹歸納”的數(shù)學(xué)思想方法，以及創(chuàng)新意識(shí)1、數(shù)學(xué)抽象：對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的符號(hào)表示2、邏輯推理：對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的推導(dǎo)、理解指數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)運(yùn)算之間的關(guān)系3、數(shù)學(xué)運(yùn)算：對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的運(yùn)用4、數(shù)學(xué)建模：能運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算解決實(shí)際問題知識(shí)點(diǎn)01對(duì)數(shù)概念1、對(duì)數(shù)的概念如果，那么數(shù)b叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作：．其中叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)．知識(shí)點(diǎn)詮釋：對(duì)數(shù)式中各字母的取值范圍是：且，，．2、對(duì)數(shù)（ 且）具有下列性質(zhì)：（1）0和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)，即；（2）1的對(duì)數(shù)為0，即；（3）底的對(duì)數(shù)等于1，即．3、兩種特殊的對(duì)數(shù)通常將以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，．以e（e是一個(gè)無(wú)理數(shù)，）為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)，簡(jiǎn)記為．4、對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系由定義可知：對(duì)數(shù)就是指數(shù)變換而來的，因此對(duì)數(shù)式與指數(shù)式聯(lián)系密切，且可以互相轉(zhuǎn)化．它們的關(guān)系可由下圖表示．由此可見a，b，N三個(gè)字母在不同的式子中名稱可能發(fā)生變化．【即學(xué)即練1】（2023·高一?？颊n時(shí)練習(xí)）在b＝log3a－1(3－2a)中，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．知識(shí)點(diǎn)02對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則已知，（且，、）（1）正因數(shù)的積的對(duì)數(shù)等于同一底數(shù)各個(gè)因數(shù)的對(duì)數(shù)的和；推廣：（2）兩個(gè)正數(shù)的商的對(duì)數(shù)等于被除數(shù)的對(duì)數(shù)減去除數(shù)的對(duì)數(shù)；（3）正數(shù)的冪的對(duì)數(shù)等于冪的底數(shù)的對(duì)數(shù)乘以冪指數(shù)；知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則時(shí)，要注意各個(gè)字母的取值范圍，即等式左右兩邊的對(duì)數(shù)都存在時(shí)等式才能成立．（2）不能將和、差、積、商、冪的對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)的和、差、積、商、冪混淆起來，即下面的等式是錯(cuò)誤的：，，．【即學(xué)即練2】＝（

）A．1 B．2C．－1 D．－5知識(shí)點(diǎn)03對(duì)數(shù)公式1、對(duì)數(shù)恒等式：2、換底公式同底對(duì)數(shù)才能運(yùn)算，底數(shù)不同時(shí)可考慮進(jìn)行換底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有：（1）令，則有，，即，即，即：．（2），令，則有，則有即，即，即當(dāng)然，細(xì)心一些的同學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)（1）可由（2）推出，但在解決某些問題（1）又有它的靈活性．而且由（2）還可以得到一個(gè)重要的結(jié)論：．【即學(xué)即練3】化簡(jiǎn)求值：.題型一：對(duì)數(shù)的定義例1．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）有下列說法：①以10為底的對(duì)數(shù)叫作常用對(duì)數(shù)；②任何一個(gè)指數(shù)式都可以化成對(duì)數(shù)式；③以e為底的對(duì)數(shù)叫作自然對(duì)數(shù)；④零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù).其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4例2．（2023·高一校考課時(shí)練習(xí)）若，則x的取值范圍是A． B．C． D．例3．（2023·北京·高一東直門中學(xué)?？茧A段練習(xí)）使式子有意義的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．,且變式1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）對(duì)數(shù)式中實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式2．（2023·高一單元測(cè)試）使對(duì)數(shù)有意義的的取值范圍為A． B． C． D．變式3．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）在中，實(shí)數(shù)a的取值范圍是A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】對(duì)數(shù)式中各字母的取值范圍是：且，，．題型二：指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化及其應(yīng)用例4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）將下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式進(jìn)行互化．(1)(2)(3).例5．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）將下列指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式：(1)；(2)；(3)；(4)．例6．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）將下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．變式4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）將下列對(duì)數(shù)形式化為指數(shù)形式或?qū)⒅笖?shù)形式化為對(duì)數(shù)形式：(1)2－7＝；(2)；(3)lg1000＝3；(4)變式5．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）將下列對(duì)數(shù)式為指數(shù)式或指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式：(1)；(2)；(3)；(4)．變式6．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）利用指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的互化求下列各式中x的值．（1）；（2）；（3）．變式7．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）將下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化:（1）；（2）；（3）；（4）；（5）(x>0，且x≠1，y>0).【方法技巧與總結(jié)】對(duì)數(shù)的定義是對(duì)數(shù)形式和指數(shù)形式互化的依據(jù)，而對(duì)數(shù)形式和指數(shù)形式的互化又是解決問題的重要手段.題型三：利用對(duì)數(shù)恒等式化簡(jiǎn)求值例7．（2023·江西贛州·高一校考期中）的值.例8．（2023·浙江杭州·高一統(tǒng)考期末）計(jì)算：，.例9．（2023·上海楊浦·高一上海市控江中學(xué)?？计谥校┮阎?，則．變式8．（2023·江蘇·高一校聯(lián)考期中）計(jì)算．變式9．（2023·浙江麗水·高一統(tǒng)考期末）若a＝log23，則＝．變式10．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)，則的值等于（

）A．10 B．13 C．100 D．變式11．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若，則的值是A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】對(duì)數(shù)恒等式中要注意格式：①它們是同底的；②指數(shù)中含有對(duì)數(shù)形式；③其值為真數(shù).題型四：積、商、冪的對(duì)數(shù)例10．（2023·甘肅·高一統(tǒng)考期中）求值:(1);(2);例11．（2023·河北石家莊·高一?？计谥校┯?jì)算(1)(2)(3)例12．（2023·福建廈門·高一廈門市海滄中學(xué)?？计谥校┯?jì)算下列各式的值：(1)；(2).變式12．（2023·江蘇南京·高一?？计谀┯?jì)算：(1)；(2)．變式13．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）求下列各式中x，y的值：（1）若，則；（2）若，則；（3）若，則；（4）若，則；（5）若，則；（6）若，則，；（7）若，則.變式14．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：．變式15．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）．變式16．（2023·遼寧大連·高一階段練習(xí)）計(jì)算：．【方法技巧與總結(jié)】利用對(duì)數(shù)恒等式、對(duì)數(shù)性質(zhì)及其運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)是化簡(jiǎn)對(duì)數(shù)式的重要途徑，因此我們必須準(zhǔn)確地把握它們．在運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)時(shí)，一要注意真數(shù)必須大于零；二要注意積、商、冪的對(duì)數(shù)運(yùn)算對(duì)應(yīng)著對(duì)數(shù)的和、差、積得運(yùn)算．題型五：一類與對(duì)數(shù)有關(guān)方程的求解問題例13．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）方程的實(shí)數(shù)解為.例14．（2023·上海虹口·高一上外附中?？计谥校┰O(shè)、是關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則．例15．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）方程log2(5－x)＝2，則x＝．變式17．（2023·高一單元測(cè)試）方程的解是.變式18．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）方程的解為.變式19．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）若是方程的兩個(gè)實(shí)根，則的值為．變式20．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）方程的解是.變式21．（2023·上海虹口·高一上外附中?？茧A段練習(xí)）方程的解是.變式22．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）方程log3（12?3x）=2x+1的解x=．變式23．（2023·江西撫州·高一統(tǒng)考期末）已知，若，則.【方法技巧與總結(jié)】直接利用定義法或者換元法題型六：對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用例16．（2023·湖北十堰·高一校考階段練習(xí)）化簡(jiǎn)與求值：(1)；(2)．例17．（2023·海南·高一海南華僑中學(xué)?？茧A段練習(xí)）求值：(1)；(2)．例18．（2023·山東青島·高一?？计谥校┯?jì)算下列各式：(1)；(2)變式24．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）計(jì)算下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）．變式25．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：（1）(log33)2＋log＋9log5－log1；（2）.【方法技巧與總結(jié)】（1）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則時(shí)，要注意各個(gè)字母的取值范圍，即等式左右兩邊的對(duì)數(shù)都存在時(shí)等式才能成立．（2）不能將和、差、積、商、冪的對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)的和、差、積、商、冪混淆起來.題型七：換底公式的運(yùn)用例19．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，且，則A的值是.例20．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，則．例21．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若，則．變式26．（2023·上海徐匯·高一上海市南洋模范中學(xué)?？茧A段練習(xí)）記，那么.變式27．（2023·江蘇·高一階段練習(xí)）已知，且，則.【方法技巧與總結(jié)】（1）利用換底公式可以把題目中不同底的對(duì)數(shù)化成同底的對(duì)數(shù)，進(jìn)一步應(yīng)用對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)．（2）題目中有指數(shù)式和對(duì)數(shù)式時(shí)，要注意指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，將它們統(tǒng)一成一種形式．（3）解決這類問題要注意隱含條件“”的靈活運(yùn)用．題型八：由已知對(duì)數(shù)求解未知對(duì)數(shù)式例22．（2023·廣東汕尾·高一海豐縣海城仁榮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則（結(jié)果用a，b表示）.例23．（2023·高一單元測(cè)試）已知，，用，表示為．例24．（2023·湖北省直轄縣級(jí)單位·高一階段練習(xí)）已知，用表示，則．變式28．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知，試用表示.變式29．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知,，用表示=.變式30．（2023·高一單元測(cè)試）已知，試用a，b分別表示下列各式：（1）；（2）；（3）．變式31．（2023·江蘇·高一階段練習(xí)）已知，，用、表示.變式32．（2023·江蘇·高一階段練習(xí)）（1）已知，用a，b表示；（2）已知，用a，b表示.【方法技巧與總結(jié)】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用進(jìn)行轉(zhuǎn)換.題型九：證明常見的對(duì)數(shù)恒等式例25．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）已知(，且；，且)，試探究a與b的關(guān)系，并給出證明．例26．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知a>0且a≠1，M>0，N>0.(1)舉出一個(gè)反例說明不成立；(2)證明：.例27．（2023·高一單元測(cè)試）閱讀以下材料：對(duì)數(shù)的創(chuàng)始人是蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（J.Napier，1550年﹣1617年），納皮爾發(fā)明對(duì)數(shù)是在指數(shù)概念建立之前，直到18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Euler，1707年﹣1783年）才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對(duì)數(shù)之間的聯(lián)系.對(duì)數(shù)的定義：一般地，若，則叫做以為底的對(duì)數(shù)，記作.比如指數(shù)式可以轉(zhuǎn)化為，對(duì)數(shù)式可以轉(zhuǎn)化為..我們根據(jù)對(duì)數(shù)的定義可得到對(duì)數(shù)的一個(gè)性質(zhì)：.理由如下：設(shè)，，所以，，所以，由對(duì)數(shù)的定義得:，又因?yàn)?，所以解決以下問題：（1）將指數(shù)轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式：.（2）仿照上面的材料，試證明：.（3）拓展運(yùn)用：計(jì)算.變式33．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）證明：（1）；（2）.變式34．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）（1）證明對(duì)數(shù)換底公式：（其中且，且，）（2）已知，試用表示.變式35．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）設(shè)a，b均為不等于1的正數(shù)，利用對(duì)數(shù)的換底公式，證明：（1）；（2）（，，）.變式36．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）證明：.【方法技巧與總結(jié)】利用換底公式和作差法進(jìn)行證明.一、單選題1．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列各式正確的是（

）A． B． C． D．2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知均為正實(shí)數(shù)，若，則＝（

）A．或 B．C． D．2或3．（2023·云南保山·高一統(tǒng)考期末）新型冠狀病毒特指2019年底爆發(fā)，世界衛(wèi)生組織正式命名為2019新型冠狀病毒（2019novelcoronavirus，2019nCoV），“新冠疫情防控常態(tài)化，核酸檢測(cè)應(yīng)檢盡檢！”核酸檢測(cè)分析是用熒光定量PCR法，通過化學(xué)物質(zhì)的苂光信號(hào)，對(duì)在PCR擴(kuò)增進(jìn)程中成指數(shù)級(jí)增加的靶標(biāo)DNA實(shí)時(shí)檢測(cè)，在PCR擴(kuò)增的指數(shù)時(shí)期，熒光信號(hào)強(qiáng)度達(dá)到閾值時(shí)，DNA的數(shù)量與擴(kuò)增次數(shù)滿足：，其中為擴(kuò)增效率，為DNA的初始數(shù)量.已知某被測(cè)標(biāo)本DNA擴(kuò)增5次后，數(shù)量變?yōu)樵瓉淼?0倍，那么該標(biāo)本的擴(kuò)增效率約為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．0.369 B．0.415 C．0.585 D．0.6314．（2023·江蘇常州·高一江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎?，則（

）A． B． C．1 D．25．（2023·江西贛州·高一統(tǒng)考期中）17世紀(jì)，在研究天文學(xué)的過程中，為了簡(jiǎn)化大數(shù)運(yùn)算，蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾發(fā)明了對(duì)數(shù)，對(duì)數(shù)的思想方法即把乘方和乘法運(yùn)算分別轉(zhuǎn)化成乘法和加法運(yùn)算，數(shù)學(xué)家拉普拉斯稱贊為“對(duì)數(shù)的發(fā)明在實(shí)效上等于把天文學(xué)家的壽命延長(zhǎng)了許多倍”.已知，，設(shè)，則所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．6．（2023·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）已知正實(shí)數(shù)m，n滿足，則下列不等式恒成立的為（

）A． B．C． D．7．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，則（

）A．11或 B．11或 C．12或 D．10或8．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知，則（

）A． B． C．2 D．3二、多選題9．（2023·江蘇鹽城·高一鹽城市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知正實(shí)數(shù)滿足，則下列說法中正確的是（

）A． B． C． D．10．（2023·遼寧·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則下列說法一定正確的是（

）A． B． C． D．11．（2023·山東濟(jì)寧·高一統(tǒng)考期末）若，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．12．（2023·湖南永州·高一永州市第一中學(xué)?？计谀┤簦?，則（

）A． B． C． D．三、填空題1