2025屆新高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)沖刺復(fù)習(xí)隨機(jī)事件的概率與古典概型

必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)2025屆新高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)沖刺復(fù)習(xí)隨機(jī)事件的概率與古典概型核心考點(diǎn)·分類突破【課標(biāo)解讀】【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.結(jié)合具體實(shí)例,理解樣本點(diǎn)和有限樣本空間的含義,理解隨機(jī)事件與樣本點(diǎn)的關(guān)系.2.了解隨機(jī)事件的并、交與互斥的含義,能結(jié)合實(shí)例進(jìn)行隨機(jī)事件的并、交運(yùn)算.3.理解古典概型,能計(jì)算古典概型中簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率.4.理解概率的性質(zhì),掌握隨機(jī)事件概率的運(yùn)算法則.5.會(huì)用頻率估計(jì)概率.【核心素養(yǎng)】數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算.【命題說(shuō)明】考向考法高考命題常以現(xiàn)實(shí)生活為載體,考查隨機(jī)事件、樣本點(diǎn)、事件間的關(guān)系、古典概型;古典概型是高考熱點(diǎn),常以選擇題的形式出現(xiàn).預(yù)測(cè)預(yù)計(jì)2025年高考古典概型知識(shí)點(diǎn)仍會(huì)出題.事件的互斥會(huì)與獨(dú)立事件交匯命題.必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)知識(shí)梳理·歸納1.有限樣本空間與隨機(jī)事件(1)樣本點(diǎn):隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)可能的基本結(jié)果.(2)樣本空間:全體樣本點(diǎn)的集合,一般用Ω表示.(3)有限樣本空間:樣本空間Ω={ω1,ω2,…,ωn}.(4)隨機(jī)事件(事件):樣本空間Ω的子集.(5)基本事件:只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件.2.兩個(gè)事件的關(guān)系和運(yùn)算微點(diǎn)撥

互斥事件不一定是對(duì)立事件,但是對(duì)立事件一定是互斥事件.項(xiàng)目含義符號(hào)表示包含關(guān)系A(chǔ)發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生__________相等關(guān)系B?A且A?B_________并(和)事件______________________A∪B或A+B交(積)事件A與B同時(shí)發(fā)生______________互斥(互不相容)A與B不能同時(shí)發(fā)生A∩B=?互為對(duì)立A與B有且僅有一個(gè)發(fā)生______________________

A?B

A=B

A與B至少一個(gè)發(fā)生

A∩B或AB

A∩B=?,且A∪B=Ω

3.概率的幾個(gè)基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍:__________.(2)P(Ω)=___,P(?)=___.(3)如果事件A與事件B互斥,那么P(A∪B)=___________.(4)如果事件A與事件B互為對(duì)立事件,則P(A)=_______.(5)如果A?B,那么P(A)___P(B).(6)P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).微思考

兩個(gè)互斥事件的概率之和等于1嗎?提示:兩個(gè)互斥事件概率之和小于或等于1,只有當(dāng)兩互斥事件為對(duì)立事件時(shí),其概率和等于1.1≥P(A)≥010P(A)+P(B)1-P(B)≤

5.頻率與概率(1)頻率的穩(wěn)定性一般地,隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大,頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小,即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會(huì)逐漸____________事件A發(fā)生的概率P(A),我們稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.

(2)頻率穩(wěn)定性的作用可以用頻率fn(A)估計(jì)概率P(A).微點(diǎn)撥

概率是一個(gè)常數(shù),是一個(gè)理論值,不隨試驗(yàn)次數(shù)的改變而改變;而頻率是一個(gè)試驗(yàn)值,隨著試驗(yàn)次數(shù)的改變而改變,是一個(gè)變量.

穩(wěn)定于

類型辨析改編易錯(cuò)高考題號(hào)12,345×√√×2.(必修第二冊(cè)P235練習(xí)1改編)一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次,事件“至多有一次中靶”的互斥事件是(

)A.至少有一次中靶 B.兩次都中靶C.只有一次中靶

D.兩次都不中靶【解析】選B.射擊兩次中“至多有一次中靶”即“有一次中靶或兩次都不中靶”,與該事件不能同時(shí)發(fā)生的是“兩次都中靶”.3.(必修第二冊(cè)P246習(xí)題9改編)從某班學(xué)生中任意找出一人,如果該同學(xué)的身高小于160cm的概率為0.2,該同學(xué)的身高在[160,175](單位:cm)的概率為0.5,那么該同學(xué)的身高超過(guò)175cm的概率為(

)A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8【解析】選B.由題意知該同學(xué)的身高小于160cm的概率、該同學(xué)的身高在[160,175](單位:cm)的概率和該同學(xué)的身高超過(guò)175cm的概率和為1,故所求概率為1-0.2-0.5=0.3.4.(樣本點(diǎn)理解錯(cuò)誤)袋中有大小、形狀相同的紅球、黑球各一個(gè),現(xiàn)在有放回地隨機(jī)摸3次,每次摸取一個(gè),觀察摸出球的顏色,則此隨機(jī)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為(

)A.5 B.6 C.7 D.8【解析】選D.因?yàn)槭怯蟹呕氐仉S機(jī)摸3次,所以隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為Ω={(紅,紅,紅),(紅,紅,黑),(紅,黑,紅),(紅,黑,黑),(黑,紅,紅),(黑,紅,黑),(黑,黑,紅),(黑,黑,黑)},共8個(gè).

核心考點(diǎn)·分類突破考點(diǎn)一隨機(jī)事件的頻率與概率[例1](1)(多選題)一部機(jī)器有甲、乙、丙三個(gè)易損零件,在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi),每個(gè)零件至多會(huì)出故障一次,工程師統(tǒng)計(jì)了近100個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)一部機(jī)器各類型故障發(fā)生的次數(shù)得到如圖所示的柱狀圖,由頻率估計(jì)概率,在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi),下列說(shuō)法正確的是(

)A.至少有一個(gè)零件發(fā)生故障的概率為0.8B.有兩個(gè)零件發(fā)生故障的概率比只有一個(gè)零件發(fā)生故障的概率更大C.乙零件發(fā)生故障的概率比甲零件發(fā)生故障的概率更大D.已知甲零件發(fā)生了故障,此時(shí)丙零件發(fā)生故障的概率比乙零件發(fā)生故障的概率更大

75%

9328124585696834312573930275564887301135

投籃次數(shù)8101520304050進(jìn)球次數(shù)681217253239進(jìn)球頻率

2.某籃球運(yùn)動(dòng)員在同一條件下進(jìn)行投籃練習(xí),結(jié)果如表:(2)這位運(yùn)動(dòng)員投籃一次,進(jìn)球的概率約是多少?【解析】(2)由于進(jìn)球頻率都在0.8左右擺動(dòng),故這位運(yùn)動(dòng)員投籃一次,進(jìn)球的概率約是0.8.(3)若這位運(yùn)動(dòng)員進(jìn)球的概率是0.8,那么他投10次籃一定能投進(jìn)8次嗎?【解析】(3)不一定,一名運(yùn)動(dòng)員投籃進(jìn)球的概率是0.8,表示投籃成功的可能性,他在10次一組的投籃中,可能會(huì)投進(jìn)8次.投籃次數(shù)8101520304050進(jìn)球次數(shù)681217253239進(jìn)球頻率

考點(diǎn)二互斥事件與對(duì)立事件[例2](1)(2024·長(zhǎng)春模擬)連續(xù)拋擲一枚硬幣3次,觀察正面出現(xiàn)的情況,事件“至少2次出現(xiàn)正面”的對(duì)立事件是(

)A.只有2次出現(xiàn)反面B.至少2次出現(xiàn)正面C.有2次或3次出現(xiàn)正面D.有2次或3次出現(xiàn)反面【解析】選D.連續(xù)拋擲一枚硬幣3次,正面出現(xiàn)的次數(shù)有0,1,2,3,因此事件“至少2次出現(xiàn)正面”的對(duì)立事件是“正面出現(xiàn)0次或1次”即“有2次或3次出現(xiàn)反面”.

解題技法1.求簡(jiǎn)單的互斥事件、對(duì)立事件的概率的方法解此類問(wèn)題,首先應(yīng)根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的定義分析出所給的兩個(gè)事件是互斥事件還是對(duì)立事件,再選擇相應(yīng)的概率公式進(jìn)行計(jì)算.2.求復(fù)雜的互斥事件概率的兩種方法(1)直接求法:將所求事件分解為一些彼此互斥的事件的和,運(yùn)用互斥事件概率的加法公式計(jì)算.(2)間接求法:先求此事件的對(duì)立事件的概率,再用公式求解,即運(yùn)用逆向思維(正難則反),特別是“至多”“至少”型題目,用間接求法會(huì)較簡(jiǎn)便.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.(多選題)下列說(shuō)法中正確的有(

)A.若事件A與事件B是互斥事件,則P(AB)=0B.若事件A與事件B是對(duì)立事件,則P(A+B)=1C.某人打靶時(shí)連續(xù)射擊三次,則事件“至少有兩次中靶”與事件“至多有一次中靶”是對(duì)立事件D.把紅、橙、黃3張紙牌隨機(jī)分給甲、乙、丙3人,每人分得1張,則事件“甲分得的不是紅牌”與事件“乙分得的不是紅牌”是互斥事件

【加練備選】1.(多選題)對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次,每次發(fā)射一枚炮彈,設(shè)事件A={兩彈都擊中飛機(jī)},事件B={兩彈都沒(méi)擊中飛機(jī)},事件C={恰有一彈擊中飛機(jī)},事件D={至少有一彈擊中飛機(jī)},則下列關(guān)系正確的是(

)A.AD=?

B.BD=?C.A+C=D

D.A+B=B+D【解析】選BC.“恰有一彈擊中飛機(jī)”指第一枚擊中且第二枚沒(méi)中或第一枚沒(méi)中且第二枚擊中,“至少有一彈擊中飛機(jī)”包含兩種情況,一種是恰有一彈擊中,另一種是兩彈都擊中,故AD≠?,BD=?,A+C=D,A+B≠B+D.2.某河流A與河流B是水庫(kù)C的主要水源,只要河流A,B之一不缺水,水庫(kù)C就不缺水.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道河流A,B不缺水的概率分別是0.7和0.9,同時(shí)不缺水的概率是0.65.則水庫(kù)C不缺水的概率為