王明慈版概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題五

習題五1.設抽得到樣本測值為：38.2 40.0 424 37.6 392 41.0 440 43.2 388 40.6計算本均值、本標準差樣本方差樣本二階心矩。_ 10 1解:x ∑x

38.240.042.437.639.241.044.043238.840.6)40.;i10i1 10i10 _ 1 ∑(

?)2 38.2?40.)2(40.0?40.)2…(40.6?40.2]2.158;is 9i1x x 9i10 _2 ∑(

?)22.158724.6;9s i x9i1～ 10

_ 92 ∑(

?)2

4.194.i 10i

i1x x

10S2.設抽得到100個樣觀測值如：觀測值i123456頻數(shù)算本均值、本方差與本二階中矩。解：書上127觀測值i123456頻數(shù) 1 6 1x ∑xn

11522132542051267)3.1;100

iiii1i

10016 _ 12 ∑( ?

)2 1?3.14)215…(6?3.14)27]2.121;s 99

i1x

x i 99～ 1 6 _ 992 ∑( ?

)2 2.1216 2.1004.3.略

100

ii1

x i

100n4.從總體中抽取容量為n的樣本X1,…,Xn

，設 為任意常數(shù)，為任意正數(shù)，作變換c kYk(X

?c,i,,?,.i i n證明（1）X Yx2 證明（1）X Yx2k

22X2xSy;其中X及S2X2xk

分別是 1,…,XnX

的樣均值及樣本方差； 及Y

2分別是Sy

1,…,n

的樣均值及樣方差。 1證明 1

n

,由 (

?)得

iX Xi1ni1

i kXi c

Xi ckn 1 ( ) 1 n 1 Yn∴ X

∑ ic

∑i ?nc cni1

k k?ni1 n k 21n

? )21n? ?

2? ?? ? Sy ni1

ni12

kXi

c X c（2）

1n

2? 1n

( ? )2

2?2ni12

Xi2Sy

X k

Xini1

X k Sx∴Sx 2k5.從總體中抽取兩組樣本，其容量分別為1及2，設兩組的樣本均值分別為X1及X2，樣本方差分別為

2及 2，把這兩組樣本合并為一組容量為1 S2

12

的聯(lián)合樣本。證明（1）.聯(lián)合本的樣本值 1X1 X 2；X12 ?

2

?12

? 2S（2）.聯(lián)合本的樣本差S

2 1 1 2 S2

12X1 X2S11X1,

1n2?1S22X2

1n21n2?m m證明（1） S 1S 2X 1X 1

1X1 X 21n2∑2∑∑(X1

? )2 (X X2i

? )2X2 i i iS ?1（2） 1 21 2∑( ? ?

)2∑(

? ? )2X1 X1

X1 X X2i X2 X2 X i i i212?12n1n又∑(

1? 1 1? )ii1Xin1n

X X X∑? 2

2

2 ?X ?Xi11

1? 1XiX

X1?X 2

X1?X X1i?X1?n ( ?

)2

? 0i∑ 1 1 1 1ii1X

X n X X1

?21

2 X1X1? Xn2n同理∑(

2 22? 2 2? )2 2ii1

X X X X2

?2XS2 2X

2? 而1X1?X

n2

2 X2?X 2?2

2

2?2

21X1

X1X X 2X2

X2X X 2?2

2 2?2

21X1

1X1X 1X 2X2

2X2X 2X又 1X12X2X12 22 2 1 1 1 2 2 22

21 2 1 1 2 2 ∴ ?

1X nX nX

?

nX nX

?nX nX nX211 1 2 2 22nX 12

n n 12 nX

12化簡得12

X1?X212 ?

2

?2

? 2S∴ 2 1 1 2 S2S

12X1 X212?1

1212?(6設隨機變量XZ相互獨立，都服從標準正態(tài)分布.,1),求隨機變量函數(shù)( 22

2的分布函數(shù)與概率密度；并驗證§5.4定理1當

=3時成立，即U～U X Y Z k23解X,Y,Z相互立且都服從N(,1)則U～

23顯然3? 1 1?u3,?3 2 2 0,?3P2?2P2

?3?U e uUu

? ? ?? ? ??o,

u≤0不然直接求U的分函數(shù)

2 2 2 PU≤u

PX

YZ≤u ∫

f,y,z

ddzx dx222xyz222222222xyz≤u

fxfyfzdddz當≤,u

≤0PuUPu

3 222? y當,

≤

? 1 ? x 2zu PU u

∫

? ?e dddz2222xyz≤u? 2222利用重積分的質（略也可到結論。7.設隨變量X

服從由度為 的k t

分布證明隨機變量

YX

2服從由度1，k）的 分布。Ft證明X～k則可將X記為X U,其tVk

中 ～N(,1),V～ 2U

k22 U則 2 1 , V Vk k

其中 2～U

2，V～

2 k由F分布定義知Y 2=

(1,k).～F18.設隨機變量X服從自由度為,

2的F分布，證明：隨機變量Y 服從自由度為X,

k2的F分布從而證明式（5.3：11,

k2 ? k2,1證明XF,

U12,則X可寫成 k,其中1

～ 2

1,

2～ 2,2V U kk2

V kV ,1 k2 ,

1～ 2 ，1

2～ 2 2

，由F分布定義知Y X U1

U k

V kY～Fk2,

1PX 1,

k2 1? ? ???1 1 ?? ?1?P??X ?

,

k2? ?1 1 ?∴ ? ?1?1?)P?X ?

,

k2? ? ?? ?1∴ ? ? ,又 P?Y

?

PY k2,

1 ? ?

,k2? ∴ 1 ∴ 1

1kk? , 2kk1?即1,?即

k2＝ k2,19.設總體X服從態(tài)分布N

, 52(1)從總中抽取容量為64的樣樣本值 與總均值 之差絕對值小于1X P的概率 ?P

;P2）抽樣本容量n多大，才能使率 ?P?

達到0.5？解(1)

∵ X ～N,n∴P ?

P1X? ? ?1P? 5

? 1 ?X5 5 ?? ?? 64 64 64?? ??8????8?2?8??1?5? ?

5? ?5?(2)

P ?

? ? ? ? ? ?20.9452?10.8904 P1X? ? ??? ? ?P? nX n?? ?? ?? n ?? ?2? n??10.95??? ?∴? n?0.975?5?∴ n1.965

n9.8

n9610.從正總體N

, 052中抽容量為10的樣本

X1,

X2…,

，X0∑X∑X1）已知 0，求 2 1 ii

≥4的概。02）未知 ，求∑(

? 2285的概。2i i1X X2i?0

? ?1 0 1 ?解()

?∑ 2≥4

? ? 2∑

≥ 2?4?P?1Xi

? P?0.5

1Xi

0.5 ?i i11012又 052∑X ～2

210

（133，定理3）i1i1∴原式＝

P

210≥16010?0

? ?1 0 1?（2）

?∑(

? )22.85

? ? 2∑(

? )22.85

2?P?1Xii1 0

X ? P?

0.5

i XXi1X

0.5?X又 2∑(X

? )2～

29

（定理4 133）05

i X i1∴原式＝P

2911.41?

P

2911.41?0.250.75.設總體

X～N

5, 62，體

Y～N

4, 42，總體X中抽容量為10的樣，從總體Y中抽容量為8的樣，求下列率：S2? 2S2（）

P0X?Y8

（2）

x8.28P? ??Sy ? 解： （1）P0X? 8P0?50?46X?Y?50?468?50?4 ? ?? ? ?0?50?46P?

X?Y?50?46

8?50?46??62 42

62 42

62 42? ?? 10 8 10 8 10 8 ?有136定理6知，

X ?50?46

～N,62 42 10 8∴原式＝

? ?? X?? X?Y? ? ??4 50 46 4 P? 5.6

62 42

5.6???2? 4

?10 8 ??10.909? 5.6?? ?? 2 ?2? 2 ?2

?Sx 62

42?（）

P?Sx

8.28?P?

828 ???2 62????Sy ? y ??S?42 ?S2Sx22又由139， 6 ～22Sy42

F10?, 8?1∴原式F, 73681?F, 73681?00509512.設總體

～ ,

2，抽取樣本

,…,

，樣本均值為 ，樣本方差為

2。若X N

X1 Xn X S再抽一個樣本X

，證：1n1統(tǒng)計量

= n Xn?X ～1

tn

?

與 相互立。X Xn1n S證明：

～ ,

2, ～

? 2?, ,?

～ ?,

1 2?Xn1

N

X N?

? Xn1n?

X N?o

n ??n??nn ?X1?X? nn ?n n ? nn n X?Xn

n1 1 n1

S n SXn?X Xn?Xnn1 1nn ? ?＝Xn?X ? n n 1 S

2 2n ?

S n? S2n ?1?1? ? 2

2P 2P∴分子Xn1 X～1 N

,1,

n S 2～2 ～

n?1 133 Th4n ?n∴ n Xn?X ～1

tn

?n S13.設總體

X～N

, 22，抽樣本

X1,

X2,…,

X0

，求列概率：P? P? ?

?xX1,X2,…,X010?? ?2）P?inX1,X2,…,X0≤? ?P解：（1）P

?xX1,X2,…,X010?＝1－P?xX1,X2,…,X010?? ? ? ?1?PX11,X21,…,X0101?PX110PX210…PX0100 )1? )

(X1?810?8??P

2 2 ?1??0? ?1?0.841300.8224? ? ? ?（2）P?inX1,X2,…,X0≤5?1?P?inX1,X2,…,X0? ? ? ?1?PX1,X2,…,X051?

P1?

PX1

50?0? )11?? )1

(X1?85?8?? P 2 2 ?? ?1?1?1.50? ?1?1.500.4991n14.設總體X服從松分布P，抽樣本X1,…,Xn（1）樣本值X的期與方差；（2）樣本值X的概分布。

，求： 1

, n

1n 解（1）

Xini1

X Xi 1ni 1

ni1 X 1n 1 DX 2∑DXi 2? ni1 n n（ 2 ） 由 泊 松 分 布 的 可 加 性 有 ：YX1X2…Xn

P ～ P ????個n

＝Pn＝? ?∴ Y，則 ? ? ?X PX

y?PYy

(n)y

?,e,

y,,,?n ? n? y!n15.設總體X服從數(shù)分布e，抽樣本X1,…,Xn（1）樣均值X的期與方差；

，求：（2）樣方差

2的數(shù)期望。S解：（1）

1