新教材人教B版必修第一冊(cè)分段函數(shù)作業(yè)

第2課時(shí)分段函數(shù)

G爭分奪秒一刻鐘，狠抓基礎(chǔ)零失誤「夕

必備知識(shí)?基礎(chǔ)練

概念定理丹加島

1.分段函數(shù)是兩個(gè)或多個(gè)函數(shù).()

2.分段函數(shù)的定義域是其中一個(gè)局部的定義域.()

3.分段函數(shù)的值域是各個(gè)局部的值域的交集.()

.,x>0

4.假設(shè)f(x)=j,f(a)+f(-1)=2,那么a=l.()

、\-x,x<0

fl

臥-1[x>0]

5.函數(shù)f(x)=<，假設(shè)f(a)=a,那么a=1.()

"[x<0]

vA

【解析】L提示：x.分段函數(shù)由幾個(gè)局部組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù).

2.提示：x.分段函數(shù)的定義域是各個(gè)局部的定義域的并集.

3.提示：x.分段函數(shù)的值域是各個(gè)局部的值域的并集.

4.提示：x.當(dāng)a>0時(shí)，f(a)=yja,

所以m+冊(cè)=2,所以y/a=1,a=l.

當(dāng)a<0時(shí)，f(a)=,所以+y/1=2,

所以\]-a=1,a=-1.

所以a=1或a=-1.

5.提示：x.當(dāng)a>0時(shí)，有g(shù)a-1=a,解得a=-2（舍）,

當(dāng)a<0時(shí)，有;=a,所以a=-1.

基礎(chǔ)分組建通關(guān)

?題組一分段函數(shù)的定義域、值域

1.函數(shù)f（x）二用,那么其定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.

A.RB.(0,+oo)

C.(-oo,0)D.(-oo,0)U(0,+oo)

【解析】選D.要使f(x)有意義,需xRO,故定義域?yàn)?-8,0)U(0,+8).

_(2x,x>0,

2.函數(shù)f(x)"且f(a)+f⑴=0,那么a等于()

[x+I,x<0,

A.-3B,-1C.1D.3

【解析】選A.當(dāng)a>0時(shí)，f(a)+f(l)=2a+2=O'a=-1,與a>0沖突；

當(dāng)a<0時(shí)，f(a)+f(l)=a+1+2=0=a=-3,符合題意.

fx,x￡[O,1],

3.f(x)=的定義域?yàn)開________值域?yàn)開_______.

12-x,xQr[1,2]

【解析】函數(shù)定義域?yàn)閇0,1]U(1,2]=[0,2].

當(dāng)x￡(l,2]時(shí),f(x)e[0,1),故函數(shù)值域?yàn)閇0,1)U[O,1]=[0,1].

答案：[0,2][0,1]

?題組二分段函數(shù)求值問題

3x-b,x<l

1.設(shè)函數(shù)f(x)=J

I2x,x>l,

73

A.1B.QC.7

o4

7

-b=4,解得b=g(舍去).

當(dāng)|-b>l,即b<|時(shí),2xf|-b]=4,解得b=；.

|-\/x,0<x<1,假設(shè),那么

2.設(shè)f(x)=jf(a)=f(a+l)d=(

I2〔x-1〕,x>l.

A.2B.4C.6D.8

【解析】選C.當(dāng)0<a<1時(shí)，a+1>1,f(a)=6,

f(a+l)=2(a+1-l)=2a,

由于f(a)=f(a+1),所以版=2a,

解得a=；或a=0倍去).

所以dO=f(4)=2x(4-1)=6.

當(dāng)aNl時(shí)，a+1>2,

所以f(a)=2(a-1),f(a+l)=2(a+1-l)=2a,

所以2(a-l)=2a,無解.

綜上，0=6.

x2+2x+2,x<0,

3.設(shè)函數(shù)f(x)=J假設(shè)f(f(a))=2,那么a=________

[-x2,x>0.

【解析】當(dāng)a>0時(shí)，f(a)=-a2<0,

f(f(a))=a4_2a?+2=2,彳導(dǎo)a=蟲(a=0a=--\[2舍去)；

當(dāng)a<0時(shí),f(a)=a2+2a+2=(a+I)2+l>0,

f(f(a))=-(a2+2a+2)2=2,此方程無解.

綜上可知，a二娘.

答案：也

4.國內(nèi)某快遞公司規(guī)定：重量在1000克以內(nèi)的包裹快遞郵資標(biāo)準(zhǔn)如表：

運(yùn)送距500<x1000<x1500<x

0<x<500???

離x(km)<1000<1500<2000

郵資y(元)???

假如某人從北京快遞900克的包褰到距北京1300km的某地，他應(yīng)付的郵資是

’5.00[0<x<500],

6.00[500<x<l000],

【解析】郵資y與運(yùn)送距離x的函數(shù)關(guān)系式為y=〈

7.00[1000<x<l500],

、8.00[1500<x<2000],

由于13000(1000,1500],

所以y=7.00.

受室-

?題組三分段函數(shù)的圖象及應(yīng)用

1,x>0,

1.設(shè)X￡R,定義符號(hào)函數(shù)sgnx=<o,x=0,那么函數(shù)f(x)=|x|sgnx的圖象

-1,x<0,

大致是()

x,x>0,

【解析】國=<0,x=0,

、-x,x<0,

所以f(x)=x的圖象為C中圖象所示.

2.函數(shù)f(x)的圖象如圖，那么f(x)的解析式為

【解析】當(dāng)-10X<0時(shí),設(shè)f(x)=ax+b,

f-a+b=Oa=1

由題意1,解得：

[b=1b=1

故f(x)=x+l,x￡[-1,0)；

0<x<l時(shí)，設(shè)f(x)=ax,

那么f(x)=-x,

fx+1,xQ[-1,0]

故f(x)=5

-x,x￡[0,1]

X+1,xG[-l,o)

答案：f(x)=4

t-x,xe[0,1]

」一，x#l

3.設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=不悅-II，假設(shè)關(guān)于的方程f(x)=b有3

1,x=1

個(gè)不同的解，那么b等于.

」一，x#l

【解析】函數(shù)f(x)=『一II的圖象如下圖：

1,X=1

由圖易得函數(shù)的值域?yàn)?0,+8),

由f(x)=b有3個(gè)不同的解,可知b=1.

答案：1

易錯(cuò)易混彳現(xiàn);更.

易錯(cuò)點(diǎn)混淆“一個(gè)分兩段的函數(shù)〃和“兩個(gè)函數(shù)〃

X2"XX<1

,'記a=4〔-2〕,b=g(g[-2]),

{x-X2,X>1

C=g(f〔-2〕)，那么()

A.a>b=cB.a>b>c

C.a>c>bD.b>a=c

【解析】選A.由于f(-2)=6,a=f(f[-2])=f(6)=30,

c=g(f〔-2〕)=g(6)=-30,由于g(-2)=6,

所以b=g(g〔-2〕)=-30,所以a>b=c.

f[x]~\if[x]〉xi

的值域?yàn)?)

{x-2-f〔X〕,f[x]<x

A.(0,+8)

B.[-2,-1]U(0,+8)

C.(-8,-2]

D.(-oo,-1]U(0,+oo)

【解析】選B.由f(x)=x,即x2-2x=0,解得x=0,2,

所以當(dāng)x<0或x>2時(shí)，f(x)〉x,g(x)=x2-2x>0,

當(dāng)0<x<2時(shí)，f(x)<x,g(x)=-x2+2x-2e[-2,-1],

所以g(x)的值域?yàn)閇-2,-1]U(O,+oo).

【易錯(cuò)誤區(qū)】“一個(gè)分兩段的函數(shù)〃和“兩個(gè)函數(shù)〃的區(qū)分：一個(gè)分兩段的函數(shù)實(shí)

質(zhì)為一個(gè)函數(shù)，不是兩個(gè)函數(shù)，要留意區(qū)分.

G晚間小練半小時(shí)，突破課堂重難點(diǎn)！//

徐鍵能力?綜合練

限時(shí)30分鐘分值50分戰(zhàn)報(bào)得分

一、選擇題(每題5分，共25分)

fx2+1[x<0]

1.函數(shù)y=j，假設(shè)f(a)=10,那么a的值是()

[2x[x>0]

A.3或-3B.-3或5

C.-3D.3或-3或5

【解析】選B假設(shè)a<0,那么f(a)=a2+l=10,

所以a=-3(a=3舍去),

假設(shè)a>0,那么f(a)=2a=10,

所以a=5.

綜上可得，a=5或a=-3.

[1,x>0

2.f(x)=J那么不等式x+(x+2>f(x+2)<5的解集是()

[-1,x<0

A.[-2,1]B.(-oo,-2]

-31(3一

C.-2,2D.I-oo,-

【解析】選D.當(dāng)x+2N0時(shí)，即xN-2時(shí)，f(x+2)=l,由x+(x+2>f(x+2)35

可得x+x+255,

所以x<|,即-2<x<|,

當(dāng)x+2<0,即x<-2時(shí)，f(x+2)=-1,

由x+(x+2>f(x+2)W5可彳導(dǎo)x-(x+2)W5,gp-2<5,所以x<-2.

綜上，不等式的解集為卜卜號(hào).

3.在自然數(shù)集N上定義的函數(shù)f(n)=

fn-3[n>l000],

\f、那么f(90)的值是()

[f[n+7][n<1000],

A.997B.998C.999D.1000

【解析】選A.n<1000時(shí),有f(n)=f(n+7),

所以f(90)=f(97)=f(104)=…

=f(l000)=1000-3=997.

fx2[x>0][x[x>0]

4.(多項(xiàng)選擇)f(x)=J,g(x)=5,那么()

[x〔x<0〕-x2[x<0]

A.f(g〔-3〕)=-9B.g(f〔-3〕)二9

C.〔-3〕)=-3D.g(g〔-3〕)=-81

【解析】(g〔-3〕)=<-9)=-9,

g(f〔-3〕)=g(-3)=-9,

(f〔-3〕)=f(-3)=-3,

g(g〔-3〕)二g(-9)=-81.

5.（多項(xiàng)選擇）具有性質(zhì)：-f（x）的函數(shù)，我們稱為滿意“倒負(fù)〃變換的函

數(shù)，以下函數(shù)中滿意“倒負(fù)〃變換的函數(shù)是（）

A.f(x)=x-：B.f(x)=x+；

x,0<x<l,

C.f(x)=4cu,x—一1,D.f(x)=-1-----x-

I1+x

--,X>1.

IX

【解析】選ACD.對(duì)于A,f(x)=x-1,

A.

-x=-f(x),滿意；

對(duì)于B,+x=f(x),不滿意；

對(duì)于C,f(3=|。，"1，

即4)=<0,X=1,

、-x,0<x<l,

故《=-心)，滿意.

1

對(duì)于D,由于d=---T=----=-f(x),所以滿意.

兇1+工X+1

綜上可知，滿意“倒負(fù)〃變換的函數(shù)是ACD.

二、填空題(每題5分，共15分)

[2,x>0,

6.設(shè)函數(shù)f(x)=]假設(shè)f(-4)=f(0),f(-2)=-2,那么f(x)

[x2+bx+c,x<0,

的解析式為f(x)=.

【解析】STf(-4)=f(0),f(-2)=-2,

f[-4]2-4b+c=c,

所以，…

[〔-2〕--2b+c=-2.

[b=4,

解得彳

c=2.

2,x>0,

所以f(x)=<

x2+4x+2,x<0.

2,x>0,

受奈?V

□,[x2+4x+2,x<0

7.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-2,+句,它的圖象由線段AB和拋物線的一局部組

成，如圖，

那么函數(shù)f(x)的解析式為瓶-1))=.

【解析】設(shè)線段AB對(duì)應(yīng)的解析式為y=kx+m,那么由題圖可得m=3,-1=

-2k+m,所以m=3,k=2,

所以當(dāng)-2<x<0時(shí)，f(x)=2x+3,

設(shè)拋物線對(duì)應(yīng)的解析式為y=ax2+bx+c,

那么由圖可得c=2,=2,4a+2b+c=

-2,解彳導(dǎo)a=1,b=-4,c=2.

所以當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x2-4x+2,

所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=

f2x+3)-2SxS0,

[x2-4x+2,x>0,

所以依-l))=f(l)=-1.

2x+3,-2<x<0

答案：f(x)=j-1

Ix2-4x+2,x>0

8.定義新運(yùn)算:當(dāng)m>n時(shí)，m^n=m；當(dāng)m<n時(shí)，m^n=n?.設(shè)函數(shù)f(x)

=(2*x)x-(4^x),xG[l,4],那么函數(shù)f(x)的值域?yàn)?

【解析】由題意知，

f2x-4,xe[l,2],

f(x)=]

I^X3-4,Xe[2,4],

當(dāng)x￡[l,2]時(shí)，f(x)引-2,0]；

當(dāng)x￡(2,4]時(shí)，f(x)￡(4,60],

故當(dāng)x￡[l,4]時(shí)，f(x)￡[-2,0]U(4,60].

答案：[-2,0]U(4,60]

三、解答題

ri

i+-，x>l,

9.(10分)函數(shù)f(x)=<x2+iz-LI,

、2x+3,x<-1.

⑴求f{f[f(-2)]}的值;

3

(2)假設(shè)f(a)=]，求a.

【解析】⑴由于-2<-1,

所以f(-2)=2x(-2)+3=-1,

f[f(-2)]=f(-1)=2,

13

所以-2)]}=f(2)=1+]=2.

13

(2)當(dāng)a〉l時(shí)，f(a)=1+鼻=5，所以a=2〉l；

dN

3

當(dāng)-l<a<l時(shí)，f(a)=a?+1=],

所以a=±羋e[-1,1];

3

當(dāng)a<T時(shí)，f(a)=2a+3=2,

3

所以a=-j〉-l(舍去).

綜上,a=2或a=±害.

_ax+b,x<0,

設(shè)函數(shù)f(x)"且f(-2)=3,f(-l)=f(l).

2X,x>0,

⑴求f(x)的解析式；

(2)畫出f(x)的圖象.

f[-2]=3,

【解析】⑴由，、

f[-1]=f(U

f-2a+b=3,fa=-1,

味a+b=2,解%,

-X+1,X<0,

所以f(x)=

[2X,x>0.

(2)作出f(x)的圖象如下圖.

教師

專用【變式備選】

如圖，底角NABE=45。的直角梯形ABCD,底邊BC長為4cm,腰長AB為

2mcm,當(dāng)一條垂直于底邊BC的直線1從左至右移動(dòng)(與梯形ABCD有公共

點(diǎn))時(shí)，直線1把梯形分成兩局部，令BE=x,試寫出陰影局部的面積y與x的

函數(shù)關(guān)系式，并畫出函數(shù)大致圖象.

【解析】依據(jù)題意得，當(dāng)直線1從點(diǎn)B移動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，0<xS2,y=|x2；

當(dāng)直線1從點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，2<x04,y=gx2x2+(x-2)-2,即y=2x-2.

所以陰影局部的面積y與x的函數(shù)關(guān)系式為

r1

^x2,xe[0,2],__

y=j函數(shù)圖象如下圖.

、2x-2,xQ(2,4],

K

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'考點(diǎn)綜合?提升練5

限時(shí)60分鐘分值100分戰(zhàn)報(bào)得分

一、選擇題(每題5分，共30分，在每題給出的選項(xiàng)中，只有一個(gè)正確選項(xiàng))

1.以下各組函數(shù)是同一函數(shù)的是()

①f(x)=-2x3與g(x)=-2x；

②f(x)=x與g(x)=點(diǎn)；

③f(x)=x。與g(x)弓；

A.

④f(x)=X2-X+1與g(t)=t2-t+1.

A.①②B.①③C.③④D.①④

【解析】選C.①f(x)=T-2x3與g(x)=-2x的定義域是｛x|xgO｝；而①f(x)

=4-2x3__-2x,故這兩個(gè)函數(shù)不是同一函數(shù)；

②f(x)=X與g(x)=亞的定義域都是R,g(x)=爐=|x|,這兩個(gè)函數(shù)的定義域

相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系不相同，故這兩個(gè)函數(shù)不是同一函數(shù)；

③f(x)=x。的定義域是｛x|xM｝,而g(x)=A的定義域是｛x|xRO｝,故這兩個(gè)函數(shù)

A.

是同一函數(shù);

④f(x)=X?-X+1與g(t)=t2-t+1是同一函數(shù).

x+a,-l<x<0

2.函數(shù)f(x)=jz，假設(shè)卜，那么f(-a)=()

5-x,0<x<1

633

A.-5B.0C.5D.-5

【解析】[4]=用,

所以+a=；4=a=|,

因此f(-a)=ff-1+1=0.

3.如圖，函數(shù)f(x)的圖象是曲線OAB,其中點(diǎn)O,A,B的坐標(biāo)分別為(0,0),

-1'

(1,2),(3,1),那么f757的值為()

A.1B.2C.3D.4

【解析】選B.由題意可得f(3)=l,所以看二1，

所以g二f(D=2.

x-2[x>10]

4.設(shè)f(x)=,那么f(5)=(

f[f〔x+6〕][x<10]

A.10B.11C.12D.13

x-2(x>10)

【解析】選B.由于f(x)=，

Ox+6x<10

所以f(5)=f[f(ll)]=f(9)=f[f(15)]=f(13)=ll.

[x2+l[x<l]

5.f(x)=j,、，那么眼2)]=()

-2x+3[x>l]

A.5B.-1C.-7D.2

x2+l(x<l)

【解析】選D.由于f(x)，,、,

[-2x+3[x>l]

所以f(2)=-2x2+3=-1,

所以f[f(2)]=f(-1)=(-1)2+1=2.

6.函數(shù)f(x)=yx+1+—L的定義域?yàn)?)

/1X

A.(-1,2)U(2,+oo)B.[-1,2)U(2,+oo)

C.(1,2)U(2,+00)D.[1,2)U(2,+oo)

【解析】選B.由題意,函數(shù)f(x)=5T7+」一有意義,

/1X

[x+l>0

那么滿意1,解得xN-1且xR2,

12-xM

即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-1,2)U(2,+8).

二、選擇題(每題5分，共10分，在每題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的,

全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，局部選對(duì)的得3分)

7.假如二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，且過點(diǎn)(0,0),那么此二次函數(shù)的

解析式可以是()

A.f(x)=x2-1B.f(x)=-(x-I)2+1

C.f(x)=(x-I)2+1D.f(x)=(x-I)2-1

【解析】選BD.由題意設(shè)f(x)=a(x-l)2+b,由于點(diǎn)(0,0)在圖象上,所以a+b

=0,a=-b,故符合條件的是BD.

8中國清朝數(shù)學(xué)家李善蘭在1859年翻譯的?代數(shù)學(xué)?中首次將“fimction〃譯做“函

數(shù)〃，沿用至今，為什么這么翻譯，書中解釋說“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，那么

此為彼之函數(shù)〃.1930年人給出了我們課本中所學(xué)的集合論的函數(shù)定義，集合M

二，T,1,2,4；,N=[1,2,4,16；,給出以下四個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，請(qǐng)由函數(shù)定

義推斷，其中能構(gòu)成從M到N的函數(shù)的是()

A.y=2xB.y=x+2

C.y=2|x|D.y=x2

【解析】選CD在A中，當(dāng)x=4時(shí)，y=8莊N,故A錯(cuò)誤；

在B中，當(dāng)x=l時(shí)，y=3莊N,故B錯(cuò)誤；

在C中，任取XWM，總有y=2|X|￡N,故C正確；

在D中，任取xwM,總有y=X?QN,故D正確.

三、填空題(每題5分，共20分)

9.假設(shè)2f(x)+f(-x)=3x,那么函數(shù)的解析式為f(x)=.

【解析】由2f(x)+f(-x)=3x可得2f(-x)+f(x)=-3x，兩式解方程組可得f(x)

=3x.

答案：3x

fX,Xe(-oo,tJ,

10設(shè)f(x)=4「、假設(shè)f(3)=27那么t的取值范圍為________.

N,X$[t,+ooj.

【解析】當(dāng)t<3時(shí),f(3)=33:27,滿意題意；

當(dāng)t>3時(shí)，f(3)=3,不滿意題意；故t的取值范圍為(-8,3].

答案：(-8,3]

11.假設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域是[-1,1],那么y=f(x+1)的定義域是_______.

【解析】S-l<x+1<1得-2<x<0,

所以y=f(x+1)的定義域是[-2,0].

答案：[-2,0]

12.函數(shù)f(x)=-x,g(x)=x2-2,設(shè)函數(shù)y=M(x),當(dāng)f(x)〉g(x)時(shí)，M(x)=f(x)；

當(dāng)g(x)Nf(x)時(shí)，M(x)=g(x),那么M(x)=；

函數(shù)y=M(x)的最小值是_______________.

【解析】解不等式f(x)>g(x),gp-x>x2-2,解得-2<x<l,

即-2<x<l時(shí),M(x)=-x，解不等式f(x)<g(x),BP-x<x2-2，解得xg-2或xNl,

即爛-2或x>l時(shí),M(x)=x2-2,

fx2-2,x^(-oo,+8)

即M(x)=j(、一

[-X,X￡(-2,1J

當(dāng)爛-2或xNl時(shí)，M(x)min=M⑴=-1,

當(dāng)-2<X<1時(shí),M(x)min>M(l)=-1,

即函數(shù)y=M(x)的最小值是-1.

fx2-2,x^(-oo,+8)

-1

四、解答題(每題10分，共40分)

92.5,3耐,寫出函數(shù)f(x)的解析式,并畫出函數(shù)的圖象.

-3,-2.5<x<-2

-2,-2<x<-1

-1,-l<x<0

【解析】f(x)=<o,0<x<l

1,l<x<2

2,2<x<3

、3,x=3

函數(shù)圖象如