高中數(shù)學(xué)熱點(diǎn)題型增分練專題02空間向量基本定理及范圍最值教師版新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

專題2空間向量基本定理及空間范圍與最值【題型一】空間向量基底【典例分析】（2024·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知是空間的一組基底，則下列向量中能與，構(gòu)成一組基底的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依據(jù)空間向量共面基本定理可知，，均與，共面即可得出答案.【詳解】因?yàn)椋?，，所以由空間向量共面基本定理可知，，均與，共面，不能構(gòu)成一組基底，故A、B、D錯(cuò)誤，C正確.故選：C．【提分秘籍】1.基本零向量能否作為基向量？不能.零向量與隨意兩個(gè)向量a，b都共面2.基底的推斷思路(1)推斷一組向量能否作為空間的一個(gè)基底，實(shí)質(zhì)是推斷這三個(gè)向量是否共面，若不共面，就可以作為一個(gè)基底．(2)推斷基底時(shí)，經(jīng)常依托正方體、長(zhǎng)方體、平行六面體、四面體等幾何體，用它們從同一頂點(diǎn)動(dòng)身的三條棱對(duì)應(yīng)的向量為基底，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)造其他向量進(jìn)行相關(guān)的推斷．【變式訓(xùn)練】1.（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知是空間一個(gè)基底，，，確定可以與向量，構(gòu)成空間另一個(gè)基底的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依據(jù)空間向量的一組基底是：隨意兩個(gè)不共線，且不為零向量，三個(gè)向量不共面，即可推斷出結(jié)論．【詳解】由題意和空間向量的共面定理，結(jié)合向量（）+（）＝2，得與是共面對(duì)量，同理與是共面對(duì)量，所以與不能與、構(gòu)成空間的一個(gè)基底；又與和不共面，所以與、構(gòu)成空間的一個(gè)基底．故選：C．2.（2024·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若為空間的一組基底，則下列各項(xiàng)中能構(gòu)成基底的一組向量是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】A：分析得到向量是共面對(duì)量，因此這三個(gè)向量不能構(gòu)成基底；B：分析得到向量是共面對(duì)量，因此這三個(gè)向量不能構(gòu)成基底；C：分析得到是不共面對(duì)量，因此能構(gòu)成一組基底，D：分析得到向量是共面對(duì)量，因此不能構(gòu)成一組基底.【詳解】A：因?yàn)?，所以向量是共面?duì)量，因此這三個(gè)向量不能構(gòu)成基底；B：因?yàn)椋韵蛄渴枪裁鎸?duì)量，因此這三個(gè)向量不能構(gòu)成基底；C：因?yàn)闉榭臻g的一組基底，所以這三個(gè)向量不共面.若不構(gòu)成一組基底，則有，所以向量是共面對(duì)量，這與這三個(gè)向量不共面沖突，故假設(shè)不正確，因此能構(gòu)成一組基底，D：因?yàn)?，所以向量是共面?duì)量，因此不能構(gòu)成一組基底.故選：C.3.（2024·上海市松江二中高二期中）已知向量是空間的一組基底，則下列可以構(gòu)成基底的一組向量是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【解析】空間的一組基底，必需是不共面的三個(gè)向量，利用向量共面的充要條件可證明、、三個(gè)選項(xiàng)中的向量均為共面對(duì)量，利用反證法可證明中的向量不共面【詳解】解：，，，共面，不能構(gòu)成基底，解除；，，，共面，不能構(gòu)成基底，解除；，，，共面，不能構(gòu)成基底，解除；若、，共面，則，則、、為共面對(duì)量，此與為空間的一組基底沖突，故、，可構(gòu)成空間向量的一組基底．故選：．【題型二】基底表示向量【典例分析】（2024·河南·洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，在平行六面體中，，，，點(diǎn)在上，且，則等于（

）A． B．C．- D．【答案】B【分析】依據(jù)空間向量的線性運(yùn)算法則計(jì)算求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P在A1C上，且A1P：PC=2：3，所以所以故選：B.【提分秘籍】基本規(guī)律用基底表示向量的步驟(1)定基底：依據(jù)已知條件，確定三個(gè)不共面的向量構(gòu)成空間的一個(gè)基底．(2)找目標(biāo)：用確定的基底(或已知基底)表示目標(biāo)向量，須要依據(jù)三角形法則及平行四邊形法則，結(jié)合相等向量的代換、向量的運(yùn)算進(jìn)行變形、化簡(jiǎn)，最終求出結(jié)果．(3)下結(jié)論：利用空間的一個(gè)基底{a，b，c}可以表示出空間全部向量．表示要徹底，結(jié)果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．【變式訓(xùn)練】1.（2024·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量是空間的一個(gè)基底，向量是空間的另一個(gè)基底，一向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】依據(jù)空間向量的基本定理和坐標(biāo)表示即得結(jié)果.【詳解】設(shè)在基底下的坐標(biāo)為，則，所以，解得，故在基底下的坐標(biāo)為.故選：B.2.（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖的平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)M在BB1上，點(diǎn)N在DD1上，且BMBB1，D1ND1D，若，則x+y+z＝（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量的三角形法則、向量的運(yùn)算性質(zhì)即可得出.【詳解】因?yàn)椋?，所以，故選：B．3.（2024·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在四面體中，，，，點(diǎn)滿意，為的中點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依據(jù)空間向量的基本定理，結(jié)合中點(diǎn)的性質(zhì)求解即可【詳解】，其中為中點(diǎn)，有，故可知，則知為的中點(diǎn)，故點(diǎn)滿意，．故選：A【題型三】共面【典例分析】（2024·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知空間中四個(gè)點(diǎn)，，，，為空間的一組基底，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．，，，四點(diǎn)共線B．，，，四點(diǎn)共面，但不共線C．，，，四點(diǎn)不共面D．【答案】C【分析】依據(jù)空間向量的基底分析推斷即可.【詳解】∵為空間的一組基，∴，，三個(gè)向量不共面，即O，A，B，C四點(diǎn)不共面．而，，不愿定為單位向量，∴ABD錯(cuò)誤，C正確，故選：C．【提分秘籍】基本規(guī)律證明平行、共線、共面問(wèn)題(1)對(duì)于空間隨意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.(2)假如兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb.【變式訓(xùn)練】1.（2024·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知空間四點(diǎn)，，，共面，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求得、、的坐標(biāo)，依據(jù)題意可知存在實(shí)數(shù)、，使得，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得出關(guān)于、、的方程組，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】依題意得，，，、、、四點(diǎn)共面，、、共面，存在實(shí)數(shù)、，使得，即，所以，解得.故選：D.2.（2024·重慶市巫山大昌中學(xué)校高二期末）已知A，B，C三點(diǎn)不共線，O是平面ABC外一點(diǎn)，下列條件中能確定點(diǎn)M與點(diǎn)A，B，C確定共面的是A． B．C． D．【答案】D【分析】首先利用坐標(biāo)法，解除錯(cuò)誤選項(xiàng)，然后對(duì)符合的選項(xiàng)驗(yàn)證存在使得，由此得出正確選項(xiàng).【詳解】不妨設(shè).對(duì)于A選項(xiàng)，，由于的豎坐標(biāo)，故不在平面上，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng)，，由于的豎坐標(biāo)，故不在平面上，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng)，，由于的豎坐標(biāo)，故不在平面上，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng)，，由于的豎坐標(biāo)為，故在平面上，也即四點(diǎn)共面.下面證明結(jié)論確定成立：由，得，即，故存在，使得成立，也即四點(diǎn)共面.故選：D.3.（2024·全國(guó)·高二期末）已知A,B,C三點(diǎn)不共線,對(duì)于平面ABC外的任一點(diǎn)O,下列條件中能確定點(diǎn)M與點(diǎn)A,B,C確定共面的是A． B．C． D．【答案】D【分析】依據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)共面，可得，驗(yàn)證選項(xiàng)，即可得到答案.【詳解】設(shè)，若點(diǎn)與點(diǎn)共面,,則，只有選項(xiàng)D滿意，.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的共面定理的應(yīng)用，其中熟記點(diǎn)與點(diǎn)共面時(shí)，且,則是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的實(shí)力.【題型四】空間向量概念綜合【典例分析】（2024·全國(guó)·高二）下列命題中正確的個(gè)數(shù)是（

）．①若與共線，與共線，則與共線．②向量，，共面，即它們所在的直線共面．③假如三個(gè)向量，，不共面，那么對(duì)于空間隨意一個(gè)向量，存在有序?qū)崝?shù)組，使得．④若，是兩個(gè)不共線的向量，而（且），則是空間向量的一組基底．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】舉例，推斷①，由向量共面的定義推斷②，由空間向量基本定理推斷③，由共面對(duì)量定理和空間向量基本定理推斷④．【詳解】①當(dāng)時(shí)，與不愿定共線，故①錯(cuò)誤；②當(dāng)，，共面時(shí)，它們所在的直線平行于同一平面，或在同一平面內(nèi)，故②錯(cuò)誤；由空間向量基本定理知③正確；④當(dāng)，不共線且時(shí)，，，共面，故④錯(cuò)誤．故選：B．【變式訓(xùn)練】1.（2024·廣東·順德市李兆基中學(xué)高二期中）以下命題①是共線的充要條件；②若是空間的一組基底，則是空間的另一組基底；③．其中正確的命題有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】B【分析】①共線，反之不成立，即可推斷出結(jié)論；②利用基底的定義即可推斷出真假；③，即可推斷出真假．【詳解】①，共線，反之不成立，是，共線的充分不必要條件，因此不正確；②若，，是空間的一組基底，假設(shè)共面，則存在唯一一組實(shí)數(shù)，使成立，即，所以，明顯無(wú)解，假設(shè)不成立，即不共面，則，，是空間的另一組基底，正確；③，而不愿定等于1，因此不正確．其中正確的命題有一個(gè)．故選：．2.（2024·安徽·阜陽(yáng)市第三中學(xué)高二期末（理））以下四個(gè)命題中正確的是（

）A．空間的任何一個(gè)向量都可用其他三個(gè)向量表示B．若為空間向量的一組基底，則構(gòu)成空間向量的另一組基底C．為直角三角形的充要條件是D．任何三個(gè)不共線的向量都可構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底【答案】B【分析】依據(jù)空間向量基底的定義：任何三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成空間向量的一組基底，逐一分析，，可推斷這三個(gè)結(jié)論的正誤；依據(jù)向量垂直的充要條件，及直角三角形的幾何特征，可推斷的真假.【詳解】對(duì)A，空間的任何一個(gè)向量都可用其他三個(gè)不共面的向量表示，中忽視三個(gè)基底不共面的限制，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，若為空間向量的一組基底，則三個(gè)向量互不共面；則，也互不共面，故可又構(gòu)成空間向量的一組基底，故正確；對(duì)C，的為直角為直角三角形，但為直角三角形時(shí)，可能為銳角，此時(shí)，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，任何三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成空間向量的一組基底，三個(gè)向量不共線時(shí)可能共面，故D錯(cuò)誤；故選：B．3.（2024·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在以下命題中，不正確的個(gè)數(shù)為()①是，b共線的充要條件；②若∥，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使＝λ；③對(duì)空間隨意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，若＝2－2－，則P，A，B，C四點(diǎn)共面；④若{，，}為空間的一個(gè)基底，則{＋，＋，＋}構(gòu)成空間的另一個(gè)基底；⑤|(·)·|＝||·||·||.A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】利用不等式||﹣||≤||等號(hào)成立的條件推斷①即可；利用與隨意向量共線，來(lái)推斷②是否正確；利用共面對(duì)量定理推斷③是否正確；依據(jù)不共面的三個(gè)向量可構(gòu)成空間一個(gè)基底，結(jié)合共面對(duì)量定理，用反證法證明即可推斷④；代入向量數(shù)量積公式驗(yàn)證即可推斷⑤．【詳解】對(duì)①，∵向量、同向時(shí)，，∴不滿意必要性，∴①錯(cuò)誤；對(duì)②，當(dāng)為零向量，不是零向量時(shí)，不存在λ使等式成立，∴②錯(cuò)誤；對(duì)③，若P，A，B，C四點(diǎn)共面，則存在唯一使得.則，即.又＝2－2－，所以，方程無(wú)解，故③錯(cuò)誤；對(duì)④，用反證法，若{}不構(gòu)成空間的一個(gè)基底；設(shè)?x（x﹣1）?x（1﹣x），即，，共面，∵{}為空間的一個(gè)基底，∴④正確；對(duì)⑤，∵|（）|＝||×||×|cos，|×||≤||||||，∴⑤錯(cuò)誤．故選C．【題型五】空間向量數(shù)量積【典例分析】（2024·遼寧試驗(yàn)中學(xué)高二期中）已知正四面體的棱長(zhǎng)為，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】利用向量為基底表示，再依據(jù)數(shù)量積求解即可.【詳解】解：如圖，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，為中點(diǎn)所以，因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為，所以故選：A【提分秘籍】基本規(guī)律1.空間向量數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b．2.空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：①a⊥b?a·b＝0；②a·a＝|a|2＝a2；③|a·b|≤|a||b|；④(λa)·b＝λ(a·b)；⑤a·b＝b·a(交換律)；⑥(a＋b)·c＝a·c＋b·c(支配律)．【變式訓(xùn)練】1.（2024·江蘇·泗陽(yáng)縣試驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，則的值為（）A． B． C．a(chǎn)2 D．a(chǎn)2【答案】A【分析】利用向量的中點(diǎn)公式表示和，然后利用向量的數(shù)量積公式運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意，正四面體ABCD如圖所示，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，所以，，又因?yàn)檎拿骟wABCD的棱長(zhǎng)都為a，所以，故(a2cos60°+a2cos60°)a2．故選：A．2.（2024·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）四面體OABC的全部棱長(zhǎng)都等于，E，F(xiàn)，G分別為OA，OC，BC中點(diǎn)，則___________.【答案】##0.5【分析】取定空間的一個(gè)基底，用基底表示，，再計(jì)算空間向量數(shù)量積作答.【詳解】四面體OABC的全部棱長(zhǎng)都等于，則此四面體是正四面體，不共面，，因E，F(xiàn)，G分別為OA，OC，BC中點(diǎn)，則，，所以.故答案為：3.如圖，空間四邊形的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于，點(diǎn)，，分別是，，的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依據(jù)空間向量運(yùn)算求得.【詳解】依題意，分別是的中點(diǎn)，所以，三角形是等邊三角形，且邊長(zhǎng)為.所以.故選：B【題型六】空間向量求長(zhǎng)度【典例分析】（2024·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，平行六面體的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，且，，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先以為基底表示空間向量，再利用數(shù)量積運(yùn)算律求解.【詳解】解：，，，，所以，故選：B【提分秘籍】基本規(guī)律1.在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)，，則兩點(diǎn)間的距離___．2.【變式訓(xùn)練】1.（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在平行六面體中，，，，則（

）A． B．5 C． D．3【答案】B【分析】由，則結(jié)合已知條件及模長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】解：，所以，所以，故選：B.2.（2024·廣東汕頭·高二期末）如圖，在平行六面體中，為與的交點(diǎn)，若，，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將用基底表示，然后利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，且，則為的中點(diǎn)，，則.故選：D.3.（2024·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，且，，，，分別為，上的點(diǎn)，且，，（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】依據(jù)給定條件選定基底向量，并表示出，再利用向量運(yùn)算即可得解.【詳解】在四棱錐中，底面為平行四邊形，連接AC，如圖，，，則，又，，，則，，因此，.故選：B【題型七】數(shù)量積最值與范圍【典例分析】（2024·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知MN是正方體內(nèi)切球的一條直徑，點(diǎn)Р在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，正方體的棱長(zhǎng)是2，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算律可得，依據(jù)正方體的特點(diǎn)確定最大值和最小值，即可求解【詳解】設(shè)正方體內(nèi)切球的球心為，則,,因?yàn)镸N是正方體內(nèi)切球的一條直徑，所以，，所以，又點(diǎn)Р在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，所以當(dāng)為正方體頂點(diǎn)時(shí)，最大，且最大值為；當(dāng)為內(nèi)切球與正方體的切點(diǎn)時(shí)，最小，且最小為；所以，所以的取值范圍為，故選：B【變式訓(xùn)練】1.（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知球的半徑為，、是球面上的兩點(diǎn)，且，若點(diǎn)是球面上隨意一點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】作出圖形，取線段的中點(diǎn)，利用向量的加法法則可得，，可得出，求出的最大值和最小值，即可得出的取值范圍.【詳解】作出圖形，取線段的中點(diǎn)，連接、、、、，可知，由勾股定理可得，且有，由向量的加法法則可得，，.，由向量的三角不等式可得，，所以，.因此，的取值范圍是.故選：B.2.（2024·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知是空間單位向量，，若空間向量滿意，，則的最大值是_______.【答案】【分析】由列方程，利用已知條件化簡(jiǎn)，結(jié)合基本不等式求得的最大值.【詳解】依題意是空間單位向量，且，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以.故答案為：3.（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）正四面體的棱長(zhǎng)為4，空間中的動(dòng)點(diǎn)P滿意，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分別取BC，AD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，由題意可得點(diǎn)的軌跡是以為球心，以為半徑的球面，又，再求出的最值即可求解【詳解】分別取BC，AD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，則，所以，故點(diǎn)的軌跡是以為球心，以為半徑的球面，，又，所以，，所以的取值范圍為．故選：D．【題型八】空間長(zhǎng)度最值與取值范圍【典例分析】（2024·全國(guó)·高二期末）如圖，直三棱柱中，側(cè)棱長(zhǎng)為，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是側(cè)面（含邊界）上的動(dòng)點(diǎn).要使平面，則線段的長(zhǎng)的最大值為A． B． C． D．【答案】A【分析】取上靠近的四等分點(diǎn)為E，由題易知，再利用空間向量證得，即當(dāng)F在上時(shí)，平面，然后求得答案.【詳解】取上靠近的四等分點(diǎn)為E，連接,當(dāng)點(diǎn)F在上時(shí)，平面，證明如下：因?yàn)橹比庵?，?cè)棱長(zhǎng)為，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以平面，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為x軸，y軸，z軸建系；所以即此時(shí)，即所以平面，故當(dāng)F在上時(shí)，平面，很明顯，當(dāng)E、F重合時(shí)，線段最長(zhǎng)，此時(shí)故選A【變式訓(xùn)練】1.（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）棱長(zhǎng)均為3的三棱錐，若空間一點(diǎn)滿意，則的最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】依據(jù)空間向量基本定理知，與，，共面,則的最小值為三棱錐的高，由條件求出三棱錐的高即可.【詳解】由，依據(jù)空間向量基本定理知，與，，共面.則的最小值為三棱錐的高，，設(shè)為在面上的射影，由條件可得三棱錐為正三棱錐.連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn),則所以,所以故選：A．2.（2024·湖北武漢·高一期末）設(shè)點(diǎn)是棱長(zhǎng)為的正方體的棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在面所在的平面內(nèi)，若平面分別與平面和平面所成的銳二面角相等，則點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離是A． B． C． D．【答案】B【分析】以為原點(diǎn)，為軸為軸為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算三個(gè)平面的法向量，依據(jù)夾角相等得到關(guān)系式：，再利用點(diǎn)到直線的距離公式得到答案.【詳解】`以為原點(diǎn)，為軸為軸為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則易知：平面的法向量為

平面的法向量為設(shè)平面的法向量為：則，取平面分別與平面和平面所成的銳二面角相等或看作平面的兩條平行直線，到的距離.依據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得，點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離都是：故答案為B3.（2024·北京一零一中雙榆校區(qū)高二期中）正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，平面A1B1C1D1內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)P，滿意到點(diǎn)A1的距離與到線段C1D1的距離相等，則線段PA長(zhǎng)度的最小值為A． B． C． D．【答案】C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得點(diǎn)P在以點(diǎn)A1為焦點(diǎn)、以C1D1為準(zhǔn)線的拋物線上，由此可得點(diǎn)P坐標(biāo)間的關(guān)系，然后依據(jù)空間中兩點(diǎn)間的距離公式求解可得結(jié)果．【詳解】如圖，以A1D1的中點(diǎn)為原點(diǎn)，以A1D1為x軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則．由于動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A1的距離與到線段C1D1的距離相等，所以點(diǎn)P在以點(diǎn)A1為焦點(diǎn)、以C1D1為準(zhǔn)線的拋物線上．由題意得，在平面內(nèi)，拋物線的方程為，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，所以，又，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，且．故選C．【題型九】空間角度范圍最值【典例分析】（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)是平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿意，則直線與直線所成角的取值范圍為（

）（參考數(shù)據(jù)：A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】取的中點(diǎn)，作點(diǎn)在平面內(nèi)的投影，過(guò)作交于點(diǎn)，連結(jié)、，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，利用求出的關(guān)系，然后依據(jù)的范圍求角的范圍.【詳解】解：取的中點(diǎn)，作點(diǎn)在平面內(nèi)的投影，過(guò)作交于點(diǎn)，連結(jié)、，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，依據(jù)題意，得，0，，，0，，，，，，，，設(shè)，，，則，，，，，，，0，，，，，，記為直線與直線所成的角，則即為直線與直線所成的角，，點(diǎn)的軌跡在平面內(nèi)是以為圓心，為半徑的圓，，，又為銳角或直角，，，則直線與直線所成角的取值范圍為，，故選：B．【提分秘籍】基本規(guī)律夾角（1）求異面直線所成的角若兩異面直線所成角為，它們的方向向量分別為，則有=______.（2）求直線和平面所成的角設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有______=_______.（3）求二面角如圖，若于A，于B，平面PAB交于E，則________為二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.若二面角的平面角的大小為，其兩個(gè)面的法向量分別為，則=______=_______（4）求平面與平面的夾角平面與平面相交，形成四個(gè)二面角，把這四個(gè)二面角中不大于90°的二面角稱為平面與平面的夾角_________=___________.【變式訓(xùn)練】1.（2024·江西·贛州市贛縣第三中學(xué)高二階段練習(xí)（理））在長(zhǎng)方體中，，，O是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上，若直線OP與平面所成的角為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得的取值范圍，由此求得，即可得解.【詳解】以D為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示則，，，，，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為則，令，得所以，由于，，，，，，由于，所以故選：D2.（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，四邊形和均為正方形，它們所在的平面相互垂直，動(dòng)點(diǎn)M在線段上，E、F分別為、的中點(diǎn)，設(shè)異面直線與所成的角為，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】首先以，，三直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2，，，，從而可求出向量的坐標(biāo)，由得到，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，依據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)即可推斷該函數(shù)為減函數(shù)，從而求出的最大值．【詳解】解：依據(jù)已知條件，，，三直線兩兩垂直，分別以這三直線為，，軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則：，，；在線段上，設(shè)，；；；設(shè)，；函數(shù)是一次函數(shù)，且為減函數(shù)，；在恒成立，；在上單調(diào)遞減；時(shí)，取到最大值．故選：．3.（2024·上?！げ軛疃懈叨谀┰谡襟w中，點(diǎn)（異于點(diǎn)）是棱上一點(diǎn)，則滿意與，所成的角為45°的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A．0 B．3 C．4 D．6【答案】B【分析】建立空間坐標(biāo)系，通過(guò)分類探討，利用向量法求異面直線所成的夾角，即可找出滿意條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)．【詳解】如圖建立坐標(biāo)系，不妨設(shè)棱長(zhǎng)，則，，①在中，，因此．同理,,與成角都為．故當(dāng)P位于棱,,上時(shí)，與所成角都為，故不滿意條件．②當(dāng)點(diǎn)P位于棱AD上時(shí)，設(shè)，，則，，若，滿意于所成角為，則，即，無(wú)正數(shù)解（舍），同理當(dāng)P位于上時(shí)，也不符合題意．③當(dāng)P位于棱上時(shí)，設(shè)，則，，若滿意于所成角為，則，即，因?yàn)?，所以，滿意條件，此時(shí)．④同理可求得棱上一點(diǎn)，棱上一點(diǎn)也滿意題意，其它棱上沒(méi)有滿意條件的點(diǎn)P．綜上，滿意條件的P點(diǎn)共有3個(gè)，故選B【題型十】軌跡【典例分析】（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在直三棱柱中，，，為該三棱柱表面上一動(dòng)點(diǎn)，若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】將三棱柱補(bǔ)形為正方體，簡(jiǎn)潔找到BC的中垂面，因?yàn)?，所以確定點(diǎn)P在中垂面內(nèi)，通過(guò)幾何關(guān)系求解中垂面與三棱柱相交的軌跡長(zhǎng)度即可.【詳解】因?yàn)?，，所以可將直三棱柱補(bǔ)形為邊長(zhǎng)為2的正方體，取的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，K，L按依次連接.，，如圖所示，正方體中，，，所以面，所以，因?yàn)?，所?同理可得，因?yàn)椋悦?，其中為正六邊?因?yàn)镋，G，H，L為的中點(diǎn)，所以M，N為的四等分點(diǎn)，依據(jù)正方體對(duì)稱性，知O為MN中點(diǎn)也是BC中點(diǎn)，因?yàn)?，所以點(diǎn)P在過(guò)點(diǎn)O垂直于BC的平面內(nèi)，即點(diǎn)P在面內(nèi).又因?yàn)辄c(diǎn)P在三棱柱表面上，所以P點(diǎn)的軌跡為五邊形MNEFG，，由正六邊形及正方體對(duì)稱性可知，故點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為，故選：B【提分秘籍】基本規(guī)律求軌跡基本思路：設(shè)點(diǎn)-列式-化簡(jiǎn)-變量范圍【變式訓(xùn)練】1.（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）空間向量，，，，，，且，，若點(diǎn)P滿意，且，，，，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所形成的空間區(qū)域的體積為_(kāi)_________.【答案】【解析】先分析若，，，時(shí)，點(diǎn)在圖中的點(diǎn)，由，，，可得，，，可以得出點(diǎn)在三棱錐內(nèi)，計(jì)算三棱錐的體積即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，，，?dāng)，，時(shí)，點(diǎn)在圖中的點(diǎn)，因?yàn)?，?dāng)，時(shí)，同理，，，，，由知點(diǎn)在內(nèi)，而，，，，所以點(diǎn)在三棱錐內(nèi)，且，，，過(guò)作平面的垂線，垂足為，由三余弦定理可得：，即，所以，所以，，所以三棱錐的體積為，故答案為：.2.（2024·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1，E、F分別是棱AD、上的中點(diǎn)．若點(diǎn)P為側(cè)面正方形內(nèi)（含邊）動(dòng)點(diǎn)，且存在x、，使成立，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為_(kāi)________．【答案】【分析】由題知，共面，即平面，取中點(diǎn)，連接、、，易證平面平面，所以點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)的軌跡為線段，由勾股定理計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)槌闪?，所以共面，即平面，如圖，取中點(diǎn)，連接、、，依據(jù)正方體的性質(zhì)得，，平面，平面，平面，，同理可證平面，且，所以平面平面，所以點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)的軌跡為線段，因?yàn)?，，由勾股定理得，故答案為?3.（2024·全國(guó)·高二期末）已知三棱錐的全部棱長(zhǎng)均為2，為的中點(diǎn)，空間中的動(dòng)點(diǎn)滿意，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將正四面體放入正方體，建立空間直角坐標(biāo)系，求得點(diǎn)滿意的方程，推斷出點(diǎn)的軌跡為圓，求得圓的半徑，由此計(jì)算出圓的周長(zhǎng)也即的軌跡長(zhǎng)度.【詳解】正四面體放入正方體，則正方體的棱長(zhǎng)為，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，，設(shè)，，.由于，，所以，即，即，即，表示球心為，半徑為的球.表示垂直于平面的一個(gè)平面.所以的軌跡是上述平面截球面所得圓.球心到平面的距離為，所以截得的圓的半徑，所以截得的圓，也即點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為.故選：C分階培優(yōu)練分階培優(yōu)練培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1.（2024·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若為空間的一個(gè)基底，則下列各組向量中確定能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的是______．（填序號(hào)）①，，；

②，，；③，，；

④，，．【答案】③【分析】依據(jù)空間向量基本定理推斷可得；【詳解】解：由空間向量基本定理得：對(duì)于①，，所以，，三個(gè)向量共面；對(duì)于②，，所以，，三個(gè)向量共面；對(duì)于③，因?yàn)闉榭臻g的一個(gè)基底，所以與不共線，所以，也不共線，且與、共面，與、共面，又、、三個(gè)向量不共面，所以，，不共面，故，，可以作為一組基底；對(duì)于④，，所以，，三個(gè)向量共面，故答案為：③．2.（2024·浙江·高二開(kāi)學(xué)考試）在平行六面體中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)，依據(jù)空間向量的線性運(yùn)算表達(dá)，再聯(lián)立求解即可.【詳解】設(shè)則.所以，，所以.故選：C3.（2024·江蘇鎮(zhèn)江·高二開(kāi)學(xué)考試）已知四棱錐的底面是平行四邊形，側(cè)棱、、上分別有一點(diǎn)、、，且滿意，，，若、、、四點(diǎn)共面，則實(shí)數(shù)__________．【答案】##【分析】依據(jù)四點(diǎn)共面的等價(jià)條件以及，可得出關(guān)于的兩個(gè)表達(dá)式，可得出關(guān)于的方程組，即可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)?、、、四點(diǎn)共面，則存在、使得，所以，，所以，，因?yàn)?，即，所以，，因?yàn)椋矗?，，可得，解?故答案為：.4.（2024·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在空間四點(diǎn)O，A，B，C中，若是空間的一個(gè)基底，則下列命題不正確的是（

）A．O，A，B，C四點(diǎn)不共線B．O，A，B，C四點(diǎn)共面，但不共線C．O，A，B，C四點(diǎn)不共面D．O，A，B，C四點(diǎn)中隨意三點(diǎn)不共線【答案】B【分析】依據(jù)基底的含義，非零向量不在同一平面內(nèi)，即O，A，B，C四點(diǎn)不共面，即可推斷【詳解】因?yàn)闉榛祝苑橇阆蛄坎辉谕黄矫鎯?nèi)，即O，A，B，C四點(diǎn)不共面，所以A、C、D選項(xiàng)說(shuō)法正確，B錯(cuò)誤．故選：B5.（2024·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知四面體，全部棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點(diǎn)，則（

）A．1 B．2 C．-1 D．-2【答案】D【分析】在四面體中，取定一組基底向量，表示出，，再借助空間向量數(shù)量積計(jì)算作答.【詳解】四面體的全部棱長(zhǎng)均為2，則向量不共面，兩兩夾角都為，則，因點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點(diǎn)，則，，，所以.故選：D6.（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知斜三棱柱全部棱長(zhǎng)均為2，，點(diǎn)?滿意，，則（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】以向量為基底向量，則，依據(jù)條件由向量的數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，兩邊平方可得答案.【詳解】以向量為基底向量，所以所以故選：D7.（2024·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知空間向量，，滿意，，，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將，兩邊平方，利用空間向量的數(shù)量積即可得選項(xiàng).【詳解】設(shè)與的夾角為．由，得，兩邊平方，得，所以，解得，又，所以，故選：C．8.（2024·浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)高二期中）如圖，二面角的大小為，，分別在平面，內(nèi)，，，，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由向量加法可得，再利用向量的模長(zhǎng)公式，結(jié)合向量數(shù)量積公式，化簡(jiǎn)整理式子即可得到答案.【詳解】，，與夾角大小為二面角的大小,，，又利用向量加法運(yùn)算知，，，即解得：故選：A.9.（2024·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知，.若與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】【分析】由，，依據(jù)與的夾角為鈍角，由且求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，因?yàn)榕c的夾角為鈍角，所以且，由，得，所以.若與的夾角為，則存在，使，即，所以，解得，故答案為：培優(yōu)其次階——實(shí)力提升練1.（2024·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)且是空間的一組基底，給出下列向量組：①；②③

④其中可以作為空間的基底的向量組是___________(填序號(hào))．【答案】②③④【分析】作一個(gè)平行六面體，用共點(diǎn)A的三條棱的向量表示已知的基底向量，求出圖形中表示的向量，視察圖形推斷作答.【詳解】如圖，平行六面體中，設(shè)，則，，因四點(diǎn)共面，則向量共面，而四點(diǎn)不共面，則向量不共面，又四點(diǎn)不共面，則不共面，四點(diǎn)不共面，則也不共面，所以可以作為空間的基底的向量組是②③④.故答案為：②③④2.（2024·福建·廈門(mén)海滄試驗(yàn)中學(xué)高二期中）如圖，在四面體中，，，，且，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由平面對(duì)量的線性運(yùn)算求解．【詳解】連接，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所以．故選：C．3.（2024·福建·廈門(mén)雙十中學(xué)高二期中）已知，若三向量共面，則實(shí)數(shù)=_____.【答案】【分析】由題意結(jié)合向量基本定理得到方程組，求解方程組即可確定的值.【詳解】由題意可知，存在實(shí)數(shù)滿意：，據(jù)此可得方程組：，求解方程組可得：.故答案為．4.（2024·河北·石家莊市第十二中學(xué)高二期中）下列關(guān)于空間向量的說(shuō)法中，正確的有___________.①若向量，與空間隨意向量都不能構(gòu)成基底，則②若非零向量，，滿意，，，則有③是，共線的充分不必要條件④若，共線，則【答案】①③【分析】由空間向量基本定理可推斷①；依據(jù)空間向量的位置關(guān)系可推斷②；由向量的數(shù)量積以及充分條件和必要條件的定義可推斷③；依據(jù)共線向量的定義可推斷④，進(jìn)而可得正確答案.【詳解】對(duì)于①：若向量，與空間隨意向量都不能構(gòu)成基底，只能兩個(gè)向量為共線向量，即，故①正確；對(duì)于②：若非零向量，，滿意，，，則與不愿定共線，故②不正確；對(duì)于③：由可得：，可得，即，所以，反向共線，故充分性成立，若，共線則，當(dāng)時(shí)，不成立，故是，共線的充分不必要條件，故③正確；對(duì)于④：若，共線，則或與重合，故④不正確；所以正確的有①③，故答案為：①③.5.（2024·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在三棱柱中，底面為正三角形，側(cè)棱垂直于底面，.若E是棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】以為基底表示出，利用向量夾角公式計(jì)算出異面直線與所成角的余弦值.【詳解】設(shè)，則構(gòu)成空間的一個(gè)基底，，，.所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：A6.（2024·安徽·高二階段練習(xí)）在平行六面體中，，，，，，則AM的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題知，再求向量的模即可得答案.【詳解】解：∵，∴，∴．故選：C．7.（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知是棱長(zhǎng)為4的正方體內(nèi)切球的一條直徑，點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算可得，依據(jù)正方體的特點(diǎn)確定最大值和最小值，即可求解.【詳解】設(shè)正方體內(nèi)切球的球心為，則,,因?yàn)镸N是正方體內(nèi)切球的一條直徑，所以，，所以，又點(diǎn)Р在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，所以當(dāng)為正方體頂點(diǎn)時(shí)，最大，且最大值為；當(dāng)為內(nèi)切球與正方體的切點(diǎn)時(shí)，最小，且最小值為；所以，所以的取值范圍為，故選：C.8.（2024·河南·洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，三棱錐各棱的棱長(zhǎng)是1，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】首先在中利用余弦定理求出，然后由空間向量的運(yùn)算法則可得，變形可得，由二次函數(shù)的學(xué)問(wèn)可得答案.【詳解】依據(jù)題意，在中，，所以所以==則時(shí)，取得最小值，則的最小值為.故選：B9.（2024·浙江·湖州中學(xué)模擬預(yù)料）已知點(diǎn)是正方體表面上一動(dòng)點(diǎn)，且滿意，設(shè)與平面所成的角為，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，依據(jù)已知條件求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，再由直線與平面的夾角可得出最值.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2，，則，因?yàn)?，所以，即，所以點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)為球心、為半徑的球與正方體表面的交線，即為如圖的，，，要使得與底面所成的角最大，則與底面的交點(diǎn)到點(diǎn)的距離最短，從而點(diǎn)在上，且在上，則，從而，所以的最大值為，故選：A．培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練1.（2024·安徽蚌埠·高二期末（理））已知，，，則“”是“，，構(gòu)成空間的一個(gè)基底”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由共面對(duì)量定理可得：：當(dāng)“”時(shí)，，易得：，，不共面，即，，能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，當(dāng)，，能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則，，不共面，解得：，綜合得解【詳解】解：當(dāng)“”時(shí)，，易得：，，不共面，即，，能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，即“”是“，，構(gòu)成空間的一個(gè)基底”的充分條件，當(dāng)，，能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則，，不共面，設(shè)，，共面，即，解得：，即，即，，能構(gòu)成空間的一個(gè)基底時(shí)，m的取值范圍為：，即當(dāng)，，能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，不能推出，即“”是“，，構(gòu)成空間的一個(gè)基底”的不必要條件綜合得：“”是“，，構(gòu)成空間的一個(gè)基底”的充分不必要條件，故選A．2.（2024·云南·羅平縣第一中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）如圖，平行六面體中，與的交點(diǎn)為，設(shè)，，，則選項(xiàng)中與向量相等的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】依據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得.【詳解】解：平行六面體中，與的交點(diǎn)為，設(shè)，，，所以，則，所以．故選：A．3.（2024·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在正方體中，點(diǎn)M和N分別是矩形ABCD和的中心，若點(diǎn)P滿意，其中，且，則點(diǎn)P可以是正方體表面上的點(diǎn)________.【答案】（或C或邊上的