2025屆新高考數(shù)學精準沖刺復習隨機事件的概率與古典概型

必備知識·逐點夯實2025屆新高考數(shù)學精準沖刺復習隨機事件的概率與古典概型核心考點·分類突破【課標解讀】【課程標準】1.結合具體實例,理解樣本點和有限樣本空間的含義,理解隨機事件與樣本點的關系.2.了解隨機事件的并、交與互斥的含義,能結合實例進行隨機事件的并、交運算.3.理解古典概型,能計算古典概型中簡單隨機事件的概率.4.理解概率的性質,掌握隨機事件概率的運算法則.5.會用頻率估計概率.【核心素養(yǎng)】數(shù)學抽象、數(shù)學運算.【命題說明】考向考法高考命題常以現(xiàn)實生活為載體,考查隨機事件、樣本點、事件間的關系、古典概型;古典概型是高考熱點,常以選擇題的形式出現(xiàn).預測預計2025年高考古典概型知識點仍會出題.事件的互斥會與獨立事件交匯命題.必備知識·逐點夯實知識梳理·歸納1.有限樣本空間與隨機事件(1)樣本點:隨機試驗的每個可能的基本結果.(2)樣本空間:全體樣本點的集合,一般用Ω表示.(3)有限樣本空間:樣本空間Ω={ω1,ω2,…,ωn}.(4)隨機事件(事件):樣本空間Ω的子集.(5)基本事件:只包含一個樣本點的事件.2.兩個事件的關系和運算微點撥

互斥事件不一定是對立事件,但是對立事件一定是互斥事件.項目含義符號表示包含關系A發(fā)生導致B發(fā)生__________相等關系B?A且A?B_________并(和)事件______________________A∪B或A+B交(積)事件A與B同時發(fā)生______________互斥(互不相容)A與B不能同時發(fā)生A∩B=?互為對立A與B有且僅有一個發(fā)生______________________

A?B

A=B

A與B至少一個發(fā)生

A∩B或AB

A∩B=?,且A∪B=Ω

3.概率的幾個基本性質(1)概率的取值范圍:__________.(2)P(Ω)=___,P(?)=___.(3)如果事件A與事件B互斥,那么P(A∪B)=___________.(4)如果事件A與事件B互為對立事件,則P(A)=_______.(5)如果A?B,那么P(A)___P(B).(6)P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).微思考

兩個互斥事件的概率之和等于1嗎?提示:兩個互斥事件概率之和小于或等于1,只有當兩互斥事件為對立事件時,其概率和等于1.1≥P(A)≥010P(A)+P(B)1-P(B)≤

5.頻率與概率(1)頻率的穩(wěn)定性一般地,隨著試驗次數(shù)n的增大,頻率偏離概率的幅度會縮小,即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會逐漸____________事件A發(fā)生的概率P(A),我們稱頻率的這個性質為頻率的穩(wěn)定性.

(2)頻率穩(wěn)定性的作用可以用頻率fn(A)估計概率P(A).微點撥

概率是一個常數(shù),是一個理論值,不隨試驗次數(shù)的改變而改變;而頻率是一個試驗值,隨著試驗次數(shù)的改變而改變,是一個變量.

穩(wěn)定于

類型辨析改編易錯高考題號12,345×√√×2.(必修第二冊P235練習1改編)一個人打靶時連續(xù)射擊兩次,事件“至多有一次中靶”的互斥事件是(

)A.至少有一次中靶 B.兩次都中靶C.只有一次中靶

D.兩次都不中靶【解析】選B.射擊兩次中“至多有一次中靶”即“有一次中靶或兩次都不中靶”,與該事件不能同時發(fā)生的是“兩次都中靶”.3.(必修第二冊P246習題9改編)從某班學生中任意找出一人,如果該同學的身高小于160cm的概率為0.2,該同學的身高在[160,175](單位:cm)的概率為0.5,那么該同學的身高超過175cm的概率為(

)A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8【解析】選B.由題意知該同學的身高小于160cm的概率、該同學的身高在[160,175](單位:cm)的概率和該同學的身高超過175cm的概率和為1,故所求概率為1-0.2-0.5=0.3.4.(樣本點理解錯誤)袋中有大小、形狀相同的紅球、黑球各一個,現(xiàn)在有放回地隨機摸3次,每次摸取一個,觀察摸出球的顏色,則此隨機試驗的樣本點個數(shù)為(

)A.5 B.6 C.7 D.8【解析】選D.因為是有放回地隨機摸3次,所以隨機試驗的樣本空間為Ω={(紅,紅,紅),(紅,紅,黑),(紅,黑,紅),(紅,黑,黑),(黑,紅,紅),(黑,紅,黑),(黑,黑,紅),(黑,黑,黑)},共8個.

核心考點·分類突破考點一隨機事件的頻率與概率[例1](1)(多選題)一部機器有甲、乙、丙三個易損零件,在一個生產周期內,每個零件至多會出故障一次,工程師統(tǒng)計了近100個生產周期內一部機器各類型故障發(fā)生的次數(shù)得到如圖所示的柱狀圖,由頻率估計概率,在一個生產周期內,下列說法正確的是(

)A.至少有一個零件發(fā)生故障的概率為0.8B.有兩個零件發(fā)生故障的概率比只有一個零件發(fā)生故障的概率更大C.乙零件發(fā)生故障的概率比甲零件發(fā)生故障的概率更大D.已知甲零件發(fā)生了故障,此時丙零件發(fā)生故障的概率比乙零件發(fā)生故障的概率更大

75%

9328124585696834312573930275564887301135

投籃次數(shù)8101520304050進球次數(shù)681217253239進球頻率

2.某籃球運動員在同一條件下進行投籃練習,結果如表:(2)這位運動員投籃一次,進球的概率約是多少?【解析】(2)由于進球頻率都在0.8左右擺動,故這位運動員投籃一次,進球的概率約是0.8.(3)若這位運動員進球的概率是0.8,那么他投10次籃一定能投進8次嗎?【解析】(3)不一定,一名運動員投籃進球的概率是0.8,表示投籃成功的可能性,他在10次一組的投籃中,可能會投進8次.投籃次數(shù)8101520304050進球次數(shù)681217253239進球頻率

考點二互斥事件與對立事件[例2](1)(2024·長春模擬)連續(xù)拋擲一枚硬幣3次,觀察正面出現(xiàn)的情況,事件“至少2次出現(xiàn)正面”的對立事件是(

)A.只有2次出現(xiàn)反面B.至少2次出現(xiàn)正面C.有2次或3次出現(xiàn)正面D.有2次或3次出現(xiàn)反面【解析】選D.連續(xù)拋擲一枚硬幣3次,正面出現(xiàn)的次數(shù)有0,1,2,3,因此事件“至少2次出現(xiàn)正面”的對立事件是“正面出現(xiàn)0次或1次”即“有2次或3次出現(xiàn)反面”.

解題技法1.求簡單的互斥事件、對立事件的概率的方法解此類問題,首先應根據(jù)互斥事件和對立事件的定義分析出所給的兩個事件是互斥事件還是對立事件,再選擇相應的概率公式進行計算.2.求復雜的互斥事件概率的兩種方法(1)直接求法:將所求事件分解為一些彼此互斥的事件的和,運用互斥事件概率的加法公式計算.(2)間接求法:先求此事件的對立事件的概率,再用公式求解,即運用逆向思維(正難則反),特別是“至多”“至少”型題目,用間接求法會較簡便.對點訓練1.(多選題)下列說法中正確的有(

)A.若事件A與事件B是互斥事件,則P(AB)=0B.若事件A與事件B是對立事件,則P(A+B)=1C.某人打靶時連續(xù)射擊三次,則事件“至少有兩次中靶”與事件“至多有一次中靶”是對立事件D.把紅、橙、黃3張紙牌隨機分給甲、乙、丙3人,每人分得1張,則事件“甲分得的不是紅牌”與事件“乙分得的不是紅牌”是互斥事件

【加練備選】1.(多選題)對空中飛行的飛機連續(xù)射擊兩次,每次發(fā)射一枚炮彈,設事件A={兩彈都擊中飛機},事件B={兩彈都沒擊中飛機},事件C={恰有一彈擊中飛機},事件D={至少有一彈擊中飛機},則下列關系正確的是(

)A.AD=?

B.BD=?C.A+C=D

D.A+B=B+D【解析】選BC.“恰有一彈擊中飛機”指第一枚擊中且第二枚沒中或第一枚沒中且第二枚擊中,“至少有一彈擊中飛機”包含兩種情況,一種是恰有一彈擊中,另一種是兩彈都擊中,故AD≠?,BD=?,A+C=D,A+B≠B+D.2.某河流A與河流B是水庫C的主要水源,只要河流A,B之一不缺水,水庫C就不缺水.根據(jù)經驗知道河流A,B不缺水的概率分別是0.7和0.9,同時不缺水的概率是0.65.則水庫C不缺水的概率為